2022年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）加试（A1）卷答案与评分标准

1、1 2022 年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛） 暨暨 2022 年年全国高中数学联合竞赛全国高中数学联合竞赛 加试（加试（A1 卷）参考答案及评分标准卷）参考答案及评分标准 说明：说明： 1评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分 2如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，参考本评分标准适当划分档次评分， 10 分为一个档次， 不得增加其他中间档次分为一个档次， 不得增加其他中间档

2、次 一一 （本题满分（本题满分 40 分）分）设实数, , ,a b c d满足,ab cd，且 2341abcd 记()()()Pab bc cd求P的最小值与最大值 解解：先求P的最小值根据条件，得 Pabbccd1222abbccd 322123abbccd 3232123abcd31 112 354 10 分 当0,0dabc ， 且231abc， 即11 1( , , ,),066 6a b c d时，中各处不等式均取等，且此时0P，所以P的最小值为154 20 分 再求P的最大值仅需考虑bc的情况（否则，若bc，则有0P） 令,( , ,0)xab ybc zcd x y z ，则

3、Pxyz 由于 1234abcd 2adbdcd 2adbdcd ()2()xyzyzz34xyz 3334xyz33 12P， 即有311112 3324P 30 分 当0c且1343xyz，即4 11( , , ,),0,9 912a b c d时，中各处不等式均取等，所以P的最大值为1324 40 分 2 二二 （本题满分（本题满分 40 分）分） 如图，在锐角ABC中，H为垂心，,BD CE为高，M为边BC的中点， 在线段,BM DE上各取一点,P Q， 并在线段PQ上取一点R，使得BPCPPREQDQQR=设L为AHR的垂心证明：直线QM平分线段RL 证明证明：由垂心的性质易知HBC

4、HED，又BPCPEQDQ=，故,P Q为这两个相似三角形的对应点，所以HPBCHQDE=，且BHPEHQ= 由条件及比例性质知 PRBPCPBCHPQREQDQDEHQ+=+， 故HR平分PHQ，从而HR也平分BHE 10 分 在线段CM上取点S， 使得MSMP=， 过点R作BC的平行线， 与QS相交于点T，下证T与L重合 因为ABCADE，且BSCPDQCSBPEQ=，故,S Q是相似的对应点 20 分 所以ASBCAQDE=，且CASEAQ= 注意到|RTPS，有 ASBCPRSTAQDEQRQT=， 故AT平分SAQ，从而AT也平分BAC 30 分 所以 1122AHRHATAHEBH

5、EHAEDAE+= + 90AHEHAE= +=， 故ATHR又由|RTBC及BCAH，得RTAH，故T为AHR的垂心，从而T与L重合 最后，由QRLQPS，且M是SP的中点，可知QM平分线段RL 40 分 SML(T)RQHEDABCP3 三三 （本题满分（本题满分 50 分）分）是否存在一个无限正整数集合S，具有下述性质：对任意, , ,x y z wS xy zw， 若有序对( , )( ,)x yz w， 则2022xy +与2022zw+互素？ 解解：存在 记2022k =对任意整数2n ，若正整数12nxxx，12,nx xx均与k互素，且2Cn个数(1)ijx xkijn+ 两两

6、互素，则称12,nx xx具有性质nP 我们归纳地构造一列正整数123,a aa ， 使得对任意整数2n ， 该数列的前n项具有性质nP，这样取123 ,Sa aa=即满足条件 10 分 令121,1aak=+，显然12,a a具有性质2P 假设已经取了12,na aa具有性质nP，则令 11() ()njiijij naf aaa ak+ 对任意,(1)i jijn ，()jif aa与k互素，又由,ija a与k互素知ija ak+与k互素所以1na+与k互素 对任意,(1)i jijn 及(1)lln ， 由于1()ijna aka+， 由最大公约数的性质可知 1gcd(,)gcd(,)

7、gcd()1,ijlnijija ak a aka ak ka ak+=+=， 这里用到ija a与k互素 30 分 对任意1ijn 时，乙有获胜策略 首先讨论 4 个空格的情况：|T =+ 甲有策略使得32T ：甲先选 0（选 1 也可以） ，乙第一步选择无实际意义，|0|T =+ 甲再选 1 若乙将其与 0 填在同一个绝对值中， 甲再依次选 0、1，可使2T =；若乙将其填在另一个绝对值中，|0|1|T =+，甲再选12，则某个绝对值得到12，最后一个数甲可以使另一个绝对值为1，此时32T = 乙有策略使得32T ：若甲选的前两个数相差不超过12，则乙将它们填在同一个绝对值中，这样一个绝对

8、值不超过12，而另一个绝对值不超过1，从而32T 若甲选的前两个数相差超过12，设它们为, a b，且12ba，则乙将它们填在不同的绝对值中，设|Tab=+易知10,2a，1,12b，故甲选的第三个数c必满足1|2ac（当10,2c时）或1|2bc（当1,12c时） ，于是乙可以使一个绝对值不超过12，而另一个绝对值不超过1，从而32T 10 分 回到原问题 甲有策略使得158S ： 甲依次选 0、1，若乙将它们填在同一个绝对值中，由T的讨论知甲可以使得35151228S +=以下不妨设乙将它们填在了不同的绝对值中 甲再选38若乙将38填在和 0 或 1 同一个绝对值中，则由T的讨论知甲可以使

9、得3315828S +=以下不妨设乙将38填在了第三个绝对值中，则 3|0|1|8S =+ 甲选68 若乙放在第一个绝对值中， 则甲选 0、 0， 得63171518888S =+ +=；若乙放在第二个绝对值中，则甲选 1、1，得25151888S = +=；若乙放在第三个绝对值中，由T的讨论，甲可使前两个绝对值之和不小于32，故3315288S += 30 分 乙有策略使得158S ： 5 若甲选的前两个数相差不超过38， 或所选的第三个数与前两个数之一相差不超过38，则乙可在前三回合内将两个相差不超过38的数填在同一个绝对值中，由T的讨论知乙可使3315828S += 若甲选的前三个数两两

10、相差均大于38，则乙将三个数填在不同的绝对值中，现假设|Sabc=+，38ba，38cb 由对称性， 不妨设12b 设甲选的第四个数为d 情形一：2,18dc乙将d与c放在同一个绝对值中，由于68c ，故2|8cd， 而前两个绝对值之和不超过313(1)(1)2()288abab+=+=， 故21315888S += 情形二：33,88dbb+ 乙将d与b放在同一个绝对值中， 则3|8bd 由于10,2a，1,12c，由T的讨论知乙可以使剩下两个绝对值之和不超过32，从而3315828S += 情形三：30,8da+乙将d与a放在同一个绝对值中，由于28a ，则3|8ad由于10,2b，1,12c，同情形二知乙可以使158S 最后注意到33320,10,18888abbc+=，上述三种情形包括了d的所有可能性（有可能会重叠，此时可以任意选择某个情形来做） 综上所述，使甲有获胜策略的r是不超过158的所有实数 50 分