1、 专题专题 16 16 平行线与相交线平行线与相交线 一、单选题一、单选题 1 （2021 七下 平定期末）如图， ，EF 分别交 AB，CD 于点 E，F， ，垂足为点 E，且EG 交 CD 于点 G，若1 = 52，则2的度数为（ ） A38 B62 C52 D48 2 （2022 七下 晋中期末）用一块含 60 角的直角三角板和一把直尺按图中所示的方式放置，其中直尺的直角顶点与三角板的 60 角顶点重合，直尺两边分别与三角板的两条直角边相交，若1 = 50，则2的度数为（ ） A25 B22.5 C20 D15 3 （2022 七下 晋中期末）如图，用三角尺经过直线 l 外一点 A 画这
2、条直线的垂线，这样的垂线我们只能画出一条这里面蕴含的数学原理是（ ） A垂线段最短 B两点之间线段最短 C平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 4 （2022 七下 太原期末）如图，已知 ac，添加下列条件后，能推出 bc 的是（ ） A52180 B36 C46180 D12 5 （2022 七下 交口期末）小林乘车进入车库时仔细观察了车库门口的“曲臂直杆道闸”，并抽象出如图所示的模型，已知垂直于水平地面当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段绕点缓慢向上旋转， 段则一直保持水平状态上升 （即与始终平行） ， 在该过程中 + 始终等于 （ ）
3、 A360 B180 C250 D270 6 （2022 山西）如图， 是一块直角三角板，其中 = 90， = 30直尺的一边 DE 经过顶点 A，若 ，则的度数为（ ） A100 B120 C135 D150 7 （2022 山西模拟）如图，直线 ，直线 c 分别与 a，b 相交于点 A，B若1 = 55，则2的度数为（ ） A125 B135 C145 D155 8 （2022 七下 大同期中）下列命题中是真命题的是（ ） A过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离 D连接直线外一点与直线上各点的所有线
4、段中，垂线段最短 9 （2022 七下 大同期中）如图，直线 ABCD 于点 O，直线 EF 经过点 O，若125 ，则2 的度数是（ ） A25 B65 C55 D64 10 （2022 七下 大同期中）如图，由 ，可以得到（ ） A1 = 4 B2 = 4 C1 = 3 D + = 180 二、填空题二、填空题 11 （2022 七下 太原期末）如图， 在三角形纸片 ABC 中， ACB90 ， A40 ， 点 D 在 AB 边上 （不与 A、B 重合） ，连接 CD，将ACD 沿 CD 所在直线折叠得到ACD，AC 交 AB 于点 E 请从 A、B 两题中任选一题作答我选择 题 A如图
5、1，若 ADBC，则ACD 的度数为 B如图 2，若 AEAD，则ACD 的度数为 12（2022 七下 交口期末）如图是家用的双排折叠晾衣架的一部分， 在晾衣架折叠或拉伸的过程中， 1与2的大小关系是 ，理由是 ，其逆命题是 13 （2022 七下 交口期末）数学课上，老师要求同学们利用三角板画两条平行线如图，小华的画法： 将含30角三角尺的最长边与直线重合，用虚线作出一条最短边所在直线；再次将含30角三角尺的最短边与虚线重合，画出最长边所在直线，则/你认为他画图的依据是 14 （2022 榆次模拟）如图， ， = 55， = 39，则的度数为 15 （2021 七上 阳城期末）如图，已知
6、ABCD，CE 平分ACD，交 AB 于点 B，ABE150 ，则A 为 16（2021八上 交城期末）如图， 在ABC中， C90 ， BD为ABC的角平分线， 过点D作直线lAB， 点P为直线 l 上的一个动点，若BCD 的面积为 16，BC8，则 AP 最小值为 17 （2021 七下 盐湖期末）如图，在平行线1、2之间放置一块直角三角板，三角板的锐角顶点，分别在直线1、2上，若1 = 68，则2的度数是 18 （2021 七下 祁县期末）如图，从以下给出的五个条件中选取一个： （1）1 = 2； （2）3 = 4； （3） = ； （4） + = 180； （5） = 恰能判断/的概率
7、是 19 （2021 七下 洪洞期末）如图，在ABC 中，BAC36 ，ABCACB，BD 平分ABC，则BDC 度 20 （2021 七下 寿阳期末）如图，点 P 在AOB 的平分线上，AOB=60 ，PDOA 于 D，点 M 在 OP上，且 DM=MP=6，若 C 是 OB 上的动点，则 PC 的最小值是 三、综合题三、综合题 21 （2022 七下 晋中期末）请仔细阅读以下材料，并按要求完成相应任务 问题情景：数学课上，老师让同学们利用尺规作的平分线（如图 1） 下面是小亮同学的作法（如图 2） ： 在射线 OA 上取一点 D（不同于点 O） ，作 = ，使点 C 落在内部； 以点 D
8、为圆心，以 DO 长为半径作弧，交射线 DC 于点 P； 作射线 OP 射线 OP 就是的平分线 展示交流： 小亮同学对自己作法的符合题意性做了如下说明： 由作图步骤可知 = ，所以 （依据 1） 所以 = 由作图步骤可知 = ，所以 = （依据 2） 所以 = 所以射线 OP 是的平分线 问题解决： （1）写出上述小亮同学说明过程中依据 1，依据 2 的具体内容： 依据 1： 依据 2： （2）请你用不同于小亮的方法，利用尺规在图 1 完成老师的任务 （要求：保留作图痕迹，不写作法） 22 （2022 七下 侯马期末）如图，六边形 ABCDEF 的内角都相等 （1）若160 ，求ADC 的度
9、数； （2）AB 与 ED 有怎样的位置关系？为什么？ 23 （2022 七下 交口期末）在综合与实践课上，老师让同学们以“三条平行线 m，n，l（即始终满足 mnl）和一副直角三角尺 ABC，DEF（BACEDF90 ，FED60 ，DFE30 ，ABCACB45 ）”为主题开展数学活动 操作发现 （1）如图 1，展翅组把三角尺 ABC 的边 BC 放在 l 上，三角尺 DEF 的顶点 F 与顶点 B 重合，边 EF经过 AB，顶点 E 恰好落在 m 上，顶点 D 恰好落在 n 上，边 ED 与 n 相交所成的一个角记为1，求1 的度数； （2）如图 2，受到展翅组的启发，高远组把直线 m
10、向下平移后使得两个三角尺的两个直角顶点 A、D 分别落在 m 和 l 上，顶点 C 恰好落在 n 上，边 AC 与 l 相交所成的一个角记为2，边 DF 与 m 相交 所成的一个角记为3，请你说明2315 ； （3）老师在点评高远组的探究操作时提出，在（2）的条件下，若点 N 是直线 n 上一点，CN 恰好平分ACB 时，2 与3 之间存在一个特殊的倍数关系，请你直接写出它们之间的倍数关系，不需要说明理由 24 （2022 七下 大同期中）如图，已知1 + 2 = 180，且3 = （1）求证： = ，请完成下面的证明： 1 + 2 = 180，2 + = 180， = 1， （ ） ， 3
11、= （ ） ， 又3 = （已知） ， = （ ） ， （ ） ， = （ ） ； （2）若平分，且2 = 110，3 = 50，求的度数 25 （2022 晋中模拟）综合与实践 问题情境： 在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动 操作发现： 某数学小组对图 1 的矩形纸片 ABCD 进行如下折叠操作 第一步如图 2，把矩形纸片 ABCD 对折，使 AD 与 BC 重合，得到折痕 MN，然后把纸片展开； 第二步如图 3，将图 2 中的矩形纸片沿过点 B 的直线折叠，使得点 A 落在 MN 上的点处，折痕与 AD 交于点 E，然后展开纸片，连接， 问题解决： （1）请
12、在图 2 中利用尺规作图，作出折痕 BE； （保留作图痕迹） （2）请你判断图 3 中 ABA的形状，并说明理由； （3）如图 4，折痕 BE 与 MN 交于点 F，BA的延长线交直线 CD 于点 P，若 MF1，BC7，请你直接写出 PD 的长 26 （2021 七上 霍州期末）补全下面的解题过程： 如图， = 70， = 20， = 130 （1）与的位置关系是 （2）对（1）中判断的与的位置关系加以证明 证明：（已知） ， = （ ） ， = 70（已知） ， = 70（等量代换） ， = 20（已知） ， = 50 = 130（已知） ， + = 180， （ ） （ ） 27 （20
13、20 八上 运城期末）如图，在 中， = 90， 的外角的平分线 BE 交 AC 的延长线于点 E，点 F 为 AC 延长线上的一点，连接 DF （1）若 = 40，求的度数； （2）在（1）的条件下，若 = 25，求证： ； （3）若 ，探究、有怎样的数量关系，直接写出答案，不用证明 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】A 【解析】【解答】解：ABCD， GEB=1=52 ， 又EFEG， 2+GEB=90 ， 2=90 -GEB=90 -52 =38 故答案为：A 【分析】先求出GEB=1=52 ，再求出2+GEB=90 ，最后计算求解即可。 2 【答案】C 【解析】【解答】解：如图，由
14、题意得C=90 ，ABDE，CDF=60 C=90 ，1=50 ， ABC=180 -C-1=40 ， ABDE， CDE=CBA=40 ， CDF=60 2=CDF-CDE=20 故答案为：C 【分析】角 2 所在的三角形的一个外角与角 1 是同位角且相等。 3 【答案】C 【解析】【解答】解：这样的直线只能画出一条，理由是：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故答案为：C 【分析】垂线公理。 4 【答案】A 【解析】【解答】解：ac， 5+6=180 ， 若5+2=180 ，则2=6，bc，故 A 选项符合题意； 若3=6，由3=1，得1=6，不能证得 bc，故 B 不符合题
15、意； 若46180 ，由41180 得1=6，不能证得 bc，故 C 不符合题意； 若1=2，则不能证得 bc，故 D 不符合题意； 故答案为：A 【分析】平行线的判定与性质的综合应用。 5 【答案】D 【解析】【解答】解：过点 B 作 BGCD 由题意可知：CDAE，BAE=90 BGCDAE ABG=180 BAE=90 ， + =180 + =ABG + =270 故答案为：D 【分析】 过点B作BGCD， 根据平行出线的性质可得ABG=180 BAE=90 ， + =180 ，再利用角的运算可得答案。 6 【答案】B 【解析】【解答】解： ， = 90， = = 90， = 30， =
16、 + = 120， 故答案为：B 【分析】根据平行线的性质可得 = = 90，再利用角的运算可得 = + =120。 7 【答案】A 【解析】【解答】解：如图，记1的对顶角为3， ， 2 + 3 = 180， 又3 = 1 = 55， 2 = 125 故答案为：A 【分析】先求出2 + 3 = 180，再计算求解即可。 8 【答案】D 【解析】【解答】解：A.同一平面内， 过一点有且只有一条直线与已知直线平行，故该选项是假命题，不符合题意； B.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故该选项是假命题，不符合题意； C. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故该选
17、项是假命题，不符合题意； D. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，故该选项是真命题，符合题意； 故答案为：D 【分析】根据平行公理、垂线的性质、 点到直线的距离、垂线段最短分别进行判断即可. 9 【答案】B 【解析】【解答】解：ABCD， AOD=90 ， 1=25 ， FOD=1=25 ， 2=AOD-FOD=65 故答案为：B 【分析】由垂直的定义可得AOD=90 ，由对顶角相等可得FOD=1=25 ，根据2=AOD-FOD即可求解. 10 【答案】A 【解析】【解答】 1 = 4 故答案为：A 【分析】根据两直线平行内错角相等，可得1=4，即可得解. 11 【答案】A（
18、或 B） ；25；15 【解析】【解答】解：任意选择 A 或 B 解答 AADBC， ACB=A=A=40 ， ACA=90-40 =50 ， ACD=ACD， ACD=25 ， 故答案为：25 ； BAEAD，AA=40 ， AEDADE=70， BEC=AED=70， B=90 -A=50 ， BCE=180 -B-BEC=60 ， ACA=30， ACD=15 ， 故答案为：15 【分析】若选 A：由平行线的性质及折叠可得ACB=A=A=40 ，ACD=ACD，从而求出ACA=90-40 =50 ， 继而得出ACD 的度数； 若选 B： 由等腰三角形的性质可求出AEDADE=70，由对顶
19、角相等可得BEC=AED=70，根据三角形内角和求出BCE 的度数，从而求出ACA 的度数，根据折叠的性质即可求解. 12 【答案】1 = 2或相等；对顶角相等；如果两个角相等，那么这两个角是对顶角（或相等的两个角是对顶角） 【解析】【解答】解：图中1与2是对顶角， 1 = 2， 对顶角相等的逆命题是：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 故答案为：1=2 或相等；对顶角相等；如果两个角相等，那么这两个角是对顶角（或相等的两个角是对顶角） 【分析】根据对顶角的定义及逆命题的定义求解即可。 13 【答案】内错角相等，两直线平行 【解析】【解答】解：画图的依据是：内错角相等，两直线平行 故答案为：
20、内错角相等，两直线平行 【分析】根据平行线的判定方法求解即可。 14 【答案】16 【解析】【解答】如图，AE 交 OD 于点， ， = 55， = = 55， = 39， = = 16 故答案为：16 【分析】根据平行线的性质可得 = = 55，再利用三角形外角的性质可得 = =16。 15 【答案】120 【解析】【解答】解：ABE150 ， ABC180ABE18015030 ABCD， BCDABC30 CE 平分ACD， ACD2BCD60 ABCD， A180ACD18060120 故答案为：120 【分析】先利用邻补角求出ABC=30 ，再利用平行线的性质和角平分线的定义可得AC
21、D2BCD60 ，最后根据A180ACD 计算即可。 16 【答案】4 【解析】【解答】解：C90 ，BCD 的面积为 16，BC8， 12 = 16，即 = 4， 作 DEAB， BD 为ABC 的角平分线， = = 4， 直线 lAB， AP 最小值与 DE 相等为 4， 故答案为：4 【分析】根据三角形的面积公式求出 CD，根据角平分线的性质求出 DE，根据垂线段最短解答即可。 17 【答案】22 【解析】【解答】解：如图所示，AD/BE， DABABE180 ， 又1 = 68，BAC60 ，ABC30 ， 218068603022 ， 故答案为：22 【分析】先利用平行线的性质可得D
22、ABABE180 ，再结合1=68 ，BAC60 ，ABC30 ，可得222 。 18 【答案】（1）25 【解析】【解答】解：由图形可知1 = 2时可得/； 3 = 4不能得/； = 可得/； + = 180不能得/； = 不能得/， 从给出的五个条件中选取一个共有 5 种等可能结果，其中使 ABCD 的有（1） 、 （3）这 2 种结果， 所以能判断 AB/CD 的概率是25， 故答案为：25 【分析】此题既考查了平行线的判定，也考查了简单事件的概率计算，注意审题。 19 【答案】72 【解析】【解答】解：ABCACB，BAC36 ABCACB72 ， BD 平分ABC， ABDCBD36
23、 ， BDC180 -DBC-ACB72 ， 故答案为：72 【分析】根据角平分线的性质和平行线的性质即可得解。 20 【答案】6 【解析】【解答】点 P 在AOB 的平分线上，AOB=60 ， AOP= 12 AOB=30 ， 又PDOA 于点 D，即PDO=90 ， DPO=60 ， 又DM=MP=6， 是等边三角形， PD=DM=6， C 是 OB 上一个动点， PC 的最小值为点 P 到 OB 的距离， 点 P 在AOB 的平分线上，PDOA 于点 D，PD=6， PC 的最小值=点 P 到 OB 的距离=PD=6 故答案为：6 【分析】根据角平分线的定义可得AOP= 12 AOB=3
24、0 ，求出 DM=MP=6，再根据直角三角形的性质求得 PD=DM=6，再根据角平分线的性质和垂线段最短的得到结果。 21 【答案】（1）同位角相等，两直线平行；等腰三角形的两个底角相等 （2）解：如图， 射线 OP 就是的平分线 【解析】【分析】内错角相等，两直线平行。 22 【答案】（1）解：六边形的内角和为720，六边形的内角都相等， 每个内角的度数为 120 ， 四边形 ABCD 的内角和为360，B=C=120 ，1=60 ， ADC=360 -B-C-1=60 （2）解：ABED，理由如下： 四边形 ABCD 的内角和为360，B=C=CDE=120 ， 1+ADC=360 -B-
25、C=120 ， 又EDA+ADC=EDC=120 ， 1=EDA， / 【解析】【分析】 （1）先求出正六边形每个内角的度数为 120 ，再求出B=C=120 ，1=60 ，最后利用角的运算可得ADC=360 -B-C-1=60 ； （2）通过角的运算求出1=EDA，即可得到 AB/ED。 23 【答案】（1）解：直线 n直线 l， DBCBDN， 又DBCABCABD45 30 15 ， BDN15 ， 190 15 75 （2）解：如图所示，过 B 点作 BG直线 m， BGm，lm， BGl（平行于同一直线的两直线互相平行） ， BGm， 3DBG， 又BGl， LABABG， 3+LA
26、BDBA30 +45 75 ， 又2 和LAB 互为余角， LAB90 2， 3+90 275 ， 2315 结论应用 （3）解：结论：233 理由：在（2）的条件下，2315 ， 又CN 平分BCA， BCNCAN22.5 ， 又直线 n直线 l， 222.5 ， 37.5 ， 233 【解析】【分析】 （1）利用平行线的性质及角的运算求解即可； （2）过 B 点作 BG直线 m，再利用平行线的性质及角的运算求解即可； （3）利用角平分线的定义及角的运算求解即可。 24 【答案】（1）解：1 + 2 = 180，2 + = 180， = 1， （同位角相等，两直线平行） ， 3 = （两直线
27、平行，内错角相等） ， 又3 = （已知） ， = （等量代换） ， （同位角相等，两直线平行） ， = （两直线平行，同位角相等） 故答案为：同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等. （2）解：3 = ，3 = 50， = 50， 2 + + = 180，2 = 110， = 20， 平分， = 2 = 40. 【解析】【分析】 （1）利用平行线的判断和性质求解即可； （2）先求出 = 20，再利用角平分线的性质可得 = 2 = 40。 25 【答案】（1）解：如图，线段 BE 即为所求 （2）解： 是等边三角形 证明：由折叠
28、可知， ， =12， = ， =12， sin =12， = 30 在 中， = 90 = 60 = 60， = ， 是等边三角形 （3）解：PD=33 【解析】【解答】解：(3) 是等边三角形， = = ，= 60 MN/AD/BC， ， M 为 AB 的中点，MF=1， MF 为 的中位线， = 2 = 2， 矩形纸片沿过点 B 的直线折叠，使得点 A 落在 MN 上的点处， = =12= 30， 中， = 30， = 2， = 23.， = 4， 四边形 ABCD 为矩形，BC=7， = = 90， = = 7，AD/BC， = 90， = 30， AD/BC， = = 30， = =
29、30， = = 4， = 7 4 2 = 1， = = 30， 在 RtHDP 中， = 1，： = 1：3 PD=33 【分析】 （1）以点 B 为圆心，以 AB 的长为半径画弧交 MN 于点 A，连接 AA，作 AA的垂直平分线交 AD 于一点即为点 E，连接 BE 即得解结论； （2）由折叠知 BM=12AB=12AB， ， 可得sin =12，从而得出 = 30，利用三角形内角和可求出 = 60 ，根据等边三角形的判定定理即证； （3）由 MN/AD/BC，AM=MB，可得 BF=EF，根据三角形中位线定理可得 = 2 = 2，由折叠的性质可得 = =12= 30，在 RtABE 中，
30、 可求出 = 23.， = 4，设 PB 交 AD于点 H，由矩形的性质可得 = = 7，AD/BC，从而求出EHB=PBC=PHD=EBA=30 ，可得 = = 4，从而得出 DH=1，在 RtHDP 中，可得 DH=3PD，据此即可求解. 26 【答案】（1）CDEF （2）证明： （已知） ， =（两直线平行，内错角相等） ， = 70（已知） ， = 70（等量代换） ， = 20（已知） ， = 50 = 130（已知） ， + = 180（等式的基本性质） ， （同旁内角互补，两直线平行） 【解析】【分析】 （1）根据平行线的性质与判定即可得出结论； （2）根据平行线的性质与判定即
31、可得出结论。 27 【答案】（1）解：在 中， = 90， = 40， = 90 = 50， = 130 BE 是CBD 的平分线， =12 = 65； （2）证明： = 40， = 65， = 65 40 = 25 又 = 25， = = 25， （3） +12 = 45 【解析】【解答】解：(3)若 ，则 = CBD=A+ACB=A+90 2 = + 90 = + = 90 = 90 = 90 2(90 ) = + 90 整理得， +12 = 45 【分析】 （1）先求出 = 130，再利用角平分线的定义可得 =12 = 65； （2）先求出 = 65 40 = 25，再结合 = 25，可得 = = 25，所以 ； （3）根据平行线的性质可得 = ，再利用角的运算可得2 = + 90，再结合 = + = 90，求出2(90 ) = + 90，最后化简可得 +12 = 45。
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