1、 专题专题 18 18 四边形四边形 一、单选题一、单选题 1 （2022 山西）如图，扇形纸片 AOB 的半径为 3，沿 AB 折叠扇形纸片，点 O 恰好落在上的点 C处，图中阴影部分的面积为（ ） A3 33 B3 932 C2 33 D6 932 2 （2022 阳泉模拟）如图，点 O 为菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 的交点，过点 C 作 CEAB 于点 E，连接 OE，若 OD3，OE2，则菱形 ABCD 的面积为（ ） A6 B12 C18 D24 3（2022 运城模拟）如图， 将 绕点B按逆时针方向旋转90 后， 得到 ， 已知 = 90， = 60， = 2，则图中阴影
2、部分面积为（ ） A34 B1112 C1112 32 D65 4 （2022 阳泉模拟）如图，在扇形 AOB 中，AOB120 ，半径 OC 交弦 AB 于点 D，且 OCOA若 = 23，则阴影部分的面积为（ ） A3 + B33 C D33 + 5 （2022 吕梁模拟）如图，在 Rt 中， = 90 ， = 30 ， = 1 ，把 绕点B按顺时针方向旋转 90 后得到 ， 则线段 在上述旋转过程中所扫过部分 （阴影部分）的面积是（） A2 B C4 D74 6 （2022 侯马期末）山西著名工艺品平遥推光漆器外观古朴雅致、闪光发亮，绘饰金碧辉煌，以手掌推出光泽而得名图 1 是平遥推光漆
3、器的一种图案，图 2 是选取其某部分并且放大后的示意图四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，分别以正方形的四个顶点为圆心， 12 对角线的长为半径画弧，四条弧相交于点 O，则图中阴影部分的面积为（） A2 4 B 2 C2 D14 7 （2022 运城模拟）如图，在矩形 ABCD 中， = 23，BC4，以点 D 为圆心，DA 的长为半径画弧，交 BC 于点 E，交 DC 的延长线于点 F，则图中阴影部分的面积为（ ） A43 43 B4323 C233 D2323 8 （2022 运城模拟）如图，直线 = + 3与两坐标轴交于 A，B 两点，点 P 是线段 AB 上一动点（不与 A，B
4、两端点重合） ，过点 P 作 PCx 轴于点 C，作 PDy 轴于点 D，小明认为矩形 PCOD 的周长不变且始终为 6；小红认为矩形 PCOD 的面积有最大值，最大值为 3关于小明与小红的判断，下面说法正确的是（ ） A小明与小红都是正确的 B小明与小红都是错误的 C小明是正确的，小红是错误的 D小明是错误的，小红是正确的 9 （2022 云州模拟）如图，四边形内接于 ，连接，当四边形是菱形时，则 + 的度数是（ ） A65 B60 C55 D50 10 （2022 榆次模拟）如图， 中， = 120， = = 8分别以点 B，C 为圆心，线段长的一半为半径作弧，交，于点 D，E，F，则图中
5、阴影部分的面积是（ ） A163 8 B323 8 C163 83 D323 83 二、填空题二、填空题 11（2022 山西）如图， 在正方形ABCD中， 点E是边BC上的一点， 点F在边CD的延长线上， 且 = ，连接 EF 交边 AD 于点 G过点 A 作 ，垂足为点 M，交边 CD 于点 N若 = 5， = 8，则线段 AN 的长为 12 （2022 榆次模拟）如图，直线 = 3 + 3与轴交于点，与轴交于点，以线段为边，在第一象限内作正方形，点落在双曲线 =( 0)上，则 = 13（2022 运城模拟）如图， 在矩形ABCD中， E为BC边上一点， = 2， 且 = ， =35，则
6、CE 的长为 14 （2022 山西模拟）如图，在扇形中，半径 = 5， = 90，点 B 是上一点，平分点 D，C 在上，点 E，F 分别在半径和上；连接，其中与交于点P， 与交于点H， 且四边形和都是正方形； 以线段为直径作半圆， 连接， 则图中阴影部分的面积为 15（2022 山西模拟）如图， 在 和 中， = = 90， = ， = 30， 且点 B，C，E 在同一条直线上，与交于点 F，连接、，若 = ， = 8则的长为 16（2022 吕梁模拟）如图， 平行四边形 的边 在 x 轴正半轴上， = 5 ， sin =45 ， 一次函数 = 4 的图象经过点 A、C，反比例函数 = 的
7、图象经过点 D，则 = 17 （2022 侯马期末）如图，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，E 为 AD 边的中点将ABE 沿 BE 折叠得到 ，连接 AC，分别交 BE， 于点 F，G，则 FG 的长为 18（2022 平遥模拟）如图， 在菱形ABCD中， = 60， 点E， F分别在边AB， BC上， = = 2， 的周长为36，则菱形边长为 19 （2022 运城模拟）如图 1，在 RtABC 中，C90 ，BCa，ACa+3，现有图 1 的直角三角形4 个，小明用这 4 个全等的直角三角形拼成如图 2 的赵爽弦图，若图 2 中正方形 DEFG 的面积为 29，则 a 的值为 2
8、0 （2022 榆次模拟）如图，在菱形中，对角线与相交于点 O，E 是线段上的一点，且 =35，F 是线段的中点，连接交于点 M，若 = 10， = 16，则线段的长为 三、综合题三、综合题 21 （2022 运城模拟）将矩形 ABCD 对折，使 AD 与 BC 重合，得到折痕 EF，展开后再一次折叠，使点 A 落在 EF 上的点处，并使得折痕经过点 B，得到折痕 BG，连接，如图 1，问题解决： （1）试判断图 1 中 是什么特殊的三角形？并说明理由； （2） 如图2， 在图1的基础上， 与BG相交于点N， 点P是BN的中点， 连接AP并延长交于点Q，求的值 22 （2022 榆次模拟）综合
9、与实践 问题背景： 在综合与实践课上，老师让同学们探索有一组邻边相等，一组对角互补的四边形的性质如图 1，在四边形中， = ， + = 180 （1）实践操作： 同学们首先从特殊情形开始探索， 如图2， 当 = 90时， 其它条件不变， 发现了平分的性质，有两个小组给出如下的证明思路： “团结组”：利用“在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”； “实践组”：由 = 想到将 绕点旋转，使与重合，将四边形转化成我们学过的特殊图形 请你分别在图 2，图 3 中画出符合“团结组”和“实践组”思路的辅助线； 求证：平分； （从上面的两个思路中选一个或按照自己的思路） （2）“创新组”
10、的同学发现在图 2 中 + = 2，请你说明理由； （3）拓展延伸： “善思组”的同学受“创新组”同学的启发，提出如下问题：如图 4，当 = 120时，其它条件不变，延长到点，使=14，过点分别作 交的延长线于点， 交的延长线于点，若 = 53，则四边形的形状为 ，四边形的面积为 23（2022 榆次模拟）如图， 是 的直径， 点， 在 上， = ， 交于点， = 120 （1）求的度数； （2）若是 的切线，与的延长线交于点， = 22直接写出图中阴影部分的面积 24 （2022 运城模拟）阅读下列材料，并按要求解答相关问题： 【思考发现】根据直径所对的圆周角是直角，我们可以推出“如果一条定
11、边所对的角始终为直角，那么所有满足条件的直角顶点组成的图形是以定边为直径的圆或圆弧（直径的两个端点除外）”这一正确的结论 如图 1，若 AB 是一条定线段，且 = 90，则所有满足条件的直角顶点 P 组成的图形是定边AB 为直径的 （直径两端点 A、B 除外） （1）已知：如图 2，四边形 ABCD 是边长为 8 的正方形，点 E 从点 B 出发向点 C 运动，同时点 F从点 C 出发以相同的速度向点 D 运动，连接 AE，BF 相交于点 P 当点 E 从点 B 运动到点 C 的过程中，的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请直接写出的度数 当点 E 从点 B 运动到点 C
12、 的过程中，点 P 运动的路径是（ ） A线段；B弧；C半圆；D圆 点 P 运动的路经长是 （2）已知：如图 3，在图 2 的条件下，连接 CP，请直接写出 E、F 运动过程中，CP 的最小值 25 （2022 阳泉模拟）综合与实践 【问题背景】 如图 1，平行四边形 ABCD 中，B60 ，AB6，AD8点 E、G 分别是 AD 和 DC 边的中点，过点 E、G 分别作 DC 和 AD 的平行线，两线交于点 F，显然，四边形 DEFG 是平行四边形 【独立思考】 （1）线段 AE 和线段 CG 的数量关系是： （2）将平行四边形 DEFG 绕点 D 逆时针旋转，当 DE 落在 DC 边上时，
13、如图 2，连接 AE 和 CG 求 AE 的长； 猜想 AE 与 CG 有怎样的数量关系，并证明你的猜想； （3） 【问题解决】 将平行四边形 DEFG 继续绕点 D 逆时针旋转，当 A，E，F 三点在同一直线上时（如图 3） ，AE 与CG 交于点 P，请直接写出线段 CG 的长和APC 的度数 26 （2022 山西模拟）综合与实践 问题情境 如图 1，在正方形中，点 O 是对角线上一点，且 = 3，将正方形绕点 O 按顺时针方向旋转得到正方形（点，分别是点 A，B，C，D 的对应点） （1）探究发现 如图 2， 当边与在同一条直线上，与在同一条直线上时， 点与分别落在正方形的边与上求证：
14、四边形是矩形 （2）如图 3，当边经过点 C 时，猜想线段与的数量关系，并加以证明 （3）问题拓展 如图 4，在正方形绕点 O 按顺时针方向旋转过程中，直线与交于点 P，连接当点P 在边的左侧时，请直接写出的度数 27 （2022 云州模拟）综合与探究 问题情境： 数学实践课上，老师要求同学们先制作一个透明的菱形塑料板，然后在纸上画一个与透明的菱形相似的菱形，把透明的菱形放在上面记作菱形，它们的锐角顶点重合，且 = ，连接， （1）操作发现： 如图 1，当边在边所在的射线上，直接写出与的数量关系： （2）探究发现： 如图 2，将菱形绕点按逆时针方向旋转，使点落在边上，连接和你认为（1）中的结论
15、是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； （3）探究拓广： 如图 3，在（2）的条件下，当 = = 90时，探究并说明线段和的数量关系和位置关系 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】B 【解析】【解答】解：依题意： ， = = 3 = = = = 3 四边形 OACB 是菱形 连接 OC = = 3 = = = 3 是等边三角形 同理： 是等边三角形 故 = 120 由三线合一，在 中： =12 = 30 =12 =32 = 3 =323 菱形=12 2 2 =12 2 323 2 32=923 扇形=120360 32= 3 阴影= 菱形扇形= 3 923 故答案为：B 【分
16、析】利用列表法列出算式阴影= 菱形 扇形，再利用扇形的面积公式和菱形的面积公式求解即可。 2 【答案】B 【解析】【解答】四边形 ABCD 是菱形， OA=OC，OB=OD，ACBD CEAB， AEC=90 ， AC=2OE， OE=2， AC=4， OD=3， BD=6， 菱形 ABCD 的面积= 12ACBD= 12 4 6=12 故答案为：B 【分析】先求出 AC 和 BD 的长，再利用菱形的面积等于对角线乘积的一半可得答案。 3 【答案】C 【解析】【解答】解：设 BC 与相交于点 D， = 90， = 60， = 2， = 1， = 3， =32 = 60，= 90， = 30，
17、= = 1， 扇形=112 1 =12 = 90， = 2， 扇形=14 22= 阴影= 扇形 扇形 ， 阴影= 1232=111232 故答案为：C 【分析】利用割补法和扇形的面积及三角形的面积公式求解即可。 4 【答案】A 【解析】【解答】解：作 OEAB 于点 F， 在扇形 AOB 中，AOB=120 ，半径 OC 交弦 AB 于点 D，且 OCOA AOD=90 ， BOC=30 ， OA=OB， OAB=OBA=30 ， 在 Rt中，OA=23，OAB=30 ， OD=OAtan30=2333=2， AD=2OD=4， 在 Rt中，OA=23，OAB=30 ， OF=12 =3， A
18、F=22= 3 AB=2AF=6， BD=AB-AD=6-4=2， 阴影部分的面积是：SAOD+S扇形OBC-SBDO=2322+30(23)2360232=3+ ， 故答案为：A 【分析】利用割补法和扇形面积公式列出算式阴影部分的面积是=SAOD+S扇形OBC-SBDO，再将数据代入计算即可。 5 【答案】C 【解析】【解答】解：在 Rt 中， = 30 ， = 1 ， = 2， = 2 2= 3 ， 把 绕点 按顺时针方向旋转 90 后得到 ， = 90， = 90 ， = ， 由图可得， 阴= 扇+ 扇 ， 化简得 阴= 扇 扇 ， 即 阴=902236090(3)2360=4 ， 故答
19、案为：C 【分析】利用割补法可得阴= 扇+ 扇 ，化简可得阴= 扇 扇，再将数据代入计算即可。 6 【答案】A 【解析】【解答】解：四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形 正方形的对角线的长为 2 2 半径为 2 阴影部分面积=圆的面积-正方形的面积 阴影部分面积=（ 2 ）2-22= 2 4 故答案为：A 【分析】先求出正方形的边长和圆的半径，再利用割补法可得答案。 7 【答案】B 【解析】【解答】如图，连接 DE 矩形 ABCD，BC4， = 23 = = 4， = = 23， = = 90，/ 以点 D 为圆心，DA 的长为半径画弧，交 BC 于点 E，交 DC 的延长线于点 F， =
20、 = = 4 sin =234=32 = 60 = cos =12 4 = 2 =12 =12 2 23 = 23 / = = 60 扇形面积=4260360=83 阴影部分的面积 =扇形面积-扇形面积- =4290360-83-23 =4290360-83-23 =4-83-23 =4-83-23 =43-23 故答案为：B 【分析】连接 DE，利用割补法列出算式阴影部分的面积=扇形面积-扇形面积-，再将数据代入计算即可。 8 【答案】C 【解析】【解答】设 P(x， + 3)(0 3)， 矩形= 2(+ ) = 2 + ( + 3) = 6， 周长不变，且始终为 6，即小明符合题意； 矩形
21、= = ( + 3) = ( 32)2+94， 当 =32时，矩形最大，最大为94，即小红是错误的 故答案为：C 【分析】设 P(x， + 3)(0 3)，由矩形的周长和面积的计算公式可求解。 9 【答案】B 【解析】【解答】解：如图，连接 OA，OC， 四边形是菱形， OB=BC， OB=OC， 为等边三角形， OBC=60 ， 即：BOD=120 ， BAD=12 = 60， OB=OA=OD， ABO=BAO，ODA=OAD， + = = 60 故答案为：B 【分析】连接 OA 和 OC，先证明 为等边三角形，可得OBC=60 ，从而得到BOD=120 ，再利用圆周角的性质可得 + =
22、=12 = 60。 10 【答案】A 【解析】【解答】解：如下图所示，连接 AE AB=AC=8， ABC 是等腰三角形，B=C BAC=120 ， = =1802= 30 BE 和 CE 都是线段 BC 长的一半， E 是 BC 的中点 AE 是ABC 的中线，BE=CE AE 是ABC 的高线 AEBC =12 = 4 = = 2 2= 43 BC=BE+CE=83 =12 = 163，S扇形BDE=30(43)2360= 4， S扇形CEF=30(43)2360= 4 S阴=S扇形BDES扇形CEF= 163 8 故答案为：A 【分析】阴影部分的面积等于ABC 的面积减去空白处的面积即可
23、得出答案。 11 【答案】434 【解析】【解答】解：如图：连接 AE、AF、EN， 四边形 ABCD 是正方形 设 AB=BC=CD=AD=a， = = 90， 在 与 中， = = = ()， = ， 是等腰三角形， 又 ， 垂直平分 EF， = = + = + = 8 + 5 = 3， 又 = 5， = = 5， 在 中， 2= 2+ 2， ( 3)2= ( 5)2+ 82， 解得 a=20， = 20， = = 20 8 = 12， 在 中， 2= 2+ 2， = 2+ 2= 202+ 122= 434， 故答案为：434 【分析】先证明 是等腰三角形，再求出 = = + = + =
24、8 + 5 = 3， = = 5，利用勾股定理可得( 3)2= ( 5)2+ 82，求出 a 的值，再利用勾股定理求出 = 2+ 2= 202+ 122= 434即可。 12 【答案】4 【解析】【解答】解：如图，过 C 作 CEx 轴于点 E， 在直线 = 3 + 3中，令 y=0，可得 x=1，令 x=0，y=3， B（1，0） ，A（0，3） ， OBA+CBE=90 ，OBA+OAB=90 ， OAB=CBE， 在AOB 和BEC 中， OAB=CBE，AOB=BEC=90 ，AB=BC， AOBBEC， BE=OA=3，CE=BO=1， =OB+BE=4，=1， k=4， 故答案为
25、4 【分析】过 C 作 CEx 轴于点 E，先证明AOBBEC，可得 BE=OA=3，CE=BO=1，再求出点 C的坐标，最后将点 C 的坐标代入 =( 0)求出 k 的值即可。 13 【答案】3 【解析】【解答】解：如图，作 于，作 交的延长线于， 四边形 ABCD 是矩形， = 90， ， = ， = ， = ， 180 = 180 ， 即 = ， 又 = ， = ， 即是的角平分线， ， ， = ， sin =35， 设 = 3， = 5，则 = 3， 则 = 2 2= (5)2 (3)2= 4， = + = 5 + 3 = 8， sin =35， cos =45=， =54 = 10，
26、 = 2 2= 6， = 2+ 2= (3)2+ (6)2= 35， = ， = ， ， =， 即26=535， 解得 =55， = 35 = 35 55= 3 故答案为：3 【分析】作 于，作 交的延长线于，证明 可得26=535，求出 =55，即可得到 = 35 = 35 55= 3。 14 【答案】52 【解析】【解答】解：四边形和都是正方形 = 90， = 90， = = 平分 = =12 =12 90 = 45 = = 45 = ， = 同理证得 阴影部分的面积是以 P 为圆心， PD 为半径的半圆的面积 如图，连接 DO，设 = ，则 = 2 2= 2+ 2即52= 25 解得 =
27、 5 阴影部分的面积为12 (5)2=52 故答案为：52 【分析】利用全等三角形的判定与性质，勾股定理计算求解即可。 15 【答案】12 43或43 + 12 【解析】【解答】解：如图，分别过点 A、D 作 ， ，则 ， 在 和 中，由 = = 90， = ， = 30可得： = =45， = 60， = ， = 30， = = 75， = 30， 在 中， = cot = 8 cot30 = 83， = 83， 在 中， = cos = 83 cos45 = 46， = 46， 分别解 和 ，可得 = 43， = 43， = ， 又 ， 四边形 AMND 是平行四边形， ， = = 45，
28、 解 ， 过点 D 作 ， 由于 = 45， = 30，故可设 = ，则 = ， = 2， = 3， 由于 = 46，故得到3 + = 46，解得 = 62 26， = 2 = 12 43 【分析】结合图形，利用勾股定理，锐角三角函数，平行四边形的判定与性质求解即可。 16 【答案】4 【解析】【解答】解：如图，过点 D 作 DEAB 将 y=0 代入 y=x-4 中 记得 x=4 A(4，0) 在平行四边形 ABCD 中， OAD=CBA sin =45 AD=BC=5 DE=4，AE=3 OE=OA-AE=4-3=1 D（1，4） = = 1 4 = 4 故答案为：4 【分析】 先求出点
29、A 的坐标， 再利用sin =45可得 OE=OA-AE=4-3=1， 即可得到点 D 的坐标，最后将点 D 的坐标代入 =可得 k 的值。 17 【答案】10221 【解析】【解答】解： 延长 ，交 CD 于 M，连接 EM 四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，E 为 AD 边的中点 = = 90， ， ， = 2 = = ， = 1 由勾股定理得 = 22+ 22= 22 ， = ， = 同理可得 =12，= =223 将ABE 沿 BE 折叠得到 = = 1， = 90， = = 2 = = 90， = = = 设 = = 则 = 2 ， = 2 + 在 中，由勾股定理得 2+ 2
30、= 2 即 22+ (2 )2= (2 + )2 解得 =12 =32 =232=43 =827 = =10221 故答案为： 10221 【分析】先利用相似三角形的性质和判定求出 =223，设 = = ，则 = 2 ， =2 + ，再利用勾股定理可得22+ (2 )2= (2 + )2，求出 =12，再利用=232=43，求出 =827，再利用线段的和差可得 = =10221。 18 【答案】3 + 1 【解析】【解答】如图，连接 BD，作 DHAB，垂足为 H， 四边形 ABCD 是菱形， AB= AD， AD/BC， A= 60 ， ABD 是等边三角形， ABC= 180 -A= 18
31、0 - 60 = 120 ， AD= BD， ABD=A=ADB = 60 ， DBC=ABC-ABD= 120 -60 =60 ， DAE=DBF= 60 ， 在ADE 和BDF 中， AD= BD，DAE=DBF，AE= BF， ADEBDF (SAS)， DE= DF，EDA=FDB， EDF=EDB+FDB=EDB+EDA=ADB = 60 ， DEF 是等边三角形， DEF 的周长为36 ， DE=6， 设 AH =x，则 HE=2- x， AD= BD， DHAB， ADH=12ADB=12 60 =30 ， AD= 2x，DH =3x， 在 RtDHE 中，根据勾股定理，得 DH
32、2 + HE2= DE2， (3x)2 +(2-x)2= (6)2， 解得 x=1+32 (负值舍去)， AD=2x=21+32 =1 + 3， 故答案为：1+3 【分析】连接 BD，作 DHAB，垂足为 H，先证ABD 是等边三角形，再根据 SAS 证明ADEBDF，从而得出DEF 是等边三角形，根据周长求出边长 DE=6，设 AH =x，则 HE=2- x，AD= 2x，DH =3x，在 RtDHE 中，根据勾股定理建立关于 x 方程并解之，即可求解. 19 【答案】2 【解析】【解答】解：在 RtABC 中， BC=a，AC=a+3 =12 =12 a（a+3）=122+32 小正=（
33、）2= ( + 3 )2= 9 大正= 4+ 小正= 29，即 4 （122+32）9=29 解方程得：a2+3a=10 （a+32）294=10 解得：a=2（负值舍去） 故答案为：2 【分析】利用大正= 4+ 小正= 29可得 4 （122+32）9=29，求出 a 的值即可。 20 【答案】4 【解析】【解答】解：过点 E 作 ENAC 交 OB 于 N， 菱形， ACBD，OC=OA=12AC=12 16=8， AOB=90 ， OB=2 2=102 82=6， ENAC， BENBAO， =， AE=35AB， =25， 8=6=25， EN=165，BN=125， ON=OB-BN
34、=6-125=185， ENAC， MENMFO， =， F 是线段的中点， OF=12OC=4， =1654=45， MN+OM=ON=185 MN=85， BM=BN+MN=125+85=4， 故答案为：4 【分析】过点 E 作 ENAC 交 OB 于 N，先证明BENBAO，可得=，求出 EN=165，BN=125，再证明MENMFO，可得=，再将数据代入计算可得=1654=45，结合MN+OM=ON=185可得 MN 的长，最后利用线段的和差计算出 BM 的长即可。 21 【答案】（1）解： 是等边三角形 解法一：理由是：由折叠可知 EF 垂直平分 AB； AA=BA， ABG 折叠得
35、ABG， = ， = = ； 是等边三角形； 解法二：理由是：由折叠可知 =12，= ， = 90， cos =12 ， = 60， 是等边三角形； （2）解：解法一： 过点 N 作 交 AP 于 H， = ， = ， 又点 P 是 BN 的中点 ， = ， 在PHN 和PQB 中， = = = ， （AAS） ， = ， 又 ， = ， = ， ， 由折叠可知 = =12， =12 ， =12， =13； 解法二：由折叠可知 = ， 又点 P 是 BN 的中点 ， = ， 过点 N 作 交于 M， = 1，= 1， = = ， =13 【解析】【分析】 （1）根据折叠的性质可得：EF 垂直平
36、分 AB，AB=AB，再利用垂直平分线的性质可得 AA=AB，进而可证明ABA为等边三角形； （2）取 AQ 的中点 M，连接 MN，则 AM=QM，利用三角形的中位线可得 MN/AQ，结合平行线分线段成比例定理可得 BQ=QM，进而可求解。 22 【答案】（1）解：过点作 于点 E， 交延长线于点如下图 2 所示： 延长 BC 至，使= ，连接如下图 3 所示： 方法一（如图 2） ： 图 2 证明：过点作 于点 E， 交延长线于点 = = 90 又 = 90， 四边形为矩形 = 90， + = 90 = 90， + = 180， = 90， + = 90， = 在 与 中， = = = ，
37、 () = 又 ， ， 平分 方法二（如图 3） ： 图 3 证明：将 绕点逆时针旋转90至 ， = ， = ， = + = 180， + + + = 360， + = 180 + = 180 ，三点共线 又 = ， = 又 = ， = ， 平分 （2）证明：由（1）得 ， = ， = 又四边形为矩形， 四边形为正方形 = + = + = 2 = 90，平分， = 45 在中，cos =22， =22 + = 2 = 2 （3）菱形；123 【解析】【解答】(3)解： ， ， 四边形是平行四边形 = 120，平分， = =12 = 60， ， = = 60， = ， = ， 四边形是菱形 中，
38、 = = 60， = 180 = 60， 是等边三角形， = = = 53， =14， =45 =45 53 = 43 将 绕点逆时针旋转60得 ， = ， = ， = = 60 + = 180， + + + = 360， + = 180， + = 180 ，三点共线 由旋转的性质可得： ， = ， 四边形= ， = = 60， = 180 = 60， 是等边三角形， = = = 43， 作 于点 H， 则sin =， sin60 =32=43， 解得 = 6， =12 =12 43 6 = 123， 四边形= = 123， 故答案为：菱形，123 【分析】 （1）根据要求作出图形即可； 利用
39、旋转的性质及三角形全等的判定和性质求解即可； （2）先证明 + = + = 2，再结合锐角三角函数求出cos =22可得 =22，最后代入计算可得 + = 2 = 2； （3）根据菱形的判定方法和面积的计算方法求解即可。 23 【答案】（1）解：为 的直径， = 90 = ， = = 45 = 120， =12 = 60 = 180 = 180 45 60 = 75 （2）解：所求阴影面积=23 23 【解析】【解答】(2)是 的切线， FDO=90 ， 又DOB=120 ， FOD=60 ，OFD=30 ， = 22， AB=45=2222= 4， OD=2，FD=23， 所求阴影面积= 扇
40、形 =12 2 236022360 =23 23 【分析】 （1）先求出 = 45，再利用圆周角的性质求出 =12 = 60，最后利用三角形的内角和求出 = 180 = 180 45 60 = 75即可； （2）利用割补法求出阴影部分的面积即可。 24 【答案】（1）解：90 ；B；2 （2）解：45 4 【解析】【解答】(1)如图， 由题意可得在ABE 和BCF 中， AB=BC，ABE=BCF=90 ， BE=CF， ABEBCF， BAE=CBF， BEA+CBF=BEA+BAE=90 ， APB=90 ； E、F 刚出发时，P 点即点 B，E、F 到达终点时，P 点即 AC 与 BD
41、的交点 G， 由题中所给材料可以得到： 当点 E 从点 B 运动到点 C 的过程中，点 P 运动的路径是以 AB 为直径的劣弧 BG，但不是半圆或圆， 故答案为：B； 设 AB 的中点为 O，则O 半径为 4，劣弧 BG 所对圆心角为 90 ， 劣弧 BG 长度为14 2 4 = 2； (2)如图，连接 OC，与O 交于点 Q，则 CQ 的长度即为所求 CP 的最小值， 由勾股定理可得：OC=42+ 82= 45， CQ=OC-OQ=45 4，即 E、F 运动过程中，CP 的最小值为45 4 【分析】 （1）由题意及正方形的性质得出 BE=CF，AB=BC，ABE=BCF=90 ，进而证明AB
42、EBCF，得出BAE=CBF，进而得到APB=90 ； 由APB=90 ，得出点 P 为以 AB 为直径的圆上的动点，当点 E 与点 B 重合时，点 P 与点 B 重合，当点 E 与点 C 重合时，点 P 在对角线 AC，BD 的交点，得出点 P 运动的路径是以 AB 为直径的圆弧，即可得出答案； 利用弧长公式进行计算即可得出答案； （2）由于点 P 运动的路径是以 AB 的中点为圆心的弧长，再利用弧长公式计算即可。 25 【答案】（1）3AE4CG 或 =43或34 = 或=43等 （2）解：解：如图，过点 E 作 EHAD 于点 H， 在 RtEDH 中，EDA60 ， =12 =12 8
43、 = 4， =12 =12 4 = 2， = sin = 4 sin60 = 23， AHADHD826， 在 RtAHE 中，根据勾股定理可得 = 2+ 2=62+ (23)2= 43； 3AE4CG 或 =43= 或34 = 或=43等， 证明如下： 由题可知：ADCCDG60 ，=12，即=， ADECDG， =86=43， 即 3AE4CG 或 =43= 或34 = 或=43等； （3）解： =313+32，APC60 【解析】【解答】(1)解：点 E、G 分别是 AD 和 DC 边的中点， = =12， = =12， 在平行四边形 ABCD 中，ADCB60 ，CDAB6，AD8，
44、= = 4， = = 3， =43， 故答案为：3AE4CG 或 =43或34 = 或=43等 (3)过点作 于，如图所示： = = 60， + = + ， = ， =， ， = ， = ， 在平行四边形 DEFG 中， ， = = 60， = 60， = 30， =12 =32， = 2 2=323， = 2 2=3213， 即 = + =3213 +32， = ， = ， + + = 180， + + = 180， = ， = 60 【分析】 （1）先求出 = = 4， = = 3，可得=43，即可得到答案； （2）过点 E 作 EHAD 于点 H，先求出 EH 和 AH 的长，再利用勾股
45、定理求出 AE 的长即可； 先证明ADECDG，可得=86=43，即可得到 AE 和 CG 的关系； （3）过点作 于，先证明 可得 = ， = ，再求出 =12 =32， = 2 2=3213，再利用线段的和差可得 CG 的长，最后利用角的运算可得 = 60。 26 【答案】（1）证明：四边形是正方形， = = 90 四边形是正方形， = 90 四边形是矩形 （2）=22 证明：如答图，连接，过点 O 作 于点 G，延长交于点 F 正方形绕点 O 按顺时针方向旋转得到正方形， = = =12 四边形是正方形， = = = 90，= = 45 又= 90， 四边形是矩形 = 90， = =12
46、 在 中， = 90， = 45， cos =， cos45 = = 2 =22（或= 2） （3）解：的度数为45 如图，连接、 点 O 为旋转中心 = ， = ， = = = + = 180 + = 180 点、四点共圆 = 在正方形中，为正方形的对角线 = 45 = 45 = 45 【解析】【分析】 （1）先求出 = = 90，再证明求解即可； （2）结合图形，利用旋转的性质，锐角三角函数计算求解即可； （3）利用相似三角形的判定与性质计算求解即可。 27 【答案】（1）解： = （2）解： （1）中结论成立，理由如下： 证明：四边形和四边形是菱形， = ， = = ， = = 在 和
47、中， = = = ， () = （3）解： = ， ，理由如下： 理由如下：如图，延长与的延长线交于点 四边形和四边形是菱形， = = 90， 菱形和菱形是正方形 = ， = ， = = = 90， = ， = = 在 和 中， = = = ， () = ， = = = 90， + = 90 + = 90 在 中， = 180 ( + ) = 90 【解析】【解答】解：(1) = ，理由如下： 四边形 ABCD 和四边形 AEFG 都是菱形， AB=AD，AE=AG， 又BAE=DAG， BAEDAG（SAS） ， BE=DG； 【分析】 （1）先利用“SAS”证明 BAEDAG 可得 BE=DG； （2）方法同（1） ，先利用“SAS”证明 ，再利用全等三角形的性质可得 = ； （3）先利用“SAS”证明 可得 = ， = ，从而得到 = ，再结合 = 90可得 + = 90，最后利用三角形的内角和可得 = 180 ( +) = 90，从而得到
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