1、无理方程和二元二次方程及方程组知识结构模块一：无理方程知识精讲1、 方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程有理方程和无理方程统称为初等代数方程，简称代数方程2解无理方程的一般步骤是去根号，方法是两边同时平方，注意要检验增根的情况检验方程的增根从两方面出发：（1） 根号有意义的条件；（2） 方程左右是否相等例题解析【例1】 下列方程是哪些是无理方程? （1）；（2）；（3）； （4）； （5）； （6）【难度】【答案】（1），（2），（4）【解析】方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程根据无理方程的概念，（1），（2），（4）是无理
2、方程（3），（5），（6）中被开方数中没有未知数，不是无理方程其中（3）是一元二次方程，是整式方程；（5），（6）都是分式方程【总结】考察无理方程的基本概念【例2】 判定下列方程是否有实数根：（1）；（2）（p为实数）【难度】【答案】（1）有实数根；（2）没有实数根【解析】根据无理方程有意义的条件，要同时满足，得到：， 代入原方程，左边右边，方程成立，所以该方程有实数根 （2）中，方程左边，而右边，所以，左边右边，故方程没有实数根【总结】考察无理方程有意义的前提条件与方程的实数解的关系【例3】 将下列无理方程化成有理方程： ；【难度】【答案】；【解析】方程中只有一个根号，左右两边同时平方，得，
3、整理得：； 方程中根号里面部分与根号外面部分有倍数关系，所以设 ，则，所以原方程可转化为，化简整理得：【总结】考察解无理方程的思想，即化无理方程为有理方程【例4】 解下列无理方程：； （1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）方程是则得的形式，所以解（1）方程得并且还要保证，解得：，又因为当时，没意义，所以经检验是原方程的根（2）方程只含一个根号，所以整理为，等号两边同时平方去根号得：，整理得，得，经检验都是原方程的根【总结】考察无理方程的基本解法，注意不要忘了最后一步检验所得解是否是增根【例5】 解下列无理方程：（1）；（2）；（3）【难度】【答案】（1）；（2）；（3）【解
4、析】（1）方程含两个根号，要尽量分散在等号的两边，原方程整理为，等号两边平方得，整理得，再等号两边平方得，整理得：，从而，得：，经检验是原方程的根，是原方程的增根；（2） 原方程整理为，等号两边平方得，整理得，等号两边再平方得，整理得，从而，得：经检验都是原方程的根；（3） 方程含3个根号，通过观察方程先整理为，然后等号两边平方得，整理得：，等号两边平方得，整理得，从而，经检验是原方程的根【总结】考察含有两个根号或者三个根号无理方程解法，注意最后要验根【例6】 解下列方程： （1）； （2）【难度】【答案】（1）；（2）x=3【解析】（1）整理得，等号两边平方得 ，整理得，等号两边平方得，整理
5、得：，解得：经检验是原方程的根； （2）方程整理得，为等号左边0，所以右边0，当x=3时，方程成立，当x3时，可得，等号两边平方得，整理得，因为0，所以而左边，所以方程无解综上，原方程的解为x=3【总结】考察含有多个根号的无理方程的解法，注意解完之后进行检验【例7】 若方程有一个根x=1，求m的值及方程的其他的根【难度】【答案】为一切非负数【解析】把代入原方程，得，等号两边平方得，整理得，从而，解得：，经检验是原方程的根把代入原方程，整理得，所以为一切非负数【总结】考察无理方程的根的意义，及解无理方程的方法【例8】 解下列方程：（1）；（2）；（3）【难度】【答案】（1）；（2）；（3）【解析
6、】（1）设，则，原方程可转化为，化简整理得：，从而，因为，解得：，即，等号两边平方得，解得：，经检验是原方程的根；（2）原方程可转化为，设，原方程可转化为，整理得，从而，因为解得，即，等号两边得，解得：，经检验是原方程的根；（3）原方程可以转化为，因式分解， 得：，当时，解此无理方程得：经检验是原方程的根；当，解此无理方程得：，经检验是原方程的根，综上所述原方程的根是：【总结】考察利用换元法求无理方程的解，求解后注意进行验根【例9】 解方程：；【难度】【答案】【解析】因为，所以原方程可以转化为，可得，从而因式分解可得，因为，可得，即，解此无理方程可得，经检验是原方程的根【总结】考察整体换元法解
7、无理方程，综合性较大，注意认真分析方程的特点【例10】 用换元法解无理方程：【提示：】【难度】【答案】无实数根【解析】设，则有，又，所以有，得即，得，解此方程可得：， 经检验不是原方程的根，故原方程无实数根【总结】考察利用换元法解特殊无理方程，注意对所求得的根进行检验【例11】 解方程：【难度】【答案】【解析】）设，则，原方程可转化为，化简整理得：，从而， 因为，解得：，即，等号两边平方得，因式分解得，解得：，经检验是原方程的根【总结】考察利用换元法解无理方程，注意对方法的提炼【例12】 设实数、z满足，求、的值【难度】【答案】【解析】原方程可转化为，即，得，解得：，经检验满足原方程【总结】考
8、察几个非负数的和为零的基本模型，注意根据题目中的条件先进行配方模块二：二元二次方程及方程组知识精讲1、 仅含有两个未知数，各方程是整式方程，并且含有未知数的项的最高次数为2像这样的方程组叫做二元二次方程组2、 能使二元二次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元二次方程的解3、方程组中所含各方程的公共解叫做这个方程组的解例题解析【例13】 下列方程是二元二次方程的有（）个 ； ； ； A1B2C3D4【难度】【答案】【解析】是分式方程；，是二元二次方程是二元三次方程【总结】考察二元二次方程的基本概念【例14】 下列方程组中，不是二元二次方程组的是（）A；BC；D【难度】【答案】【解析】是
9、无理方程，二元二次方程是有理方程【总结】考察二元二次方程组的基本概念【例15】 解下列方程组：（1）；（2）；（3）；（4）【难度】【答案】（1）；（2）； （3）；（4）【解析】（1）由，可得，代入式得，整理得，解得：，分别代入得，所以原方程组的解为（2）由可得，所以原方程组可分解为，分别解这两个方程组可得原方程组的解为：；（3）式可转化为，把整体代入，得，所以原方程组可分解为两个方程组，分别解这两个方程组可得原方程组的解为：；（4）式可分解为，所以原方程组可转化为，分别解这两个方程组可得原方程组的解为：【例16】 解下列方程组：（1） ；（2）；（3）【难度】【答案】（1）；（2）； （3
10、）【解析】（1）由得，代入整理得，解得：， 代入，得：，所以原方程组的解为； （2）由因式分解得，由得，可知， 所以原方程组可以转化为四个方程组， 分别解这四个方程组得原方程组的解为：； （3）由可得，即， 所以原方程组可以转化为两个方程， 分别解这两个方程组得原方程组的解为：【总结】考察二元二次方程组的解法，注意代入法和因式分解法的灵活运用【例17】 若方程组有实数解，求实数k的取值范围【难度】【答案】【解析】由得，代入式得，整理得，因为方程组有实数解，所以，即，得，即【总结】考察二元二次方程组有实数解的应用，最终转化为一元二次方程有实数解的问题【例18】 若二元二次方程组有唯一解，求实数的
11、值及方程组的解【难度】【答案】【解析】把代入中，得，整理得，因为方程组有唯一解，故可分为两种情况：当时，即，此时方程为一元一次方程，有唯一解，当时，代入，得：；当时，代入，得：当时，方程有唯一解，即，即，整理得，此方程无实数根综上【总结】考察二元二次方程组有唯一解的应用，注意从多个角度进行分类讨论【例19】 解方程组： （1）； （2）【难度】【答案】（1）； （2）【解析】（1）由可因式分解得， 从而得，所以原方程组可以转化为两个方程组，分别解这两个方程组得原方程组的解为：；（2）由可因式分解为，由得，所以原方程组可以转化为分别解这四个方程组可得原方程组解为：【总结】考察复杂二元二次方程组的
12、解法，注意方法的灵活运用【例20】 解方程组： （1）；（2）【难度】【答案】（1）； （2）【解析】（1）原方程组可以转化为，设，则原方程组可转化为，由韦达定理，设以为两根的方程为，因式分解得，解得：，所以，即，再分别解这两个方程组得原方程组的解为：；（2）原方程组可以转化为，所以设以和为两个实数根的一元二次方程为，从而因式分解为，得：即或，用同样方法解方程组，得：，同理解方程组，得，综上，原方程组的解为：【总结】考察利用整体换元法求二元二次方程组的解，注意对方法的归纳总结【例21】 设方程组的解是，求和的值【难度】【答案】；【解析】把方程组中代入中，得，整理得，由韦达定理知，所以，【总结】
13、考察二元二次方程组的应用，利用方程组的解再结合韦达定理求出相应的值【例22】 解下列方程组： （1）； （2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）由8-5得，整理得，因式分解得：，解得：；当时，代入，得，解得：，从而得方程组的解为：；同理当时，解得方程组的解为：综上，原方程组的解为；（2） 观察到方程组中前面三个二次项的系数成倍数关系，所以3-2，得：，整理得：，代入，得，整理得：，解得：，所以，综上原方程组的解为：【总结】考察特殊二元二次方程组的解法，注意对两种方法的总结以及所适应的方程的特征的归纳【例23】 解方程组：【难度】【答案】【解析】观察两个方程，+得，从而，-得，即，与联
14、立相加得：，解得，；把代入式中得，整理得：，得，得，从而得原方程的解为；同理把代入式中得，解得：，代入，得，故原方程组的解为：【例24】 解方程组：【难度】【答案】【解析】设，则，原方程组可转化为，因为，所以可得，又因为，联立得，即，根据韦达定理设以为两实数解的一元二次方程为，因式分解得，得所以方程组的解为即原方程组的解为【总结】考察利用整体换元法解二元二次方程组，综合性较强【例25】 已知方程组（1）求证：不论为何值时，此方程组一定有实数解；（2）设等腰ABC的三边长分别为，其中，且，是该方程的两个解，求ABC的周长【难度】【答案】（1）见解析；（2）10【解析】（1）将代入，得， 整理得，
15、所以不论为何值时，此方程组一定有实数解；（2）可分为两种情况，或者第一种情况，即方程组有两个相等的实数根，可知，从而，由韦达定理得，此时不能构成三角形，舍去；第二种情况，将代入，得，由韦达定理得，可得：，此时能构成三角形，故周长=4+4+2=10【总结】考察二元二次方程组的应用及对方程组有解的准确理解【例26】 已知方程组只有一组实数解，求a的值【难度】【答案】或【解析】由，知，由可知，把代入，可得，整理得，当时，整理得，因式分解得，解得：当时，得，解得：，经检验是原方程根；当时，得，解得：，经检验是原方程增根 当有两个异号实数根时，则0且2a+120且a0，2a+12=0，综上所述：或【总结
16、】本题综合性较强，考察二元二次方程组的唯一解的应用，注意从多个角度去分类讨论随堂检测【练习1】 下列方程是哪些是无理方程?（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）【难度】【答案】（1）（2）（3）（4）（6）【解析】无理方程的概念即被开方数是涵未知数的代数式，根据概念可知只有（5）不符合要求【总结】考察无理方程的基本概念【练习2】 不解方程试说明下列方程为什么没有实数根？ （1）；（2）【难度】【答案】见解析【解析】（1）有题意知且，两不等式无交集，所以方程无实数根 （2）由题意知，且，要，只有0+0=0， 此时且，不符合实际情况，所以无实数根【总结】考察无理方程中增根的理解，即要注意验
17、根【练习3】 （1）若关于的方程有实数根，则的取值范围是_； （2）将化成整式方程是_【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题知，所以； （2）由题知，原方程可转化为， 即【总结】（1）考察无理方程中增根的产生过程，解无理方程中一定要验根（2）考察解无理方程的一般方法【练习4】 下列方程组中哪一个是二元二次方程组（） AB C D【难度】【答案】B【解析】二元二次方程组是含两个未知数，且最高次为两次的整式方程组A中最高次为1次;C 中含，是无理方程；D中分母中含未知数，为分式方程所以答案是B.【总结】考察二元二次方程组的基本概念【练习5】 由方程组，消去后得到的方程是_【难度】【答案】
18、【解析】由得代入中得，整理得【总结】考察代入消元法解二元二次方程组的方法【练习6】 解下列方程： （1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题得，两边同时平方得，整理得，因式分解得，从而得，经检验，是原方程的解；（2）由题得，两边同时平方得，整理得，因式分解得，从而得：经检验是原方程的解，是增根【总结】考察无理方程的基本解法，注意最后要验根【练习7】 解下列方程： （1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）由得，代入中得，整理得，因式分解得，解得：，代入，得，所以原方程组的解为；（2）由得，代入中得，整理得，因式分解得，得，故得：，所以原方程组的解为【总结】考
19、察二元二次方程组的方法，注意对代入法的正确理解及运用【练习8】 解下列方程组： （1）； （2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）由得，代入得，整理得，因式分解得：，解得：，代入中得综上原方程组的解为：；（2）由得，所以原方程组可转化为和两个方程组，分别解上述两个方程组得方程组的解为：【总结】考察利用因式分解法求二元二次方程组的解【练习9】 解下列方程： （1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）原方程可以转化为，设，则，原方程可以转化为，整理为，因式分解为，因为，所以，即，整理得，因式分解为，得，经检验是原方程的解；（2）原方程可以转化为，整理得，从而因式分解为，所
20、以原方程可以转化为或者两个方程解得，；解，即，解得，经检验是方程的增根，综上是原方程的根【总结】考察利用整体换元法解无理方程，注意解完后要验根【练习10】 解下列方程组： （1）；（2）【难度】【答案】（1）； （2）【解析】（1）由因式分解得，得把代入式整理得，解得：，所以原方程组的解为；把代入式整理得，解得：，所以原方程组的解为； 综上原方程组的解为；（2）由可整理为，因式分解为；由因式分解为，所以原方程组可转化为，分别解这四个方程组得原方程组的解为：【总结】考察二元二次方程组的解法，能因式分解的尽量因式分解来降次，从而转化为次数低些的方程组来求解【练习11】 解方程：【难度】【答案】【解
21、析】观察方程，可以转化为，从而得，因式分解为，因为，所以只有，解这个无理方程得，经检验是原方程的解【总结】考察复杂方程的解法，注意整体变形，解完后要检验【练习12】 解方程：【难度】【答案】【解析】由得，由得，则，解得：，所以原方程组的解为；当，得，代入整理得，解得：，代入得，综上原方程组的解为【总结】考察复杂二元二次方程组的解法，注意进行方法的归纳总结【练习13】 已知方程组有两组实数解和，且，设（1） 求m的取值范围；（2） 试用关于m的代数式表示出n；（3） 是否存在这样的值m，使n的值等于-2，若存在，求出这样的所有的m的值；若不存在，请说明理由【难度】【答案】（1）；（2）；（3）【
22、解析】（1）把代入得，整理得，此一元二次方程有两个实数根，所以，即，得，因为，即两个解都不为0，所以可得，综上；（2），由韦达定理知，代入，整理得（3）因为，即，整理得，解得：，因为，所以【总结】考察二元二次方程组的解的应用，综合性较强，注意韦达定理的熟练用课后作业【作业1】 用换元法解无理方程时，如果设，将原方程化为关于的整式方程，那么这个整式方程是_【难度】【答案】【解析】，则，所以，则无理方程 可以转化为，整理得【总结】考察换元法解无理方程的方法【作业2】 下列方程哪些是二元二次方程：， ，_【难度】【答案】【解析】二元二次方程的概念是含两个未知数且 最高次是2次的整式方程由此可以判断因
23、 为只含有一个未知数，不是二元二次方程是分式方程，也不是二元二次方程【总结】考察二元二次方程的基本概念【作业3】 方程组的一组解是（）A BC D【难度】【答案】C【解析】观察知，整理得，解得， 代入，得，从而原方程组的解为所以答案选C【总结】考察方程组的解的概念【作业4】 下列方程有无实数根?并说明理由（1）；（2）；（3）； （4）【难度】【答案】见解析【解析】（1），所以，所以无实数根； （2）由被开方数的意义知，得，又因为等号左边0，所以等号右边0，即，得与冲突，所以方程无实数根；（3）由被开方数的意义知由，得；由得两者冲突，所以方程无实数根；（4）由被开方数的意义知，所以只有即等号的
24、左边=0+0右边=1，所以方程无实数解【总结】考察无理方程有实数根的条件，所以解完方程要注意验根【作业5】 解下列方程组 （1）；（2）【难度】【答案】（1）； （2）【解析】（1）由因式分解得，所以原方程组可以转化为和两个方程组，分别解这两个方程组得方程组的解为：；（2）由得，所以原方程组可以转化为或，分别解这两个方程组得方程组的解为：【总结】考察二元二次方程组的解法，注意代入法和因式分解法的灵活运用【作业6】 解下列方程： （1）； （4）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）整理得，两边平方并整理得：，解得：，经检验，都是原方程的两个根；（2）整理得，即，因式分解得，因为，所以，解
25、得：，经检验都是原方程的根【总结】考察无理方程的解法，注意解完后要验根【作业7】 解方程：【难度】【答案】【解析】观察方程，先分母有理化，化简得，整理得，两边平方得并整理得：，解得：，经检验是原方程的根【总结】考察无理方程的解法，注意验根【作业8】 解下列方程： （1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】(1)由因式分解得，由因式分解得，所以原方程组可转化为或或或，分别解这四个方程组得原方程组的解为；（2）由因式分解得，由整理得，因式分解得，所以原方程组可转化为或或或，分别解这四个方程组得原方程组的解为：【总结】考察利用因式分解法解二元二次方程组【作业9】 解下列方程或方程组： （1
26、）； （2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）设,则，所以原方程可转化为 ，整理为，因式分解为，因为，所以代入中，两边平方得，整理得，因式分解为，得，经检验都是原方程的解；（2）得，整理得，因式分解为，从而得或者所以原方程组可以转化为和两个方程，分别解这两个方程组得原方程组的解为：【总结】考察方程(组)的解法，注意无理方程解完后要检验【作业10】 若关于x、y的方程组恰有两个不同的实数解，求实数a的范围【难度】【答案】【解析】由得代入，得，整理得， 当方程有两个相等的正实数根时，则两解，当方程有两个不相等的实数根，且两根异号，则，-1a1，综上或-1a1【总结】考察二元二次方程组的应用
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