1、特殊三角形的存在性内容分析本节以一次函数为背景，结合三角形的相关知识，解决特殊的三角形的存在性问题要用到分类讨论的思想，对想象力、分析能力和运算能力都有要求，根据题目中的条件利用等腰三角形或直角三角形的性质进行合理的转化建立方程求解知识结构模块一：存在全等三角形知识精讲全等三角形的存在性问题考察了全等三角形的性质，利用边的关系结合两点间的距离公式构造等量关系，主要的题型是求点的坐标例题解析【例1】 如图，直线AB与x轴、y轴分别交于点A，点B，已知A(2，0)，B(0，4)，线段CD的两端点在坐标轴上滑动（点C在y轴上，点D在x轴上），且CD=AB（1）求直线AB的解析式；（2）当点C在y轴负
2、半轴上，且COD和AOB全等时，求点D的坐标ABOCyx【难度】【答案】见解析【解析】（1）直线AB与x轴、y轴分别交于点A，点B，且A(2，0)，B(0，4)，利用待定系数法，可得：直线AB的解析式为；（2） A(2，0)，B(0，4)，即，COD和AOB全等，OD =2或OD =4， D点的坐标为(2，0)或(4，0)或(2，0)或(4，0)【总结】本题一方面考察一次函数解析式的求法，另一方面考察有关全等的运用，由于没有对应关系，注意要分类讨论【例2】 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A，点B，点P(x，y)是直线AB上一动点（点P不与点A重合），点C的坐标为(6，0)
3、，O是坐标原点，设PCO的面积为S（1）求S与x之间的函数关系式；（2）当点P运动到什么位置时，PCO的面积为15；ABCOPxy（3）过点P作AB的垂线与x轴、y轴分别交于点E，点F，是否存在这样的点P，使EOFBOA?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【难度】【答案】见解析【解析】（1）直线与x轴交于点A， 点P(x，y)是直线上一动点，当时， 当时，；（2） 令， 当时，解得：，此时，P (3，5)， 当时，解得：，此时，P (13，5)； （3）EOFBOA， 当E(8，0)，F(0，8)时，则直线EF的解析式为， 令， 解得：，； 当E(8，0)，F(0，8)时，则直线EF
4、的解析式为， 令， 解得：， 综上，当EOFBOA时，点P的坐标为或【总结】考察动点与面积的结合及全等三角形的性质的综合应用，注意进行分类讨论模块二：存在等腰三角形知识精讲等腰三角形的分类讨论是压轴题中一个热门考点，本类题目均和图形运动有关，需要学生有较强的逻辑思维能力，能够根据运动的性质，把最终的图形画出，利用分类讨论的思想，结合题目中的已知条件建立等量关系例题解析【例3】 直线与轴、轴分别交于点A、B，点A坐标为（，0），ABOCFD将轴所在的直线沿直线翻折交轴于点，点F是直线AB上一动点（1）求直线的解析式；（2）若，求的长；（3）若是等腰三角形，直接写出点的坐标【难度】【答案】见解析【
5、解析】（1）点A坐标为（，0），B（0，），直线的解析式为：；（2） 延长CF交轴与点D轴所在的直线沿直线翻折交轴于点，A（，0）， ， ，CAFDAF， CD=AC=6， CAD为等边三角形， CF=DF， ；（3）点，设当AO = OF时，解得：或，此时或（舍去）；当AO=AF时，解得：或，此时或；当FO=AF时，解得：，此时综上所述：点的坐标为：或或或【总结】考察一次函数解析式的求法和等腰三角形的分类讨论，注意利用两点距离公式将等腰三角形的问题转化为解方程进行求解【例4】 如图，平面直角坐标系中，函数y=2x+12的图像分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A的直线交y轴的正半轴于点M，且点
6、M为线段OB的中点（1）求直线AM的解析式（2）P为直线AM上的一个动点，是否存在这样的点P，使得以P、B、M为顶点的三角形为等腰三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由ABMOxy【难度】【答案】见解析【解析】（1）函数y=2x+12的图像分别交x轴、y轴于A、B两点，B（0，12），A（6，0），点M为线段OB的中点，M（0，6），直线AM的解析式为；（2）P为直线AM上的一个动点，P（，），当时，解得：，此时P（，），或P（，）；当时，解得：或，此时P（0，6）（舍去）或P（6，12）；当时，解得：，此时P（3，9）；综上所述：P（，）或P（，）或P（6，12）或P（3，9）
7、【总结】考察一次函数解析式的求法和等腰三角形的分类讨论，注意利用两点距离公式将等腰三角形的问题转化为解方程进行求解【例5】 如图，函数的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，以线段AB为边在第一象限内作等边ABC（1）求点C的坐标；（2）将ABC沿着直线AB翻折，点C落在点D处，求直线AD的解析式；ABCOxy（3）在x轴上是否存在E，使ADE为等腰三角形?若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由【难度】【答案】见解析【解析】（1）函数的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点， ， 等边ABC， ，；（2），D在y轴上， 直线AD的解析式为：；（3）设E（，0），则，当时，解得：，此时E（
8、，0），或E（，0）；当时，解得：，此时E（，0），或E（，0）（舍去）；当时，解得：，此时E（，0），综上所述，满足条件的E点坐标为：（，0）或（，0）或（，0）或（，0）【总结】本题主要考察一次函数解析式的求法和等腰三角形分类讨论，注意对直角三角形性质的运用【例6】 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线：与轴、轴的正半轴分别相交于点A、B，过点C(4，4)作平行于轴的直线交AB于点D，CD=10（1）求直线的解析式；（2）求证：ABC是等腰直角三角形；B A C O D y x （3）将直线沿轴负方向平移，当平移恰当的距离时，直线与，轴分别相交于点A、B，在直线CD上存在点P，使得
9、ABP是等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标【难度】【答案】见解析【解析】（1）过点C(4，4)作平行于轴的直线 交AB于点D，CD=10，解得：，直线的解析式为：；（2）直线：与轴、轴的正半轴分别相交于点A、B，A(8，0)，B(0，4)，ABC是等腰直角三角形；（3）， （通过ABP是等腰直角三角形构造全等三角形）【总结】考察等腰三角形的证明及一次函数解析式的确定【例7】 如图所示，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，）（0）P是直线AB上的一个动点，作PC轴，垂足为C记点P关于轴的对称点为（不在轴上），连接P、A、C设点P的横坐标为（
10、1）当时，求直线AB的解析式；（2）在（1）的条件下，若点的坐标是（1，），求的值；ABCDOPPxyH（3）若点P在第一象限，是否存在，使AC为等腰直角三角形?若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由【难度】【答案】见解析【解析】（1）点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3），直线AB的解析式为；（2） 若点P的坐标是（1，），则点P的坐标是（1，），；（3） 若，过作轴于点，解得：；若，则，解得：；若，则、都在第一象限内，这与条件矛盾，此时PAC不能为等腰直角三角形综上所述：或【总结】本题解题思路比较简单，主要考察等腰直角三角形的性质和一次函数解析式的求法，解题时注意进
11、行分析【例8】 如图，矩形ABCD中，P是边AD上的一动点，联结BP、CP，过点B作射线交线段CP的延长线于点E，交直线AD于点M，且使得PBECBP如果AB2，BC5，APx，PMy（1）当AP3时，求PM的值；（2）当点M在线段AD上时，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；ABCDEPM（3）如果EBC是以EB为腰的等腰三角形，求AP的长【难度】【答案】见解析【解析】ADBC，PBEMPBPBECBP，PBEMPB，（1）在直角ABM中，则，解得：，即；（2）在直角ABM中，则，解得：（）；（3） 当时，可得：，则可得：AMBDPC，（负值舍去）， ；当时，可得：，在直角ABM中，则
12、， ， ， 解得：或综上所述，或或【总结】本题主要考察等腰三角形的分类和勾股定理的综合应用，注意进行分类讨论以及方法的综合运用【例9】 如图，已知梯形ABCD中，ABCD，C90，AECD，点F是射线BC上一点，FGAD，垂足为点G，FG交线段AE于点H，AB12，CD17，AD13（1）求梯形ABCD的面积；（2）当点F在线段BC上时，设CFx，AHy，求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围；ABCDEFGHM（3）若BHF是以BH为腰的等腰三角形，请直接写出AH的长【难度】【答案】见解析【解析】（1）在直角ADE中，；（2） 过H作HMBCFGAD，AEDHM，四边形ABMH是矩形，即
13、（）；（3） 当点F在线段BC上时，当时，即，解得：，；当时，即，解得：，舍去；当点F在线段BC延长线上时，当时，即，解得：，舍去；当时，即，解得：，综上所述，或【总结】本题综合性较强，主要考察等腰三角形的分类讨论，注意从多个角度考虑【例10】 如图，在等腰梯形ABCD中，AD/BC，E是AB的中点，过点E作EF/BC交CD于点F，AB4，BC6，B60（1）求点E到BC的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过点P作PMEF交BC于点M，过点M作MN/AB交折线ADC于点N，联结PN，设EPx，当点N在线段AD上时（如图1），PMN的形状是否发生变化?若不变，求出PMN的周长；若改变，请说
14、明理由；当点N在线段DC上时（如图2），是否存在点P，使PMN为等腰三角形?若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由ABCDEFPNMABCDEFFEPMNABCDGH 图1 图2 备用图【难度】【答案】见解析【解析】（1）过点E作EGBC于点GE是AB的中点，AB4， ，B60，点E到BC的距离为；（2） 当点N在线段AD上时（如图1），PMN的形状不发生变化EGBC，PMEF，四边形EPMG为矩形，也可得：过点P作PHMN于点HMN/AB，PMN的周长为；当点N在线段DC上时（如图2），PMN的形状发生改变，但CMN恒为等边三角形当PM=PN时，作PRMN于R，则MR=NR
15、，CMN恒为等边三角形，此时，；当NM=PN时，则，点P与点F重合，PMC为直角三角形，此时，；当NM=PM时，MNC为等边三角形，此时，综上所述：或或【总结】本题主要考察等腰三角形的分类和直角梯形的性质及勾股定理的综合运用，注意对N点的位置进行多重考虑【例11】 如图1，在边长为4的正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），BPEACB，PE交BO于点E，过点B作BFPE，交PE延长线于点F，交AC于点G（1）当点P与点C重合时（如图1），求证：OG=OE；（2）猜想线段BF与PE有怎样的数量关系，并结合图2证明你的猜想；ABC（P）DEFGOMOABCDFG
16、P图1图2EN（3）联结PG，是否存在等腰GBP，若存在，请直接写出满足条件的BP的长，若不存在，请说明理由【难度】【答案】 见解析【解析】（1）BFPE， ，BOGCOE，OG=OE；（2） 过P作PMAC交BG于M，交BO于NPMAC，BPEACB，BPEBPM， PMFPBF，MF=BF，PMAC， ， MBNEPN， MF=BF，；（3）边长为4的正方形ABCD中，由（1）可知：，当时，过G作GHBC于H在直角三角形GHC中，；当时，；当时，P与C重合，；综上所述，存在等腰GBP，此时或或【例12】 如图1，已知矩形ABCD中，AB8，点M在边BC上，且BM6，点P在边AD或DC上，联
17、结AM、AP、MP，设ADx（1）如图1，当SABMS四边形ADCM37时，求x的值；（2）如图2，当x8时，如果AMP为等腰三角形，求AMP的面积；（3）直接写出使得AMP为等腰三角形的点P最多有几个?并指出使得点P个数最多时x的取值范围ABCDMMMABCDABCD 图1 图2 备用图【难度】【答案】见解析【解析】（1）SABMS四边形ADCM37时，解得：；（2） 当x8时，四边形ABCD是正方形，且当时，此时P点在线段DC上，ABMADP，当时，此时P点与A重合，AMP不存在，舍去当时，此时P点在线段DC上，设，则，解得：，则， ；（3） 当时，以A为圆心，AM的长度为半径画圆，与AD
18、或BC的交点即为P 当时，以M为圆心，AM的长度为半径画圆，与AD或BC的交点即为P 当时，此时P点在线段AB垂直平分线与AD或BC的交点 故最多有4个交点，此时【总结】考察矩形背景下的面积问题及等腰三角形的存在性，注意进行分类讨论【例13】 如图1，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在边AB、BC上，EOF90（1）求证BECF；（2）如图2，如果OG平分EOF，与边BC交于点G，请你猜想BG、CF和GF之间的数量关系，并证明；（3）设正方形ABCD的边长是，当点E在AB边上移动时，图2中的GOF可能是等腰三角形吗?如果可能，请求出线段BG的长；如果不可能，请说
19、明理由ABCDEFGOOABCDEFABODC 图1 图2 备用图【难度】【答案】见解析【解析】（1）四边形ABCD是正方形，EOF90，BECF；（2），GEGF；，GEGF，BECF，；（3） 存在当时，BGCF；正方形ABCD的边长是，正方形ABCD的边长是，；当时，此时E与B重合，F与C重合，则；当时，此时G与B重合，则，综上所述，或或【总结】本题主要考察正方形的性质及等腰三角形的分类讨论，注意进行分析【例14】 已知：梯形ABCD中，ABCD，BCAB，AB=AD，联结BD（如图1)，点P沿梯形的边，从点ABCDA移动，设点P移动距离为x，BP=y（1）求证：A=2CBD；（2）当点
20、P从点A移动到点C时，y与x的函数关系如图2中的折线MNQ所示，试求CD长；（3）在（2）的情况下，点P从点ABCDA移动过程中，BDP是否可能为等腰三角形?若能，请求出所有能使BDP为等腰三角形的x的取值，若不能，请说明ABCD5 MNyOQ8xEF理由【难度】【答案】见解析【解析】（1）过A作，垂足为EAB=AD，；（2）由图像可知：，过D作，垂足为F可得，;（3）当点P在AB上时，当时，由等腰三角形三线合一可得：，则；当时，；当时，此时P与A重合，；当点P在BC上时，时，解得：；当P在CD上时，不存在等腰三角形当P在DA上时，当时，；当时，由等腰三角形三线合一可得：，则；当时，此时P与A
21、重合，；综上所述：或或或或或或【总结】本题综合性较强，一方面考查对几何图形的认识，另一方面考查对函数图像的理解，从而得出相应的线段长，在考求有关等腰三角形的问题时，注意要进行分类讨论模块三：存在直角三角形知识精讲 直角三角形的特征非常明显，在平面直角坐标系内，直角三角形中一般有两个顶点是确定的，另一个顶点在某个函数图像上，通常用两点间的距离公式表示出第三条边后再讨论三角形的哪个角有可能是直角，根据这个直角的条件结合题目条件进行计算，此类综合题需要用到的知识较多，需要考察学生的思维、分析能力例题解析【例15】 如图，矩形AOBC在直角坐标系中，已知点A的坐标为(0，3)，点B的坐标为(6，0)，
22、直线y=x与AC交于点D有一动点P从O出发，沿线段OB以每秒2个单位长度的速度运动，当点P运动到点B时，点P停止运动，设运动时间为t秒（1）当t为何值时，为直角三角形?（2）当t为何值时，为等腰三角形?【难度】【答案】见解析【解析】（1）点A的坐标为(0，3)，点B的坐标为(6，0)，直线AB的解析式为令， 则，当时，解得：；当时，解得：；（2） 当时，有三线合一可得：，解得：；当时，；当时，解得：【总结】考察等腰三角形和直角三角形的分类讨论，注意方法的归纳总结【例16】 如图所示，直线L与轴、轴分别交于A（6，0）、B（0，3）两点，点C（4，0）为轴上一点，点P在线段AB（包括端点A、B）
23、上运动（1）求直线L的解析式（2）当点P的纵坐标为1时，按角的大小进行分类，请你确定PAC是哪一类三角形，并说明理由A3BC4PLxyO（3）是否存在这样的点P，使得POC为直角三角形?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【难度】【答案】见解析【解析】（1）直线L与轴、轴分别交于A（6，0）、B（0，3）两点，直线L的解析式为；（2） 当点P的纵坐标为1时，轴，PAC是直角三角形；（3） 当时，；当时，；当时，设，解得：或，或，综上所述，满足条件的点P的坐标为：或或或【总结】本题主要考察一次函数解析式的确定及直角三角形的分类讨论，注意对方法的归纳总结【例17】 如图，在平面直角坐标系中
24、，直线l经过点A（2，-3），与x轴交于点B，且与直线y=平行（1）求直线l的函数解析式及点B的坐标；（2）如直线l上有一点M（a，-6），过点M作x轴的垂线，交直线于点N，在线段MNABNMxyO上求一点P，使PAB是直角三角形，请求出点P的坐标【难度】【答案】详见解析【解析】（1）直线l经过点A（2，-3），且与直线y=平行，直线l的函数解析式为，；（2） 直线l上有一点M（a，-6），可设，当时，即，解得：或，或；当时，即，解得：，；当时，即，解得：，（舍去）综上所述，或或【总结】本题一方面考查两直线平行时，解析式满足的关系，另一方面考查直角三角形的分类讨论，注意勾股定理的综合运用【例1
25、8】 如图1，ABC是边长为的等边三角形，已知G是边AB上的一个动点（G点不与A、B点重合），且GEAC，GFBC，若AGx，SGEFy（1）求y与x的函数关系式，并写出函数定义域；（2）点G在运动过程中，能否使GEF成为直角三角形，若能，请求出AG长度；若不能，请说明理由；CBAAEFBC图1备用图G（3）点G在运动过程中，能否使四边形GFEB构成平行四边形，若能，直接写出SGEF的值；若不能，请说明由【难度】【答案】见解析【解析】（1）ABC是边长为的等边三角形，且GEAC，GFBC，AFG是等边三角形，BEG是等边三角形，（）；（2）当时，解得：；当时，解得：；综上所述：或；（3） 若四
26、边形GFEB构成平行四边形，则CEF是等边三角形，FEG是等边三角形，【总结】本题主要考察等边三角形的性质和直角三角形性质的综合运用，注意分类讨论思想的运用【例19】 如图1，已知O为正方形ABCD对角线的交点，点E在边CB的延长线上，联结EO，OFOE交BA延长线于点F，联结EF（1）求证：EOFO；（2）若正方形的边长为2，OE2OA，求BE的长；ABCDEFODOABC图1备用图（3）当OE2OA时，将FOE绕点O逆时针旋转到F1OE1，使得BOE130时，试猜想并证明AOE1是什么三角形【难度】【答案】见解析【解析】（1）四边形ABCD是正方形， ，EOF90， ，OEOF；（2） 正
27、方形的边长为2，OE2OA，由（1）可得：，解得：；（3） 联结，过A做AM，BOE130，设，则， ，AOE1是直角三角形【总结】本题主要考察正方形的性质、直角三角形的性质、勾股定理及其逆定理的综合运用，解题时注意从多个角度分析【例20】 如图1，在平面直角坐标系中，AOB为等腰直角三角形，A(4，4)（1）求B点坐标；（2）如图2，若点C为轴正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰直角ACD，ACD=900，连接OD，求AOD度数；（3）如图3，过点A作AE轴于E，F为轴负半轴上一点，G在EF的延长线上，以EG为直角边作等腰RtEGH，过点A作轴垂线交EH于点M，连接FM，B A O x y
28、B A O x y C D B A O x y E F G H M 图1 图2 图3 K N 等式=1是否成立?若成立，请证明；若不成立，说明理由【难度】【答案】见解析【解析】（1）AOB为等腰直角三角形，A(4，4)， B(8，0)；（2）过C作CKx轴交OA的延长线于KAOB为等腰直角三角形，OCK为等腰直角三角形，ACD=900，；（3）在AM上截取，联结， ，EGH是等直角三角形， ，【总结】本题主要考察等腰直角三角形性质的综合运用，难度较大，注意进行分析随堂检测【习题1】 如图，在平面直角坐标系中，直线与交于点A，分别交轴于点B和点C，点D是直线AC上的一个动点ABCDOxy（1）求
29、点A、B、C的坐标（2）当CBD为等腰三角形时，求点D的坐标【难度】【答案】见解析【解析】（1）令，解得：，则，；（2）点D是直线AC上的一个动点，设当时，由三线合一性质可得：，则，；当时，解得：或，或；当时，解得：或（舍去），；综上所述：或或或【总结】本题一方面考查一次函数的交点坐标问题，另一方面考察等腰三角形的分类讨论，注意利用两点距离公式将等腰三角形的问题转化为解方程的问题【习题2】 如图，在平面直角坐标系内，四边形AOBC是菱形，点B的坐标是（4，0），AOB=60，点P从点A开始沿AC以每秒1个单位长度向点C移动，同时点Q从点O以每秒个单位长度的速度沿OB向右移动，设秒后，PQ交OC
30、于点R（1）设a=2，求为何值时，四边形APQO的面积是菱形AOBC面积的；（2）设a=2，OR=，求t的值及此时经过P、Q两点的直线解析式；（3）当a为何值时，以O、Q、R为顶点的三角形是以OR为底的等腰三角形?ABCQPRxyOH【难度】【答案】见解析【解析】（1）由题意有：，四边形APQO的面积是菱形AOBC面积的，解得：；（2） 过点C作CHx轴，交x轴于点H四边形AOBC是菱形，AOB=60， OR=， OR=CR=， ， ，即， 解得：，利用待定系数法可得，经过P、Q两点的直线解析式为：；（3） 由题意有：，以O、Q、R为顶点的三角形是以OR为底的等腰三角形， ， 【总结】本题主要
31、考察菱形的性质和等腰三角形性质的综合运用，注意将等腰的问题转化为角相等的问题【习题3】 如图所示，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于A、B，以AB为边在第二象限内作等边ABC（1）求点C的坐标；（2）在第二象限内有一点M（m，0），使，求点M的坐标；ABOxyaABObxyC（3）如图所示，点C，（，0），在直线AB上是否存在一点P，使AC，P为等腰三角形?若存在，求P点坐标；若不存在，说明理由【难度】【答案】见解析【解析】（1）一次函数的图像与x轴、y轴分别交于A、B，等边ABC，；（2），直线CM的解析式为M（，0）；（3）直线AB上一点P，设当时，有三线合一可得：；当时，解得：或，或；当
32、时，解得：或（舍），综上所述：或或或【总结】本题综合性较强，一方面考查了等边三角形的性质，另外还考察了面积的问题及等腰三角形的分类讨论，注意解决面积问题的方法的归纳总结【习题4】 已知：如图1，O为正方形ABCD的中心，分别延长OA到点F，OD到点E，使OF2OA，OE2OD连结EF，将FOE绕点O逆时针旋转角得到FOE（如图2）（1）探究AE与BF的数量关系，并给予证明；图1图2（2）当30时，求证：AOE为直角三角形G【难度】【答案】见解析【解析】（1）O为正方形ABCD的中心，OF2OA，OE2OD，；（2） 取中点G，联结AG，30，即AOE为直角三角形【总结】本题主要考察正方形的性质
33、与直角三角形性质的综合运用课后作业【作业1】 如图，在平面直角坐标系中，点P在直线上（点P在第一象限），过点P作PAx轴，垂足为A，且OP（1）求点P的坐标；（2）如果点M和点P都在反比例函数（k0）的图像上，过点M作MNx轴，垂足为N如果MNA和OAP全等（点M、N、A分别和点O、A、P对应），求点MAOPxy的坐标【难度】【答案】见解析【解析】（1）点P在直线上，设OP，解得：，；（2） 点P都在反比例函数（k0）的图像上，如果MNA和OAP全等（点M、N、A分别和点O、A、P对应），当N在点A的左侧时，在反比例函数图像上；当N在点A的右侧时，不在反比例函数图像上，【总结】本题主要考察一次
34、函数的综合问题，注意利用待定系数法确定函数解析式，并且注意对全等的分类讨论【作业2】 如图所示，直线和x轴，y轴的交点分别为B、C，点A的坐标是（-2，0）（1）试说明ABC是等腰三角形；（2）动点M从点A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动设M运动t秒时，MON的面积为S求S与t的函数关系式；MN设点M在线段OB上运动时，是否存在S=4的情形?若存在，求出对应的t值；若不存在请说明理由；在运动过程中，当MON为直角三角形时，求t的值【难度】【答案】见解析【解析】（1）直线和x轴，y轴的交点分别为
35、B、C， ，ABC是等腰三角形；（2） 由题意可得：，；点M在线段OB上运动时，则，当S=4时，解得：或（舍去）；当时，在y轴上，则；当时，则，解得：；当时，不存在综上所述：MON为直角三角形时，t的值为5或【总结】本题主要考察动点背景下的面积问题和直角三角形的分类讨论，注意将面积问题转化为线段的比的关系从而将问题简化【作业3】 如图1，在梯形ABCD中，ABCD，CD10，AB80，A30，B60，点M是边AB的中点，点N是边AD上的动点（1）求梯形ABCD的周长；（2）联结MN，如果直线MN与射线CB交于点P，当BMP为等腰三角形时，求AN的长；（3）把AMN沿着直线MN翻折后得到AMN，
36、是否可能使AMN的一条边（折痕MN除外）与AD垂直?若存在，求AN的长；若不存在，请说明理由ANMABCDMNABCDEPF图二图一【难度】【答案】见解析【解析】（1）过点D作DECB交AB于E，CD10，AB80，A30，B60，；（2）当点P在射线CB上时（如图一），要使BMP为等腰三角形，只能是B60，A30，；（3）当时，设垂足为F（如图二）， ， ， ；当时，延长交AB于点H（如图三）ABCDNMHA图三则易得， 所以设，则， 又， ， 解得：，综上所述，存在与AD垂直的边，并且AN的长为或【总结】本题综合性较强，主要考查梯形与翻折的结合，注意利用等腰三角形的性质寻找角度间的关系，并且第（3）问要进行分类讨论，利用直角三角形的性质进行解题
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