1、内容分析平面向量的加减法本节课对向量的概念和性质进行讲解，以及如何利用三角形小法则和平行四边形法则计算向量的加减运算，是平面向量的基础在学习本章节的过程中，没注意零向量的特殊性以及向量的方向知识结构模块一：平面向量的概念知识精讲1有向线段 规定了方向的线段叫做有向线段 2向量 既有大小又有方向的量叫做向量 向量的大小也叫做向量的长度（或向量的模） 3向量的表示 （1）向量可以用有向线段直观表示 有向线段的长度表示向量的长度； 有向线段的方向表示向量的方向 （2）常见的表示方法 向量，长度记为； 向量、，长度记为、 4相等的向量 方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量 5相反的向量 方向相反
2、且长度相等的两个向量叫做互为相反的向量 6平行向量 方向相同或相反的两个向量叫做平行向量例题解析【例1】 判断下列语句是否正确：（1）用有向线段表示向量时，起点不同但“同向且等长”的有向线段表示相等的向量；（2）表示两个向量的有向线段具有同一起点，那么当两个向量不相等时，两个有向线 段的终点有可能相同；（3）向量与向量是同一个向量；（4）相等向量一定是平行向量；（5）互为相反的向量不一定是平行向量；（6）平行向量一定是相等向量或互为相反的向量【难度】【答案】（1）正确；（2）错误；（3）错误；（4）正确；（5）错误；（6）错误【解析】相等的向量：方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量 相反
3、的向量：方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反的向量 平行向量：方向相同或相反的两个向量叫做平行向量【总结】考察向量的概念注意向量的两要素：方向和长度【例2】 下列说法中正确的是（ ）A相反向量是平行向量 B平行向量是相等向量 C平行向量的方向相同 D平行向量的方向相反 【难度】【答案】A【解析】平行向量：方向相同或相反的两个向量叫做平行向量【总结】考察向量的概念注意向量的两要素：方向和长度【例3】 已知向量与向量是互为相反的向量，如果，那么 【难度】【答案】-1【解析】相反的向量：方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反的向量【总结】考察向量的概念注意向量的两要素：方向和长度【例4】 下列
4、说法中错误的是（ ）A如果向量与向量平行，那么存在唯一的实数使得；B如果、为实数，那么；C如果、为实数，那么；D如果、为实数，那么【难度】【答案】A【解析】A答案错误，当时，此说法不成立【总结】考察向量的线性运算，注意零向量的特殊性【例5】 如果，那么下列结论中，正确的是（ ） A B C D【难度】【答案】B【解析】如果，那么四边形ABDC是平行四边形，则， 所以【总结】考察向量的概念注意向量的两要素：方向和长度【例6】 下列说法中正确的是（ ） ，则 ； 若，则；若 ，则； 若，则A1 B2 C3 D4【难度】【答案】B【解析】、正确；、错误【总结】考察向量的概念注意向量的两要素：方向和长
5、度【例7】 四边形OACB是平行四边形，AB、OC是对角线如果，那么= ，= 【难度】【答案】，【解析】，【总结】考察向量的加减运算【例8】 在梯形中，点在上，如果把图中线段都画成有向线段，那么在这些有向线段表示的向量中，指出（用符号表示） （1）所有与相等的向量； （2）所有与互为相反的向量； （3）所有与平行的向量【难度】【答案】（1）；（2）、；（3），【解析】相等的向量：方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量 相反的向量：方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反的向量 平行向量：方向相同或相反的两个向量叫做平行向量【总结】考察向量的概念注意向量的两要素：方向和长度【例9】 如图，在
6、梯形ABCD中，ABCD，交CD于点E，如果把图中的线段都表示有向线段，那么在这些有向线段表示的向量中，（1） 找出所有与向量的平行向量；（2） 若CD=2AB，指出所有与向量相等的向量；（3） 联结AC、BE交于点O，在向量、中找出两对相反的向量【难度】ABCDEO【答案】（1），；（2），； （3）与互为相反的向量；、互为相反的向量【解析】ABCD，四边形ABCE是平行四边形，则当CD=2AB，所以【总结】考察向量的相关概念注意向量的两要素：方向和长度【例10】 甲从点A出发向正东方向走了2千米，到达点B，然后向东北方向前进千米，达到点C，最后向正东方向前进5千米到达D停下，（1） 画出向
7、量、； （2）求出向量、模的大小【难度】【答案】（1）如图； （2），【解析】（2）由图可知：，【总结】考察向量的画法和勾股定理的运用，注意对向量的模的理解模块二：向量的加法知识精讲1向量的加法 求两个向量的和向量的运算叫做向量的加法 2零向量 长度为零的向量叫做零向量，记作规定的方向可以是任意的（或者说不确定）； 因此，两个相反向量的和向量是零向量，即： 对于任意向量，都有， 3向量的加法满足交换律： 4向量的加法满足结合律： 5向量加法的三角形法则 求不平行的两个向量的和向量时，只要把第二个向量与第一个向量首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点、第二个向量的终点为终点的向量就是和向量 6向
8、量加法的多边形法则 几个向量相加，可把这几个向量首尾顺次相接，那么以第一个向量的起点为起点、最后一个向量的终点为终点的向量，就是这几个向量的和向量例题解析【例11】 化简：（1） ；（2）_【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（2）【总结】考察向量的加法，注意向量加法运算规律【例12】 如图，已知向量与，求作 【难度】【答案】为所求【解析】向量的加法是首尾相连【总结】考察向量加法图形的画法【例13】 已知，AOB=60，则_【难度】【答案】8【解析】由题意有：OAB是等边三角形，所以【总结】考察向量的加法与几何图形的结合【例14】 =“向东走4km”， =“向南走3km”，则|+|=_【难度
9、】【答案】5【解析】、+三个向量构成了3、4、5的直角三角形【总结】考察向量的加法在实际问题中的运用【例15】 下列等式中正确的个数是（）+=+；（）=；+（）=0；+=A1B2C3D4【难度】【答案】C【解析】、正确，错误，正确应为【总结】考察向量的加法注意零向量的特殊性ABCDO【例16】 如图，O为平行四边形ABCD对角线AC、BD的交点，设、，则下列结论不正确的是（）ABCD【难度】【答案】A【解析】A正确为【总结】考察向量的加法，注意零向量的特殊性【例17】 在四边形ABCD中，则（）AABCD是矩形BABCD是菱形CABCD是正方形DABCD是平行四边形【难度】【答案】D【解析】以
10、AB、AC为邻边作平行四边形ABCD，则可得：【总结】考察向量加法的法则与几何图形间的关系【例18】 已知正方形ABCD的边长为1，则为（） A0B3CD2【难度】【答案】D【解析】【总结】考察向量的加法与正方形性质的结合【例19】 如图，已知向量，其中求作：（1）；（2）；（3）；（4）【难度】【答案】（1） ，为所求；（2） ，为所求；（3） ，为所求；（4） ，为所求【解析】向量加法首尾相连【总结】考察向量加法的画法A5A6An【例20】 如图，一只蜗牛从点A1出发，沿着多边形的边爬行一周后回到点A1，A3A4A11A2An1A61A51求 【难度】【答案】【解析】可以利用向量的加法可到
11、结果【总结】考察向量的加法在实际问题中的运用模块三：向量的减法知识精讲1向量的减法 已知两个向量的和及其中一个向量，求另一个向量的运算叫做向量的减法 减去一个向量等于加上这个向量的相反向量，即： 2向量减法的三角形法则 在平面内取一点，以这个点为公共起点作出这两个向量，那么它们的差向量是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量 3向量加法的平行四边形法则 如果，是两个不平行的向量，那么求它们的和向量时，可以在平面内任取一点为公共起点作两个向量与，相等，以这两个向量为邻边作平行四边形，然后以所取的公共起点为起点，作这个平行四边形的对角线向量，则这一对角线向量就是，的和向量，这个法则叫做向
12、量加法的平行四边形法则4 另外一个对角线向量，即是，的差向量，这个差向量与被减向量共终点例题解析【例21】 化简：_【难度】【答案】【解析】【总结】考察向量的减法与加法法则的综合运用【例22】 下列说法中正确的是（ ）A B对任意两个向量，都是相反向量C在ABC中， D在四边形ABCD中，【难度】【答案】B【解析】A正确应为，C正确应为； D正确应为【总结】考察向量的加减法的综合运用【例23】 在平行四边形ABCD中，设，则下列中不正确的（ ）A B C D【难度】【答案】B【解析】由向量的减法可知B是错误的，正确应为【总结】考察向量的加减法的运用【例24】 如图，在图中画出向量【难度】【答案
13、】【解析】由向量的减法可知答案【总结】考察向量的减法法则的运用【例25】 如图，多边形是正六边形，设，试用向量和表示向ABCDEFO量，【难度】【答案】；【解析】；【总结】考察向量的加减法法则的运用【例26】 已知OACB，设，试用向量，表示向量【难度】【答案】；【解析】；【总结】考察向量的加减法【例27】 如图，已知在梯形中，点在边上，联结， （1）填空： ； F （2）求作：【难度】【答案】（1）；（2）即为所求【解析】（1）略； （2）过点D作DFAB，交BC与点F，则即为的和向量【总结】考察向量的加减法的运用【例28】 如图，点、在平行四边形的对角线上，且，设，ABCDEF,（1）填空
14、： ； （2）求作：【难度】【答案】（1）； （2）如图，为所求【解析】向量加法是首尾相接【总结】考察向量的加减法的运用【例29】 如图所示，是四个全等且相邻的正方形，请用三角形法则说明：=【难度】【答案】见解析【解析】【总结】考察向量的加减法在几何图形中的运用A6【例30】 已知中，求证：四边形ABCD是矩形 【难度】【答案】见解析【解析】， ， 四边形ABCD是矩形【总结】考察向量的加法在几何证明中的运用，注意对模的准确理解随堂检测【习题1】 若非零向量是的相反向量，则下列说法不正确的是（ ）A与的模不一定相等 B与平行 C与一定不相等 D也是的相反向量【难度】【答案】A【解析】A正确答案
15、应为与的模一定相等【总结】考察相反向量的概念【习题2】 两个非零向量，互为相反向量，则下列各式正确的个数是（ ） ； ； ； A1个 B2个 C3个 D4个【难度】【答案】C【解析】错误，、正确，故选C【总结】考察相反向量的概念及性质【习题3】 下列等式中，不正确的是（ ） A B C D【难度】【答案】D【解析】D答案正确应为【总结】考察向量的加法法则，注意零向量的特殊性，向量的模是一个具体的数【习题4】 下列命题中，假命题的是（ ）A若，则 B若，则 C若，则 D若，则【难度】【答案】D【解析】D答案错误，两向量方向不一定相同【总结】本题主要考查向量的相关概念，注意认真分析【习题5】 计算
16、：（1） ； （2） ； （3） ； （4） 【难度】【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】（1）； （2）；（3）； （4）【总结】考察向量加减法的运算，注意相关法则的运用【习题6】 已知：矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O ABCDO（1）利用图中的向量表示： ；（2）利用图中的向量表示： ；（3）如果则 【难度】【答案】（1）；（2）；（3）6.5【解析】由向量的加减法可得答案【总结】考察向量加减法的运算【习题7】 已知在梯形中，是的中点，联结和画出图形，并写出所有与平行的向量【难度】【答案】图形如图所示， 与平行的向量有【解析】平行向量：方向相同或相反的两个向量叫做平行
17、向量【总结】考察平行向量的概念【习题8】 如图，已知中，设，试用、表示下列向量：（1）； （2）； （3）； （4）；（5）求作向量：；（6）求作向量：【难度】【答案】（1）； （2）； （3）； （4）；（5）；（6）【解析】利用向量加法法则可得答案【总结】考察向量加法的运用【习题9】 已知，点是边的中点，请回答下列问题：（1）在图中求作与的和向量： ；（2）如果把图中线段都画成有向线段，那么在这些有向线段所表示的向量中，所有与互为相反向量的是 ；（3） 【难度】【答案】（1）如图所示，即为所求；（2）；（3）【解析】（3）【总结】考察向量加法法则的运用【习题10】 已知，求作向量：【难度】
18、【答案】 ，为所求向量【总结】考察利用向量加减法法则进行作图ABCDO【习题11】 已知四边形是平行四边形，点在上（1）填空： ； ；（2）与平行的向量有 ；（3）求作：【难度】【答案】（1），； （2），； （3）如图所示，即为所求【解析】（3）【总结】考察向量加法法则及减法法则的综合运用，注意从多个角度分析课后作业【作业1】 已知下列各量:体积、人口数量、风速、重力、用水量、拉力，其中向量有_【难度】【答案】风速、重力、拉力【解析】有方向和大小的量称为向量【总结】考察向量的概念【作业2】 下列句子正确的是（ ）A向量是描述“两个点的相对位置差”的量B向量与“平移”没有关系 C有向线段表示同
19、一个向量必须起点相同且“同向等长” D两条不同的有向线段分别表示的向量一定不是相等向量【难度】【答案】D【解析】有方向和大小的量称为向量【总结】考察向量的基本概念，注意认真辨析【作业3】 下列判断中，不正确的是（ ） A如果，那么 B C D【难度】【答案】B【解析】B答案正确为【总结】考察向量的加法法则，注意向量的运算结果还是向量【作业4】 下列关于、的式子：；如果、互为相反向量，那么上面式子中正确的个数为（ ） A1个 B2个 C3个 D4个【难度】【答案】C【解析】、正确，正确应为【总结】考察相反向量的概念【作业5】 若O是等边三角形ABC的三边上的高的交点，则向量是（ ）A起点相同的量
20、 B平行的量 C模相等的向量 D相等的向量【难度】【答案】C【解析】三个向量的方向不一样，则不相等【总结】考察相等向量的概念【作业6】 如图，梯形ABCD中，AD/BC，AC、BD相交于O，下列命题正确的个数是（ ）若，则梯形是等腰梯形； 若，则梯形是等腰梯形；ABCDO若梯形是等腰梯形，则 若，则A1个 B2个 C3个 D4个【难度】【答案】C【解析】正确中两个向量的方向不一样，则不相等【总结】考察向量的概念【作业7】 如图，等边中，、分别是、 的中点，图中点的边都看成有向线段，那么（1）与相等的线段有 条；ABCDEF （2）写出与向量相等的向量； （3）写出与向量平行的向量【难度】【答案
21、】（1）8；（2），； （3），【解析】图中，且，则可得结论【总结】考察相等向量及平行向量的的概念【作业8】 某人从出发向西走了200米到达点，然后改变了方向向北偏西走了450米到达点，最后又改变方向，向东走了200米到达点 （1）作出向量、（比例尺为）；（2）求【难度】【答案】（1） ；（2）0.045【解析】（1）， 四边形ABCD是平行四边形（2） 四边形ABCD是平行四边形，45010000=0.045米=4.5厘米【总结】考察向量的表示【作业9】 如图，已知，求作：【难度】【答案】 ，为所求【解析】由向量加减法则可得结论【总结】考察利用向量加减法法则进行作图ABCDEF【作业10】 如图，点E在的对角线BD上（1）填空： ；（2） ；（3）求作：【难度】【答案】（1）；（2）； （3）为所求向量【解析】（1）； （2）； （3）过点C作CFAE，且截取CF=AE，连接BF，则为所求向量【总结】考察向量的加减法法则在几何图形中的运用【作业11】 如图，在八边形ABCDEFGH中，设，ABCDEFHG（1）试用这五个向量表示对角线向量；（2）求【难度】【答案】（1）； ；（2）【解析】（1）； （2）【总结】考察向量的加减法法则的综合运用
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