1、无理方程知识结构模块一:无理方程的概念和解法知识精讲1无理方程的概念方程中含有根式,且被开方数是含有未知数的代数式,这样的方程叫做无理方程2解无理方程的方法通过平方把无理方程转化为整式方程,再求解3解无理方程的一般步骤(1)方程两边平方,化成整式方程;(2)解这个整式方程,求出整式方程的根;(3)检验直接代入原方程中,看其是否成立如果成立,则这个根为原方程的根,从而解出原方程的解;如果不成立,则这个根为增根,方程无解例题解析【例1】 下列方程是哪些是关于的无理方程?(1);(2);(3);(4);(5);(6)【难度】【答案】(1)、(2)、(3)、(4)、(6)是无理方程【解析】根据无理方程
2、的概念,方程中含有根式,并且被开方数是含有未知数的代数式的方程叫做无理方程,可知(1)、(2)、(4)、(6)都是无理方程,可知(3)也是无理方程【总结】考查无理方程的概念,方程中根号内含有未知数即可【例2】 下列哪个方程有实数解()AB CD【难度】【答案】D【解析】根据二次根式的双重非负性,对A选项,此时,故方程无实数解;对B选项,可知方程无实数解;对C选项, 无解,即方程无实数解;故选D【总结】考查对无理方程解的判断,根据二次根式双重非负性即可进行简单判定【例3】 若方程有解,则的取值范围是_【难度】【答案】【解析】移项得,方程有解,根据二次根式的非负性,可得,得【总结】考查无理方程有解
3、的应用,根据二次根式的非负性即可进行判断【例4】 不解方程,说明下列方程是否有实数根:(1);(2)【难度】【答案】(1)有唯一实数根; (2)当时,方程无实数根;当时,方程有无数个实数根【解析】(1)根据二次根式的非负性,可得:,即得的定义域为, 此时,即得方程有唯一实数根;(2) 当时,则有,根据二次根式非负性,可知方程无实数根; 当时,等式恒成立,可知方程有无数实数根,满足即可【总结】考查对无理方程解的判断,对部分方程根据二次根式双重非负性即可进行判定【例5】 用换元法解方程时,设则该方程转换整式方程是_【难度】【答案】【解析】由,可得,原方程即为, 整理即为【总结】考查用“换元法”对无
4、理方程进行变形转化,注意最终要化成整式形式【例6】 解下列方程:(1);(2)【难度】【答案】(1);(2)【解析】(1)两边平方,得:,整理得:, 解得:,经检验,是原方程的增根,即原方程的根为;(2) 移项得:,两边平方得:,因式分解整理得:,解得:,经检验,是原方程的增根,即原方程的根为【总结】考查无理方程的解法,注意方程增根的检验【例7】 解下列方程:(1);(2);【难度】【答案】(1);(2)【解析】(1)两边平方,得:,整理得:, 解得:,经检验,是原方程的增根,即原方程的根为; (2)由原式得:或,解得:, 经检验,是原方程的增根,即原方程的根为【总结】考查无理方程的解法,注意
5、无理方程的验根【例8】 解下列方程:(1);(2)【难度】【答案】(1);(2)【解析】(1)两边平方得:,整理得:,配方法解得:,经检验,是原方程的增根,即原方程的根为; (2)移项得,两边平方得,整理得, 解得:,经检验,是原方程的增根,即原方程的根为【总结】考查无理方程的解法,注意方程增根的检验【例9】 解方程:【难度】【答案】,【解析】令,则,原方程即为,解得:,则有或,解得:,经检验,都是原方程的根【总结】考查利用“换元法”解无理方程,注意观察无理方程含未知数的根式之间的联系【例10】 解方程: (1); (2)【难度】【答案】(1),;(2),【解析】(1)令,得,原方程即, 整理
6、得,解得:(舍),令,平方整理得,解得:,经检验,都是原方程的根;(2)令,得,原方程即,整理得,解得:(舍),令,平方整理得,解得:,经检验,都是原方程的根【总结】考查用“换元法”解无理方程,注意根据元的取值范围舍去增根【例11】 解下列方程:(1);(2)【难度】【答案】(1);(2)【解析】(1)移项得,两边平方得,移项得,两边平方得,解得:,经检验,是原方程的根; (2)两边平方得,移项得,两边平方整理得,配方法解得:,经检验,是原方程的增根,即原方程的根是【总结】考查含有多个二次根式的无理方程的解法,两边多次平方即可【例12】 解下列方程:【难度】【答案】【解析】平方得,移项得,两边
7、平方整理得,解得:,经检验,是原方程的增根,即原方程的根是【总结】考查含有多个二次根式的无理方程的解法,两边多次平方即可【例13】 解下列方程:【难度】【答案】【解析】令,则有,由此原方程可变形得:,整理即为,因式分解法解得:,即或,由,整理得,解得:, 经检验,是原方程的增根,由,可解得:,经检验,是原方程的增根,综上所述,原方程的根是【总结】考查较复杂的换元法的转化解无理方程,注意方程增根的检验模块二:无理方程的根的讨论知识精讲3增根的概念例题解析无理方程在化整式方程求解过程中,整式方程的解如果使得无理方程左右两边不相等,那么这个解就是方程的增根.【例14】 关于的方程有一个增根x=4,求
8、:(1) a的值;(2) 方程的根【难度】【答案】(1);(2)【解析】(1)移项,两边平方得:,移项得, 两边平方得:,将代入有, 整理得,解得:,当时,是方程增根,当时,不是方程增根,由此即得; (2)将代入上述平方整理的方程即有,移项整理得,解得:,由题意可得是原方程的增根,即得原方程的根是【总结】考查含有多个二次根式的无理方程的解法,两边多次平方即可【例15】 若方程有一个根是,求实数m的值【难度】【答案】【解析】因为方程有一个根是,所以代入得,平方整理得, 解得:,经检验,是方程的增根,应舍去,即得【总结】考查无理方程根的意义,代入转化为其它未知数的求值即可【例16】 若关于x的无理
9、方程有实数根,求k的取值范围 【难度】【答案】或【解析】令,则有,原方程即为,整理即为,当时,则有是增根,应舍去;当时,分解因式得,解得:(舍),因为方程有实数根,则应有,分类讨论得或,即得的取值范围为或【总结】考查无理方程根的判定,利用换元法根据二次根式的非负性进行求解计算【例17】 若关于x的方程只有一个实数根,求m的取值范围【难度】【答案】【解析】令,则有,原方程即为,整理即为,因为方程只有一个实数根,则方程有且仅有一根满足,则另一根必满足,根据韦达定理可得:,得的取值范围是【总结】考查无理方程根的判定,利用换元法根据二次根式的非负性进行求解计算模块三:无理方程的应用知识精讲4应用例题解
10、析寻找题目中的等量关系,列方程,求解,根据实际情况进行取舍【例18】 用一根56厘米的细铁丝弯折成一个直角三角形,使它的一条直角边长为7厘米,求这个直角三角形的另两条边的长度【难度】【答案】和【解析】设另外一条直角边长为,根据勾股定理可得斜边长为,依题意可得,解得:,经检验,是原方程的根且符合 题意,则斜边长为,即另两边长分别为和【总结】考查直角三角形勾股定理的应用,用周长列式解题,注意应用题也要验根【例19】 建一块场地,用600块正方形的砖头铺成,如果把场地的面积扩大到原来面积的2倍还多0.6平方米,且正方形的砖头的边长增加10厘米,则需要铺540块方砖,求原场地的面积【难度】【答案】【解
11、析】设原场地的边长为,则扩大后场边长为, 依题意得,整理得, 解得:,(舍),由此得原场地面积为【总结】考查根据题意找准等量关系列方程解应用题,注意单位的统一【例20】 若Q点在直线上,且Q到点P(0,2)的距离为,求Q点的坐标【难度】【答案】或【解析】设点,由两点间距离公式,依题意可得,平方整理,得:,解得:,经检验,都是原方程的根,由此代入即得或【总结】考查利用两点间距离公式的应用列方程,注意设出点的坐标ABPNMOl1l2【例21】 与为两条互相垂直的大路,小李和老王从十字路口O点同时出发,分别沿着图示的方向以1千米/小时和2千米/小时的速度前进,到达A与B地,一座学校座落于距8千米,距
12、5千米的P处,问:经过多少时间,两人距离学校的路程刚好相等?是几千米?【难度】【答案】经过两人距离学校路程相等【解析】设经过两人距离学校距离相等,即, 则有, 根据勾股定理,依题意可得:,平方整理得,解得:,经检验,都是原方程的根,但不符合题意,应舍去,即经过两人距离学校路程相等【总结】考查利用勾股定理列方程,注意找准等量关系【例22】 有一群蜜蜂,一部分飞进了枸杞里,其个数等于总数的一半的平方根,还有全体的遗留在后面,此外,这群里还有一个小蜜蜂在莲花旁徘徊着,它被一个坠入香花陷阱的同伴的呻吟声所吸引试问:这群蜜蜂共有多少个?【难度】【答案】这群小蜜蜂共有72个【解析】设这群蜜蜂共有个,根据蜂
13、群总数,依题意可得,平方整理得,解得:, 经检验,是原方程的增根,即得这群小蜜蜂共有72个【总结】考查根据题意列方程解应用题,注意计算不要遗漏【例23】 m、n为两段互相垂直的笔直的公路,工厂A在公路n上,距离公路m为1千米工厂B距离公路m为2千米,且距离公路n为3千米,现在要在公路m上选一个地址造一个车站P,使它与A、B两厂的距离和为千米,试指出车站P的位置?【难度】ABnm【答案】车站在两公路交点上方或处【解析】以直线为轴,以直线为轴,两直线交点为坐标原点,建立平面直角坐标系,依题意有,设点,根据两点间距离公式,依题意可得,二次平方后,整理得:,解得:,经检验,都是原方程的根,即车站在两公
14、路交点上方或处【总结】考查利用建立平面直角坐标系确定点的位置问题【例24】 如图,x轴表示一条东西方向的道路,y表示一条南北方向的道路,小丽和小明分别从十字路口O点处同时出发,小丽沿着x轴以4千米/时的速度由西向东前进,小明沿着y轴以5千米/时的速度由南向北前进,有一棵百年古树位于图中的P点处,古树与x轴、y轴的距离分别是3千米和2千米,问:(1) 离开路口后,经过多长时间,两人与古树的距离恰好相等?(2) 离开路口后多少时间,两人与这课古树所处的位置恰好在一条直线上?ABy北x东西南PO【难度】【答案】(1);(2)【解析】(1)建立如图的平面直角坐标系,设经过两人与古树距离相等,即,则有,
15、根据两点间距离公式依题意可得:,平方整理得:,解得:,经检验,都是原方程的根,但不符合题意,应舍去,即经过两人距离古树距离相等;(2) 设直线解析式为,则有,解得:,即直线解析式为,两人与古树在同一直线上,即直线过点,代入直线解析式即得,解得:,即离开后两人与古树处于同一直线上【总结】考查对题目的理解,主要是转换到平面直角坐标系中进行解题随堂检测【习题1】 下列方程是无理方程的是()AB CD 【难度】【答案】D【解析】根据无理方程的概念,方程中含有根式,并且被开方数是含有未知数的代数式的方 程叫做无理方程,可知D是无理方程,故选D【总结】考查无理方程的概念,方程中根号内含有未知数即可【习题2
16、】 根据平方根的意义,直接判断下列方程是否有解,并简述理由:(1);(2);(3);(4)【难度】【答案】(2)有解,(1)、(3)、(4)无解【解析】根据二次根式的双重非负性,对(1),故方程无实数解;对(2),由,即有,可知方程有实数解;对(3),无解,即方程无实数解;对(4),无解,即方程无实数解【总结】考查对无理方程解的判断,根据二次根式双重非负性即可进行初步判定【习题3】 方程的实数解为()ABCD【难度】【答案】C【解析】,可知,得,故选C【总结】考查根据二次根式的性质判定方程解的情况【习题4】 用换元法解方程时,设则该方程可转换成整式方程是_【难度】【答案】【解析】由,可得:,原
17、方程即为, 整理即为【总结】考查用“换元法”对无理方程进行变形转化,注意最终要化成整式方程【习题5】 解方程:(1);(2)【难度】【答案】(1);(2)【解析】(1)移项两边平方得:,整理得:, 因式分解法解得,经检验,是原方程的增根, 即原方程的根为; (2)移项得,两边平方得,整理得:, 解得:,经检验,是原方程的增根,即原方程的根为【总结】考查无理方程的解法,注意方程增根的检验【习题6】 解方程:(1);(2)【难度】【答案】(1);(2),【解析】(1)移项得,两边平方得,移项得,两边平方整理得,解得:,经检验,是原方程的增根,即原方程的根为; (2)移项两边平方得,移项得, 两边平
18、方整理得,解得:, 经检验,都是原方程的根【总结】考查含有多个二次根式的无理方程的解法,两边多次平方即可【习题7】 解方程:(1);(2)【难度】【答案】(1),;(2),【解析】(1)令,得,方程即, 整理得,解得:(舍),令,平方整理得,解得:,经检验,都是原方程的根; (2)令,得,原方程即,解得:(舍),令,平方整理得,解得:,经检验,都是原方程的根【总结】考查用“换元法”解无理方程,注意根据二次根式的非负性舍去相应增根【习题8】 有两块正方形木板,其中大的一块木板面积比小的木板面积大45平方米,小的木 板的边长比大的木板的边长短3分米,求这块小木板的面积【难度】【答案】小木板面积为【
19、解析】设小木板面积为,则大木板面积为,由,依题意可得,移项整理得,即得:, 经检验,是原方程的根,即小木板面积为【总结】考查根据题意列方程解应用题,注意题目中的单位换算【习题9】 如果轴上一点P到两点A(3,5)、B(-1,-2)的距离相等,求P点的坐标【难度】【答案】【解析】设点,根据两点间距离公式依题意可得, 平方得,解得:,经检验,是原方程的根, 即【总结】考查利用两点间距离公式确定点的位置问题【习题10】 解方程:【难度】【答案】【解析】,根据题意,得,可得, 两式相加可得,平方整理得,解得:,经检验,是原方程的增根,即原方程的根是【总结】考查有特殊形式的无理方程的解法,注意观察好含未
20、知数的根式之间的关联【习题11】 解方程:【难度】【答案】【解析】令,则,原方程即为,解得:,(舍),则有,解得:,经检验,是原方程的根【总结】考查利用“换元法”解无理方程,注意观察两个无理式之间的关联【习题12】 已知a为非负整数,若关于x的方程至少有一个整数根, 求a的值【难度】【答案】或【解析】令,则有,原方程即为,得,由,可得,则有,因为为整数,则为整数,同时为整数,则必为有理数,由此可得:或,当时,得;当时,得;综上,或6【总结】考查无理方程根的判定,利用换元法根据二次根式的非负性和题目要求求解计算【习题13】 A地在M地的正北方向12千米处,B地在M地的正东方向12千米处,某人从B
21、地出发向正西方向行至C地,再沿CA方向到达A地,这样比由B地到M地再到A地的路程少4千米,求M地与C地之间的距离【难度】【答案】【解析】如图建立平面平面直角坐标系,点为原点,则有,设,根据两点间距离公式,依题意可得,移项得,解得:,经检验,是原方程的根,即得【总结】考查根据构造平面直角坐标系解方程问题课后作业 【作业1】 下列方程是无理方程的是()ABCD【难度】【答案】B【解析】根据无理方程的概念,方程中含有根式,并且被开方数是含有未知数的代数式的方 程叫做无理方程,可知B是无理方程,故选B【总结】考查无理方程的概念,方程中根号内含有未知数即可【作业2】 下列无理方程有解的方程是()ABCD
22、【难度】【答案】B【解析】根据二次根式的双重非负性,对A选项,故方程无实数解;对C选项,不可能同时成立,可知方程无实数解;对D选项, 无解,即方程无实数解;故选B【总结】考查对无理方程解的判断,根据二次根式双重非负性即可进行初步判定【作业3】 下列四个无理方程中,有一个根是x=2的方程是()ABCD【难度】【答案】C【解析】对A、B、D选项,将代入原方程,左边右边,可知不是相应方程的 解;对C选项,左边右边,可知是相应方程的解,故选C【总结】考查对无理方程解的判断,根据二次根式双重非负性即可进行初步判定【作业4】 用换元法解方程时,设=y,则原方程可转换成整式方程_【难度】【答案】【解析】由,
23、可得,原方程即为, 整理即为【总结】考查用“换元法”对无理方程进行变形转化,注意最终化成整式方程的形式【作业5】 将下列方程化成有理方程:(1);(2); (3)【难度】【答案】(1);(2);(3)【解析】(1)移项得,两边平方整理得; (2)移项得,两边平方得,整理得;(3)移项得,两边平方得,移项得,平方整理得:【总结】考查无理方程转化为有理方程,移项平方即可【作业6】 解下列方程:(1);(2)【难度】【答案】(1);(2)【解析】(1)两边平方得:,整理得,因式分解法,解得:,经检验,是原方程的增根,即原方程的根为; (2)移项得,两边平方得,整理得:,解得:,经检验,是原方程的增根
24、,即原方程的根为【总结】考查无理方程的解法,注意方程增根的检验【作业7】 解下列方程:(1);(2)【难度】【答案】(1);(2),【解析】(1)两边平方得,整理得:,因式分解法,解得:,经检验,是原方程的增根,即原方程的根为; (2)移项得,两边平方得,整理得:, 解得:,经检验,都是原方程的根【总结】考查无理方程的解法,注意方程增根的检验【作业8】 解下列方程:(1);(2)【难度】【答案】(1);(2)【解析】(1)移项得,两边平方,得:,移项得,两边平方整理,得,解得:,经检验,是原方程的根,即原方程的根为; (2)移项得,两边平方,得:,移项得,两边平方整理得,解得:,经检验,是原方
25、程的增根,即原方程的根为【总结】考查含有多个二次根式的无理方程的解法,两边多次平方即可【作业9】 有一个数,它的平方根比它的倒数的正平方根的3倍多2,求这个数【难度】【答案】9【解析】设这个数为,依题意可得,平方得:,整理得,解得:,经检验,是原方程的增根,得方程的根是,即这个数是9【总结】考查根据题意列方程解题,注意无理方程增根的检验【作业10】 已知点P是x轴上一点,它与点A(-9,3)之间的距离是15,求点P的坐标【难度】【答案】或【解析】设点,根据两点间距离公式,依题意可得,平方得,解得:,经检验,是原方程的根,即或【总结】考查利用两点间距离公式确定点的位置问题【作业11】 某学校修建
26、两块面积相等的绿地,一块是长方形,另一块是正方形已知长方形绿地的长比宽多14米,且这两块绿地的周长之和为196米,那么长方形绿地的宽是多少?【难度】【答案】【解析】设长方形绿地宽为,则长为,根据相关周长和面积公式,依题意可得,移项得,平方整理得:,解得:,经检验,是原方程的根,即长方形绿地宽为【总结】考查长方形和正方形周长面积公式的综合应用,根据相关公式列出方程解题【作业12】 解下列方程:(1);(2)【难度】【答案】(1),;(2),【解析】(1)令,得,方程即,整理得,解得:(舍),令,平方整理得,解得:,经检验,都是原方程的根;(2)令,得:,展开完全平方原方程即为,解得:(舍),令,
27、平方整理,得,解得:,经检验,都是原方程的根【总结】考查用“换元法”解无理方程,注意元的取值范围【作业13】 解下列关于的方程:(1);(2)【难度】【答案】(1);(2)【解析】(1)两边平方,得:,移项得,两边平方,得:,整理得,解得:,经检验,是原方程的增根,即原方程的根为; (2)两边平方,得:,移项得,两边平方得,整理得:,解得:,经检验,是原方程的增根,即原方程的根为【总结】考查含有多个二次根式的无理方程的解法,两边多次平方即可,注意检验增根【作业14】 若关于x的方程有实数根,求k的取值范围【难度】【答案】【解析】令,则有,原方程即为,整理即为,因为方程有实数根,则有,得,且方程至少有一根满足,根据韦达定理可得:,可知方程两根必为一非负根一负根,则有,得:,即的取值范围是【总结】考查无理方程根的判定,利用换元法根据二次根式的非负性结合题意求解计算