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    七年级春季数学培优讲义11:全等三角形的性质与判定一(教师版)

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    七年级春季数学培优讲义11:全等三角形的性质与判定一(教师版)

    1、教师姓名 学生姓名 年 级初一上课时间 学 科数学课题名称 全等三角形的性质与判定(一)知识模块:概念1、全等三角形:(1) 全等形:能够重合的两个图形叫做全等形.ABCDEF(2) 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形;两个全等三角形中,互相重合的顶点叫做对应顶点;互相重合的角叫做对应角;互相重合的边叫做对应边如下图所示:已知:ABCDFE,A与D,B与F是对应顶点,则:(C与E是对应顶点)对应边有:AB与DF,AC与DE,BC与FE对应角有:2、全等三角形的数学语言:三角形ABC与三角形ABC全等,记作ABCABC,读作“三角形ABC全等于三角形ABC”3、全等三角形的性质:(1)全等三

    2、角形的对应边相等,对应角相等;(2)全等三角形的面积相等,周长相等;(3)全等三角形的对应线段(高线、中线、角平分线)相等4、全等三角形中应注意的问题:(1)要正确区分“对应边”与“对边”、“对应角”与“对角”的不同含义;(2)符号“”表示的双重含义:“”表示形状相同;“=”表示大小相等;(3) 表示两个三角形全等时,表示对应的顶点的字母要写在相对应的位置上;【例1】如果,则的对应边是_,的对应边是_ ,的对应角是_ ,的对应角是_两个三角形的周长_,两个三角形的面积_(填“”、“=”、“”) 如图,若,则对应结论; 中正确结论共有( )A1个 B2个 C3个 D4如图所示,若ABE ACF,

    3、且AB=5,AE=3,则EC的长为( )A2 B3 C4 D2.5【答案】,=,=;C;A. 【例2】如图,已知,且,求的度数.【答案】,又 【例3】如图,ABC ADE中,BAAE,BAC=30,AD=5,求BD的长【答案】由题意得:BAC=DAE=30,AB=AD,BAE=90,CAD=30,BAD=60,ABD是等边三角形故可得:BD=AD=5知识模块:全等三角形的判定如果两个三角形的三条边分别对应相等,那么这两个三角形全等,简记为SSS如果两个三角形的两边及这两边的夹角对应相等,那么这两个三角形全等,简记为SAS如果两个三角形的两个角及这两个角的夹边对应相等,那么这两个三角形全等,简记

    4、为ASA如果两个三角形的两个角及其中的一个角所对的边对应相等,那么这两个三角形全等,简记为AAS两个三角形中对应相等的边或角是否全等全等: 不全等:公理或推论(简写)三条边SSS两边一角两边夹角SAS两边与其中一边对角两角一边两角和夹边ASA两角与其中一角对边AAS三角1. 全等三角形的判定(一)尺规作图:已知,画一个,使并判断和是否全等 【例4】已知:如图,、四点在同一直线上,AB=DE,BF=EC,AC=DFADFCBE求证:;又知D=30,DEC=15,求CFB的度数【答案】AC=DF,即在和中,D=A D=A=30,DEC=ABF=15CFB=A+ABF=452. 全等三角形的判定(二

    5、)尺规作图:已知,画一个,使并判断和是否全等 【例5】如图,在ABC中,AB=CB,ABC=90,D为AB延长线上一点,点E在BC边上,且BE=BD,连结AE、DE、DC求证:ABE CBD;若CAE=30,求BCD的度数 【答案】 ABC=90,D为AB延长线上一点, ABE=CBD=90 . 在ABE和CBD中, ABE CBD (SAS) AB=CB,ABC=90, CAB=45. 又 CAE=30, BAE =15. ABE CBD, BCD=BAE =15. 全等三角形的判定(三)尺规作图:已知,画一个,使并判断和是否全等 思考:若将改成呢?画出的和全等吗?【例6】已知,如图,点D在

    6、边BC上,点E在ABC外部,DE交AC于F,若AD=AB,1=2=3求证:BC=DE 【答案】1=2=3BAC=DAE 又DFC=AFEC=E 在ABC和ADE中ABC ADE (AAS)BC=DE 为什么不能判定全等尺规作图:已知线段和角,求作,使得,这样的三角形有几个? 【例7】请分别按给出的条件画(不写画法),并说明所作的三角形是否唯一;如果有不唯一的,想一想,为什么? ; ; ; ; ; ;【答案】只有所作的三角形不唯一知识模块:全等三角形的基本模型1、共边型 平移对称 (翻折) 【例8】如图,己知AC=BD,要使ABCDCB,则只需添加一个适当的条件是 (填一个即可) 【答案】AC=

    7、BD,BC是公共边,要使ABCDCB,需添加:AB=DC(SSS)或ACB=DBC(SAS)【例9】如图,已知AB=CD,BM=CM,AC=BD,说明AM=DM的理由ABCDM【答案】在和中, , ,在和中, 2、共角型【例10】如图:点D、E分别在线段AB、AC上,BE、CD相交于点O,AE=AD,要使ABE ACD,需添加一个条件是 (只需一个即可,图中不能再添加其他点或线)【答案】A=A,AE=AD添加:ADC=AEB(ASA),B=C(AAS),AB=AC(SAS),BDO=CEO(ASA)可得ABE ACD 故填:ADC=AEB或B=C或AB=AC或BDO=CEOABCDEO【例11

    8、】如图,CDAB于D,BEAC于E,OD=OE,说明AB=AC的理由【答案】, 在和中, , , 在和中, (A.S.A),(全等三角形的对应边相等)3、平行型【例12】如图,ADBC,E是AB的中点,连接DE并延长交CB的延长线于点F,点G在BC边上,且GDF=ADF求证:ADE BFE【答案】ADBC,ADE=BFEE是AB的中点,AE=BE又AED=BEFADE BFE(AAS)4、垂直型【例13】如图,在ABC中,C=90,点D是AB边上的一点,DMAB,且AC=MD,过点M作MEBC交AB于点E求证:ABC MED【答案】MDAB,MDE=C=90MEBC,B=MED又AC=MDAB

    9、C MED(AAS)【例14】如图,线段BE上有一点C,以BC、CE为边分别在BE的同侧作等边三角形ABC、DCE,连结AE、BD,分别交CD、CA于Q、P(1)找出图中的一组相等的线段(等边三角形的边长相等除外),并说明你的理由;(2)取AE的中点M、BD的中点N,连结MN,试判断CMN的形状ABCDEQPABCDEMNPQ【答案】(1),(2)等边三角形 (1)等边三角形ABC和 等边三角形DCE, , =60 ,即在和中, (S.A.S), (全等三角形的对应边相等); (2) , M、N分别为BD、AE的中点, , 在和中, (S.A.S), CMN是等边三角形【习题1】下列说法中错误

    10、的是()A全等三角形的公共角是对应角,对顶角也是对应角B全等三角形的公共边也是对应边C全等三角形的公共顶点是对应顶点D全等三角形中相等的边所对应的角是对应角,相等的角所对的边是对应边【答案】C【习题2】如图所示,分别沿着边翻折形成的,ABCDEP若123=2853,则的度数为( )A80 B100C60D45【答案】A【习题3】如图,已知AB=CD,AD=BC,说明A=C的理由ABCD【答案】证明:连接 在和中, , (全等三角形的对应角相等)【习题4】如图,已知BD是ABC的中线,B、D、E、F在一条直线上,且AECF,ABCDEF说明ADE与CDF全等的理由【答案】, BD是ABC的中线,

    11、 在和中, (A.A.S)【习题5】如图,CEAB,DFAB,垂足分别为E、F,(1)若AC/DB,且AC=DB,则ACEBDF,根据_;(2)若AC/DB,且AE=BF,则ACEBDF,根据_;(3)若AE=BF,且CE=DF,则ACEBDF,根据_;(4)若AC=BD,AE=BF,CE=DF则ACEBDF,根据_ABCEDDF【答案】(1)A.A.S;(2)A.S.A;(3)S.A.S;(4)S.S.S【习题6】如图,ADAB,ACAE,且ADAB,ACAEABCDEF G试说明:DCBE,DCBE【答案】 ADAB,ACAE,(垂直的意义)(等式性质)在和中,(全等三角形的对应角相等,对

    12、应边相等) 设BE与DC交于点F, , (垂直的意义)【习题7】如图,已知ADBC,BFDE,AE=CFABCDEF(1) ADE与CBF全等吗,为什么?(2) 说明AB=CD的理由;(3) 图中有哪几对全等三角形?【答案】证明:(1)全等, , , 在和中, , ; (2), 在和中 , (全等三角形的对应边相等); (3);【习题8】如图,已知ABBD,DEBD,AB=CD,BC=DE试说明:ACCE,若将CD沿CB方向平移得到图(2)(3)(4)(5)的情形,其余的条件不变,结论AC1C2E还成立吗?请说明理由ABCDEMABC2DEC1ABC1DEMABC2DEMC1MABC1DEC2【答案】证明:(1), 在和中, , , 即(2), ,


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