1、2022 年南京年南京市市中考数学终极押题密中考数学终极押题密试卷（试卷（2） 一选择题（共一选择题（共 6 小题，满分小题，满分 12 分，每小题分，每小题 2 分）分） 1 （2 分） （2021秦淮区一模）4 的算术平方根是（ ） A4 B4 C2 D2 2 （2 分） （2021玄武区二模）计算（a）3 （a2）的结果是（ ） Aa5 Ba5 Ca6 Da6 3 （2 分） （2021南京二模）下列整数中，与12最接近的是（ ） A4 B3 C2 D1 4 （2 分） （2021鼓楼区二模）在平面直角坐标系中，将一次函数 y2x+1 的图象向左平移 1 个单位长度，得到的图象对应的函数
2、表达式是（ ） Ay2x+2 By2x+3 Cy2x Dy2x1 5 （2 分） （2021秦淮区一模）关于一次函数 ykx+b，有下列命题： 甲：图象过点（3，4） ；乙：b0；丙：k2；丁：图象过点（1，2） 若上述四个命题中只有一个假命题，则该命题是（ ） A甲 B乙 C丙 D丁 6 （2 分） （2021玄武区二模）某聊天软件规定：若任意连续 5 天，好友双方的每日聊天记录的条数不低于100，则双方可以获得“星形”标识甲、乙两位好友连续 5 天在该软件上聊天，下列选项中，一定能判断甲、乙获得“星形”标识的是（ ） A中位数为 110 条，极差为 20 条 B中位数为 110 条，众数为
3、 112 条 C中位数为 106 条，平均数为 102 条 D平均数为 110 条，方差为 10 条2 二填空题（共二填空题（共 10 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 2 分）分） 7 （2 分） （2017南京）计算：|3| ；(3)2= 8（2 分）（2021鼓楼区二模） 如果反比例函数 y=的图象经过点 （3， 2） ， 那么也经过点 （2， ） 9 （2 分） （2021秦淮区一模）分解因式 a21 的结果是 10 （2 分） （2021玄武区二模）分解因式（x+3） （x+1）+1 的结果是 11 （2 分） （2021南京二模） 设 x1， x2是元次程 x23x
4、40 的两个根， 则 x1x2x1x2 12 （2 分） （2021鼓楼区二模）如图，矩形 ABCD 中，AB6，AD8，顺次连接 AB、BC、CD、DA 的中点得到四边形 EFGH，那么四边形 EFGH 的面积为 13（2 分）（2021秦淮区一模） 如图， AB 是半圆的直径， C、 D 是半圆上的两点， 且BAC46， = ， 则 DAB 14 （2 分） （2021玄武区二模）如图，在ABC 中，ABAC，AB 的垂直平分线 MN 交 BC 边于点 N，垂足为 M，若 BN6，CN4，则 MN 的长为 15 （2 分） （2021南京二模）如图，在ABC 中，点 E 在 BC 上，且
5、BE3ECD 是 AC 的中点，AE、BD交于点 F，则的值为 16 （2 分） （2021鼓楼区二模）如图，在四边形 ABCD 中，BAD130，BD90，在 BC、CD上分别取一点 M、N，使AMN 的周长最小，则AMN+ANM 三解答题（共三解答题（共 11 小题，满分小题，满分 88 分）分） 17 （7 分） （2018南京）计算（m+252）324 18 （7 分） （2021玄武区二模）先化简，再求值：222+（a2b+2） ，其中 ab= 2 19 （7 分） （2021南京二模）某校开展了一次数学竞赛（竞赛成绩为百分制） ，并随机抽取了 50 名学生的竞赛成绩（本次竞赛没有满
6、分） ，经过整理数据得到以下信息： 信息一：50 名学生竞赛成绩频数分布直方图如图所示，从左到右依次为第一组到第五组（每组数据含前端点值，不含后端点值） 信息二：第三组的成绩（单位：分）为： 74，71，73，74，79，76，77，76，76，73，72，75 根据信息解答下列问题： （1）补全第二组频数分布直方图（直接在图中补全） ； （2）第三组竞赛成绩的众数是 分，抽取的 50 名学生竞赛成绩的中位数是 分； （3）若该校共有 1500 名学生参赛，请估计该校参赛学生成绩不低于 80 分的人数 20 （8 分） （2021鼓楼区二模）某学校七、八、九年级分别有 1000、1200 和
7、1400 名学生，为了了解学生对校服的满意度，随机抽取七、八年级各 100 名学生，九年级 200 名学生，进行综合评价（打分为整数，满分 100 分） ，下面给出了一些信息 信息一：七年级打分成绩的频数分布表： 分组 50 x60 60 x70 70 x80 80 x90 90 x100 人数 6 16 18 28 32 信息二：七年级学生打分在 80 x90 这一组的分数统计表： 分数 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 人数 2 3 1 0 2 2 6 2 7 3 信息三：九年级学生打分的统计表： 分数 62 63 64 66 67 68 69 71 72 73
8、74 76 77 78 人数 1 2 1 2 3 1 4 4 3 9 1 1 3 3 分数 80 81 82 83 84 86 88 89 90 92 93 95 96 98 人数 5 17 9 15 20 18 16 12 20 10 4 5 5 6 信息四：三个年级打分成绩的平均数、中位数、众数如表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 82 a 88 八年级 86 84.5 86 九年级 84 b c （1）表中 a ；b ；c ； （2）此次调查中，满意度较高的是哪一个年级，请说明理由； （3）如果全校 3600 名学生全部参与打分，你估计打分在 85 分以上（含 85 分）的约有多少
9、人？ 21 （8 分） （2021秦淮区一模）某初中学校共有 2000 名学生为增强学生安全防护意识，该校提出“预防千万条，口罩第一条”的倡议提倡在上学和放学途中佩戴口罩学校数学兴趣小组采取简单随机抽样的方法，抽取了部分学生，了解其在上学和放学途中佩戴口罩的情况 收集数据 （1）数学兴趣小组设计了以下三种调查方案： 方案一：从初一年级随机抽取 8 个班级共 300 名学生进行调查； 方案二：分别从三个年级随机抽取各 100 名学生进行调查； 方案三：随机抽取 300 名女生进行调查 其中抽取的样本具有代表性的方案是 整理数据 数学兴趣小组采取 （1） 中的具有代表性的方案进行了一周的调查， 根
10、据调查， 将数据绘制成条形统计图： （2）估计全校周五上学途中佩戴口罩的学生人数是多少？ 分析数据 （3）比较这一周抽样学生上学、放学途中佩戴口罩的情况，写出一条正确的结论 22 （8 分） （2021玄武区二模）如图，某海域有两个海岛 A，B，海岛 B 位于海岛 A 的正南方向，这两个海岛之间有暗礁，灯塔 C 位于海岛 A 的南偏东 47.5方向，海岛 B 的北偏东 70方向，一艘海轮从海岛 B 出发，沿正南方向航行 32 海里到达 D 处，测得灯塔 C 在北偏东 37方向上求海岛 A，B 之间的距离 （参考数据：tan370.75，tan47.51.10，tan702.75） 23 （8
11、分） （2021南京二模）如图，港口 B 位于港口 A 北偏东 37的方向，两港口距离为 30 海在港口 A 处测得一艘军舰在北偏东 45方向的 C 处，在港B 处测得该军舰在北偏东 51方向求该军舰距港口 B 的距离 BC （结果保留整数） （参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75，cos510.63，tan511.23） 24 （8 分） （2021鼓楼区二模）已知关于 x 的一元二次方程（x1） （x2）m+1（m 为常数） （1）若它的一个实数根是方程 2（x1）40 的根，则 m ，方程的另一个根为 ； （2）若它的一个实数根是关于 x 的方程 2（xm
12、）40 的根，求 m 的值； （3）若它的一个实数根是关于 x 的方程 2（xn）40 的根，求 m+n 的最小值 25 （8 分） （2021秦淮区一模）如图，在 RtABC 中，BAC90，AB6，AC8分别延长 BA、AB、CA、AC 至点 D、E、F、G，使得 ADAFBC，BE8，CG6 （1）经过 D、E、G 三点作O； （尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：点 F 在O 上； （3）O 的半径长为 26 （10 分） （2021玄武区二模）在ABC 中，AC6，BC8，经过 A，C 的O 与 BC 边另一个公共点为 D，与 AB 边另一个公共点为 E，连接 CE （1
13、）如图，若ACB90，ACEC，求O 的半径； （2）如图，作BEFACE，交 BC 边于点 F求证：直线 EF 与O 相切 27 （9 分） （2021南京二模） （1）如图，ABAC，点 P 为 BC 上一点，BAP30，PAC45，求的值； （2）如图，ABAC，DBDC，点 P 为 BC 上一点，求证=； （3）如图，O 是ABC 的内切圆，切点分别为 D、E、F，连接 EF 与 DO 相交于点 I，连接 AI 并延长交 BC 于点 G求证 BGCG 参考答案解析参考答案解析 一选择题（共一选择题（共 6 小题，满分小题，满分 12 分，每小题分，每小题 2 分）分） 1 （2 分）
14、（2021秦淮区一模）4 的算术平方根是（ ） A4 B4 C2 D2 【考点】算术平方根 【分析】根据算术平方根的定义即可求出答案 【解答】解：224， 4 的算术平方根是 2， 故选：D 【点评】 本题考查算术平方根， 解题的关键是正确理解算术平方根与平方根的定义， 本题属于基础题型 2 （2 分） （2021玄武区二模）计算（a）3 （a2）的结果是（ ） Aa5 Ba5 Ca6 Da6 【考点】同底数幂的乘法 【专题】整式；运算能力 【分析】根据同底数幂的乘法法则计算即可，同底数幂相乘，底数不变，指数相加 【解答】解： （a）3 （a2）（a3） （a2）a5 故选：A 【点评】本题考
15、查了同底数幂的乘法，熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关键 3 （2 分） （2021南京二模）下列整数中，与12最接近的是（ ） A4 B3 C2 D1 【考点】估算无理数的大小 【专题】实数；数感 【分析】求出 3124，再得出选项即可 【解答】解：91216， 3124， 又3.5212.2512， 与12最接近的是 3 故选：B 【点评】本题考查了估算无理数的大小，能估算出12接近的整数是解题关键 4 （2 分） （2021鼓楼区二模）在平面直角坐标系中，将一次函数 y2x+1 的图象向左平移 1 个单位长度，得到的图象对应的函数表达式是（ ） Ay2x+2 By2x+3 Cy2x Dy
16、2x1 【考点】一次函数图象与几何变换；一次函数的图象；正比例函数的图象 【专题】一次函数及其应用；应用意识 【分析】直接根据“左加右减”的原则进行解答即可 【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将一次函数 y2x+1 的图象向左平移 1 个单位，所得图象的解析式为 y2（x+1）+1，即 y2x+3 故选：B 【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键 5 （2 分） （2021秦淮区一模）关于一次函数 ykx+b，有下列命题： 甲：图象过点（3，4） ；乙：b0；丙：k2；丁：图象过点（1，2） 若上述四个命题中只有一个假命题，则该命题是（ ） A
17、甲 B乙 C丙 D丁 【考点】命题与定理 【专题】一次函数及其应用；推理能力 【分析】若一次函数同时经过（3，4） ， （1，2）两点，则 k1，b1，此时可判断乙、丙都是假命题，不满足题意；若一次函数经过（3，4） ，当 k2，b20，满足题意 【解答】解：若一次函数同时经过（3，4） ， （1，2） ，则 3k+b4，k+b2，解得 k1，b1，此时乙、丙都是假命题， 所以一次函数不经过（3，4） ， （1，2） ， 若一次函数经过（3，4） ，则 3k+b4，当 k2 时，b20，此时甲、乙、丙为真命题，丁为假命题 故选：D 【点评】本题考查了命题于定理：命题的“真” “假”是就命题的内
18、容而言任何一个命题非真即假要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可也考查了一次函数图象上点的坐标特征 6 （2 分） （2021玄武区二模）某聊天软件规定：若任意连续 5 天，好友双方的每日聊天记录的条数不低于100，则双方可以获得“星形”标识甲、乙两位好友连续 5 天在该软件上聊天，下列选项中，一定能判断甲、乙获得“星形”标识的是（ ） A中位数为 110 条，极差为 20 条 B中位数为 110 条，众数为 112 条 C中位数为 106 条，平均数为 102 条 D平均数为 110 条，方差为 10 条2 【考点】方差；算术平均数；中位数；
19、众数；极差 【专题】统计的应用；应用意识 【分析】根据数据的特点进行估计出甲、乙、丙三地连续 5 天的日平均温度的记录数据，分析数据的可能性进行解答即可得出答案 【解答】解：A、B、C 三个选项中，最小的数都可能小于 100，故不一定能判断甲、乙获得“星形”标识； D 选项中，设 5 个数分别为 x1，x2，x3，x4，x5 则 S2=15（x1110）2+（x2110）2+（x3110）2+（x4110）2+（x5110）2， 若 x1，x2，x3，x4，x5中有一个数小于或等于 100，则 S2(100110)25=20， 若 S210，则 x1，x2，x3，x4，x5中每一个数都大于 1
20、00， 一定能判断甲、乙获得“星形”标识的是 D， 故选：D 【点评】本题主要了进行简单的合情推理解答此题应结合题意，根据平均数与方差的计算方法进行解答 二填空题（共二填空题（共 10 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 2 分）分） 7 （2 分） （2017南京）计算：|3| 3 ；(3)2= 3 【考点】二次根式的性质与化简；绝对值 【分析】根据绝对值的性质，二次根式的性质，可得答案 【解答】解：|3|3，(3)2= 32=3， 故答案为：3，3 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，利用二次根式的性质是解题关键 8 （2 分） （2021鼓楼区二模） 如果反比例函数 y
21、=的图象经过点 （3， 2） ，那么也经过点 （2， 3 ） 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征 【专题】反比例函数及其应用；运算能力 【分析】将（3，2）代入反比例函数解析式求得 k 的值，再将 x2 代入求得 y 的值，结论可得 【解答】解：将（3，2）代入反比例函数 y=得：k6 反比例函数解析式为：y= 6 当 x2 时，y3 反比例函数也经过点（2，3） 故答案为：3 【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，待定系数法确定函数解析式待定系数法是求函数解析式中未知系数的常用方法 9 （2 分） （2021秦淮区一模）分解因式 a21 的结果是 （a1） （a+1） 【考
22、点】因式分解运用公式法 【专题】整式；符号意识 【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案 【解答】解：原式（a1） （a+1） 故答案为： （a1） （a+1） 【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键 10 （2 分） （2021玄武区二模）分解因式（x+3） （x+1）+1 的结果是 （x+2）2 【考点】因式分解运用公式法 【专题】因式分解；运算能力 【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，再利用完全平方公式分解即可 【解答】解：原式x2+4x+4 （x+2）2 故答案为： （x+2）2 【点评】此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握完全平方公式分解因式是解本
23、题的关键 11 （2 分） （2021南京二模） 设 x1， x2是元次程 x23x40 的两个根， 则 x1x2x1x2 7 【考点】根与系数的关系 【专题】一元二次方程及应用；运算能力 【分析】 根据根与系数的关系得到 x1+x23， x1x24， 然后利用整体代入的方法计算 x1x2x1x2值 【解答】解：根据题意得 x1+x23，x1x24， 所以 x1x2x1x2x1x2（x1+x2）437 故答案为7 【点评】 本题考查了根与系数的关系： 若x1， x2是一元二次方程ax2+bx+c0 （a0） 的两根时， x1+x2= ，x1x2= 12 （2 分） （2021鼓楼区二模）如图，
24、矩形 ABCD 中，AB6，AD8，顺次连接 AB、BC、CD、DA 的中点得到四边形 EFGH，那么四边形 EFGH 的面积为 24 【考点】中点四边形；矩形的性质 【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力 【分析】根据矩形的性质推出 BEAF，BEAF 得到平行四边形 BHFA，推出 ABHF，ABHF，同理得到 BCEG，BCEG，推出 HFEG，根据三角形的面积公式求出即可 【解答】解：连接 HF、EG， 矩形 ABCD， BCAD，BCAD， H、F 分别为边 DA、BC 的中点， AHBF， 四边形 BFHA 是平行四边形， ABHF，ABHF， 同理 BCEG，BCEG， ABBC，
25、 HFEG， 四边形 EFGH 的面积是12EGHF=126824 故答案为：24 【点评】 本题主要考查对矩形的性质， 平行四边形的性质和判定， 三角形的面积等知识点的理解和掌握，能求出 HF、EG 的长和 HFEG 是解此题的关键 13（2 分）（2021秦淮区一模） 如图， AB 是半圆的直径， C、 D 是半圆上的两点， 且BAC46， = ， 则 DAB 68 【考点】圆心角、弧、弦的关系 【专题】圆的有关概念及性质；推理能力 【分析】根据圆周角定理及已知可求得B 的度数，从而可求得ADC 的度数，再根据三角形内角和公式即可求得DAC 的度数，从而可得出BAD 的度数 【解答】解：A
26、B 是半圆 O 的直径， ACB90， BAC46， B44 ADC18044136 = ， ADDC DACDCA=1801362=22， BADDAC+BAC22+4668 故答案是：68 【点评】本题利用了圆周角定理，三角形的内角和定理，直径对的圆周角是直角求解 14 （2 分） （2021玄武区二模）如图，在ABC 中，ABAC，AB 的垂直平分线 MN 交 BC 边于点 N，垂足为 M，若 BN6，CN4，则 MN 的长为 21 【考点】等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力 【分析】如图，连接 AN，过点 N 作 NEAC 于 E，设 AB
27、2x，则 AC2x，根据等角的余弦列式可得CE 和 AE 的长，利用勾股定理列方程可得 x 的值，最后根据勾股定理计算可得 MN 的长 【解答】解：如图，连接 AN，过点 N 作 NEAC 于 E， 设 AB2x，则 AC2x， AB 的垂直平分线 MN 交 BC 边于点 N， ANBN6，BMx， ABAC， BC， cosBcosC， =，即6=4， CE=23x， AE2x23x=43x， 由勾股定理得：EN2AN2AE2CN2CE2， 62（43x）242（23x）2， 解得：x= 15（负值舍去） ， MN= 2 2=62 (15)2= 21， 故答案为：21 【点评】本题考查的知识
28、点为线段的垂直平分线性质，勾股定理以及等腰三角形的性质；正确作出辅助线是解答本题的关键 15 （2 分） （2021南京二模）如图，在ABC 中，点 E 在 BC 上，且 BE3ECD 是 AC 的中点，AE、BD交于点 F，则的值为 43 【考点】平行线分线段成比例 【专题】图形的相似；推理能力 【分析】 过E点作EHAC交BD于H， 如图， 根据平行线分线段成比例定理， 由EHCD得到=34， 由于ADCD，则=34，然后利用 EHAD，根据平行线分线段成比例定理得的值 【解答】解：过 E 点作 EHAC 交 BD 于 H，如图， EHCD， =， BE3EC， =34=34， D 是 A
29、C 的中点， ADCD， =34， EHAD， =43 故答案为43 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例 16 （2 分） （2021鼓楼区二模）如图，在四边形 ABCD 中，BAD130，BD90，在 BC、CD上分别取一点 M、N，使AMN 的周长最小，则AMN+ANM 100 【考点】轴对称最短路线问题 【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力 【分析】延长 AB 到 A使得 BAAB，延长 AD 到 A使得 DAAD，连接 AA与 BC、CD 分别交于点 M、N，此时AMN 周长最小，推出AMN+ANM2（A+A）即可
30、解决 【解答】解：如图，延长 AB 到 A使得 BAAB，延长 AD 到 A使得 DAAD，连接 AA与BC、CD 分别交于点 M、N A、A关于 BC 对称，A、A关于 CD 对称， AMAM，ANAN， 此时AMN 的周长最小值等于 AA的长， BABA，NANA， AMAB，ANAD， AMNA+MAB2A，ANMA+NAD2A， AMN+ANM2（A+A） ， BAD130， A+A180BAD50， AMN+ANM250100 故答案为：100 【点评】本题考查轴对称变换、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理等知识的运用凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变
31、换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点 三解答题（共三解答题（共 11 小题，满分小题，满分 88 分）分） 17 （7 分） （2018南京）计算（m+252）324 【考点】分式的混合运算 【专题】计算题；分式 【分析】根据分式混合运算顺序和运算法则计算可得 【解答】解：原式（24252）32(2) =(+3)(3)22(2)3 2（m+3） 2m+6 【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则 18 （7 分） （2021玄武区二模）先化简，再求值：222+（a2b+2） ，其中 ab= 2 【考点】分式的化简求值 【专题】分式；运算能力 【分析】
32、 根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后将 ab 的值代入化简后的式子即可解答本题 【解答】解：222+（a2b+2） =(+)()(+)（22+2） =22+2 =()2 =1， 当 ab= 2时，原式=12=22 【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法 19 （7 分） （2021南京二模）某校开展了一次数学竞赛（竞赛成绩为百分制） ，并随机抽取了 50 名学生的竞赛成绩（本次竞赛没有满分） ，经过整理数据得到以下信息： 信息一：50 名学生竞赛成绩频数分布直方图如图所示，从左到右依次为第一组到第五组（每组数据含前端点值，不含后端点值） 信息二：第三
33、组的成绩（单位：分）为： 74，71，73，74，79，76，77，76，76，73，72，75 根据信息解答下列问题： （1）补全第二组频数分布直方图（直接在图中补全） ； （2）第三组竞赛成绩的众数是 76 分，抽取的 50 名学生竞赛成绩的中位数是 78 分； （3）若该校共有 1500 名学生参赛，请估计该校参赛学生成绩不低于 80 分的人数 【考点】频数（率）分布直方图；中位数；众数 【专题】统计的应用；数据分析观念 【分析】 （1）计算出第 2 组 6070 组的人数，即可补全频数分布直方图； （2）根据中位数、众数的意义，分别求出第 3 组的众数，样本中位数； （3）样本估计总体
34、，样本中 80 分以上的占20+450，因此估计总体 1500 人的20+450是 80 分以上的人数 【解答】解： （1）第 2 组 6070 组的人数为：5041220410（人） ， 补全频数分布直方图如图所示： （2）第 3 组数据出现次数最多的是 76，共出现 3 次，因此众数是 76， 抽取的 50 人的成绩从小到大排列处在第 25、26 位的两个数的平均数为（77+79）278（分） ，因此中位数是 78， 故答案为：76，78； （3）150020+450=720（人） ， 答：估计该校参赛学成绩不低于 80 分的人数有 720 人 【点评】本题考查频数分布直方图、中位数、众数
35、的意义，掌握中位数、众数的意义是求出答案的前提，理解频数分布直方图的意义是解决问题的关键 20 （8 分） （2021鼓楼区二模）某学校七、八、九年级分别有 1000、1200 和 1400 名学生，为了了解学生对校服的满意度，随机抽取七、八年级各 100 名学生，九年级 200 名学生，进行综合评价（打分为整数，满分 100 分） ，下面给出了一些信息 信息一：七年级打分成绩的频数分布表： 分组 50 x60 60 x70 70 x80 80 x90 90 x100 人数 6 16 18 28 32 信息二：七年级学生打分在 80 x90 这一组的分数统计表： 分数 80 81 82 83
36、84 85 86 87 88 89 人数 2 3 1 0 2 2 6 2 7 3 信息三：九年级学生打分的统计表： 分数 62 63 64 66 67 68 69 71 72 73 74 76 77 78 人数 1 2 1 2 3 1 4 4 3 9 1 1 3 3 分数 80 81 82 83 84 86 88 89 90 92 93 95 96 98 人数 5 17 9 15 20 18 16 12 20 10 4 5 5 6 信息四：三个年级打分成绩的平均数、中位数、众数如表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 82 a 88 八年级 86 84.5 86 九年级 84 b c （1）
37、表中 a 85.5 ；b 84 ；c 84 和 90 ； （2）此次调查中，满意度较高的是哪一个年级，请说明理由； （3）如果全校 3600 名学生全部参与打分，你估计打分在 85 分以上（含 85 分）的约有多少人？ 【考点】众数；用样本估计总体；频数（率）分布表；加权平均数；中位数 【专题】统计的应用；应用意识 【分析】 （1）根据众数和中位数的概念求解可得； （2）可从平均数及中位数比较得出答案（答案不唯一，合理均可） ； （3）用七、八、九年级人数乘以样本中七、八、九年级打分在 85 分以上（含 85 分）的学生人数所占比例即可得 【解答】解： （1）七年级学生打分成绩的中位数 a（8
38、5+86）285.5， 九年级学生打分成绩的中位数 b（84+84）284， 九年级学生打分成绩的众数 c84 和 90； 故答案为：85.5，84，84 和 90； （2）满意度较高的是七年级， 理由：七年级的中位数大于八、九年级的中位数，超过一半的学生打分超过 85 分， 满意度较高的是七年级； （3）100052100+120012+140096200=1792（人） 答：估计打分在 85 分以上（含 85 分）的约有 1792 人 【点评】本题主要考查平均数、中位数、众数及频数分布表，解题的关键是掌握平均数、众数、中位数的概念及样本估计总体思想的运用 21 （8 分） （2021秦淮区
39、一模）某初中学校共有 2000 名学生为增强学生安全防护意识，该校提出“预防千万条，口罩第一条”的倡议提倡在上学和放学途中佩戴口罩学校数学兴趣小组采取简单随机抽样的方法，抽取了部分学生，了解其在上学和放学途中佩戴口罩的情况 收集数据 （1）数学兴趣小组设计了以下三种调查方案： 方案一：从初一年级随机抽取 8 个班级共 300 名学生进行调查； 方案二：分别从三个年级随机抽取各 100 名学生进行调查； 方案三：随机抽取 300 名女生进行调查 其中抽取的样本具有代表性的方案是 方案二 整理数据 数学兴趣小组采取 （1） 中的具有代表性的方案进行了一周的调查， 根据调查， 将数据绘制成条形统计图
40、： （2）估计全校周五上学途中佩戴口罩的学生人数是多少？ 分析数据 （3）比较这一周抽样学生上学、放学途中佩戴口罩的情况，写出一条正确的结论 【考点】条形统计图；抽样调查的可靠性；用样本估计总体 【专题】统计与概率；数据分析观念 【分析】 （1）根据题意和选取样本要具有代表性，可以判断哪个方案最合理； （2）根据统计图中的数据和题意，可以计算出全校周五上学途中佩戴口罩的学生人数是多少； （3）根据题意和统计图中的数据，可以写出正确的结论，注意本题答案不唯一 【解答】解： （1）由题意可得， 其中抽取的样本具有代表性的方案是方案二， 故答案为：方案二； （2）2000222300=1480（名）
41、 ， 即估计全校周五上学途中佩戴口罩的学生有 1480 名； （3）答案不唯一，例如， 结论 1：这一周上学途中佩戴口罩的人数（单位：名）分别是 240、210、201、213、222，由多变少再变多，说明上学途中学生在周初和周末安全防护意识较强，在周中时安全防护意识较弱 结论 2：这一周放学途中佩戴口罩的人数（单位：名）分别是 125、130、146、180、202，逐渐增加，说明在放学途中，越接近周末学生的安全防护意识越强 结论 3：这一周上学途中平均每天佩戴口罩的人数约为 217 名，放学途中平均每天佩戴口罩的人数约为157 名，217157 说明学生在上学途中安全防护意识较好，同时需要
42、加强放学途中的安全防护措施 结论 4：这一周上学途中佩戴口罩人数与放学途中佩戴口罩人数之差分别是 115、80、55、33、20，说明学生在上学途中安全防护意识较好，同时需要加强放学途中的安全防护措施 【点评】本题考查条形统计图、抽样调查、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答 22 （8 分） （2021玄武区二模）如图，某海域有两个海岛 A，B，海岛 B 位于海岛 A 的正南方向，这两个海岛之间有暗礁，灯塔 C 位于海岛 A 的南偏东 47.5方向，海岛 B 的北偏东 70方向，一艘海轮从海岛 B 出发，沿正南方向航行 32 海里到达 D 处，测得灯塔 C 在北偏
43、东 37方向上求海岛 A，B 之间的距离 （参考数据：tan370.75，tan47.51.10，tan702.75） 【考点】解直角三角形的应用方向角问题 【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识 【分析】过点 C 作 CEAD 于 E，在 RtDEC 和在 RtBCE 中，根据三角函数的定义分别用 CE 表示出 DE、BE 的长度，结合 BDDEBE 求出 CE，再在 RtACE 中，根据三角函数的定义求出 AE，根据线段的和差即可求出 AB 【解答】解：过点 C 作 CEAD 于 E， 在 RtDEC 中，CDE37， tan37=，即 DE=37， 在 RtBCE 中，CBE7
44、0， tan70=，即 BE=70， BDDEBE， 3770=32， 解得 CE33， BE=70332.75=12， 在 RtACE 中，CAE47.5， tan47.5=， 即 AE=47.530， ABAE+BE30+1242， 答：海岛 A，B 之间的距离约为 42 海里 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，正确作出辅助线，把航海中的实际问题转化为解直角三角形的问题是解题的关键 23 （8 分） （2021南京二模）如图，港口 B 位于港口 A 北偏东 37的方向，两港口距离为 30 海在港口 A 处测得一艘军舰在北偏东 45方向的 C 处，在港B 处测得该军舰在北偏东 51方向
45、求该军舰距港口 B 的距离 BC （结果保留整数） （参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75，cos510.63，tan511.23） 【考点】解直角三角形的应用方向角问题 【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识 【分析】过 B 作 BDCF 于 D，过 B 作 BEAF 于 F，在 RtABE 中，ABE37，在 RtCBD 中，BCD51，在 RtCAF 中，CAF45，根据三角函数的定义即可得到结论 【解答】解：过 B 作 BDCF 于 D，过 B 作 BEAF 于 F， 在 RtABE 中，ABE37， sin37=， AEABsin3730si
46、n37（海） ， cos37=， BEABcos3730cos37（海） ， 设 CDx 海里， 在 RtCBD 中，BCD51，tan51=， BDCDtan51tan51x， EFBDtan51x， AFtan51x+30sin37，CFx+30cos37， 在 RtCAF 中，CAF45， tan45=， 1=+303751+3037， 解得：x=30373037511， CD=30373037511（海） ， 在 RtCBD 中，BCD51， cos51=， BC=5141（海） ， 答：该军舰距港口 B 的距离 BC 为 41 海里 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，正确的作出辅
47、助线构造直角三角形是解题的关键 24 （8 分） （2021鼓楼区二模）已知关于 x 的一元二次方程（x1） （x2）m+1（m 为常数） （1）若它的一个实数根是方程 2（x1）40 的根，则 m 1 ，方程的另一个根为 x0 ； （2）若它的一个实数根是关于 x 的方程 2（xm）40 的根，求 m 的值； （3）若它的一个实数根是关于 x 的方程 2（xn）40 的根，求 m+n 的最小值 【考点】根与系数的关系；一元一次方程的解 【专题】计算题；方程思想；一元二次方程及应用；二次函数的应用；运算能力 【分析】 （1）两个方程的根相同，把（1）中的方程解出来的根代入题干的方程中求 m 即
48、可； （2）两个方程里面含有两个未知数，解决方法是消元； （3）利用题干和（3）中的两个方程消去里面的 x，得到 m 和 n 的关系式，从而构造出新的函数关系，求最小值 【解答】解： （1）解 2（x1）40 得：x3， 将 x3 代入（x1） （x2）m+1，得：m1， 将 m1 代入（x1） （x2）m+1，得：x3 或 x0， 另一个解为 x0， 故答案为 1；x0 （2）由 2（xm）40 得：x2+m， 将 x2+m 代入（x1） （x2）m+1，得（2+m1） （2+m2）m+1， 解得：m1 或 m1， 答：m 的值为 1 或1 （3）由 2（xn）40 得：x2+n， 将 x2
49、+n 代入（x1） （x2）m+1，得（2+n1） （2+n2）m+1， 整理得：mn2+n1， m+nn2+2n1（n+1）222， 当 n1 时，m+n 有最小值2， 答：m+n 的最小值为2 【点评】 本题考查一元二次方程含参及二次函数最值问题， 可将 m 或 n 视为新的未知数， 利用消元思想，将问题转化为学过的一元问题，属于基础题 25 （8 分） （2021秦淮区一模）如图，在 RtABC 中，BAC90，AB6，AC8分别延长 BA、AB、CA、AC 至点 D、E、F、G，使得 ADAFBC，BE8，CG6 （1）经过 D、E、G 三点作O； （尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
50、 （2）求证：点 F 在O 上； （3）O 的半径长为 237 【考点】作图复杂作图；勾股定理；点与圆的位置关系；三角形的外接圆与外心 【专题】作图题；几何直观；推理能力 【分析】 （1）作线段 EG，DG 的垂直平分线交于点 O，以 O 为圆心，OE 为半径作O 即可 （2）想办法证明 OFOD 即可 （3）求出 EF，证明OEF 是等腰直角三角形即可解决问题 【解答】 （1）解：如图，O 即为所求作 （2）连接 FD、OD、OE、OF、OGLM 是 EG 的垂直平分线， ADAF，ABCG，ACBE， AB+BECG+AC，即 AGAE LM 是 EG 的垂直平分线， 点 A 在 LM 上
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