1、2021-2022 学年河南省新乡市辉县市九年级上期末数学试卷学年河南省新乡市辉县市九年级上期末数学试卷 一、选择题（本大题共 10 小题，共 30 分。 ） 1. 若 =12有意义，则的取值范围是( ) A. 12且 0 B. 12 C. 12 D. 0 2. 方程( 3) + 3 = 0的解是( ) A. 3 B. 3，1 C. 1 D. 3，1 3. 如图，在5 4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1， 的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin的值为 ( ) A. 43 B. 34 C. 35 D. 45 4. 定义运算： = 2 1.例如：4 2 = 4 22 4 2 1 = 7.
2、则方程1 = 0的根的情况为( ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 5. 已知抛物线 = 2+ + 4经过(2,)和(4,)两点，则的值为 ( ) A. 2 B. 4 C. 2 D. 4 6. 某超市一月份的营业额为100万元，第一季度的营业额共800万元如果平均每月增长率为，则所列方程应为( ) A. 100(1 + )2= 800 B. 100 + 100 2 = 800 C. 100 + 100 3 = 800 D. 1001 + (1 + ) + (1 + )2 = 800 7. 如图，在 中，点、分别在边、上，连接、交于点，
3、且/， = 1， = 3， = 2，则的长为( ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 8. 如图，是 的直径，若 = 20，则 =( ) A. 40 B. 60 C. 70 D. 80 9. 如图， 在平面直角坐标系中， 已知点(3,6)、 (9,3)， 以原点为位似中心， 相似比为13， 把 缩小，则点的对应点的坐标是( ) A. (1,2) B. (9,18) C. (9,18)或(9,18) D. (1,2)或(1,2) 10. 二次函数 = 2+ + 的图象如图所示，下列结论： 0； 3 + = 0； 4 2 1时，随的增大而减小 其中正确的有( ) A. 4个 B. 3个 C.
4、 2个 D. 1个 二、填空题（本大题共 5 小题，共 15.0 分） 11. 计算：8 445 + (12)2 |3 |0的值为_ 12. 在一个不透明的布袋中装有52个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小强每次摸出一个球记录下颜色后并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.2左右，则布袋中黑球的个数可能有_ 13. 已知， 点(4,1)， (12,2)在二次函数 = 2+ 2 + 的图象上， 则1与2的大小关系为_ 14. 如图， 在 中， = 90， = 30， = 2， 将 绕点逆时针旋转30后得到 ，则图中阴影部分的面积是_ 15. 如图，四边形是边长为4的正方形，若
5、= 3，为上一个动点，把 沿着折叠， 得到 ， 若 为直角三角形， 则的长度为_ 三、计算题（本大题共 1 小题，共 8.0 分） 16. 先化简，再求值：+22+2+1+2211，其中 = 60 2 四、解答题（本大题共 5 小题，共 46.0 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. (本小题9.0分) 一个不透明的盒子中放有四张分别写有数字1，2，3，4的红色卡片和三张分别写有数字1，2，3的蓝色卡片，卡片除颜色和数字外完全相同 (1)从中任意抽取一张卡片，求该卡片上写有数字1的概率； (2)将3张蓝色卡片取出后放入另外一个不透明的盒子内，然后在两个盒子内各任意抽取一张卡片，
6、以红色卡片上的数字作为十位数， 蓝色卡片上的数字作为个位数组成一个两位数， 求这个两位数大于22的概率 18. (本小题9.0分) 如图，为 的直径，点是 上一点，与 相切于点，过点作 ，连接， (1)求证：是的平分线； (2)若 = 2， = 3，求的长 19. (本小题9.0分) 某数学兴趣小组学过锐角三角函数后，计划测量中原福塔的总高度如图所示，在处测得福塔主体建筑顶点的仰角为45，福塔顶部桅杆天线高120，再沿方向前进20到达处，测得桅杆天线顶部的侧角为53.4 (1)求中原福塔的总高度；(结果精确到1.参考数据；53.4 0.803，53.4 0.596，53.4 1.346) (2
7、)“景点简介”显示，中原福塔的高度为392米，请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议 20. (本小题9.0分) 小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为6元，当销售单价定为8元时，每天可以销售200件，市场调查反映：销售单价每提高1元，日销量将会减少10件，物价部门规定：销售单价不能超过12元，设该纪念品的销售单价为(元)，日销量为(件)，日销售利润为(元) (1)求与的函数关系式； (2)求日销售利润(元)与销售单价(元)的函数关系式，当为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润 21. (本小题10.0分) 佳佳同学想探究一元三次方程3+ 22 2 = 0的解的情况，
8、根据以往的学习经验，他想到了方程与函数的关系，一次函数 = + ( 0)的图象与轴交点的横坐标即为一元一次方程 + =0( 0)的解，二次函数 = 2+ + ( 0)的图象与轴交点的横坐标即为一元二次方程2+ + = 0( 0)的解，如：二次函数 = 2 2 3的图象与轴的交点为(1,0)和(3,0)，交点的横坐标1和3，即为2 2 3 = 0的解根据以上方程与函数的关系，如果我们知道函数 = 3+ 22 2的图象与轴交点的横坐标， 即可知方程3+ 22 2 0的解， 佳佳为了解函数 = 3+ 22 2的图象，通过描点法画函数的图象 3 52 2 32 1 12 0 12 1 32 2 8 2
9、18 0 58 98 2 158 0 358 12 (1)直接写出的值，并画出函数图象； (2)求方程的解； (3)求不等式3+ 22 2的解集 答案和解析答案和解析 1.【答案】 【解析】 【分析】 本题考查函数自变量的取值范围，解题的关键是熟练运用二次根式及分式有意义的条件，本题属于基础题型 根据二次根式及分式有意义的条件即可求出答案 【解答】 解：由题意可知：1 2 0 0， 解得： 12且 0 故选 A 2.【答案】 【解析】解：方程分解因式得：( 3)( + 1) = 0， 可得 3 = 0或 + 1 = 0， 解得：1= 3，2= 1， 故选： 方程左边分解因式后，利用两数相乘积为
10、0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解 此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的解法是解本题的关键 3.【答案】 【解析】 【分析】 本题考查了勾股定理的运用以及解锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键 过作 于，首先根据勾股定理求出，然后在 中即可求出sin的值 【解答】 解：如图，过作 于，则 = 90， = 2+ 2= 32+ 42= 5 sin =45 故选： 4.【答案】 【解析】解：由题意可知：1 = 2 1 = 0， = (1)2 4 1 (1) = 5 0， 方程有两个不相等的实数根 故选： 根据新定义运算法则以及根的判别式即可求出答案 本题考查
11、根的判别式，解题的关键是正确理解新定义运算法则，本题属于基础题型 5.【答案】 【解析】 【分析】 本题考查二次函数图象上点的坐标， 二次函数的性质， 熟练掌握二次函数图象上点的对称性是解题的关键 根据(2,)和(4,)可以确定函数的对称轴 = 1，再由对称轴是 =2即可求解，最后代入坐标求出 【解答】 解：抛物线 = 2+ + 4经过(2,)和(4,)两点， 可知函数的对称轴 = 1， 2= 1， = 2； = 2+ 2 + 4， 将点(2,)代入函数解析式，可得 = 4； 故选 B 6.【答案】 【解析】解：一月份的营业额为100万元，平均每月增长率为， 二月份的营业额为100 (1 +
12、)， 三月份的营业额为100 (1 + ) (1 + ) = 100 (1 + )2， 可列方程为100+ 100 (1 + ) + 100 (1 + )2= 800， 故选： 先得到二月份的营业额，三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额= 800，把相关数值代入即可 考查求平均变化率的方法若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为(1 )2= .得到第一季度的营业额的等量关系是解决本题的关键 7.【答案】 【解析】解： /， =13， /， ， =13， = 3 = 6， 故选： 根据平行线分线段成比例定理得到=13，证明
13、，根据相似三角形的性质计算即可 本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键 8.【答案】 【解析】解： 是直径， = 90， = 20， = 90 20 = 70， = = 70， 故选： 根据圆周角定理即可解决问题 本题考查的是圆周角定理，在解答此类问题时往往用到三角形的内角和是180这一隐含条件 9.【答案】 【解析】解：点(3,6)，以原点为位似中心，相似比为13，把 缩小， 点的对应点的坐标是(3 13,6 13)或(3 (13),6 (13)， 即(1,2)或(1,2) 故选： 根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，
14、那么位似图形对应点的坐标的比等于或解答 本题考查的是位似变换的概念和性质 10.【答案】 【解析】解： 抛物线开口向上，且与轴交于负半轴， 0， 0， 0，即4 2 0，故结论正确； 抛物线开口向上，且抛物线的对称轴为直线 = 1， 当 1时，随的增大而减小，故结论错误； 故选 B 本题主要考查二次函数的性质，以及二次函数图象与系数的关系 11.【答案】3 【解析】解：原式= 22 4 22+ 4 1 = 22 22 + 4 1 = 3 故答案为：3 直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值、二次根式的性质分别化简，进而计算得出答案 此题主要考查了实数的运算，正确化简各
15、数是解题关键 12.【答案】13 【解析】解：设袋中有黑球个， 由题意得：+52= 0.2， 解得： = 13， 经检验 = 13是原方程的解， 则布袋中黑球的个数可能有13个 故答案为：13 在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设出未知数列出方程求解 本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率 13.【答案】1 2 【解析】 【分析】 此题主要考查的是二次函数的增减性，当 0时，函数图象从
16、左至右先增加后减小 可先求二次函数 = 2+ 2 + 的对称轴为 = 2= 22= 1， 根据点、 都在对称轴左侧， 即可判断 【解答】 解：二次函数 = 2+ 2 + 的对称轴为 = 1， = 1 0， 1时，随的增大而减小， 4 12 1， 点、点均在对称轴的左侧， 1 2， 故答案为：1 2 14.【答案】43 433 【解析】解： = 90， = 30， = 60， = 2 = 4， = 3 = 23， 将 绕点逆时针旋转30后得到 ， = = 2， = = 23， = 30， = = 30， 在 中， = 30， =33 =233， = =433， 图中阴影部分的面积= 扇形 =30
17、4236012433 2 =43 433 故答案为43 433 先利用含30度的直角三角形三边的关系计算出 = 2 = 4， = 3 = 23，再根据旋转的性质得到 = = 2， = = 23， = 30，则 = 30，接着在 中计算出 =233，从而得到 =433，然后根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积= 扇形 进行计算 本题考查了扇形面积的计算： 设圆心角是， 圆的半径为的扇形面积为， 则扇形=3602或扇形=12(其中为扇形的弧长).求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积也考查了旋转的性质 15.【答案】2或10 【解析】解：根据为上一个动点， 把 沿着折叠，
18、得到 ， 若 为直角三角形， 分两种情况讨论： 当 = 90时，如图1， 点、三点共线， 根据翻折可知： = = 3， = 4， = 5， = = 5 3 = 2； 当 = 90时，如图2， 根据翻折可知： = = 90， = 90， = = 3， 四边形是正方形， = 3， = = 4 3 = 1， = 2+ 2= 32+ 11= 10 综上所述：的长为：2或10 故答案为：2或10 根据题意可得分两种情况讨论：当 = 90时，点、三点共线，当 = 90时，证明四边形是正方形，进而可求得的长 本题考查了翻折变换，解决本题的关键是利用正方形的性质、勾股定理 16.【答案】解：原式=+2(+1)
19、2+21(+1)(1) =+2+1+2 = 1+2， 当 = 60 2 = 3 2时， 原式= 132+2= 13= 33 【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由特殊锐角三角函数值得出的值，代入计算可得 本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则 17.【答案】解：(1) 在7张卡片中共有两张卡片写有数字1， 从中任意抽取一张卡片，卡片上写有数字1的概率是27； (2)组成的所有两位数列表为： 十位数 个位数 1 2 3 4 1 11 21 31 41 2 12 22 32 42 3 13 23 33 43 或列树状图为： 这个两位数大于22的概
20、率为712 【解析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比 依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能和出现所有结果的可能，然后根据概率公式求出该事件的概率 18.【答案】解：(1)证明：连接，如图， 与 相切于点， = 90， + = 90， ， = 90， + = 90， = ， = ， = ， = ， 是的平分线； (2) 是 的直径， = 90， = = 90， = ， ， =， 2= = 2 3 = 6， = 6 【解析】 (1)连接， 根据切线的性质可得 =
21、90， 再根据 ， 和半径相等即可证明是的平分线； (2)利用圆周角定理得到 = 90，再证明 ，对应边成比例即可求出的长 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系也考查了圆周角定理 19.【答案】解：设为 ，则 = ( + 120)， 在 中， = 45， = = ， = + 20， 在 中，tan =，即+120+20 1.346， 解得， 269.0， = + 120 = 389.0 389， 答：中原福塔的总高度约为389 (2)误差：392 389 = 3， 建议：多次测量，求平均值 【解析】(1)设为 ，根据等腰
22、直角三角形的性质得到 = = ，根据正切的定义列出方程，解方程即可得到答案； (2)误差：391 389，建议：多次测量，求平均值 本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键 20.【答案】解：(1)根据题意得， = 200 10( 8) = 10 + 280， 故与的函数关系式为 = 10 + 280(6 12)； (2)根据题意得， = ( 6)(10 + 280) = 10( 17)2+ 1210， 10 0， 当 + 2的解集，即为函数 = 3+ 22 2的函数值大于0的自变量的取值范围 观察图象可知，2 1 【解析】(1)求出 = 1时的函数值即可解决问题；利用描点法画出图象即可； (2)利用图象以及表格即可解决问题； (3)不等式3+ 22 + 2的解集，即为函数 = 3+ 22 2的函数值大于0的自变量的取值范围，观察图象即可解决问题 本题考查函数与图象的关系，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，学会利用图象解决一个不等式问题，属于中考常考题型
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