1、2021-2022 学年陕西省西安市阎良区九年级上期末数学试卷学年陕西省西安市阎良区九年级上期末数学试卷 一、选择题（本大题共 8 小题，共 24.0 分。 ） 1. 下列事件是必然事件的是( ) A. 边形的每个内角都相等 B. 同位角相等 C. 分式方程有增根 D. 三角形内角和等于180 2. 下列四个图分别是我国四家航空公司的，其中属于中心对称图形的是( ) A. 南方航空 B. 东海航空 C. 重庆航空 D. 海南航空 3. 随机掷一枚质地均匀的硬币，落地后其反面朝上的概率是( ) A. 14 B. 13 C. 12 D. 1 4. 若关于的方程2 6 + 9 = 0有实数根，则的取
2、值范围是( ) A. 1 B. 1 C. 6或 6 B. = 0或 6 C. 6 6 二、填空题（本大题共 5 小题，共 15.0 分） 9. 若0是关于的一元二次方程2+ 6 + + 1 = 0的一个根，则的值为_ 10. 如果一个正多边形的中心角为72，那么这个正多边形的边数是_ 11. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共30个，这些球除颜色外都相同小明每次摸一个后放回摇匀再摸，通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.2，则估计袋子中红球的个数是_ 12. 如图，在 中， = 4， = 3， = 30，将 绕点逆时针旋转60得到 11，连接1，则1的长为_ 13. 已知(3,1)，(2
3、,2)，(1,3)是抛物线 = 3( + 2)2+ 12上的点，则1，2，3的大小关系为_ 三、解答题（本大题共 13 小题，共 81.0 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14. (本小题5.0分) 解方程：( 1)2= 2( 1) 15. (本小题5.0分) 已知二次函数 = 2+ 4 + 5 (1)将 = 2+ 4 + 5化成 = ( )2+ 的形式； (2)求出这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标 16. (本小题5.0分) 如图， 圆锥的顶点为， 是底面 的一条直径， = 90， 底面半径为2， 求这个圆锥的侧面积 (结果保留根号与) 17. (本小题5.0分) 如图，已知
4、点，是 上的点，连接、，用尺规作劣弧的中点.(保留作图痕迹，不写作法) 18. (本小题5.0分) 已知：如图， 中， = 70，点，分别在，上， = ，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转70得到线段，连接 求证： 19. (本小题5.0分) 已知抛物线 = ( )2的对称轴为直线 = 2，与轴交于点(0,2) (1)求和的值； (2)求其关于轴对称的抛物线的解析式 20. (本小题5.0分) 如图，正方形内接于 ，为的中点，连接，求证： = 21. (本小题6.0分) 为了让我们的小朋友们有更好的学习环境， 我校2020年投资110万元改造硬件设施， 计划以后每年以相同的增长率进行投资，到20
5、22年投资额将达到185.9万元 (1)求我校改造硬件设施投资额的年平均增长率； (2)从2020年到2022年，这三年我校将总共投资多少万元？ 22. (本小题7.0分) 如图，是 的直径，是弦， 于点，交于点.若 = 4， = 1，求 的直径 23. (本小题7.0分) 为了弘扬中华优秀传统文化， 丰富校园文化生活，郑州某校积极筹备第十届校园艺术节，九年级一班、二班准备在“民歌串烧”“民族舞蹈”“民乐演奏”中分别选择一个节目进行表演学校把这三个节目名分别写在三张完全相同的不透明的卡片的正面上，然后将这三张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上 (1)九年级一班随机抽取一张卡片，则抽中“民族舞蹈”是_
6、事件(填“随机”或“不可能”或“必然”) (2)一班同学先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的文字后放回，二班同学再随机抽取一张卡片，记录下卡片上的节目请用列表法或画树状图法求出一班、二班同学表演不同节目的概率 24. (本小题8.0分) 某超市经销一种绿茶，每千克成本为60元，经过市场调查发现，在一段时间内，定价为70元时，销售量为100千克，且售价每增加5元，销售量就减少10千克，设该种绿茶每千克销售单价为(元)，销售利润为(元) (1)求关于的函数解析式； (2)当销售单价为多少元时，该种绿茶的销售利润最大？ 25. (本小题8.0分) 如图，在 中，是直径，是弦，平分且与 交于点，过作
7、 交的延长线于点 (1)求证：是 的切线； (2)若 = 4， = 2，求 的半径 26. (本小题10.0分) 如图，已知抛物线 = 2+ 74与轴交于，(7,0)两点，经过点(1,3)，点为抛物线的顶点 (1)求该抛物线的解析式； (2)将该抛物线向上平移74个单位长度，再向左平移6个单位长度，得到新抛物线，与轴负半轴交于点.点是新抛物线上的一个动点，连接，点为直线上的一个动点是否存在以点，、为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请求出点的横坐标；若不存在，请说明理由 答案和解析答案和解析 1.【答案】 【解析】解：.边形的每个内角都相等是随机事件； B.同位角相等是随机事件； C.分式方程
8、有增根是随机事件； D.三角形内角和等于180是必然事件； 故选： 必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件 本题考查的是对必然事件的概念的理解解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件 2.【答案】 【解析】解：、不是中心对称图形，故此选项不合题意； B、不是中心对称图形，故此选项不合题意； C、是中心对称图形，故此选项符合题意； D、不是中心对称图形，故此选项不合题意 故选： 根据中心对称图形的定义：把一个图形
9、绕某一点旋转180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案 此题主要考查了中心对称图形，关键是找出对称中心 3.【答案】 【解析】解：随机掷一枚质地均匀的硬币共有2种结果，其中落地后其反面朝上的有1种结果， 落地后其反面朝上的概率是12， 故选： 随机掷一枚质地均匀的硬币共有2种结果， 其中落地后其反面朝上的有1种结果， 再根据概率公式求解即可 本题主要考查概率公式，随机事件的概率() =事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数 4.【答案】 【解析】解：根据题意得 = (6)2 4 1 9 0， 解得 1， 即的取值范围是 1 故选： 先根据根的判别式的
10、意义得到 = (6)2 4 1 9 0，然后解不等式即可 本题考查了根的判别式： 一元二次方程2+ + = 0( 0)的根与 = 2 4有如下关系： 当 0时，方程有两个不相等的实数根；当 = 0时，方程有两个相等的实数根；当 0时，方程无实数根 5.【答案】 【解析】解：直线的距离6 8， 直线和圆相交 故选： 根据圆心到直线的距离6小于圆的半径8，则直线和圆相交 考查了直线和圆的位置关系和数量之间的等价关系：当 时，直线和圆相交 6.【答案】 【解析】解： = 2 2 + 2对称轴直线为 = 22= 1， 抛物线与轴的一个交点坐标是(1,0)， 抛物线与轴的另一个交点坐标是(3,0)， 故
11、选： 先确定抛物线的对称轴为直线 = 1，然后写出点(1,0)关于直线 = 1的对称点即可 本题考查了抛物线与轴的交点，关键是根据抛物线确定函数的对称轴 7.【答案】 【解析】解：弦/直径， = ， = = 40， 故选： 首先根据弦/直径得= ，再根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等可直接得到 = = 40 此题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，关键是掌握在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等 8.【答案】 【解析】解： = 2 4 2 = ( 2)2 6， 抛物线的顶
12、点为(2,6)， 在轴上及其下方的部分记为2， 将1沿轴向下翻折得到3，2和3两部分组成的图象记为，如图， 若直线 = 与恰有2个交点，与图象可知，的取值范围为： = 0或 1 2 【解析】解：抛物线 = 3( + 2)2+ 12的开口向上，对称轴是直线 = 2， 当 2时，随的增大而增大， (3,1)关于对称轴直线 = 2的对称点是(1,1)， 2 1 1 2， 故答案为：3 1 2 先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较即可 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键 14.【答案】解：由原方程，得 ( 1)2 2( 1) =
13、0， ( 1)( 1 2) = 0， 所以 1 = 0或 3 = 0， 解得：1= 1，2= 3 【解析】本题可以运用因式分解法解方程因式分解法解一元二次方程时，应使方程的左边为两个一次因式相乘，右边为0，再分别使各一次因式等于0即可求解 本题考查了因式分解法解一元二次方程 因式分解法解一元二次方程的一般步骤：移项，使方程的右边化为零；将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解 15.【答案】解：(1) = 2+ 4 + 5 = ( 2)2+ 9，即将 = 2+ 4 + 5化成 = ( )2+ 的形式为 = (
14、 2)2+ 9； (2) = ( 2)2+ 9， 对称轴为直线 = 2，顶点坐标为(2,9) 【解析】(1)由于二次项系数是1，所以直接加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式； (2)根据二次函数 = ( )2+ 的顶点坐标为(,)，对称轴为 = 求解即可 本题考查了二次函数解析式的三种形式，二次函数的性质，难度适中利用配方法将一般式转化为顶点式是解题的关键 16.【答案】解：圆锥的底面半径为， = 90， = ， 圆锥的母线长为22， 侧= 2 22 = 42. 【解析】应先利用勾股定理表示出圆锥的母线长，圆锥的侧面积= 底面半径母线长 本题考查了圆锥的侧面积计算公式
15、，掌握圆锥的底面半径，高，母线长组成以母线长为斜边的直角三角形是关键 17.【答案】解：如图，点即为所求 【解析】作线段的垂直平分线交于点，点即为所求 本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线的性质，垂径定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题 18.【答案】证明：将线段绕点按逆时针方向旋转70得到线段， = ， = 70， = 70， = ， = 70 = ， 在 与 中， = = = ， () 【解析】由旋转的性质知 = ， = 70，再利用即可证明结论 本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转前面对应边相等是解题的关键 19.【答案】解：(1) 对称
16、轴为直线 = 2， = 2， 与轴交于点(0,2)， 22= 2， =12； (2)抛物线关于轴的对称抛物线的顶点坐标为(2,0)， 所以，关于轴对称的抛物线的解析式为 =12( 2)2 【解析】(1)根据对称轴确定出的值，再把的值代入抛物线解析式计算即可求出的值； (2)根据关于轴对称点的横坐标互为相反数，纵坐标相同确定出对称后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式形式写出即可 本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式确定出对称轴的方法是解题的关键 20.【答案】证明：四边形是正方形， = ， = ， 为中点， = ， + = + ，即= ， = 【解析】根据圆
17、心距、弦、弧之间的关系定理解答即可 本题考查的是正方形的性质、弧长的计算、圆心距、弦、弧之间的关系，掌握圆心距、弦、弧之间的关系定理是解题的关键 21.【答案】解：(1)设我校改造硬件设施投资额的年平均增长率为， 依题意得：110(1 + )2= 185.9， 解得：1= 0.3 = 30%，2= 2.3(不合题意，舍去) 答：我校改造硬件设施投资额的年平均增长率为30% (2)110 + 110 (1 + 30%) + 185.9 = 110+ 143 + 185.9 = 438.9(万元) 答：从2020年到2022年，这三年我校将总共投资438.9万元 【解析】(1)设我校改造硬件设施投
18、资额的年平均增长率为，利用2022年投资额= 2020年投资额 (1 +年平均增长率)2，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； (2)利用这三年我校总共投资的金额= 2020年投资额+2020年投资额 (1 +年平均增长率) + 2022年投资额，即可求出结论 本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出一元二次方程；(2)根据各数量之间的关系，列式计算 22.【答案】解：连接 是 的直径，是弦， 于， 垂直平分， = 4， = 1 设半径为，则 = 2， = 1， 2= ( 1)2+ 22， =52， 的直径5 答： 的直径是
19、5 【解析】 先连接， 根据是 的直径， 是弦， 于， 得出 = ， 设半径为， 则 = 2， = 1，得到2= ( 1)2+ 22，再解方程即可 本题考查了垂径定理，用到的知识点是垂径定理、勾股定理，解题的关键是正确地构造直角三角形 23.【答案】解： (1)随机； (2)用、依次表示这三个节目， 根据题意画图如下： 由树状图可知，共有9种等可能的结果数，其中一班、二班同学表演不同节目的有6种， 则一班、二班同学表演不同节目的概率是69=23 【解析】本题考查了随机事件，列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件
20、的概率 (1)根据随机事件、必然事件和不可能事件的概念即可得出答案； (2)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有可能的结果与所有一班、二班同学表演不同节目的情况，再利用概率公式即可求得答案 24.【答案】解：(1)由题意可得， = ( 60)100 ( 70) 105 = 22+ 360 14400， 即关于的函数表达式是 = 22+ 360 14400； (2) = 22+ 360 + 14400 = 2( 90)2+ 1800， 2 0， 当 = 90时，取得最大值，此时 = 1800， 答：当销售单价为90元时，该种绿茶的销售利润最大 【解析】(1)根据题意和题目中的数据，可以写
21、出关于的函数表达式； (2)将(1)中的函数关系式化为顶点式，再根据二次函数的性质，即可得到当销售单价为多少元时，该种绿茶的销售利润最大 本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式，利用二次函数的性质解答 25.【答案】(1)证明：如图，连接， 平分， = ， = ， = ， = ， /， ， ， 为半径， 是 的切线； (2)解：如图，过点作 ，垂足为， ， ， 四边形是矩形， = = 4， = ， = 2， ， = = 2 = 2， 在 中，2= 2+ 2， 2= ( 2)2+ 16， = 5， = 2 = 13， 的直径是5 【解析】(1)连接，由题意可得 =
22、 = ，可证/，则可得 ，根据切线的判定可证是 的切线； (2)过点作 ，垂足为，可证四边形是矩形，可得 = = 6， = ，再根据勾股定理可求的长，即可求 的直径 本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，垂径定理，角平分线的性质，矩形的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键 26.【答案】解：(1)将点，坐标代入抛物线 = 2+ 74得， + 74= 349 + 7 74= 0，解得 =14 = 32， 抛物线解析式为： =14232 74； (2)将抛物线写成顶点式为： =14232 74=14( 3)2 4， 点坐标为(3,4) 将该抛物线向上平移74个单位长度，再向左平移6个
23、单位长度，得到新抛物线 =14( 3 + 6)2 4 +74=142+32， 点坐标为(6,0)， 点坐标为(1,3)，(7,0)， 直线的解析式为： =12 72， 设点坐标为(,142+32)，平行四边形顶点，可以看作对应点平移得到 当平行四边形以为边时，横纵坐标对应有 = ， = ， = + 9，=142+32 4， 点在直线上， 12( + 9) 72=142+32 4， 解得 = 2 26； 当平行四边形以为对角线时， = ， = ， = 3，= 14232 4， 点在上， 12( 3) 72= 14232 4， 解得 = 2 22 综上，点的横坐标为2 26或2 22 【解析】(1)将、两点坐标代入求解即可； (2)求出新抛物线 =14( 3 + 6)2 4 +74=142+32，则点坐标为(6,0)，求出直线的解析式为： =12 72， 设点坐标为(,142+32)， 平行四边形顶点， 可以看作对应点平移得到 分两种情况当平行四边形以为边时，当平行四边形以为对角线时，解答即可 本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，平行四边形的性质，熟练掌握二次函数的性质以及平行四边形的性质，分类求解是解题的关键
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