1、 2021-2022 学年山东省青岛市城阳区九年级学年山东省青岛市城阳区九年级上期末数学试卷上期末数学试卷 一、选择题（本大题共 8 小题，共 24 分。 ） 1. 方程2= 5的解是( ) A. = 5 B. = 0 C. 1= 5；2= 0 D. 1= 5；2= 0 2. 将一个大正方体的一角截去一个小正方体，得到的几何体如图所示，则该几何体的俯视图是( ) A. B. C. D. 3. 如图，晚上小丽在路灯下散步，在小丽由处走到处的过程中，她在地上的影子( ) A. 逐渐变长 B. 逐渐变短 C. 先变短后变长 D. 先变长后变短 4. 若点(1,4)，(2,2)，(3,4)都在反比例函
2、数 =8的图象上，则1、2、3的大小关系式( ) A. 1 2 3 B. 2 3 1 C. 3 1 2 D. 1 3 2 5. 随着新冠疫苗的全民接种，疫苗需求仍存在较大缺口，某制药公司引进一条新冠疫苗生产线，开工第一天生产疫苗8000盒，第三天生产疫苗9680盒，若每天的增长率相同，求每天的增长率是多少？设每天的增长率是，则可列方程为( ) A. 8000 = 9680 B. 8000(1 + ) = 9680 C. 8000(1 + )2= 9680 D. 8000 + 8000(1 + ) + 8000(1 + )2= 9680 6. 如图，在 中， = 90， = 5， =45，则 =
3、( ) A. 43 B. 34 C. 35 D. 无法确定 7. 如图，在正方形中， = 9，点、分别在边、上， = 120.若将四边形沿折叠，点恰好落在边上，则的长度为( ) A. 3 B. 33 C. 32 D. 3 8. 如图是二次函数 = 2+ 的大致图象，则一次函数 = ( + ) 的图象大致是( ) A. B. C. D. 二、填空题（本大题共 8 小题，共 24.0 分） 9. 计算：30 +3230 =_ 10. 在一个不透明的口袋中装有6个黄球和个白球，它们除颜色外完全相同，若从中随机摸出一球，摸到黄球的概率为14，则的值是_ 11. 如图，在一块长32、宽24米的矩形荒地上
4、，要建造一个矩形花园，图中阴影部分是花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半，花园外部四周修建宽度相同的小路，求图中的小路的宽是多少米？设小路的宽度为 ，所列方程式是_ 12. 若二次函数 = 2+ 4 2的图象与轴没有交点，则的取值范围是_ 13. 如图， 在菱形中， = 12， = 60， 是中点， 交于点，连接，则的长为_ 14. 如图，平面直角坐标系中，在轴上， = 90，点的坐标为(2,4)，将 绕点顺时针旋转90得到 ，点的对应点恰好落在反比例函数 =上，则的值为_ 15. 如图，四边形是矩形，点在线段的延长线上，连接交于点， = 2，点是的中点，若 = 1， = 10，则的长为_
5、16. 如图1，是一座抛物线型拱桥侧面示意图，水面宽与桥长均为12，在距离点3的处，测得桥面到桥拱的距离为1.5，以桥拱顶点为原点，桥面为轴建立平面直角坐标系如图2，桥面上方有3根高度均为5的支柱、，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为2，下面结论正确的是_(填写正确结论序号) 图1抛物线型拱桥的函数表达式 = 162 图2右边钢缆抛物线的函数表达式 =13( 3)2+ 2 图2左边钢缆抛物线的函数表达式 =13( + 3)2+ 2 图2在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，彩带长度的最小值是3 三、解答题（本大题共 9 小题，共 72.0 分。解答应写出文字说明，证
6、明过程或演算步骤） 17. (本小题4.0分) 已知： 中，是上一点，求作：矩形，使在边上，在边上 18. (本小题10.0分) 计算： (1)22 4 +12= 0(配方法)； (2)3( 2)2= 2 4(用适当方法) 19. (本小题6.0分) 如图是海洋公园娱乐设施“水上滑梯”的侧面图，建立如图坐标系其中段可看成是反比例函数图象的一段，矩形为向上攀爬的梯子，梯子高6米，宽1米，出口点到的距离为11米，求： (1)段所在的反比例函数关系式是什么？ (2)点到轴的距离长是多少？ (3)若滑梯上有一个小球，的高度不高于3米，则到的距离至少多少米？ 20. (本小题6.0分) 小明和小红想去观
7、看冬奥会开幕式，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏：连续转动两个转盘，每个转盘被分成了面积相等的三个扇形，两人同时转动转盘，若其中一个转盘转出蓝色，另一个转盘转出红色，则可配成紫色如果两次转盘转出的颜色相同或配成紫色，则小明去观看，否则小红去观看，你认为这个游戏对双方公平吗？ 21. (本小题8.0分) 已知：如图，中，是中点，连接，延长线交的延长线于点，连接 求证：(1) ； (2)若 = ， = 60，判断四边形的形状，并证明你的结论 22. (本小题8.0分) 如图1“海洋之星”摩天轮，是青岛最高的摩天轮如图2，小刚从摩天轮最低处出发沿水平方向向右行走15米到达，再经过一
8、段坡度为 = 3：4，坡长为5米的斜坡到达点，然后再沿水平方向向右行走一段时间后到达点.在处有一垂直地面的平台，测得 = 12米，在点处，测得点的俯角为 52，摩天轮最高处的仰角为21.所在的直线垂直于地面，垂足为，点、在同一平面内，求的长度约为多少米？(结果精确到1米，参考数据：52 0.79，52 0.62，52 1.3，21 0.36，21 0.93，21 0.4) 23. (本小题10.0分) 某公司销售一种商品，成本为4元/件，公司规定售价不能低于6元/件，经过市场调查发现，该商品的日销售量(件)与销售单价(元)是一次函数关系，其销售单价、日销售量的几组对应数值如表： 销售单价(元)
9、 8 9 10 11 12 日销售量(件) 80 75 70 65 60 (1)求出与之间的函数关系式； (2)该商品的销售单价定为多少元，公司日销售此商品获得的利润最大？最大利润是多少元？ (3)若该商品的日销售量不少于70件，公司日销售此商品获得的最大利润是多少元？ 24. (本小题10.0分) 探究一：在平面直角坐标系中探究( )2+ ( )2的几何意义 例如：已知(1,4)，(4,2)，如果要求、两点之间的距离，可以构造如图1所示的直角三角形，则、之间的距离为_ 结论：在平面直角坐标系中，已知平面内(1,1)、(2,2)两点坐标，则、两点之间的距离等于(1 2)2+ (1 2)2因此，
10、( )2+ ( )2的几何意义可以理解为点(,)与点(,)之间的距离 应用一：( + 1)2+ ( + 2)2+ ( + 3)2+ ( + 5)2的几何意义可以理解为点(,)与点(_，_)的距离和点(,)与点(_，_)的距离之和 探究二：求代数式2+ 4 + ( 3)2+ 9的最小值 解：2+ 4 + ( 3)2+ 9 = ( 0)2+ (0 2)2+ ( 3)2+ (0 3)2 如图2，建立平面直角坐标系，点(,0)是轴上一点，则( 0)2+ (0 2)2可以看成(,0)与点(_，_)的距离( 3)2+ (0 3)2可以看成点(,0)与点(_，_)的距离 所以原代数式的值可以看成线段与的长度
11、之和， + 的最小值就是原代数式的最小值， 设点关于轴的对称点为， 则 = ， 因此求 + 的最小值， 只需求 + 的最小值 而点、 之间的所有连线中线段最短，所以 + 的最小值为线段的长度为此，构造直角三角形，所以 =_ 即2+ 4 + ( 3)2+ 9的最小值为_ 拓展：代数式2 6 + 13 + 2 8 + 17的最小值为_ 25. (本小题10.0分) 已知： 如图， 在四边形中， /， = 90， = 9， = 25， = 12， 连接， 点从点出发沿方向匀速运动， 速度为4/； 同时， 点从点出发沿方向匀速运动， 速度为3/.过点作 交于点，连接，当一点停止运动时，另一点也停止运动
12、，设运动时间为()(0 4) (1)当点在线段的垂直平分线上时，求的值； (2)当四边形是矩形时，求的值； (3)设四边形的面积为(2)，求与的函数关系式； (4)取的中点，是否存在某一时刻，使得点、在同一条直线上？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由 答案和解析答案和解析 1.【答案】 【解析】解：2 5 = 0， ( 5) = 0， = 0或 5 = 0， 所以1= 0，2= 5， 故选： 先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程 本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法 2.【答案】 【解析】
13、解：这个几何体的俯视图为： 故选： 根据俯视图的画法画出它的俯视图即可 本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体的三视图的画法及形状是正确解答的前提 3.【答案】 【解析】解：在小亮从点走向点的过程中，他在地上的影子先变短后变长 故选： 小亮由处径直路灯下，他得影子由长变短，再从路灯下到处，他的影子则由短变长 本题是考查从不同方向观察物体和几何图形，关键是培养学生的观察能力 4.【答案】 【解析】解法一：解：在反比例函数 =8中， 当 = 4时，1= 2， 当 = 2时，2= 4， 当 = 4时，3= 2， 1 3 0， 函数图象在一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小，
14、点、在第一象限，且2 3 0， 点在第三象限， 1 0， 1 3 2， 故选： 解法一：直接将点、的坐标代入反比例函数 =8中，求出1、2、3，再比较大小即可 解法二：根据反比例函数的图象和性质，结合点、纵坐标的数值，即可解答 本题考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数图象的性质是解题关键 5.【答案】 【解析】解：根据题意得8000(1 + )2= 9680， 故选： 利用第三天生产疫苗的数量=第一天生产疫苗的数量 (1 +每天的增长率)2，即可得出关于的一元二次方程，此题得解 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键 6.【答案】 【解
15、析】解：在 中， = 90， = 5， =45=， = 4， = 2 2= 3， =43， 故选： 根据锐角三角函数的定义求出，再根据勾股定理求出，由锐角三角函数的定义可得答案 本题考查锐角三角函数，勾股定理，理解锐角三角函数的定义，掌握勾股定理是正确解答的前提 7.【答案】 【解析】解：在正方形中， = = 9，/， = 90， + = 180， = = 60， = 180 = 60， = 30， = 2， 又 = ， + = 9， = 3， = 6， = 62 32= 33， 故选： 根据翻折的性质和正方形及勾股定理的有关性质求解 本题考查了翻折及正方形的性质，勾股定理的应用是解题的关键
16、8.【答案】 【解析】解：由二次函数的图象可知， 0， 0， + 0， 一次函数 = ( + ) 的图象在第一、二、四象限， 故选： 根据二次函数的图象可以判断、 + 的正负情况，从而可以得到一次函数经过哪几个象限，本题得以解决 本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用函数的思想解答 9.【答案】1 【解析】解：原式=12+3233 =12+12 = 1 故答案为：1 直接利用特殊角的三角函数值代入，进而计算得出答案 此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键 10.【答案】18 【解析】解：根据题意得：66+=14， 解得 = 18 经检验， = 18是原
17、分式方程的解 故答案为：18 根据口袋中装有6个黄球和个白球，故球的总个数为(6 + )，再根据黄球的概率公式列式解答即可 此题考查了概率公式的应用用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比 11.【答案】(32 2)(24 2) =12 32 24 【解析】解：小路的宽度为 ， 矩形花园的长为(32 2)，宽为(24 2) 根据题意得：(32 2)(24 2) =12 32 24， 故答案为：(32 2)(24 2) =12 32 24 根据小路的宽度，可得出矩形花园的长为(32 2)，宽为(24 2)，结合矩形花园所占面积为荒地面积的一半，即可得出关于的一元二次方程，此题得解 本题考查
18、了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键 12.【答案】 2 【解析】解：二次函数 = 2+ 4 2的图象与轴没有交点， = 42 4 (1) (2) 2 故答案为： 2 利用判别式的意义得到 = 42 4 (1) (2) 0， 当 = 2时，最小，最小值为3 故正确 故答案为： 利用待定系数法求函数解析式，然后结合二次函数图象上点的坐标特征计算求解； 由图象分析右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为(3,2)，然后利用待定系数法求函数解析式； 用与相同的方法即可求出函数解析式； 彩带的长度为，利用13( 3)2+ 2 (162) =12( 2)2+ 3，由函数的
19、性质即可得出结论 本题考查二次函数的应用，解决此类型题一般先根据题意设出适当的二次函数表达式(一般式、顶点式或交 点式)，再结合实际和二次函数的图象与性质进行求解 17.【答案】解：如图，矩形即为所求 【解析】根据要求作出图形即可 本题考查作图复杂作图，矩形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题 18.【答案】解：(1)22 4 +12= 0， 22 4 = 12， 2 2 = 14， 2 2 + 1 = 14+ 1， ( 1)2=34， 1 = 32， 所以1= 1 +32，2= 1 32； (2)3( 2)2= 2 4， 3( 2)2 ( + 2)( 2) = 0，
20、( 2)(3 6 2) = 0， 2 = 0或3 6 2 = 0， 所以1= 2，2= 4 【解析】(1)利用配方法得到( 1)2=34，然后利用直接开平方法解方程； (2)先把方程化为3( 2)2 ( + 2)( 2) = 0，再利用因式分解法把方程转化为 2 = 0或3 6 2 = 0，然后解两个一次方程即可 本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法也考查了配方法 19.【答案】解：(1) 四边形是矩形， = = 6， = 1， (1,6)， 设双曲线的解析式为 =， = 6， 段所在的反比例函数关系式
21、是 =6； (2) = 11， 点的横坐标为12， 当 = 12时， =612=12， 长为12米； (3) 的高度不高于3米，即 3， 6 3， 解得 2， 1 1， 到的距离至少1米， 【解析】(1)根据矩形的性质得到 = = 6， = 1，求得(1,6)，设双曲线的解析式为 =，得到 = 6，于是得到结论； (2)根据题意写出点的横坐标，然后代入(1)中解析式求出即可； (3)令 3，解出的取值范围即可 本题考查了反比例函数的应用，矩形的性质，掌握的识别图形是解题的关键 20.【答案】解：这个游戏对双方不公平，理由如下： 列表如下： 红 白 蓝 红 (红，红) (白，红) (蓝，红) 黄
22、 (红，黄) (白，黄) (蓝，黄) 蓝 (红，蓝) (白，蓝) (蓝，蓝) 由表知，共有9种等可能结果，其中两次转盘转出的颜色相同或配成紫色的有4种结果， 小明去观看的概率为49， 则小红去看的概率为1 49=59， 4959， 这个游戏对双方不公平 【解析】分别计算出小明观看和小红观看的概率，比较大小即可得出结论 本题考查的是游戏公平性的判断实际考查概率的计算与游戏公平性的理解，要求学生根据题意，结合实际情况，计算并比较游戏者的胜利的概率，进而得到结论用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比 21.【答案】(1)证明：四边形是平行四边形， /， = ， 点是的中点， = ， 在 和
23、中， = = = ， ()； (2)解：四边形是矩形， 证明： ， = ， /， 四边形是平行四边形， = = ， = ， = ， /， = = 60， 是等边三角形， = = = ， = ， 平行四边形是矩形 【解析】(1)根据即可证明 ； (2)结合(1)得出 = ， 又/， 则四边形是平行四边形， 根据 = ， = 60， 得 是等边三角形，所以 = = = ，即可得出结论 此题考查平行四边形的性质， 全等三角形的判定和性质， 矩形的判定， 关键是根据证明 解 答 22.【答案】解：过点作 ，垂足为，过点作 ，垂足为， 由题意得： = = 15米， = ， = = 12米， = 21，
24、= 52，/， = = 52， 斜坡的坡度为 = 3：4， =34， 设 = 3米，则 = 4米， = 2+ 2= (3)2+ (4)2= 5(米)， = 5米， 5 = 5， = 1， = 4米， 在 中， = 12米， =52121.3 9.2(米)， = = + + = 9.2 + 4 + 15 = 28.2(米)， 在 中， = 21 28.2 0.4 = 11.28(米)， = + = 11.28 + 12 23(米)， 的长度约为23米 【解析】 过点作 ， 垂足为， 过点作 ， 垂足为， 根据题意可得： = = 15米， = ， = = 12米， = 21， = 52，/，从而利
25、用平行线的性质可得 = 52，再根据已知可设 = 3米，则 = 4米，从而利用勾股定理进行计算求出 = 4米，然后在 中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后在 中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答 本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当 的辅助线是解题的关键 23.【答案】解：(1)设与的解析式为 = + ， 将(8,80)和(10,70)代入， 可得8 + = 8010 + = 70， 解得 = 5 = 120， 与之间的函数关系式为 = 5 + 120； (2)设公司销售该商品获得的日利润为元， = (
26、4) = ( 4)(5 + 120) = 52+ 140 480 = 5( 14)2+ 500， 6，且5 + 120 0， 6 24， 5 0， 当 = 14时，有最大值，最大值为500， 答：该商品的销售单价定为14元，公司日销售此商品获得的利润最大，最大利润是500元； (3)当5 + 120 70时， 解得 10， 6 10， 由(2)知， = 5( 14)2+ 500， 5 0， 当 5(舍)或 =79324916， 故存在某一时刻 =79324916时，使得点、在同一条直线上 【解析】(1)过点作 于点，由勾股定理求得，再证明 ，用表示，由当点在线段的垂直平分线上时，得 = 2，列出的方程求得的值便可； (2)当四边形是矩形时，则/，得 ，进而列出的方程求解便可； (3)先证明 ，得 = 90，求得，再证 ，用表示，根据 = 得出结果便可； (4)过点作/，与交于点，如图，则/，当、三点共线时， ，根据相似三角形的性质列出的方程，若方程有无解，则不存在某一时刻，使得点、在同一条直线上，若方程有解，则存在某一时刻，使得点、在同一条直线上，求得其解便可 本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，三角形的面积，直角三角形的性质，求函数解析式， 构造直角三角形和证明相似三角形是解题的关键
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