1、2021-2022 学年广西贵港市桂平市九年级学年广西贵港市桂平市九年级上期末数学试卷上期末数学试卷 一、选择题（本大题共 12 小题，共 36 分。 ） 1. 60的值为( ) A. 12 B. 22 C. 2 D. 1 2. 由若干个相同的小立方体搭成的几何体的三视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方体的个数是( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 将抛物线 = ( 1)2+ 1向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得的抛物线为( ) A. = ( + 1)2 2 B. = ( 3)2 2 C. = ( + 1)2+ 4 D. = ( 3)2+ 4 4. 如表是甲、
2、乙、丙、丁四名同学参加校内某选拔赛成绩的平均分和方差要从中选一名成绩较好且发挥稳定的同学参加市级比赛，最合适的同学是( ) 项目 甲 乙 丙 丁 平均分 90 87 90 87 方差 12.5 13.5 1.2 1.3 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 5. 已知函数 =的图象在每个象限内，随的增大而减小，则下列各点不可能在该图象上的是( ) A. (2,3) B. (2,3) C. (2,3) D. (3,2) 6. 如图，以为圆心的两个同心圆中，小圆的弦的延长线交大圆于点，若 = 4， = 1，则圆环的面积是( ) A. B. 3 C. 4 D. 5 7. 如果关于的方程2 + =
3、0有实数根，那么的取值范围是( ) A. 14 B. 14 C. 14 D. 14 8. 下列命题： 长度相等的两条弧是等弧； 圆中最长的弦是直径； 等弧所对的圆心角相等； 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等其中结论错误的个数共有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 如图在，/分别与、交于、，且： = 2：1，连接、，若 的面积为1， 的面积为2，则1：2的值为( ) A. 1 B. 12 C. 13 D. 23 10. 如图，在矩形中， = 2，以点为圆心，以长为半径画弧交于点，弧的长度为23，则阴影部分的面积为
4、( ) A. 33223 B. 33243 C. 3223 D. 3243 11. 同圆的内接正三角形、正方形、正六边形边长的比是( ) A. 1：2：3 B. 1：2：3 C. 3：2：1 D. 3：4：6 12. 如图是二次函数 = 2+ + ( 0)图象的一部分， 对称轴为 =12且经过点(2,0)，下列说法： 0； 2 + = 0； 9 + 3 + 0； 若(12,1)，(152,2)是抛物线上的两点，则1 ( + )，其中 12 其中结论正确的个数共有( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（本大题共 6 小题，共 18.0 分） 13. 二次函数 =12(
5、 + 1)2 3的图象的顶点坐标是_ 14. 如图：已知：圆心角 = 110，则圆周角 =_度 15. 已知一个圆锥形帽子的高是4(接缝忽略不计)， 它的侧面展开图是圆心角为120的扇形， 则圆锥的侧面积是_(结果保留) 16. 已知关于的一元二次方程2 + 3 = 0的两个实数根分别为1，2，且12+ 22= 5，则的值是_ 17. 如图， 为锐角三角形， 是边上的高， 正方形的一边在上，顶点，分别在，上，已知 = 60， = 40，则这个正方形的面积是_ 18. 定义一种新的运算：若 = (1,1)， = (2,2)，则 = 11+ 22.例如 = (1,3)， = (2,4)，则 = 1
6、 2 + 3 4 = 14.已知 = ( + 1, 1)， = ( 3,4)，且5 2，则 的最大值是_ 三、计算题（本大题共 1 小题，共 10.0 分） 19. 计算：(3 2)0 (2)1+ | 1| 30； 四、解答题（本大题共 7 小题，共 56.0 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 20. (本小题5.0分) 如图，求作 的外接圆 21. (本小题6.0分) 如图，在平面直角坐标系中，一次函数1= + (,为常数，且 0)与反比例函数2=(为常数，且 0)的图象交于点(2,1)，(1,) (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)直接写出当1 0 方程有两个不相等的
7、实数根； (2) = 0 方程有两个相等的实数根； (3) 0 方程没有实数根 8.【答案】 【解析】解：在等圆或同圆中，长度相等的两条弧是等弧，原命题是假命题； 圆中最长的弦是直径，是真命题； 在等圆或同圆中，等弧所对的圆心角相等，原命题是假命题； 垂直于弦(非直径)的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，原命题是假命题； 三角形的内心到三角形三条边的距离相等，原命题是假命题； 故选： 根据三角形的内接圆与内心，圆的性质，垂径定理判断即可 本题考查了三角形的内接圆与内心，圆的性质，垂径定理，正确的理解题意是解题的关键 9.【答案】 【解析】解：如图，连接， /， = ， ： = 2：1，
8、：= 2：1， 设 的面积为9， 则= 6，= 3， 同理可得，= 3， 四边形是平行四边形， = = 9， 平行四边形= 18， /， ， ： = 2：3， ：= 4：9， = 4， = 平行四边形 = 8， 1：2= ：= 1：2 故选： 连接，由同底等高可得= ，因为： = 2：1，所以：= 2：1.设 的面积为9， 则= 6， = 3， 同理可得， = 3， 由平行四边形的性质可得平行四边形= 18，因为/，所以 ，则： = 2：3，所以：= 4：9，所以= 4，由此可得= 平行四边形 = 8，进而可得出结论 本题主要考查相似三角形的性质与判定，三角形的面积等相关知识，得出 的面积是解
9、题关键 10.【答案】 【解析】解：弧的长度为23， 2180=23， = 60， = 30， =12 = 1， = 3， 阴影部分的面积为2 3 12 1 3 6022360=33223 故选： 根据弧的长度为23，可求出 = 60，所以 = 30， =12 = 1， = 3，再分别求出扇形和矩形、 的面积，即可得出答案 本题考查了矩形的性质、弧长的计算、扇形的面积公式和直角三角形的性质等知识点，根据弧长公式能求出的度数是解此题的关键 11.【答案】 【解析】解：设圆的半径为， 如图(一)， 连接，过作 于， 则 = 30， =32， 故 BC= 2 = 3； 如图(二)， 连接、，过作 于
10、， 则 是等腰直角三角形， 22= 2，即 =22， 故 BC= 2； 如图(三)， 连接、，过作 ， 则 是等边三角形， 故 AG=12， = 2 = ， 圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为3：2： = 3：2：1 故选 C 根据题意画出图形，设出圆的半径，再由正多边形及直角三角形的性质求解即可 本题考查的是圆内接正三角形、正方形及正六边形的性质，根据题意画出图形，作出辅助线构造出直角三角形是解答此题的关键 12.【答案】 【解析】解：抛物线开口向下， 0， 抛物线与轴交点在轴上方， 0， 0，正确 抛物线经过(2,0)，对称轴为直线 =12， 抛物线经过(1,0)，即 + = 2
11、 + = 0，正确 = 3时， = 9 + 3 + 0， 正确 12 (12) 2，不正确 抛物线开口向下，对称轴是直线 =12， 当 =12时，抛物线取得最大值= (12)2 +12 + =14 + ， 当 = 时，= 2+ + = ( + ) + ，且 12， 14 + 2+ + 即14 ( + )， 故正确 综上，结论正确 故选： 抛物线开口向下，且交轴于正半轴及对称轴为 =12，推导出 0、 0以及与之间的关系： = ；根据二次函数图象经过点(3,0)，可得出9 + 3 + 0；再由二次函数的对称性，当 0， 关于的一元二次方程2 + 3 = 0一定有两个不相等的实数根， 关于的一元二
12、次方程2 + 3 = 0的两个实数根分别为1，2， 1+ 2= ，12= 3， 12+ 22= 5， (1+ 2)2 212= 5， 2 2( 3) = 5， 整理得出：2 2 + 1 = 0， 解得：1= 2= 1， 故答案为：1 利用根与系数的关系得出1+ 2= ，12= 3，进而得出关于的一元二次方程求出即可 本题考查了一元二次方程2+ + = 0( 0,为常数)根与系数的关系： 1+ 2= ， 12= 17.【答案】5762 【解析】解：四边形是正方形， /， 如图，设与交于点 = = = 90， 四边形是矩形， = ， 设正方形的边长为 ， ， =， 60=4040， = 24， 正
13、方形的面积为：24 24 = 576(2)， 故答案为：5762 根据/得出 ，设与交于点，证明四边形是矩形，设正方形边长为，再利用 ，得=，列出方程即可解决问题 本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定与性质，相似三角形对应高的比等于相似比是解题的关键 18.【答案】8 【解析】解：根据题意知： = ( + 1)( 3) + 4( 1) = ( + 1)2 8 因为5 2， 所以当 = 5时， 取最大值，此时 = (5 + 1)2 8 = 8 即 的最大值是8 故答案是：8 根据平面向量的新定义运算法则，列出关于的二次函数，根据二次函数最值的求法解答即可 本题主要考查了平面向量
14、，解题时，利用了二次函数的性质，并利用配方法求得二次函数的最值 19.【答案】解：原式= 1 (12) + 1 12 = 1 +12+ 1 12 = 2 【解析】原式先利用零指数幂、负整数指数幂运算法则，绝对值的代数意义，特殊角的三角函数值进行计算，再根据有理数的加减运算法则计算即可得到结果 本题考查了实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，熟练掌握相关运算法则是解题关键 20.【答案】解：如图所示： 圆就是所求的圆 【解析】和的中垂线的交点就是圆心，则以为圆心，以为半径作圆即可 本题考查了三角形的外接圆的作法，正确确定圆心是关键，三角形的外接圆的圆心是三角形的各边的中垂线的交点 21.【答
15、案】解：(1)将点(2,1)代入反比例函数2=中，得1 =2， 解得： = 2 故反比例函数的解析式为2=2 令 = 1，则 =21= 2， 即点的坐标为(1,2) 将(2,1)、(1,2)代入一次函数1= + 中，得1 = 2 + 2 = + ， 解得： = 1 = 1 故一次函数解析式为1= 1 (2)观察图象可知当直线的图象在反比例函数图象的上方时有1 2， 当 2时，1 2； 当0 1时，1 2 故当1 2时，自变量的取值范围为2 1 【解析】(1)根据点的坐标可以求出的值，即得出反比例函数的解析式；再代入 = 1，可以求出的值，由此得出点的坐标，将、的坐标代入一次函数解析式，得出关于
16、、的二元一次方程组，解方程组即可得出结论； (2)显然当1 ， = 8， = 1， = 2， = 2 2= 64 4 = 215 【解析】(1)如图，连接，欲证明是 的切线，只需证得 = 90，即 即可； (2)由 的对应边成比例求得 = = 2 4 = 8， 结合已知条件“ + = 9”，则、是关于的方程2 9 + 8 = 0的两个根据此求得、的值，所以在直角 中，根据勾股定理来求线段的长度即可 本题考查了切线的判定， 相似三角形的判定和性质等知识点要证某线是圆的切线， 已知此线过圆上某点，连接圆心与这点(即为半径)，再证垂直即可 25.【答案】解：(1)二次函数 = 2+ + 的图象经过(
17、1,0)，(3,0)两点， 1 + + = 09 = 0 3 + ， 解得 = 2 = 3 二次函数的解析式为 = 2+ 2 + 3； (2)设 = 0， = 3， (0,3)， = 3， 设点的坐标为(,2+ 2 + 3)， = 4， 12 3 | = 4 12 3 1， | = 4， = 4， 当 = 4时，2+ 2 + 3 = 16 + 8 3 = 21； 当 = 4时，2+ 2 + 3 = 16 8 3 = 5， 点的坐标为(4,21)或(4,5)； (3)在 中， tan = 1， = ， = 45， 分情况讨论： = 时， 为等腰直角三角形， = = 45， = 45， 此时点与点
18、重合 (3,0)； 当 = 时，则 = = 45， = 90， 此时点与点重合，(3,0)； 当 = 时，则 = 90， 设与轴交于点， = = 45， = = 1， (0,1)， 设直线的解析式为 = + ，则0 = + 1 = ， 解得 = 1 = 1， 直线的解析式为 = 1， 设(,2+ 2 + 3)， 2+ 2 + 3 = 1， 解得： = 1(不合题意)， = 2， (2,3)， 综上所述，(3,0)或(2,3) 【解析】(1)根据已知的两点的坐标代入二次函数的解析式即可求得两个待定系数，从而确定二次函数的解析式； (2)首先求得点的坐标，然后设点的坐标为(,2+ 2 + 3)，根
19、据= 4求得| = 4，从而求得的值，代入点即可求解； (3)分 = 时、 当 = 时、 当 = 时三种情况利用等腰直角三角形的性质求得(3,0)或(2,3) 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果 26.【答案】15 【解析】解：(1) 四边形是矩形， = 90， 将 沿翻折，使点恰好落在边上点处 = ， = ， = = 90， = 2， = 2， = 30， 四边形是矩形， /， = = 30， =12 = 15； 故答案为：15 (3)过点作 于点，如图2： = + ， =12 =12， = ， =1
20、2， = ， = = 90， ， =12， 设 = ， 平分， ， ， = = ， = = 2， 设 = ，则 = 2， 2+ 2= 2， (2)2+ (2)2= (2 + )2， 解得 =43. = + = 2 +43 =103. cos =2103=35 (1)由折叠的性质得出 = ， = ，根据直角三角形的性质得出 = 30，可求出答案； (2)过点作 于点，证明 ，=12，设 = ，设 = ，则 = 2，由勾股定理得出(2)2+ (2)2= (2 + )2，解出 =43，则可求出答案 本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，直角三角形的性质，折叠的性质，角平分线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质及矩形的性质是解题的关键
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