1、6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理【知识点梳理】知识点一：分类加法计数原理(也称加法原理)1分类加法计数原理：完成一件事,有类办法.在第1类办法中有种不同方法,在第2类办法中有种不同的方法,在第类办法中有种不同方法,那么完成这件事共有种不同的方法.2加法原理的特点是： 完成一件事有若干不同方法，这些方法可以分成n类； 用每一类中的每一种方法都可以完成这件事； 把每一类的方法数相加，就可以得到完成这件事的所有方法数知识点诠释：使用分类加法计数原理计算完成某件事的方法数，第一步是对这件事确定一个标准进行分类，第二步是确定各类的方法数，第三步是取和。知识点二、分步乘法计数原理1.分步乘法计数
2、原理 “做一件事，完成它需要分成n个步骤”，就是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n个步骤，要完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤后，这件事才算完成2乘法原理的特点： 完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可； 完成每一步有若干种方法； 把每一步的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数知识点诠释：使用分步乘法计数原理计算完成某件事的方法数，第一步是对完成这件事进行分步，第二步是确定各步的方法数，第三步是求积。知识点三、分类计数原理和分步计数原理的区别：1分类计数原理和分步计数原理的区别：两个原理的区别在于一个和分类有关，一个和分步有关.完成一件事的方法种数若需“分类”思考，则这n类办法
3、是相互独立的，且无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事，则用加法原理；若完成某件事需分n个步骤，这n个步骤相互依存，具有连续性，当且仅当这n个步骤依次都完成后，这件事才算完成，则完成这件事的方法的种数需用乘法原理计算知识点四、分类计数原理和分步计数原理的应用1.利用两个基本原理解决具体问题时的思考程序：（1）首先明确要完成的事件是什么，条件有哪些？（2）然后考虑如何完成？主要有三种类型分类或分步。先分类，再在每一类里再分步。先分步，再在每一步里再分类，等等。（3）最后考虑每一类或每一步的不同方法数是多少？【典型例题】类型一、分类加法计数原理例1.（2022山西芮城中学高二阶段练习）书架
4、的第层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书，从书架上任取本书，有（）种不同取法？从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有（）种不同取法?A9，20B20，9C9，24D24，9【答案】C【解析】【分析】根据分类加法、分步乘法计数原理计算出正确答案.【详解】从书架上任取本书，有种不同取法.从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有种不同取法.故选：C【解题总结】应用分类计数原理，应注意：分类时，要按一个标准来分，最忌采用双重或多重标准分类；每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；它的起点、终点就是完成这件事情的开始和结束；例2.（2022江苏南
5、通一模）某学校每天安排四项课后服务供学生自愿选择参加.学校规定：（1）每位学生每天最多选择项；（2）每位学生每项一周最多选择次.学校提供的安排表如下：时间周一周二周三周四周五课后服务音乐、阅读、体育、编程口语、阅读、编程、美术手工、阅读、科技、体育口语、阅读、体育、编程音乐、口语、美术、科技若某学生在一周内共选择了阅读、体育、编程项，则不同的选择方案共有（）A种B种C种D种【答案】D【解析】【分析】列举出所有的选择方案，即可得解.【详解】周一阅读，周三体育，周四或周二编程；周一阅读，周四体育，周二编程；周二阅读，周一体育，周四编程；周二阅读，周三体育，周一编程；周二阅读，周三体育，周四编程；周
6、二阅读，周四体育，周一编程；周三阅读，周一体育，周二或周四编程；周三阅读，周四体育，周一或周二编程；周四阅读，周一体育，周二编程；周四阅读，周三体育，周一或周二编程.共14种.故选：D.类型二、分步乘法计数原理例3.（2022全国高三专题练习）将1，2，3，9这九个数字填在如图所示的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下增大，当3，4固定在图中的位置时，填写空格的方法有（）34A6种B12种C18种D24种【答案】A【解析】【分析】根据分步乘法计数原理，分别分析数字1，2，9，数字5，数字6，7，8的摆放方法数即可【详解】分为三个步骤：12349第一步，数字1，2，9必须放在如图的位置
7、，只有1种方法第二步，数字5可以放在左下角或右上角两个位置，故数字5有2种方法第三步，数字6如果和数字5相邻，则7，8有1种方法；数字6如果不和数字5相邻，则7，8有2种方法，故数字6，7，8共有3种方法根据分步乘法计数原理，有1236(种)填写空格的方法故选：A【解题总结】 解决这类问题的关键是搞清分类还是分步用分步乘法计数原理解决问题时，首先要根据问题的特点，确定一个分步的可行标准；其次还要注意完成这件事情必须且只需连续完成这n个步骤后，这件事情才算圆满完成，这时才能使用分步乘法计数原理同时，要弄清每一步骤中完成本步骤的方法种数例4（2022辽宁大连八中高二期末）年月日，很多人的微信圈都在
8、转发这样一条微信：“，所遇皆为对，所做皆称心”形如“”的数字叫“回文数”，即从左到右读和从右到左读都一样的正整数，则位的回文数共有（）ABCD【答案】C【解析】【分析】根据“回文数”的对称性，只需计算前位数的排法种数即可，确定这四位数的选数的种数，利用分步乘法计数原理可得结果.【详解】根据“回文数”的对称性，只需计算前位数的排法种数即可，首位数不能放零，首位数共有种选择，第二位、第三位、第四位数均有种选择，因此，位的回文数共有个.故选：C.例5（2021上海静安一模）已知直线的斜率大于零，其系数a、b、c是取自集合中的3个不同元素，那么这样的不重合直线的条数是（）A11B12C13D14【答案
9、】A【解析】【分析】根据直线的斜率大于零，得到，再分，三种情况分类求解.【详解】因为直线的斜率大于零，所以， 当，a有2种选法，b有2种选法，c有1种选法；因为直线与直线重合，所以这样的直线有条；当时，a有1种选法，b有2种选法， c有2种选法；所以这样的直线有条，当时，a有2种选法，b有1种选法， c有2种选法；所以这样的直线有条，综上：这样的不重合直线的条数是3+8=11条，故选：A例6（2022陕西武功二模（理）假期里，有4名同学去社区做文明实践活动，根据需要，要安排这4名同学去甲、乙两个文明实践站，每个实践站至少去1名同学，每名同学只去1个实践站，则不同的安排方法共有_种【答案】14【
10、解析】【分析】根据题意，用间接法分析，先计算“将4人安排到2个文明实践站”的方法，排除其中“都安排在同一个文明实践站”的方法，计算可得答案.【详解】根据题意，将4人安排到2个文明实践站，每人有2种安排方法，则有2222=16种安排方法，其中都安排在同一个文明实践站的方法有2种，则有16-2=14种不同的安排方法.故答案为：14.类型三、两个原理的对比应用例7.（2022全国高三专题练习）古人用天干、地支来表示年、月、日、时的次序用天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配，共可配成_组【答案】60【解
11、析】【分析】首先根据题意分成两类，分别计算各类的结果再相加即可.【详解】分两类：第一类：由天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，则有5630(组)不同的结果第二类：用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配，则有5630(组)不同的结果共可得到303060(组)故答案为：60【解题总结】 在用两个原理解决问题时，一定要分清完成这件事，是有，l类办法还是需分成n个步骤应用分类加法计数原理必须要求各类中的每一种方法都保证完成这件事应用分步乘法计数原理则是需各步均是完成这件事必须经由的若干彼此独立的步骤例8（2021全国高二课时练习）王华同学有
12、课外参考书若干本，其中有5本不同的外语书，4本不同的数学书，3本不同的物理书，他欲带参考书到图书馆阅读.（1）若他从这些参考书中带1本去图书馆，则有_种不同的带法；（2）若带外语、数学、物理参考书各1本，则有_种不同的带法；（3）若从这些参考书中选2本不同学科的参考书带到图书馆，则有_种不同的带法.【答案】 12 60 47【解析】【分析】（1）根据分类加法计数原理求解即可.（2）根据分步乘法计数原理求解即可.（3）首先根据题意分成三类，第一类：选1本外语书和选1本数学书，第二类：选外语书、物理书各1本，第三类：选数学书、物理书各1本，分别计算其选法，再相加即可.【详解】（1）完成的事情是带1
13、本书，无论带外语书，还是数学书、物理书，事情都已完成，从而确定应用分类加法计数原理，结果为5+4+3=12种.（2）完成的事情是带3本不同学科的参考书，只有从外语、数学、物理书中各选1本后，才能完成这件事，因此应用分步乘法计数原理，结果为543=60种.（3）选1本外语书和选1本数学书应用分步乘法计数原理，有54=20种选法；同样，选外语书、物理书各1本，有53=15种选法；选数学书、物理书各1本，有43=12种选法.即有三类情况，应用分类加法计数原理，结果为20+15+12=47种.故答案为：12；60；47类型四、涂色问题例9（2022吉林东北师大附中高二期末）如图，用四种不同的颜色分别给
14、A，B，C，D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法的种数为_（用数字作答）【答案】48【解析】【分析】由已知按区域分四步，然后给，区域分步选择颜色，由此即可求解【详解】解：由已知按区域分四步：第一步区域有4种选择，第二步区域有3种选择，第三步区域有2种选择，第四步区域也有2种选择，则由分步计数原理可得共有种，故答案为：48例10（2021全国高二单元测试）如图为我国数学家赵爽在为周髀算经作注时验证勾股定理的示意图，现提供5种颜色给其中5个小区域，涂色，规定每个区域只涂1种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有_种【答案】420【解析】【分析】
15、根据题意，依次分析5个区域的涂色方法数目，由分步计数原理计算可得答案【详解】解：分四步进行分析：区域涂色方案有5种；区域涂色方案有4种；区域涂色方案有3种；对于区域，若与颜色相同，则区域涂色方案有3种，若与颜色不同，则区域，涂色方案均有2种，所以区域，涂色方案共有（种）故不同的涂色方案有（种）故答案为：420例11（2021全国高二课时练习）如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有_种.ABCD【答案】108【解析】【分析】根据分步乘法计数原理即可求解.【详解】A有4种涂法，B有3种涂法，C有3种涂法，D有3种涂法，共有4333108(种)涂
16、法.故答案为：108类型五、 数字排位问题 例12（2021全国高二课时练习）如果一个三位正整数如“”满足且，则称这个三位数为“凸数”（如120，343，275等），那么所有三位数中“凸数”的个数为_【答案】240【解析】【分析】求出从2取到9时所得的三位数中“凸数”的个数，然后相加即可.【详解】若，则“凸数”为120与121，共有（个）；若，则“凸数”有（个）；若，则“凸数”有（个）；若，则“凸数”有（个）；若，则“凸数”有（个）；若，则“凸数”有（个）；若，则“凸数”有（个）；若，则“凸数”有（个）所以所有三位数中“凸数”的个数为故答案为：240.例13（2021上海市建平中学高二期末）从
17、7张印有数字0、1、2、3、4、5、6的卡片中取出4张（数字6的卡片可以倒过来当9用），可以组成个_无重复数字的被4整除的四位数【答案】276【解析】【分析】根据能被4整除的数字特征，所以根据后两位的数字进行分类讨论，进而结合计数原理即可求解.【详解】后两位为04、20、40、60，对于04、20、40需要考虑是否取到数字6，所以共有（208）320104种；后两位为12、24、32、52，注意0不在首位，共有（5126）492种；后两位为16、36、56、64、92，注意0不在首位，共有（412）580种；共276种故答案为：276例14（2021全国高二课时练习）从1到200的自然数中，各
18、个数位上都不含有数字8的自然数有_个【答案】162【解析】【分析】按照一位数、二位数、三位数进行分类，结合分类加法计数原理以及分步乘法计数原理计算即可.【详解】第1类：一位数中除8外符合要求的有8个；第2类：两位数中，十位上数字除0和8外有8种情况，而个位数字除8外，有9种情况，有89个符合要求；第3类：三位数中，百位上数字是1的，十位和个位上数字除8外均有9种情况，有99个，而百位上数字是2的只有200符合所以总共有889991162(个)故答案为：类型六、占位模型中标准的选择例15（2022全国高三专题练习）有六名同学报名参加三个智力项目，每项必报且限报一人，且每人至多参加一项，则共有_种
19、不同的报名方法【答案】120【解析】【分析】根据题意，依次分析每个项目的报名方法，由分步乘法计数原理可得答案【详解】每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有654120(种)故答案为：120例16（2021北京市景山学校通州校区高二期中）5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，则不同的报名方法有_种.（用具体数字作答）【答案】32【解析】【分析】根据题意，可知每位同学都有2种报名方法，结合分步乘法计数原理，即可求解.【详解】由题意，5位同学报名参加两个课
20、外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则每位同学都有2种报名方法，则这5为同学共有种不同的报名方法，故答案为：32例17（2017重庆市合川实验中学高二期中（理）加工某个零件分三道工序，第一道工序有5人，第二道工序有6人，第三道工序有4人，从中选3人每人做一道工序，则选法有_种.【答案】【解析】【分析】根据分步计数原理即可直接求出结果.【详解】每道工序为一步，共分3步，根据分步计数原理可得，共有种，故答案为：.类型七、列举法例18（2022全国高三专题练习）小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面.他想把4个硬币摆成一摞，且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对，不同的摆法有_种.【答案】
21、5【解析】【分析】运用枚举法即可求得答案.【详解】记反面为1，正面为2，则正反依次相对有12121212，21212121两种；有两枚反面相对有21121212，21211212，21212112三种，共5种摆法.故答案为：5.例19（2019江苏连云港高二期末（理）已知，N*，满足，则所有数对的个数是_【答案】4；【解析】【分析】因为，即，所以，因为已知，N*，所以，继而讨论可得结果【详解】因为，即，所以，因为已知，N*，所以，又，故有以下情况：若，得：，若得：，若得：，若得：，即的值共4个例20（2020全国高三专题练习）从1，2，3，4，7，9六个数中，任取两个数作为对数的底数和真数，则
22、所有不同的对数值的个数为_.【答案】17【解析】【详解】当取得两个数中有一个是1时，则1只能作真数，此时loga1=0，a=2或3或4或7或9所取的两个数不含有1时，即从2，3，4，7，9中任取两个，分别作为底数与真数可有=20个对数，但是其中，综上可知：共可以得到20+14=17个不同的对数值故答案为17【同步练习】一、单选题1（2022山西芮城中学高二阶段练习）书架的第层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书，从书架上任取本书，有（）种不同取法？从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有（）种不同取法?A9，20B20，9C9，24D24，9【答案
23、】C【解析】【分析】根据分类加法、分步乘法计数原理计算出正确答案.【详解】从书架上任取本书，有种不同取法.从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有种不同取法.故选：C2（2022辽宁大连八中高二期末）年月日，很多人的微信圈都在转发这样一条微信：“，所遇皆为对，所做皆称心”形如“”的数字叫“回文数”，即从左到右读和从右到左读都一样的正整数，则位的回文数共有（）ABCD【答案】C【解析】【分析】根据“回文数”的对称性，只需计算前位数的排法种数即可，确定这四位数的选数的种数，利用分步乘法计数原理可得结果.【详解】根据“回文数”的对称性，只需计算前位数的排法种数即可，首位数不能放零，首位数共有种选
24、择，第二位、第三位、第四位数均有种选择，因此，位的回文数共有个.故选：C.3（2022全国高三专题练习）将1，2，3，9这九个数字填在如图所示的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下增大，当3，4固定在图中的位置时，填写空格的方法有（）34A6种B12种C18种D24种【答案】A【解析】【分析】根据分步乘法计数原理，分别分析数字1，2，9，数字5，数字6，7，8的摆放方法数即可【详解】分为三个步骤：12349第一步，数字1，2，9必须放在如图的位置，只有1种方法第二步，数字5可以放在左下角或右上角两个位置，故数字5有2种方法第三步，数字6如果和数字5相邻，则7，8有1种方法；数字6如果
25、不和数字5相邻，则7，8有2种方法，故数字6，7，8共有3种方法根据分步乘法计数原理，有1236(种)填写空格的方法故选：A4（2022辽宁葫芦岛高二期末）算盘是中国古代的一项重要发明现有一种算盘（如图1），共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字5，梁下五珠，上拨一珠记作数字1（如图2中算盘表示整数51）如果拨动图1算盘中的两枚算珠，可以表示不同整数的个数为（）A8B10C15D16【答案】A【解析】【分析】根据给定条件分类探求出拨动两枚算珠的结果计算得解.【详解】拨动图1算盘中的两枚算珠，有两类办法，由于拨动一枚算珠有梁上、梁下之分，则只在一个档拨动两枚算珠共
26、有4种方法，在每一个档各拨动一枚算珠共有4种方法，由分类加法计数原理得共有8种方法，所以表示不同整数的个数为8.故选：A5（2022江苏通州高三期末）甲、乙、丙共3人参加三项知识竞赛，每项知识竞赛第一名到第三名的分数依次为10，5，3.竞赛全部结束后，甲获得其中两项的第一名及总分第一名，则下列说法错误的是（）A第二名、第三名的总分之和为29分或31分B第二名的总分可能超过18分C第三名的总分共有3种情形D第三名不可能获得其中任何一场比赛的第一名【答案】C【解析】【分析】根据给定条件按甲的得分情况分类，再求出第二名、第三名的得分即可判断作答.【详解】依题意，甲的得分情况有两种：10，10，5和1
27、0，10，3，显然3人的总得分为54分，甲得分为10，10，5时，第二名、第三名的总分之和为29分，甲得分为10，10，3时，第二名、第三名的总分之和为31分，A正确；甲得分为10，10，5时，第二名得分有三种情况：5，5，10；5，3，10；3，3，10，总分分别为20分，18分，16分，第三名得分对应有三种情况：3，3，3；3，5，3；5，5，3，总分分别为9分，11分，13分，甲得分为10，10，3时，第二名得分有三种情况：5，5，10；5，3，10；3，3，10，总分分别为20分，18分，16分，第三名得分对应有三种情况：3，3，5；3，5，5；5，5，5，总分分别为11分，13分，1
28、5分，选项B，D正确，第三名总分有4种情况，C不正确.故选：C6（2022湖南师大附中高二期末）如图，用4种不同的颜色对A，B，C，D四个区域涂色，要求相邻的两个区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方法有（）A24种B48种C72种D96种【答案】B【解析】【分析】按涂色顺序进行分四步，根据分步乘法计数原理可得解.【详解】按涂色顺序进行分四步：涂A部分时，有4种涂法；涂B部分时，有3种涂法；涂C部分时，有2种涂法；涂D部分时，有2种涂法.由分步乘法计数原理，得不同的涂色方法共有种.故选：B.7（2022全国高二）甲乙丙丁四名交通志愿者申请在国庆期间到三个路口协助交警值勤，他们申请值勤路口的意向如
29、下表：交通路口ABC志愿者甲乙丙丁甲乙丙丙丁这4名志愿者的申请被批准，且值勤安排也符合他们的意向，若要求三个路口都要有志愿者值勤，则不同的安排方法数有（）A14种B11种C8种D5种【答案】B【解析】【分析】根据分类计数法进行分类讨论，然后进行求和.【详解】解：由题意得：以C路口为分类标准：C路口执勤分得人口数情况有种，两个人或一个人C路口执勤分得人口数为个，丙、丁在C路口，那么甲、乙只能在路口执勤；C路口执勤分得人口数为个，丙或丁在C路口，具体情况如下：丙在C路口：A（丁）B（甲乙）C（丙）；A（甲丁）B（乙）C（丙）；A（乙丁）B（甲）C（丙）；丁在C路口：A（甲乙）B（丙）C（丁）；A（
30、丙）B（甲乙）C（丁）；A（甲丙）B（乙）C（丁）；A（乙）B（甲丙）C（丁）；A（乙丙）B（甲）C（丁）；A（甲）B（乙丙）C（丁）；.所以一共有2+3+6=11种选法.故选：B.8（2022全国高三专题练习）已知某教学大楼共有四层，每层都有东、西两个楼梯，则从一层到四层不同的走法种数为（）A32B23C43D24【答案】B【解析】【分析】由于每上一层楼有2种走法，所以由分步乘法原理可求得答案【详解】根据题意，教学大楼共有四层，每层都有东、西两个楼梯，则从一层到二层，有2种走法，同理从二层到三层、从三层到四层也各有2种走法，则从一层到四层共有22223种走法故选：B.9（2022全国高三专题
31、练习）某班有9名运动员，其中5人会打篮球，6人会踢足球，现从中选出2人分别参加篮球赛和足球赛，则不同的选派方案有（）A28种B30种C27种D29种【答案】A【解析】【分析】依题意可得有人既会踢足球又会打篮球，有3人只会打篮球，有4人只会踢足球，则选派的方案有四类：选派两种球都会的两人；从两种球都会的选1人踢足球，再从只会打篮球的选1人；从两种球都会的选1人打篮球，再从只会踢足球的选1人；选派只会打篮球和踢足球的运动员分别打篮球和踢足球；按照分步乘法计数原理与分类加法计数原理计算可得；【详解】解：有9名运动员，其中5人会打篮球，6人会踢足球，则有人既会踢足球又会打篮球，有3人只会打篮球，有4人
32、只会踢足球，所以选派的方案有四类：选派两种球都会的运动员有2种方案；选派两种球都会的运动员中一名踢足球，只会打篮球的运动员打篮球，有（种）方案；选派两种球都会的运动员中一名打篮球，只会踢足球的运动员踢足球，有（种）方案；选派只会打篮球和踢足球的运动员分别打篮球和踢足球，有（种）方案.综上可知，共有（种）方案，故选：A.二、多选题10（2022全国高二课时练习）某城市地铁公司为鼓励人们绿色出行，决定按照乘客的乘坐站数实施分段优惠政策，不超过9站的地铁票价如表：乘坐站数x票价/元234现有小花、小李两位乘客同时从首站乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过9站，且他们各自在每个站下地铁的可能性相同
33、，则下列结论中正确的是（）A若小花、小李两人共花费5元，则小花、小李下地铁的方案共有9种B若小花、小李两人共花费5元，则小花、小李下地铁的方案共有18种C若小花、小李两人共花费6元，则小花、小李下地铁的方案共有27种D若小花、小李两人共花费6元，则小花比小李先下地铁的概率为【答案】BCD【解析】【分析】利用分步乘法原理计算小花、小李两人共花费5元的下地铁的方案数，由此判断A，B，再由分步乘法计数原理和分类加法计数原理确定两人共花费6元的方案数，由此判断C，再由古典概型概率公式求小花比小李先下地铁的概率，由此判断D.【详解】若小花、小李两人共花费5元，则两人中1人花费2元，1人花费3元，小花、小
34、李下地铁的方案共有（种），故A错误，B正确；若小花、小李两人共花费6元，则两人中1人花费2元，1人花费4元，或2人都花费3元，小花、小李下地铁的方案共有（种），C正确，其中小花比小李先下地铁有（种），概率为，故D正确，故选：BCD.11（2022全国高二课时练习）现有不同的黄球5个，黑球6个，蓝球4个，则下列说法正确的是（）A从中任选1个球，有15种不同的选法B若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法C若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法D若要不放回地选出任意的2个球，有240种不同的选法【答案】AB【解析】【分析】根据分类加法计数原理即可判断A；根据分步乘法计数原理即可判断B；首先
35、按颜色分三类“黄，黑”，“黄，蓝”，“黑，蓝”，再进行各类分步选择，即可判断C；根据分步乘法计数原理即可判断D.【详解】解：对于A，从中任选1个球，共有种不同的选法，故A正确；对于B，每种颜色选出1个球，可分步从每种颜色分别选择，共有种不同的选法，故B正确；对于C，若要选出不同颜色的2个球，首先按颜色分三类“黄，黑”，“黄，蓝”，“黑，蓝”，再进行各类分步选择，共有种不同的选法，故C错误；对于D，若要不放回地选出任意的2个球，直接分步计算，共有种不同的选法，故D错误故选：AB12（2022全国高三专题练习）某学校高一年级数学课外活动小组中有男生7人，女生3人，则下列说法正确的是（）A从中选2人
36、，1人做正组长，1人做副组长，共有100种不同的选法B从中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人，共有21种不同的选法C从中选1人参加数学竞赛，共有10种不同的选法D若报名参加学校的足球队、羽毛球队，每人限报其中的1个队，共有100种不同的报名方法【答案】BC【解析】【分析】利用分步计数原理和分类计数原理逐一判断即可.【详解】对于A，选1人做正组长，1人做副组长需要分两步，先选正组长有10种选法，再选副组长有9种选法，则共有种不同的选法，故A错误；对于B，从中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人，则共有种不同的选法，故B正确；对于C，选1人参加数学竞赛，既可以选男生，也可以选女生，则共有种不
37、同的选法，故C正确；对于D，每人报名都有2种选择，共有10人，则共有种不同的报名方法，故D错误故选：BC13（2022全国高三专题练习）甲、乙、丙、丁、戊五只猴子在一棵枯树上玩耍，假设它们均不慎失足下落，已知：（1）甲在下落的过程中依次撞击到树枝A，B，C；（2）乙在下落的过程中依次撞击到树枝D，E，F；（3）丙在下落的过程中依次撞击到树枝G，A，C；（4）丁在下落的过程中依次撞击到树枝B，D，H；（5）戊在下落的过程中依次撞击到树枝I，C，E，则下列结论正确的是（）A最高处的树枝为G，I中的一个B最低处的树枝一定是FC这九根树枝从高到低不同的顺序共有33种D这九根树枝从高到低不同的顺序共有3
38、2种【答案】AC【解析】【分析】由题判断出部分树枝由高到低的顺序为，还剩下，且树枝比高，树枝在树枝，之间，树枝比低，根据的位置不同分类讨论，求得这九根树枝从高到低不同的顺序共33种.【详解】由题判断出部分树枝由高到低的顺序为，还剩下，且树枝比高，树枝在树枝，之间，树枝比低，最高可能为G或I，最低为F或H，故选项正确，B错误；先看树枝，有4种可能，若在，之间，则有3种可能：在，之间，有5种可能；在，之间，有4种可能；在，之间，有3种可能，此时树枝的高低顺序有（种）。若不在，之间，则有3种可能，有2中可能，若在，之间，则有3种可能，若在，之间，则有三种可能，此时树枝的高低顺序有（种）可能，故这九根
39、树枝从高到低不同的顺序共有种，故选项正确.故选：AC.三、填空题14（2022吉林东北师大附中高二期末）如图，用四种不同的颜色分别给A，B，C，D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法的种数为_（用数字作答）【答案】48【解析】【分析】由已知按区域分四步，然后给，区域分步选择颜色，由此即可求解【详解】解：由已知按区域分四步：第一步区域有4种选择，第二步区域有3种选择，第三步区域有2种选择，第四步区域也有2种选择，则由分步计数原理可得共有种，故答案为：4815（2022陕西武功二模（理）假期里，有4名同学去社区做文明实践活动，根据需要，要安排这4名同学去
40、甲、乙两个文明实践站，每个实践站至少去1名同学，每名同学只去1个实践站，则不同的安排方法共有_种【答案】14【解析】【分析】根据题意，用间接法分析，先计算“将4人安排到2个文明实践站”的方法，排除其中“都安排在同一个文明实践站”的方法，计算可得答案.【详解】根据题意，将4人安排到2个文明实践站，每人有2种安排方法，则有2222=16种安排方法，其中都安排在同一个文明实践站的方法有2种，则有16-2=14种不同的安排方法.故答案为：14.16（2022上海市复兴高级中学高二期末）一排有10盏灯，如果用灯亮表示数1，用灯不亮表示数0，每一种亮灯方式代表一个数据，如：0010100101表示一个数据
41、，那么这10盏灯可以表示的数据个数是_.【答案】1024【解析】【分析】由于每盏灯有两种情况，所以由分步乘法原可求得结果【详解】因为用灯亮表示数1，用灯不亮表示数0，每一种亮灯方式代表一个数据，所以由乘法分步原理可知这10盏灯可以表示的数据个数为个，故答案为：102417（2022全国高三专题练习）有A，B，C型高级电脑各一台，甲.乙.丙.丁4个操作人员的技术等级不同，甲.乙会操作三种型号的电脑，丙不会操作C型电脑，而丁只会操作A型电脑.从这4个操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑，则不同的选派方法有_种(用数字作答).【答案】8【解析】【分析】由题意，分选甲.乙.丙，选甲.乙.丁，选甲
42、.丙.丁，选乙.丙.丁四类，利用分类加法计数原理求解.【详解】解：由于丙，丁两位操作人员的技术问题，要完成“从4个操作人员中选3人去操作这三种型号的电脑”这件事，则甲，乙两人至少要选派一人，可分四类：第1类，选甲.乙.丙3人，由于丙不会操作C型电脑，分2步安排这3人操作的电脑的型号，有224种方法；第2类，选甲.乙.丁3人，由于丁只会操作A型电脑，这时安排3人分别去操作这三种型号的电脑，有2种方法；第3类，选甲.丙.丁3人，这时安排3人分别去操作这三种型号的电脑，只有1种方法；第4类，选乙.丙.丁3人，同样也只有1种方法.根据分类加法计数原理，共有42118种选派方法.故答案为：818（202
43、2全国高三专题练习）有六名同学报名参加三个智力项目，每项必报且限报一人，且每人至多参加一项，则共有_种不同的报名方法【答案】120【解析】【分析】根据题意，依次分析每个项目的报名方法，由分步乘法计数原理可得答案【详解】每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有654120(种)故答案为：12019（2022全国高三专题练习）如图，从A到O有_种不同的走法(不重复过一点).【答案】5【解析】【分析】分直接由A到O，中间过一个点，中间过两个点3类，利用分类加法计数原理求解.【详解】解：分3类：第一类，直接由A到O，有1种走法；第二类，中间过一个点，有ABO和ACO 2种不同的走法；第三类，中间过两个点，有ABCO和ACBO 2种不同的走法.由分类加法计数原理可得共有1225种不同的走法.故答案为：5四、解答题20
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