1、7.3 离散型随机变量的数字特征【知识点梳理】1离散型随机变量的均值或数学期望正确地求出离散型随机变量的分布列是求解期望的关键一般地，若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipn则称E(X)x1p1x2p2xipixnpnxipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称为期望均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平2两点分布的期望一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)0(1p)1pp；3离散型随机变量的均值的性质设X的分布列为P(Xxi) pi，i1，2，n.一般地，下面的结论成立：E(aX
2、b)aE(X)b4离散型随机变量的方差、标准差正确求解随机变量的方差的关键是正确求解分布列及其期望值设离散型随机变量X的分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipn考虑X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1E(X)2，(x2E(X)2 ，(xnE(X)2 ，因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度，我们称D(X)(x1E(X)2 p1 (x2E(X)2 p2(xnE(X)2pn (xiE(X)2pi为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称为随机变量X的标准差，记为(X)5几个常见的结论(1)D(aXb
3、)a2D(X)(2)若X服从两点分布，则D(X)p(1p)【典型例题】题型一利用定义求离散型随机变量的均值例1（2022辽宁瓦房店市高级中学高二期末）已知离散型随机变量X的分布列如下：X123P则数学期望（）ABC1D2【答案】D【解析】【分析】利用已知条件，结合期望公式求解即可【详解】解：由题意可知：故选：D规律方法求随机变量的均值关键是写出分布列，一般分为四步：(1)确定X的可能取值；(2)计算出P(Xk)；(3)写出分布列；(4)利用E(X)的计算公式计算E(X)例2（2022浙江高三专题练习）已知甲盒子中有3个红球，1个白球，乙盒子中有2个红球，2个白球，同时从甲，乙两个盒子中取出i个
4、球进行交换，交换后，分别记甲、乙两个盒中红球个数，则（）ABCD【答案】C【解析】【分析】分和两种情况分别去求数学期望，再进行比较即可解决.【详解】交换后，记甲、乙两个盒中红球个数，当时，,则，则.选项AB均判断错误；当时，则， .即.则选项C判断正确；选项D判断错误.故选：C例3（2021全国高二单元测试）体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止.设学生一次发球成功的概率为p（p0），发球次数为X，若X的数学期望E（X）1.75，则p的取值范围是（）ABCD【答案】C【解析】【分析】根据题意，首先求出X1、2、3时的概率，进而可
5、得EX的表达式，由题意EX1.75，可得p23p+31.75，解可得p的范围，结合p的实际意义，对求得的范围可得答案.【详解】解：根据题意，学生发球次数为1即一次发球成功的概率为p，即P（X1）p，发球次数为2即二次发球成功的概率P（X2）p（1p），发球次数为3的概率P（X3）（1p）2，则Exp+2p（1p）+3（1p）2p23p+3，依题意有EX1.75，则p23p+31.75，解可得，p或p，结合p的实际意义，可得0p，即p（0，）故选：C.题型二离散型随机变量均值的性质例4（2022全国高三专题练习）甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分
6、或打满6局时停止设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数的期望为（）ABCD【答案】B【解析】【分析】设每两局比赛为一轮，若该轮结束比赛停止则某一方连赢两局，概率为；若比赛继续，则甲、乙各得一分，概率为，且对下一轮比赛是否停止无影响.由此可计算为2，4的概率，为6时，可能被迫中止，只需计算前两轮比赛不停止的概率即可.【详解】解：依题意知，的所有可能值为2，4，6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响从而有，为6时，即前两轮比赛不分输赢
7、，继续比第三轮，故故选：B规律方法离散型随机变量性质有关问题的解题思路若给出的随机变量Y与X的关系为YaXb，a，b为常数，一般思路是先求出E(X)，再利用公式E(aXb)aE(X)b求E(Y)也可以利用X的分布列得到Y的分布列，关键是由X的取值计算Y的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E(Y)例5（2022全国高三专题练习）已知随机变量的分布列为：X124P0.40.30.3则等于（）A15B11C2.2D2.3【答案】A【解析】【分析】利用期望的公式求得，根据，即可求解.【详解】由随机变量的分布列，可得期望，所以.故选：A.例6（2022全国高三专题练习）林老师等概率地从13中抽取一个数
8、字，记为X，叶老师等概率地从15中抽取一个数字，记为Y，已知，其中是的概率，其中，则E（XY）=（）A3B5C6D8【答案】C【解析】【分析】首先求出、，再根据与相互独立，即可得到计算可得；【详解】解：依题意，所以，因为与相互独立，所以故选：C例7（2021全国高二课时练习）若，是离散型随机变量，且，其中，为常数，则有.利用这个公式计算（）ABCD不确定【答案】A【解析】【分析】由期望的运算性质直接求解即可.【详解】是常数，.故选：A.题型三离散型随机变量均值的应用例8（2021广东佛山一中高三阶段练习）某学校的自主招生考试中有一种多项选择题，每题设置了四个选项ABCD，其中至少两项、至多三项
9、是符合题目要求的在每题中，如果考生全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分小明同学参加考试时遇到一道这样的多选题，他没有能力判断每个选项正确与否，只能瞎猜假设对于每个选项，正确或者错误的概率均为(1)写出正确选项的所有可能情况；如果小明随便选2个或3个选项，求出小明这道题能得5分的概率；(2)从这道题得分的数学期望来看，小明应该只选一个选项？还是两个选项？还是三个选项？【答案】(1)；(2)只选一个选项.【解析】【分析】(1)根据给定条件写出由两项或三项组成的所有结果，再由古典概率公式计算作答.(2)分别求出只选一个选项、选两个选项、选三个选项的条件下得分的期望，比较大小作答.(1)依
10、题意，对于这道多选题，可能的正确答案AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD共有种，它们等可能，记事件A为“小明这道题随便选2个或3个选项能得5分”，而正确答案只有1个，则有，所以小明这道题能得5分的概率.(2)如果小明只选一个选项，那么他这道题的得分X的所有可能取值为0和2，小明选了一项，若有两项符合要求，则与所选项组成两项的结果有，若有三项符合要求，则与所选项组成三项的结果有，于是有，则有X的分布列为：02X的数学期望为，如果小明只选两个选项，那么他这道题的得分Y的所有可能取值为0，2，5，的事件是小明所选两项恰好符合要求，只有1个结果，若有三项符合要求，则与所选
11、项组成三项的结果有，则有Y的分布列为：025Y的数学期望为，如果小明只选三个选项，那么他这道题的得分Z的所有可能取值为0和5，且，故Z的分布列为05Z的数学期望为，因为，所以从这道题得分的数学期望来看，小明应该只选一个选项规律方法解答实际问题时，(1)把实际问题概率模型化；(2)利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列；(3)利用公式求出相应均值例9（2021山东日照青山学校高二期末）2020年12月4日，“直播带货”入选咬文嚼字2020年度十大流行语，与电商直播相关的职业成了年轻人就业新选择.有甲、乙两家农副产品直播间，直播主持人的日工资方案如下：甲直播间底薪100元，直
12、播主持人每箱抽成3元；乙直播间无底薪，80箱以内（含80箱）的部分直播主持人每箱抽成4元，超过80箱的部分直播主持人每箱抽成6元.现从这两家直播间各随机选取一名直播主持人，分别记录其50天的售货箱数，得到如下频数分布表：售货箱数60708090100甲直播间天数51510155乙直播间天数51015128(1)从记录甲直播间售货的50天中随机抽取3天，求这3天的售货箱数都不小于80箱的概率；以样本估计总体，视样本频率为概率，估计甲直播间主持人3天中至少有2天售货箱数不小于80箱的概率.(2)假设同一个直播间的主持人一天的售货箱数相同，将频率视为概率，小张打算到甲、乙两家直播间中的一家应聘主持人
13、，如果从日工资的角度考虑，小张应选择哪家直播间应聘？说明你的理由.【答案】(1)；(2)小张应选择甲直播间应聘，理由见解析【解析】【分析】（1）由表知，50天售货箱数中有30天的售货箱数都不小于80箱，然后根据古典概型的概率公式求解，.设甲直播间主持人三天中恰有天售货箱数不小于80箱，则由题意可得，从而可求得结果，（2）由题意直接求出甲直播间主持人的日平均工资，设乙直播间售货箱数为n，日工资为X元，求出X的可能取值，列出分布列，从而可求出期望，然后比较可得结论(1)由表知，50天售货箱数中有30天的售货箱数都不小于80箱，记抽取的这3天的售货箱数都不小于80箱事件A，则.甲直播间主持人某一天售
14、货箱数不小于80箱的概率为.设甲直播间主持人三天中恰有天售货箱数不小于80箱，则，.(2)依题意，甲直播间主持人的日平均售货箱数为，所以甲直播间主持人的日平均工资为100+380340元，设乙直播间售货箱数为n，日工资为X元，则当n60时，X604240；当n70时，X704280；当n80时，X804320；当n90时，X320+106380；当n100时，X320+206440.所以X的分布列为：X240280320380440P所以乙直播间支持人日平均工资为337.6元因为337.6340，所以小张应选择甲直播间应聘.例10（2022全国模拟预测）为了解决家长接送孩子放学的问题，教育部提
15、出推行课后服务“”模式，即学校每周5天都要开展课后服务，每天至少开展2h，结束时间要与当地正常下班时间相衔接，且不得利用课后服务时间讲新课.为了课后服务的有序开展，某教育局就课后服务的时长在网络上进行意见征集，并从中随机抽取了100份调查表，以此为样本绘制了如图所示的频率分布直方图：(1)从样本中随机抽取2份调查表，若其中一份调查表所建议的课后服务时长超过200 min，求另一份调查表所建议的课后服务时长也超过200min的概率；(2)为了进一步了解课后服务时长的需求情况，从样本中建议课后服务时长超过180 min的人中分层抽取10人，再从这10人中任取3人，记建议课后服务时长在的人数为X，求
16、X的分布列与数学期望.【答案】(1)(2)X0123P，【解析】【分析】（1）先根据频率分布直方图求出课后服务时长超过200 min的调查表份数，再设出相关事件并求概率，最后根据条件概率的概率计算公式求解即可；（2）先根据题意及分层抽样的知识求出X的所有可能取值，然后求解相应的概率，列出分布列，求得数学期望.(1)依题意，课后服务时长超过200 min的调查表共有（份），设事件A为其中一份调查表所建议的课后服务时长超过200 min，事件B为另一份调查表所建议的课后服务时长也超过200 min，则，故.(2)根据题意及分层抽样的知识可知，抽取的10人中，建议课后服务时长在内的有6人，则X的所有
17、可能取值为0，1，2，3，且，所以X的分布列为X0123PX的数学期望.题型四求离散型随机变量的方差例11（2022浙江镇海中学高三开学考试）盒中有个球，其中个红球，个黄球，个蓝球，从盒中随机取球，每次取个，取后不放回，直到蓝球全部被取出为止，在这一过程中取球次数为，则的方差_【答案】【解析】【分析】分析可知随机变量的可能取值有、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，利用方差的定义可求得的值.【详解】由题意可知，随机变量的可能取值有、，所以，随机变量的分布列如下表所示：所以，因此，.故答案为：.规律方法求离散型随机变量的方差的类型及解决方法(1)已知分布列型(非两点分布)
18、：直接利用定义求解，先求均值，再求方差(2)已知分布列是两点分布：直接套用公式D(X)p(1p)求解(3)未知分布列型：求解时可先借助已知条件及概率知识求得分布列，然后转化成(1)中的情况例12（2022北京八中高二期末）随机变量X的取值为0，1，2，若，则_【答案】#0.4【解析】【分析】设出概率，利用期望求出相应的概率，进而利用求方差公式进行求解.【详解】设，则，从而，解得：，所以故答案为：例13（2022全国高二课时练习）随机变量的可能值，且，则D的最大值为_.【答案】1【解析】【分析】由题意得到，利用概率范围求得p的范围，再利用期望和方差的公式求解.【详解】因为随机变量的可能值有1，2
19、，3，且，所以，由，得所以.，当时，的最大值为故答案为：1题型五方差的性质的应用例14（2021辽宁高一期末）已知样本，的平均数为5，方差为3，则样本，的平均数与方差的和是_【答案】23【解析】【分析】利用期望、方差的性质，根据已知数据的期望和方差求新数据的期望和方差.【详解】由题设，所以，.故平均数与方差的和是23.故答案为：23.规律方法求随机变量YaXb方差的方法求随机变量YaXb的方差，一种方法是先求Y的分布列，再求其均值，最后求方差；另一种方法是应用公式D(aXb)a2D(X)求解例15（2022全国高三专题练习）已知，且，则的方差为_【答案】.【解析】【分析】结合二项分布的方差的计
20、算公式求出，进而根据方差的性质即可求出结果.【详解】因为，所以，且则，因此的方差为，故答案为：.例16（2021重庆市蜀都中学校高三阶段练习）已知随机变量的分布列如下表，表示的方差，则_.012【答案】2【解析】【分析】根据给定分布列求出a，再利用期望、方差公式计算、，然后借助方差性质计算即可.【详解】由分布列知：，解得：，于是得，所以.故答案为：2题型六均值与方差的综合应用例17（2021广东佛山一中高三阶段练习）某学校的自主招生考试中有一种多项选择题，每题设置了四个选项ABCD，其中至少两项、至多三项是符合题目要求的在每题中，如果考生全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分小明同学
21、参加考试时遇到一道这样的多选题，他没有能力判断每个选项正确与否，只能瞎猜假设对于每个选项，正确或者错误的概率均为(1)写出正确选项的所有可能情况；如果小明随便选2个或3个选项，求出小明这道题能得5分的概率；(2)从这道题得分的数学期望来看，小明应该只选一个选项？还是两个选项？还是三个选项？【答案】(1)；(2)只选一个选项.【解析】【分析】(1)根据给定条件写出由两项或三项组成的所有结果，再由古典概率公式计算作答.(2)分别求出只选一个选项、选两个选项、选三个选项的条件下得分的期望，比较大小作答.(1)依题意，对于这道多选题，可能的正确答案AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，A
22、CD，BCD共有种，它们等可能，记事件A为“小明这道题随便选2个或3个选项能得5分”，而正确答案只有1个，则有，所以小明这道题能得5分的概率.(2)如果小明只选一个选项，那么他这道题的得分X的所有可能取值为0和2，小明选了一项，若有两项符合要求，则与所选项组成两项的结果有，若有三项符合要求，则与所选项组成三项的结果有，于是有，则有X的分布列为：02X的数学期望为，如果小明只选两个选项，那么他这道题的得分Y的所有可能取值为0，2，5，的事件是小明所选两项恰好符合要求，只有1个结果，若有三项符合要求，则与所选项组成三项的结果有，则有Y的分布列为：025Y的数学期望为，如果小明只选三个选项，那么他这
23、道题的得分Z的所有可能取值为0和5，且，故Z的分布列为05Z的数学期望为，因为，所以从这道题得分的数学期望来看，小明应该只选一个选项规律方法(1)均值体现了随机变量取值的平均大小，在两种产品相比较时，只比较均值往往是不恰当的，还需比较它们的取值的离散程度，即通过比较方差，才能准确地得出更恰当的判断(2)离散型随机变量的分布列、均值、方差之间存在着紧密的联系，利用题目中所给出的条件，合理地列出方程或方程组求解，同时也应注意合理选择公式，简化问题的解答过程例18（2021山东日照青山学校高二期末）2020年12月4日，“直播带货”入选咬文嚼字2020年度十大流行语，与电商直播相关的职业成了年轻人就
24、业新选择.有甲、乙两家农副产品直播间，直播主持人的日工资方案如下：甲直播间底薪100元，直播主持人每箱抽成3元；乙直播间无底薪，80箱以内（含80箱）的部分直播主持人每箱抽成4元，超过80箱的部分直播主持人每箱抽成6元.现从这两家直播间各随机选取一名直播主持人，分别记录其50天的售货箱数，得到如下频数分布表：售货箱数60708090100甲直播间天数51510155乙直播间天数51015128(1)从记录甲直播间售货的50天中随机抽取3天，求这3天的售货箱数都不小于80箱的概率；以样本估计总体，视样本频率为概率，估计甲直播间主持人3天中至少有2天售货箱数不小于80箱的概率.(2)假设同一个直播
25、间的主持人一天的售货箱数相同，将频率视为概率，小张打算到甲、乙两家直播间中的一家应聘主持人，如果从日工资的角度考虑，小张应选择哪家直播间应聘？说明你的理由.【答案】(1)；(2)小张应选择甲直播间应聘，理由见解析【解析】【分析】（1）由表知，50天售货箱数中有30天的售货箱数都不小于80箱，然后根据古典概型的概率公式求解，.设甲直播间主持人三天中恰有天售货箱数不小于80箱，则由题意可得，从而可求得结果，（2）由题意直接求出甲直播间主持人的日平均工资，设乙直播间售货箱数为n，日工资为X元，求出X的可能取值，列出分布列，从而可求出期望，然后比较可得结论(1)由表知，50天售货箱数中有30天的售货箱
26、数都不小于80箱，记抽取的这3天的售货箱数都不小于80箱事件A，则.甲直播间主持人某一天售货箱数不小于80箱的概率为.设甲直播间主持人三天中恰有天售货箱数不小于80箱，则，.(2)依题意，甲直播间主持人的日平均售货箱数为，所以甲直播间主持人的日平均工资为100+380340元，设乙直播间售货箱数为n，日工资为X元，则当n60时，X604240；当n70时，X704280；当n80时，X804320；当n90时，X320+106380；当n100时，X320+206440.所以X的分布列为：X240280320380440P所以乙直播间支持人日平均工资为337.6元因为337.6340，所以小张
27、应选择甲直播间应聘.例19（2022全国模拟预测）为了解决家长接送孩子放学的问题，教育部提出推行课后服务“”模式，即学校每周5天都要开展课后服务，每天至少开展2h，结束时间要与当地正常下班时间相衔接，且不得利用课后服务时间讲新课.为了课后服务的有序开展，某教育局就课后服务的时长在网络上进行意见征集，并从中随机抽取了100份调查表，以此为样本绘制了如图所示的频率分布直方图：(1)从样本中随机抽取2份调查表，若其中一份调查表所建议的课后服务时长超过200 min，求另一份调查表所建议的课后服务时长也超过200min的概率；(2)为了进一步了解课后服务时长的需求情况，从样本中建议课后服务时长超过18
28、0 min的人中分层抽取10人，再从这10人中任取3人，记建议课后服务时长在的人数为X，求X的分布列与数学期望.【答案】(1)(2)X0123P，【解析】【分析】（1）先根据频率分布直方图求出课后服务时长超过200 min的调查表份数，再设出相关事件并求概率，最后根据条件概率的概率计算公式求解即可；（2）先根据题意及分层抽样的知识求出X的所有可能取值，然后求解相应的概率，列出分布列，求得数学期望.(1)依题意，课后服务时长超过200 min的调查表共有（份），设事件A为其中一份调查表所建议的课后服务时长超过200 min，事件B为另一份调查表所建议的课后服务时长也超过200 min，则，故.(
29、2)根据题意及分层抽样的知识可知，抽取的10人中，建议课后服务时长在内的有6人，则X的所有可能取值为0，1，2，3，且，所以X的分布列为X0123PX的数学期望.例20（2022山东青岛二中高三开学考试）某公司全年圆满完成预定的生产任务，为答谢各位员工一年来的锐意进取和辛勤努力，公司决定在联欢晚会后，拟通过摸球兑奖的方式对500位员工进行奖励，规定：每位员工从一个装有4种面值的奖券的箱子中，一次随机摸出2张奖券，奖券上所标的面值之和就是该员工所获得的奖励额(1)若箱子中所装的4种面值的奖券中有1张面值为80元，其余3张均为40元，试比较员工获得80元奖励额与获得120元奖励额的概率的大小；(2
30、)公司对奖励总额的预算是6万元，预定箱子中所装的4种面值的奖券有两种方案：第一方案是2张面值20元和2张面值100元；第二方案是2张面值40元和2张面值80元为了使员工得到的奖励总额尽可能地符合公司的预算且每位员工所获得的奖励额相对均衡，请问选择哪一种方案比较好？并说明理由【答案】(1)员工获得80元奖励额与获得120元奖励额的概率相等(2)应选择第二种方案；理由见解析【解析】【分析】(1)根据超几何分布求出员工获得80元奖励额与获得120元奖励额的概率即可；(2)根据题意可知有两种方案、，分别求出对应的分布列，进而求出对应的数学期望和方差，从而得出结论.(1)用X表示员工所获得的奖励额因为，
31、所以，故员工获得80元奖励额与获得120元奖励额的概率相等(2)第一种方案为，设员工所获得的奖励额为，则的分布列为40120200P所以的数学期望为，的方差为；第二种方案为，设员工所获得的奖励额为，则的分布列为80120160P所以的数学期望为，的方差为，又因为（元），所以两种方案奖励额的数学期望都符合要求，但第二种方案的方差比第一种方案的小，故应选择第二种方案例21（2022全国高三专题练习）2020年9月22日，中国政府在第七十五届联合国大会上提出：“中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和.”做好垃圾分类
32、和回收工作可以有效地减少处理废弃物造成的二氧化碳、甲烷等温室气体的排放，助力碳中和. 某校环保社团为了解本校学生是否清楚垃圾分类后的处理方式，随机抽取了200名学生进行调查，样本调查结果如下表：假设每位学生是否清楚垃圾分类后的处理方式相互独立.高中部初中部男生女生男生女生清楚1282424不清楚28323834(1)从该校学生中随机抽取一人，估计该学生清楚垃圾分类后处理方式的概率；(2)从样本高中部和初中部的学生中各随机抽取一名学生，以表示这人中清楚垃圾分类后处理方式的人数，求的分布列和数学期望；(3)从样本中随机抽取一名男生和一名女生，用“”表示该男生清楚垃圾分类后的处理方式，用“”表示该男
33、生不清楚垃圾分类后的处理方式，用“”表示该女生清楚垃圾分类后的处理方式，用“”表示该女生不清楚垃圾分类后的处理方式. 直接写出方差和的大小关系.（结论不要求证明）【答案】(1)(2)分布列见解析，的数学期望为；(3).【解析】【分析】（1）运用古典概率公式即可；（2）的取值有0，1，2，分别求得随机变量取每一个值的概率得出分布列，由公式求得其数学期望；（3）由表中数据可得结论.(1)解：由已知得，清楚垃圾分类后处理方式的有人，所以从该校学生中随机抽取一人，该学生清楚垃圾分类后处理方式的概率为；(2)解：高中部共有名学生，其中清楚垃圾分类后处理方式的学生有人，不清楚垃圾分类后处理方式的学生有人，
34、初中部共有名学生，其中清楚垃圾分类后处理方式的学生有人，不清楚垃圾分类后处理方式的学生有人，从样本高中部和初中部的学生中各随机抽取一名学生，以表示这人中清楚垃圾分类后处理方式的人数，则的取值有0，1，2，所以，所以的分布列为：X012P 所以的数学期望为；(3)解：.例22（2022全国模拟预测）某财经杂志发起一项调查，旨在预测中国经济前景，随机访问了位业内人士，根据被访问者的问卷得分（满分分）将经济前景预期划分为三个等级（悲观尚可乐观）.分级标准及这位被访问者得分频数分布情况如下：经济前景等级悲观尚可乐观问卷得分12345678910频数23510192417974假设被访问的每个人独立完成
35、问卷（互不影响），根据经验，这位人士的意见即可代表业内人士意见，且他们预测各等级的频率可估计未来经济各等级发生的可能性.(1)该杂志记者又随机访问了两名业内人士，试估计至少有一人预测中国经济前景为“乐观”的概率；(2)某人有一笔资金，现有两个备选的投资意向：物联网项目或人工智能项目，两种投资项目的年回报率都与中国经济前景等级有关，根据经验，大致关系如下（正数表示赢利，负数表示亏损）：经济前景等级乐观尚可悲观物联网项目年回报率（%）124人工智能项目年回报率（%）75根据以上信息，请分别计算这两种投资项目的年回报率的期望与方差，并用统计学知识给出投资建议.【答案】(1)(2)见解析【解析】【分析
36、】（1）得预期为“乐观”的人数为，结合独立重复实验的概率公式即可得解.（2）分别计算各等级概率，再利用期望公式与方差公式直接计算.(1)由题意可知名被采访者中，预测中国经济前景为“乐观”的人数为人，概率为0.2，若又随机访问了两名业内人士，至少有一个预测中国经济前景为“乐观”的概率为.(2)由题意可知，预测中国经济前景为“乐观”的概率为，预测中国经济前景为“尚可”的概率为，预测中国经济前景为“悲观”的概率为设投资物联网和人工智能项目年回报率的期望分别为，方差分别为，则，则，投资物联网项目比投资人工智能项目平均年回报率要高，但二者相差不大.,投资人工智能项目比投资物联网项目年回报率稳定性更高，风
37、险要小，建议投资人工智能项目.【同步练习】一、单选题1（2022全国高二单元测试）已知随机变量X的分布列为X012P设，则等于（）ABCD【答案】A【解析】【分析】根据分布列求出，再根据条件得，计算答案即可.【详解】由X的分布列得，因为，则故选：A.2（2022全国高三专题练习）已知随机变量的分布列如下，则的最大值为（）X123Pab2baAB3C6D5【答案】C【解析】【分析】根据概率和为得到求得，根据分布列求得，求的最大值，再求的最大值即可.【详解】因为分布列中概率和为，故可得，解得，又，则，又，故可得，则当时，的最大值为，又，故的最大值为.故选：C.3（2022浙江温州高三开学考试）已知
38、随机变量X的分布列是：若，则（）ABCD【答案】C【解析】【分析】利用已知条件求出、的值，利用方差公式可求得的值.【详解】由已知可得，解得，因此，.故选：C.4（2021山东广饶一中高一阶段练习）如果数据x1，x2，xn的平均值为，方差为s2，则3x1+2、3x2+2、3xn+2的平均值和方差分别是（）A和s2B3+2和9s2C3+2和3s2D3+2和9s2+2【答案】B【解析】【分析】利用均值、方差的性质求新数据的均值和方差.【详解】由题设，故选：B5（2022重庆一模）通过核酸检测可以初步判定被检测者是否感染新冠病毒，检测方式分为单检和混检.单检，是将一个人的采集拭子放入一个采样管中单独检
39、测；混检，是将多个人的采集拭子放入一个采样管中合为一个样本进行检测，若检测结果呈阳性，再对这多个人重新采集单管拭子，逐一进行检测，以确定当中的阳性样本.混检按一个采样管中放入的采集拭子个数可具体分为“3合1”混检，“5合1”混检，“10合1”混检等.调查研究显示，在群体总阳性率较低（低于0.1%）时，混检能较大幅度地提高检测效力、降低检测成本.根据流行病学调查结果显示，某城市居民感染新冠病毒的概率为0.0005.若对该城市全体居民进行核酸检测，记采用“10合1”混检方式共需检测X次，采用“5合1”混检方式共需检测Y次，已知当时，据此计算的近似值为（）ABCD【答案】B【解析】【分析】由题意可知
40、10人组进行检测，总检测次数有两种结果：1次和11次，概率分别为和，从而可求出，同样的方法可求出，进而可求出比值【详解】由于一个城市的总人口数很大，而总体阳性率较低，所以我们可以认为阳性个体均匀分布，若进行10合1混检，对任意一个10人组进行检测，总检测次数有两种结果：1次和11次，概率分别为和，故这10人组检测次数的期望为，相当于每个个体平均检测次，同理，采用5合1混检，每个个体平均检测次，.故选：B6（2022浙江高三专题练习）将3只小球放入3个盒子中， 盒子的容量不限， 且每个小球落入盒子的概率相等 记为分配后所剩空盒的个数， 为分配后不空盒子的个数， 则（）ABCD【答案】C【解析】【
41、分析】根据古典概型计算公式、数学期望的公式，结合数学期望和方差的性质进行判断即可.【详解】因为一共有3个盒子，所以，因此，由题意可知：，所以，故选：C7（2022浙江省义乌中学高三期末）随机变量的分布列如下表：1a9Pbb其中，则下列说法正确的是（）A若，则当时，随b的增大而增大B若，则当时，随b的增大而减小C若，则当时，有最小值D若，则当时，有最大值【答案】C【解析】【分析】根据公式算出期望和方差，进而结合二次函数的性质求得答案.【详解】若，则，故A,B均错误；若，则，其对称轴为：，则时，有最小值，即C正确，D错误.故选：C.8（2022河北高三阶段练习）小明参加某项测试，该测试一共3道试题，每道试题做对得5分，做错得0分，没有中间分，小明答对第1，2题的概率都是，答对第3题的概率是，则小明答完这3道题的得分期望为（）ABCD【答案】C【解析】【分析】设小明的得分为，则的可能取值为、，求出所对应的概率，即可得到得分的分布列，从而求出数学期望；【详解】解：设小明的得分为，则的可能取值为、，所以，；所以小明得分的分布列为：051015所以小明答完这3道题的得分期望为，故选：C.二、多选题9（2022山东模拟预测）已知m，n均为正数，随机变量X的分布列如下表：X012Pmnm则下列结论一定成立的是（）AB
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