1、8.6 空间直线、平面的垂直【知识点梳理】知识点一：异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线aa，bb，则a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).(2)异面直线所成的角的取值范围：090.(3)如果两条异面直线a，b所成的角是直角，就说这两条直线互相垂直，记作ab.知识点二：直线与直线垂直的定义两条直线垂直的定义：如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直。知识点诠释：空间中两直线垂直可能是相交垂直，也可能是异面垂直，即两条直线互相垂直时可能没有垂足。知识点三：直线与平面垂直的定义与判定1.直线
2、和平面垂直的定义如果直线和平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作.直线叫平面的垂线；平面叫直线的垂面；垂线和平面的交点叫垂足.垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段。垂线段的长度叫做这个点到平面的距离。知识点诠释：(1)定义中的“任何直线”与“所有直线”是同义语，定义是说这条直线和平面内所有直线垂直 (2)直线和平面垂直是直线和平面相交的一种特殊形式(3)如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直，简述之，即“线面垂直，则线线垂直”，这是我们判定两条直线垂直时经常使用的一种重要方法画直线和平面垂直时，通常要把直线画成和表示平面的平行
3、四边形的一边垂直，如图所示符号语言描述：(4)在平面几何中，我们有命题：经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，在本节中，也有类似的命题 命题1：过一点有且只有一条直线和已知平面垂直 命题2：过一点有且只有一个平面和已知直线垂直2.直线和平面垂直的判定定理文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直图形语言：符号语言：特征：线线垂直线面垂直知识点诠释：(1)判定定理的条件中：“平面内的两条相交直线”是关键性词语，不可忽视.(2)要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则无关
4、紧要.相关的重要结论 过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条 如果两条平行线中的一条与一个平面垂直，那么另一条也与这个平面垂直如果两个平行平面中的一个与一条直线垂直，那么另一个也与这条直线垂直知识点四：直线与平面所成的角(1)如图，一条直线PA和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足，过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.(2)一条直线垂直于平面，称它们所成的角是直角；一条直
5、线在平面内或一条直线和平面平行，称它们所成的角是0的角，于是，直线与平面所成的角的范围是090.知识点五：直线与平面垂直的性质1.基本性质文字语言：一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线.符号语言：图形语言：2.性质定理文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行.符号语言：图形语言：知识点六：距离(1)直线与平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离.(2)平面与平面的距离：两个平面平行时，其中一个平面内任意一点到另一个平面的距离.知识点七：二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫二面角的棱，这两个半平面
6、叫二面角的面.图中的二面角可记作：二面角-AB-或-l-或P-AB-Q.(2)二面角的平面角：如图，在二面角-l-的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面和内分别作垂直与直线l的射线OA，OB，则射线OA和OB构成的AOB叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做直二面角.知识点八：平面与平面垂直的定义与判定1.平面与平面垂直定义定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直.表示方法：平面与垂直，记作.画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.如图： 2.平面与平面垂直的判定定理文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.符
7、号语言：图形语言：特征：线面垂直面面垂直知识点诠释：平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直.通常我们将其记为“线面垂直，则面面垂直”.因此，处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题.以后证明平面与平面垂直，只要在一个平面内找到两条相交直线和另一个平面内的一条直线垂直即可.知识点九：平面与平面垂直的性质1性质定理文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符号语言：图形语言：知识点诠释：面面垂直的性质定理是作线面垂直的依据和方法，在解决二面角问题中作二面角的平面角经常用到这种线面垂直与面面垂直间的相互转化
8、，是我们立体几何中求解（证）问题的重要思想方法2平面与平面垂直性质定理的推论如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内知识点十：垂直关系的综合转化线线垂直、线面垂直、面面垂直是相互联系的，能够相互转化，转化的纽带是对应的定义、判定定理和性质定理，具体的转化关系如下图所示： 知识点十一：求点线、点面、线面距离的方法 (1)若P是平面外一点，a是平面内的一条直线，过P作平面的垂线PO，O为垂足，过O作OAa，连接PA，则以PAa则线段PA的长即为P点到直线a的距离(如图所示) (2)一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫直线与平面
9、的距离 (3)求点面距离的常用方法：直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个直角三角形来求解 转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解 体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解知识点十二：作二面角的三种常用方法(1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图，则AOB为二面角-l-的平面角. (2)垂直法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角.如图，AOB为二面角-l-的平面角.(3)垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的一点A向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二
10、面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则AOB为二面角的平面角或其补角.如图，AOB为二面角-l-的平面角.【典型例题】题型一：证明两直线垂直例1（2021全国高一课前预习）如图所示，在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，EF=求证：ADBC【解析】证明：如图所示，取BD的中点H，连接EH，FH因为E是AB的中点，且AD=2，所以EHAD，EH=1同理FHBC，FH=1所以EHF(或其补角)是异面直线AD，BC所成的角因为EF=，所以EH2+FH2=EF2，所以EFH是等腰直角三角形，EF是斜边，所以EHF=90，即AD与BC所成的角是90，所以ADBC解题技巧（
11、证明两直线垂直的常用方法）(1)利用平面几何的结论，如矩形，等腰三角形的三线合一，勾股定理；(2)定义法：即证明两条直线夹角是90；(3)利用一些事实：两条平行直线，若其中一条直线垂直另一条直线，则其平行线也垂直此直线.例2（2021全国高一课时练习）如图，已知正方体.（1）求与所成角的大小；（2）若E，F分别为棱AB，AD的中点，求证：.【解析】解：（1）如图，连接，由几何体是正方体，知四边形为平行四边形，所以，从而与所成的角为与所成的角，由，可知.故与所成的角为.（2）如图，连接，易知四边形为平行四边形，所以，因为为的中位线，所以.又，所以，所以.题型二 求异面直线所成的角例3（2021全
12、国高一课时练习）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小【解析】如图所示，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G，则OGB1D，EFA1C1，GOA1为异面直线DB1与EF所成的角(或其补角)GA1GC1，O为A1C1的中点，GOA1C1异面直线DB1与EF所成的角为90解题技巧 (求异面直线所成角的一般步骤)求异面直线所成角的一般步骤： (1)找(或作出)异面直线所成的角用平移法，若题设中有中点，常考虑中位线. (2)求转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角.(
13、3)结论设(2)所求角大小为.若090，则即为所求；若90180，则180-即为所求例4（2021全国高一课时练习）如图所示，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，D、E分别是VB、VC的中点，求异面直线DE与AB所成的角.【解析】解：因为D、E分别是VB、VC的中点，所以BCDE，因此ABC是异面直线DE与AB所成的角，又因为AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，所以ABC是以ACB为直角的等腰直角三角形，于是ABC45，故异面直线DE与AB所成的角为45.题型三 线面垂直的概念与定理的理解例5（2021全国高一课时练习）设是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，则（ ）A若，则B若
14、，则C若，则D若，则【答案】B【解析】解：由是空间中的一个平面，是三条不同的直线，知：对A：若，则与相交、平行或，故A错误；对B：若，则由线面垂直的判定定理得，故B正确；对C：若，则，故C错误；对D：若，则与相交、平行或异面，故D错误故选：B解题技巧（判定定理理解的注意事项）线面垂直的判定定理中，直线垂直于平面内的两条相交直线，“相交”两字必不可少，否则，就是换成无数条直线，这条直线也不一定与平面垂直.例6（2021全国高一课前预习）在正方体中P，Q分别是和的中点，则下列判断错误的是（ ）AB平面CD平面【答案】D【解析】取中点，连接，因为P，Q分别是和的中点，易得，又，平面，平面，故A正确；
15、分别取中点，连接，易得且，所以四边形为平行四边形，又，故C正确；，又，平面，故B正确；平面即为平面，显然平面，故D错误.故选：D.例7（2021全国高一课时练习）如图，在正方形中，E、F分别为、的中点，H是的中点.现沿、把这个正方形折成一个几何体，使B、C、D三点重合于点G，则下列结论中成立的是（ ）A平面B平面C平面D平面【答案】A【解析】对于选项A，B、C、D重合于点G，平面，故A正确；对于选项B，由A选项可知，平面，因与不平行，知不垂直与平面，故B错；对于选项C，由不与垂直，得不与垂直，进而可知不垂直于平面，故C错；对于选项D，由B选项可知，不垂直于平面，且，得不垂直，进而可知不垂直于平
16、面.故选：A.题型四 直线与平面垂直的判定例8（2022陕西宝鸡市渭滨区教研室高一期末）如图，四棱锥的底面是边长为的菱形，且面，、分别是棱、的中点.(1)求证：平面；(2)求四棱锥的体积.【解析】(1)证明：连接，因为四边形为菱形，则，平面，平面，则，平面，因为、分别是棱、的中点，则，平面.(2)解：四棱锥的底面是边长为的菱形，则为等边三角形，所以，因为，平面，故.解题技巧 (应用判定定理的注意事项)利用直线与平面垂直的判定定理证明线面垂直的关键是在这个平面内找到两条相交直线，证明它们都和这条直线垂直.例9（2020广西昭平中学高一阶段练习）如图，在三棱锥P-ABC中，底面ABC，D为BP的中
17、点，.(1)求证：平面PAB；(2)求证：平面PBC.【解析】(1)证明：因为底面ABC，底面ABC，所以，又，平面PAB；所以平面PAB；(2)证明：由（1）得平面PAB，又平面PAB，所以，又D为BP的中点，所以，又，平面PBC，所以平面PBC.例10（2021全国高一课时练习）如图，在中，M为边BC的中点，沿AM将折起，使点B在平面ACM外在什么条件下直线AM垂直于平面BMC？【解析】解：由线面垂直的判断定理有，要使直线AM垂直于平面BMC，则应有AM垂直于MC，且垂直于MB，即AM是BC上的高，又因为M为边BC的中点，所以AB=AC，即在AB=AC的条件下直线AM垂直于平面BMC例11
18、（2021上海中学高一期末）如图1，在中，分别为，的中点，点是线段上的一点，将沿折起到的位置，使，如图2（1）证明：；（2）线段上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由【解析】（1）证明：由已知得且，又，平面，面平面，又平面，.（2）线段上存在点，使平面.理由如下：如图，分别取的中点，则.平面即为平面.由（1）知平面，又是等腰三角形底边的中点，平面，从而平面，故线段上存在点，使平面，其中.题型五 直线与平面所成角例12（2021全国高一课时练习）在正方体中，E是棱的中点，求直线与平面所成的角的正弦值【解析】在正方体中，取的中点M，连接，如图，因E是的中点，四边形为正方形，即有
19、，而平面，则平面，从而为直线在平面内的射影，为直线与平面所成的角，设正方体的棱长为2，则，在中，于是得，所以直线与平面所成的角的正弦值为.解题技巧(求平面的斜线与平面所成的角的一般步骤)(1)确定斜线与平面的交点(斜足)；(2)通过斜线上除斜足以外的某一点作平面的垂线，连接垂足和斜足即为斜线在平面上的射影，则斜线和射影所成的锐角即为所求的角；(3)求解由斜线、垂线、射影构成的直角三角形.例13（2021全国高一课时练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面ABCD(1)指出图中有哪些三角形是直角三角形，并说明理由；(2)若，试求PC与平面ABCD所成角的正切值【解析】(1)解：图中三角形
20、、均为直角三角形原因如下：平面，则三角形、为直角三角形；平面，又，且，平面，则，三角形为直角三角形，同理说明为直角三角形；(2)解：连接，由已知可得，可知为与平面所成角，设，则，即与平面所成角的正切值为题型六 直线与平面垂直的性质定理的应用例14（2021全国高一课时练习）如图，已知正方体A1C(1)求证：A1CB1D1；(2)M，N分别为B1D1与C1D上的点，且MNB1D1，MNC1D，求证：MNA1C【解析】(1)如下图，连接A1C1因为CC1平面A1B1C1D1，B1D1平面A1B1C1D1，所以CC1B1D1因为四边形A1B1C1D1是正方形，所以A1C1B1D1又因为CC1A1C1
21、C1，所以B1D1平面A1C1C又因为A1C平面A1C1C，所以B1D1A1C(2)如上图，连接B1A，AD1因为B1C1= AD，B1C1 AD所以四边形ADC1B1为平行四边形，所以C1DAB1，因为MNC1D，所以MNAB1又因为MNB1D1，AB1B1D1B1，所以MN平面AB1D1由（1）知A1CB1D1同理可得A1CAB1又因为AB1B1D1B1，所以A1C平面AB1D1所以A1CMN解题技巧（证明两条直线平行的常见方法）(1)公理4：平行于同一条直线的两条直线平行；(2)线面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，那么经过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行；(3)面
22、面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行；(4)线面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.例15（2021全国高一课时练习）如图所示，在三棱锥中，平面，是侧面上的一点，过作平面的垂线，其中，证明：平面【解析】因为平面，平面，所以又平面，平面，所以平面题型七 空间中的距离问题例16（2020河北高一期末）如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，PDDCBC1，AB/DC，AB2CD，BCD90.（）求证：PBAD；（）求点C到平面PAB的距离.【解析】如图，取中点为，连接因为所以四边形为正方形.所以所以.所以所以因为平面，平面，所以.又因为所以平
23、面， 而平面，所以（2）连接，设点到平面的距离为，则因为且所以平面，所以.在中即.所以.所以.所以，所以.所以点到平面的距离为.解题技巧 (空间中距离的转化)（1）利用线面、面面平行转化：利用线面距、面面距的定义，转化为直线或平面上的另一点到平面的距离.（2）利用中点转化：如果条件中具有中点条件，将一个点到平面的距离，借助中点(等分点)，转化为另一点到平面的距离.（3）通过换底转化：一是直接换底，以方便求几何体的高；二是将底面扩展(分割)，以方便求底面积和高.例17（2019广东东莞高一期末）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，（1）求证：；（2）求点到面的距离【解析】证明：（1）底面是菱形，
24、平面，平面，是平面内的两条直交线，平面，又平面，解：（2）底面是菱形，又，平面，设点到平面的距离为，且平面，即，是等边三角形，解得，点到面的距离为题型八 面面垂直的概念与定理的理解例18（2022陕西宝鸡市金台区教育体育局教研室高一期末）已知两条直线及两个平面，以下说法中正确的是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】C【解析】对于A，则可能平行、相交、异面，故错误；对于B，则在平面内或，故错误；对于C，由，可得，又，所以，故正确；对于D，由C可知，得不到，故错误.故选：C例19（2021全国高一专题练习）设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中不正确的是（ ）A，B，C，
25、D，【答案】BCD【解析】解：对于A，因为，所以，故A正确；对于B，根据面面垂直的性质得，由，当时，故B错误；对于C，由，可得平行或相交，故C错误；对于D，由，可得平行或异面，故D错误.故选：BCD.例20（2021河北省盐山中学高一阶段练习）已知m、n是两条不重合的直线，是三个两两不重合的平面，下列四个命题中真命题是（ ）A若，则B若，则C若m、n是异面直线，则D若，则【答案】BC【解析】若，、是三个两两不重合的平面，可知，平行或相交，故A错误；因为、是不重合的平面，由判定定理可知，故B正确；因为，所以必有，又因为，所以，所以，故C正确；因为，所以可能相交，不一定平行，故D错误.故选：BC题
26、型九 面面垂直判定定理的应用例21（2021陕西西安高级中学高一阶段练习）如图所示，四棱锥的底面是边长为4的菱形，为的中点.求证：(1)直线平面；(2)平面平面.【解析】(1)证明：因为四棱锥的底面是边长为4的菱形，所以，又，所以直线平面；(2)如图所示：，连接AC与BD交于点O，连接OE，因为O，E为中点，所以OE/PC，所以线平面，又平面EDB，所以平面平面.解题技巧（判定两个平面垂直的常用方法）(1)定义法：即说明两个平面所成的二面角是直二面角；(2)判定定理法：其关键是在其中一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”；(3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个
27、平面，则另一个也垂直于此平面.例22（2021陕西西安高级中学高一阶段练习）如图，在四棱锥中，侧面平面，侧棱，底面是直角梯形，其中是上一点.(1)若平面，求；(2)求证：平面平面.【解析】(1)解：因为平面，平面，且平面平面，所以，又，所以四边形为平行四边形，则，又，所以，即(2)证明：因为平面平面，底面，面面，且，所以平面，则，又，且平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.例23（2021陕西西安中学高一阶段练习）如图，在四棱锥中四边形为平行四边形，是正三角形，且(1)当点M在线段上什么位置时，有平面？(2)在（1）的条件下，点N在线段上什么位置时，有平面平面？【解析】(1)解：当点为线
28、段的中点时，有平面下面先证明：平面四边形是平行四边形，又，即，平面，平面，从而平面，平面是正三角形，又，平面，平面，平面(2)解：在（1）的条件下，点时，有平面平面，即点在线段的靠近点的四等分点时，有平面平面下面给出证明：在（1）的条件下，平面，平面，又，平面，平面平面因为平面平面平面不妨设，则，则，即，解得点在线段的靠近点的四等分点时，有平面平面 例24（2021北京市八一中学高一期末）如图所示，在正四棱柱中，是线段上的动点.（1）证明：平面；（2）在线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.【解析】解：（1）连接，在正四棱柱中，且，所以四边形为平行四边形，
29、所以，因为平面，平面，所以平面，且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，又，面，所以平面平面，又平面，所以平面（2）因为在正四棱柱，面，面，所以， ，面，所以面，因为平面，所以平面平面，因为面面，要使平面平面，则平面与面重合，即在的中点时满足题意，所以题型十 求二面角例25（2022浙江省开化中学高一期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，平面平面，为的中点(1)求证：；(2)求二面角的正切值【解析】(1)证明：过在平面内作，垂足为点，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，则，平面，平面，平面，平面，.(2)解：过点在平面内作，垂足为点，连接，由（1）知平面，平面，
30、所以，平面，因为平面，所以，所以，为二面角的平面角，平面，平面，则，为的中点，所以，由，因此，二面角的正切值为.解题技巧： (作二面角的三种常用方法)(1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图，则AOB为二面角-l-的平面角. (2)垂直法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角.如图，AOB为二面角-l-的平面角.(3)垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的一点A向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则AOB为二面角的平面角或其补角.如图，AOB为二面角-
31、l-的平面角.例26（2021全国高一课时练习）如图所示，在三棱柱中，点D是AB的中点(1)求证：平面(2)若平面ABC，求二面角的平面角的余弦值【解析】(1)连接交于点，连接，如图，则是中点，又是中点，所以，平面，平面，所以平面；(2)平面，平面，所以，又，是中点，所以，平面，所以平面，平面，所以，所以是二面角的平面角，由，得，所以，例27（2021全国高一课时练习）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PA底面ABCD，PA=AB，E为线段PB的中点，若F为线段BC上的动点（不含B）(1)平面AEF与平面PBC是否相互垂直？若是，请证明；若不是，请说明理由；(2)若为何值时？二
32、面角BAFE为【解析】(1)因为，E为线段PB的中点，所以，因为底面ABCD，平面ABCD，所以，又因为底面ABCD为正方形，所以，又，所以平面PAB，平面PAB，因为，所以平面PBC，因为平面AEF，所以平面平面PBC(2)如图，取AB的中点M，作交AF于点N，连接EM，EN，因为EM为的中位线，所以，又平面ABCD，线段BC故平面ABF，故平面EMN，所以即为二面角的平面角，即设，则，因为，即，所以又，即，得题型十一 平面与平面垂直的性质定理的应用例28（2020广西昭平中学高一阶段练习）在三棱锥中，分别为的中点，且.(1)证明：平面；(2)若平面平面，证明：.【解析】(1)证明:因为，分
33、别为，的中点，所以，又平面，平面，所以平面；(2)证明：因为，为的中点，又平面平面平面平面，所以平面又平面.所以.解题技巧（性质定理应用的注意事项）利用面面垂直的性质定理，证明线面垂直的问题时，要注意以下三点:(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线.例29（2021全国高一单元测试）如图1，在直角梯形ABCD中，且.现以为一边向形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使平面与平面垂直，为的中点，如图2.（1）求证：平面；（2）求证：平面.【解析】证明：取中点，连结.在中， 分别为的中点， 所以，且. 由已知， 所以，且，因此四边形是平行四边形，所以有，又
34、因为平面，且平面， 所以平面；（2）证明：在正方形中，.又因为平面平面ABCD中，且平面平面， 所以平面ABCD，又平面ABCD，所以. 在直角梯形ABCD中，可得.在中， 所以.所以， ，平面，平面.例30（2021全国高一课时练习）如图所示，三角形所在的平面与矩形所在的平面垂直，且（1）证明：平面；（2）证明：【解析】（1）因为四边形是矩形，所以又平面平面，所以平面（2）取的中点H，连接因为，所以又平面平面，平面平面平面，所以平面又平面，所以因为，所以平面又平面，所以例31（2021湖北丹江口市第一中学高一阶段练习）如图，已知四棱锥中为矩形，平面ABCD，于点，于点(1)求证：；(2)若平
35、面交于点，求证：【解析】(1)因为平面ABCD，平面SAB，所以平面平面ABCD，又平面平面AC=AB，且，所以平面SAB，所以，又于点，且，所以平面SBC，所以，又于点，且，所以平面SBC，所以；(2)由（1）知平面SBC，则，因为平面，平面SAD，所以平面平面ABCD，又平面平面ABCD =AD，且，所以平面SAD，所以，又，所以平面SCD，题型十二 线面、面面垂直的的综合应用例32（2019云南丽江高一期末）如图，四边形为矩形，平面平面，为上的一点，且平面(1)求证：(2)求证：平面【解析】(1)平面平面，平面平面， 平面， 又因为，则 又因为 ，所以平面所以(2)设，连接，如图，则是的
36、中点，因为平面，所以又，所以是的中点，在中，因为平面，平面所以平面解题技巧 (空间垂直关系的注意事项)直线、平面之间的平行、垂直关系是重点考查的位置关系，当已知线面、面面垂直或平行时考虑用性质定理转化，要证线面、面面垂直或平行时要用判定定理进行论证.例33（2021陕西西安建筑科技大学附属中学高一阶段练习）如图，是正方形，O是正方形的中心，底面，E是的中点(1)求证：平面；(2)求证：面面(3)若，求三棱锥的体积【解析】(1)证明：连接AC，交BD于O，连接OE，在CAP中，CO=OA，CE=EP，又平面BDE，平面BDE，平面BDE；(2)证明：PO底面ABCD，则POBD，又是正方形，则A
37、CBD，且，BD平面PAC.平面PBD，平面PAC平面PBD；(3)解：因为，所以，则，由于是的中点，.【同步练习】一、单选题1（2022陕西西安高一阶段练习）已知直线及三个互不重合的平面，下列结论错误的是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】B【解析】【分析】对A，可根据面面平行的性质判断；对B，平面与 不一定垂直，可能相交或平行；对C，可根据面面平行的性质判断；对D，可通过在平面，中作直线，推理判断.【详解】解：对于选项A：根据面面平行的性质可知，若，则成立，故选项A正确，对于选项B：垂直于同一平面的两个平面，不一定垂直，可能相交或平行，故选项B错误，对于选项C：根据面面平行的性质
38、可知，若，则成立，故选项C正确，对于选项D：若，设，在平面中作一条直线，则，在平面中作一条直线，则，又，故选项D正确，故选：B.2（2022内蒙古呼和浩特市教学研究室高一期末）如图，在三棱锥中，不能证明的条件是（ ）A平面B，C，平面平面D，【答案】D【解析】【分析】A选项利用线面垂直（平面）可推出线线垂直（），B选项利用两组线线垂直（，）推出线面垂直（平面），再推出线垂直（），C选项利用面面垂直的性质定理可推出，D选项不能证明出.【详解】平面，平面， ，故A选项可以证明，因此不选. ，平面，平面，平面，.故B选项可以证明，因此不选.平面平面，平面平面，由面面垂直的性质定理知平面.平面，故C选
39、项可以证明，因此不选.由D选项，并不能推出.故选：D.3（2021全国高一课时练习）如图，在四边形ABCD中，ADBC，AD=AB，BCD=45，BAD=90，将ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构成三棱锥A-BCD，则在三棱锥A-BCD中，下列结论正确的是（）A平面ABD平面ABCB平面ADC平面BDCC平面ABC平面BDCD平面ADC平面ABC【答案】D【解析】【分析】由题意推出，从而得到平面，又平面，可得平面平面【详解】解：如图所示：因为，所以四边形为直角梯形.所以.又因为，所以，即.又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，若平面平面，那么平面，显然不成立，故A错误；平面， 又
40、因为平面，所以.又，平面，所以平面.又因为平面，所以平面平面，故D正确；平面平面，过点作平面的垂线，垂足落在上，显然垂线不在平面内，所以平面与平面不垂直，故C错误，同理B也错误.故选：D4（2021全国高一课时练习）在正方体中，与垂直的直线是（ ）AABBCDCD【答案】C【解析】【分析】证明平面，从而得到，可得答案.【详解】连结， 则为直线与所成角，在直角三角形中，为锐角，所以与不垂直，选项D不正确.为直线与所成角，在直角三角形中，为锐角，所以与不垂直由，所以与不垂直，故选项A，B不正确.在正方体中， 平面，且平面，所以由，所以平面平面，所以故选: C.5（2022西藏拉萨中学高一期末）如图
41、，在四面体ABCD中，E，F分别是AC与BD的中点，若CD=2AB=4，EFBA，则EF与CD所成的角为（ ）A90B45C60D30【答案】D【解析】【分析】设G为AD的中点，连接GF，GE，由三角形中位线定理可得，则GFE即为EF与CD所成的角，结合AB=2，CD=4，EFAB，在GEF中，利用三角函数即可得到答案.【详解】解：设G为AD的中点，连接GF，GE则GF，GE分别为ABD，ACD的中线. ，且，且，则EF与CD所成角的度数等于EF与GE所成角的度数又EF AB， EF GF则GEF为直角三角形，GF=1，GE=2，GFE=90 在直角GEF中， GEF=30.故选：D.6（2021全国高一课时练习）如图，已知是等腰三角形，且，点D是AB的中点将沿CD折起，使得，则此时直线BC与平面ACD所成角的正弦值为（ ）ABCD【答案】A【解析】【分析】根据平面，可得，通过作，可得平面，并找到直线与平面所成角，然后利用等面积法计算，然后简单计算可得结果.【详解】如图，作，垂足为，连接.，平面.平面，又，平面，为直线与平面所成的角.由题意：可知，.设中，边上的高为，则.由，得，故选：A.7（2021全国高一课时练习）如图所示，在直角梯形中，分别是，上的点，且（如图，将四边形沿折起，连结、（如图在折起的过程中，下列说法中正确的个数（
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