1、一次方程组内容分析一次方程组是初中数学六年级下学期第2章第4节的内容本讲主要讲解二元一次方程的概念，二元一次方程组和三元一次方程组的概念及其解法，同学们需要多多练习，做到能够灵活快速地解方程组知识结构模块一：二元一次方程知识精讲1、 二元一次方程含有两个未知数的一次方程叫做二元一次方程2、 二元一次方程的解使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解3、 二元一次方程的解集例题解析二元一次方程的解有无数个，二元一次方程的解的全体叫做这个二元一次方程的解集【例1】 下列方程中，哪些不是二元一次方程？并说明理由（1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）；（7）；（8）【难
2、度】【答案】（1）、（5）、（6）、（7）、（8）不是二元一次方程【解析】根据二元一次方程的概念，含有两个未知数的一次方程是二元一次方程，（1）只有一个未知数，是一元一次方程；（5）中是二次，是二元二次方程；（6）是分式方程， 不是整式方程；（7）是一元二次方程；（8）是三元一次方程，即（1）、（5）、（6）、（7）、（8）不是【总结】考查二元一次方程的判断，注意把握定义中的关键点【例2】 若方程是关于x、y的二元一次方程，则a =_，b = _【难度】【答案】4，【解析】方程为二元一次方程，可知未知数次数都为1，则有，解得：【总结】考查二元一次方程的定义，未知项次数都为1【例3】 以下各组数
3、，_（填序号）是方程的解 （1）；（2）；（3）；（4）【难度】【答案】（2）、（3）【解析】代入（2）、（3）使得方程左右两边相等，是方程的解；（1）、（4）代入使得方程左 右两边不相等，即不是方程的解【总结】考查二元一次方程的解，代入使得方程左右两边相等即可【例4】 已知x = 3，y = 5是关于x、y的方程一个解，求k的值【难度】【答案】【解析】x = 3，y = 5是方程的一个解，代入满足方程，则有，解得【总结】考查二元一次方程解的应用，代入使得两边相等【例5】 已知二元一次方程（1）用含x的代数式表示y，y =_；（2）用含y的代数式表示x，x =_；（3）当时，y =_；当时，y
4、 =_；（4）当时，x =_；当时，x =_【难度】【答案】（1）；（2）；（3）3，；（4），【解析】（1）移项得：，系数化1，得：；（2） 移项得：，系数化1，得：；（3） 代入得：，解得：；代入得：，解得：；（4） 代入得：，解得：；代入得：，解得：【总结】考查等式的变形和解方程的一般步骤和方法【例6】 如果是关于x、y的二元一次方程，求n和a的取值范围【难度】【答案】，【解析】方程为二元一次方程，可知未知数次数都为1，则有，同时未知项系数不能 为0，则有【总结】考查二元一次方程的定义，未知项次数都为1且系数不能为0【例7】 若，且，那么_【难度】【答案】【解析】由，可得：，则有【总结】
5、考查利用方程的思想，用其中一个未知数表示另外一个未知数，从而求出分式的值【例8】 求方程的正整数解【难度】【答案】，【解析】由，可得，4、7互素，由此可得相应整 数解应满足是4的倍数，是7的倍数，且有， 分别可取得：，分别解得：， 即得方程整数解分别为：，【总结】考查方程的整数解问题，化作倍数问题即可【例9】 某人只带2元和5元两种钱币，他要买一件27元的商品，若要恰好付清，请问他的付款方式共有哪几种？【难度】【答案】2元1张，5元5张；2元6张，5元3张；2元11张，5元1张【解析】设2元纸币付款张，5元纸币付款张， 依题意有，则有，则为奇数，分别取， 分别解得：，故共有三种方式【总结】考查
6、方程在实际问题中的应用，注意钱的张数只能是正整数，因此将问题转化为求方程的正整数解的问题模块二：二元一次方程组及其解法知识精讲1、 二元一次方程组有几个方程组成的一组方程叫做方程组如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的次数都是一次，那么这样的方程叫做二元一次方程组2、 二元一次方程组的解在二元一次方程组中，使每个方程都适合的解，叫做二元一次方程组的解3、 代入消元法通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法4、 加减消元法通过两个方程相加（或相减）消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做加减消元法例题解析【例10】 以下方程组：
7、（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6），哪些是二元一次方程组？【难度】【答案】（1）、（2）、（3）、（6）是二元一次方程组【解析】根据二元一次方程组的定义，含有两个未知数，并且未知数的次数都是1的方程组是二元一次方程组，（4）是二次方程，（5）是三元方程，不满足条件，注意（1）是最 简二元一次方程组，（6）有三个方程，但满足二元一次方程组的条件，也是二元一次方程组【总结】考查二元一次方程组的概念，注意一些特殊形式的二元一次方程组【例11】 判断下列两组数值是否是方程组的解：（1）；（2）【难度】【答案】（1）是方程组的解【解析】将代入方程组，方程组中两个等式都成立，可知（1）是方程组
8、的解； 将代入方程组，即得，所以（2）不是方程组的解【总结】考查方程组的解，方程组的解同时满足方程组中的每个方程【例12】 方程组的解_是方程的解；反之，方程的解_是方程组的解（填“一定”、“一定不”或“不一定”）【难度】【答案】一定，不一定【解析】方程组的解一定同时满足方程组中的每个方程，可知方程组的解一定是其中一个方 程的解；但二元一次方程的解有无数个，但方程组的解一般只有固定一个，二元一次方 程中有一个解可以满足方程组，即得不一定是方程组的解【总结】考查方程组的解和方程组其中一方程的解得区别和联系【例13】 用代入消元法解下列方程组（1）；（2）；（3）【难度】【答案】（1）；（2）；（
9、3）【解析】（1）将代入，得：，解得：，将代入得：， 所以原方程组的解为：；（2） 由可得：，代入式，得：，解得：，将 代入得：，所以原方程组的解为：；（3） 由可得：，代入式，得：，解得：，将代入得：，所以原方程组的解为：【总结】考查用代入消元法解二元一次方程组，选取合适的方程用一个未知数表示另一个未知数【例14】 用代入消元法解下列方程组（1）；（2）【难度】【答案】（1）； （2）【解析】（1）由可得，代入式，得：，解得：， 将代入得：，所以原方程组的解为：； （2）由可得：，代入式，得：，解得：，将 代入得：，所以原方程组的解为：【总结】考查用代入消元法解方程组，选取合适的方程用一个未
10、知数表示另一个未知数【例15】 用代入消元法解下列方程组（1）；（2）【难度】【答案】（1）； （2）【解析】（1）由得：，代入，得：， 解得：，将代入得：，由， 解得原方程组的解为：；（2）由可得：，代入式，得：，解得：，将代入得：，解得：，所以原方程组的解为：【总结】考查代入消元法解方程组问题中整体思想的应用【例16】 用加减消元法解下列方程组（1）；（2）；（3）【难度】【答案】（1）； （2）； （3）【解析】（1）由，得：，解得：，将代入解得：， 所以原方程组的解为：；（2） 由，得，解得：，将代入，解得：，所以原方程组的解为：；（3） 由，得：，解得：，将代入，解得：，所以原方程组
11、的解为：【总结】考查加减消元法解方程组，注意观察相应字母系数的关系进行相应未知数的消除【例17】 选用适当的方法解下列方程组（1）；（2）；（3）；（4）【难度】【答案】（1）； （2）； （3）； （4）【解析】（1）由得，代入，得：，解得：，将 代入得：，所以原方程组的解为：；（2） 由，得：，解得：，将代入，得， 所以原方程组的解为：；（3） 由，得：，解得：，将代入，得，解得：，所以原方程组的解为：；（4） 由可得：，代入式，得：，即：，解得：，将代入得：，解得：， 所以原方程组的解为：【总结】考查二元一次方程组的解法的综合分析应用，注意观察相应字母系数确定相应的方法，同时注意过程中整
12、体思想的应用【例18】 若是二元一次方程，求a、b的值【难度】【答案】，【解析】方程组是二元一次方程，则未知项次数都为1，有，解得：【总结】考查根据二元一次方程的定义，转化为其它方程组的求解【例19】 解方程组：【难度】【答案】【解析】由，得：，则； 由，得：，则， 由此解得方程组的解为【总结】考查方程组的求解，注意观察系数之间的关联性进行解题【例20】 已知方程组和方程组有相同的解，求a、b的值【难度】【答案】，【解析】两个方程组有相同的解，则这个解应满足方程组中的每个方程，由， 解得：，同时满足另两个方程，则有，解得：【总结】考查方程组的解的应用，方程组的解应满足方程组中的每个方程【例21
13、】 若方程组的解满足，求m的值【难度】【答案】【解析】，可得：，代入式则有，代入式则有， 由此可得：，解得：【总结】考查含参数且满足一定条件的二元一次方程组的求解，把一个未知数表示出来转化为一般方程或方程组即可求解模块三：三元一次方程组及其解法知识精讲1、 三元一次方程组如果方程组中含有三个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次，这样的方程组叫做三元一次方程组2、 解三元一次方程组的思想三元一次方程组二元一次方程组一元一次方程消元消元例题解析【例22】 下列方程组中，哪些是三元一次方程组？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）【难度】【答案】（1）、（2）、（3）、（4）是三元一次方程
14、组【解析】根据三元一次方程组的定义，含有三个未知数，并且未知数的次数都是1的方程组是三元一次方程组，（5）（6）都是二次方程，不满足条件，注意（3）是最简三元一次方程组，（4）只有二个方程，但满足三元一次方程组的要求，也是三元一次方程组【总结】考查三元一次方程组的概念，注意一些特殊形式的三元一次方程组的判断【例23】 解方程组：【难度】【答案】【解析】将代入式得：，将，代入式得，解得：， 所以原方程组的解为：【总结】考查简单的三元一次方程组的求解【例24】 判断下列两组数值是否是方程组的解：（1）；（2）【难度】【答案】（2）是方程组的解【解析】将代入方程组，代入式得，可知（1）不是方程 组的
15、解；将代入方程组，方程组三个方程都成立，所以（2）是方程组的解【总结】考查方程组的解，方程组的解同时满足方程组中的每个方程【例25】 解方程组：（1）；（2）【难度】【答案】见解析【解析】（1）将代入式得：，将代入式得：， 由得：，解得：，将代入式解得：， 所以原方程组的解为：；（2） 将代入式得：，将代入式得：，由得：，解得：，将代入式解得：，将代入式解得：，所以原方程组的解为：【总结】考查三元一次方程组的求解，将三元一次方程组化成二元一次方程组再进行求解【例26】 解方程组：（1）；（2）【难度】【答案】（1）； （2）【解析】（1）由得：，由得：，由，得：， 将代入式得：，将代入式得：，
16、 所以原方程组的解为：；（2） 由得：，由得：，由，得：， 解得：，将代入式，得：，将，代入式，得：， 所以原方程组的解为：【总结】考查三元一次方程组的求解，将三元一次方程组化成二元一次方程组再进行求解【例27】 解方程组：（1）；（2）【难度】【答案】（1）； （2）【解析】（1）由得：，由得：，解得：， 将代入式得，将，代入式得， 所以原方程组的解为：；（2） 由得：，由得：，得：，将代入式得，将，代入式得：，所以原方程组的解为：【总结】考查三元一次方程组的求解，将三元一次方程组化成二元一次方程组再进行求解【例28】 解方程组：（1）；（2）【难度】【答案】见解析【解析】（1）由得：，则：
17、，由得：， 由得：，由得：，所以原方程组的解为：；（2） 由得：，解得：，由得：，解得：，由得：，解得：，所以原方程组的解为：【总结】考查特殊三元一次方程组的求解，注意观察方程组中的每一个方程是否形式相同【例29】 解方程组：【难度】【答案】见解析【解析】由，得：， 则有；由，得：；由，得：； 由，得：；由，得：；由， 得：，所以原方程组的解为：【总结】考查特殊的多元方程的解法，注意观察方程组各个式子之间的联系解题随堂检测【习题1】 以下方程（1）；（2）；（3）；（4）；（5），其中二元一次方程有_个【难度】【答案】2【解析】（1）、（5）是二元二次方程，（3）中方程右边有分式，是分式方程，
18、满足二元一次 方程的是（2）（4），即共有2个【总结】考查二元一次方程的判断，注意把握定义中的关键点【习题2】 在方程中，如果是它的一个解，则a =_【难度】【答案】【解析】是方程的一个解，代入满足方程，则有，解得：【总结】考查二元一次方程解得应用，代入使得两边相等【习题3】 已知一个二元一次方程，它的一个解为，则这个方程可以是_【难度】【答案】答案不唯一，例【解析】答案不唯一，代入可使得方程左右两边相等即可【总结】考查根据二元一次方程的解确定好相应的二元一次方程，使得方程左右两边相等即可，注意前提是二元一次方程【习题4】 将下列方程变形为用含y的代数式表示x （1）；（2）；（3）【难度】【
19、答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）移项得：，系数化1，得：；（2）移项得：，系数化1约分，得：；（3）通分得：，移项得：，系数化1，得：【总结】考查利用等式性质用一个未知数把另一个未知数表示出来，可视作方程组代入消元法的基础前提【习题5】 如果是二元一次方程，那么m =_，n =_【难度】【答案】0，【解析】方程是二元一次方程，则未知项次数都为1，则有，解得：【总结】考查一元二次方程概念的应用，注意把握好关键特征【习题6】 解方程组：（1）；（2）；（3）； （4）【难度】【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】（1）由，得：，将代入得：， 所以原方程组的解为：；（2），得，解得
20、：，将代入得：，所以原方程组的解为：； （3）由，解得：，代入得：，由 解得：，所以原方程组的解为：；（4） 由得：，则，由得：，得：，将，代入式得，所以原方程组的解为：【总结】考查二元一次方程组和三元一次方程在的解法，注意解方程中消元思想的应用，同时注意观察和应用整体思想【习题7】 若是二元一次方程，求a、b的值【难度】【答案】，【解析】方程组是二元一次方程，则未知项次数都为1，有，解得：【总结】考查根据二元一次方程的定义，转化为其它方程组的求解【习题8】 已知二元一次方程组的解是，求a + b的值【难度】【答案】3【解析】方程组的解满足方程，代入即得，解得：，则有【总结】考查二元一次方程组
21、的解的应用可转化求其它未知数的值【习题9】 方程组的解中x与y相等，求k的值【难度】【答案】【解析】将代入式得：，将代入式，有，解得：【总结】考查满足特定条件的二元一次方程组的解的应用，可根据条件所得求解应用【习题10】 已知方程组，且，求的值【难度】【答案】【解析】由得：，则有，将代入式得：， 解得：，则【总结】考查两个方程三个未知数方程中主元法思想的应用，综合性较强课后作业【作业1】 下列说法中，不正确的个数是（ ）个（1）方程x = y不是二元一次方程；（2）二元一次方程的解集是；（3）是二元一次方程的一个解；（4）由于方程有无数个解，所以任何一对x，y的值都是该方程的解A1个B2个C3
22、个D4个【难度】【答案】C【解析】含有两个未知数，且是未知数次数都为1的方程，是二元一次方程，（1）不正确；对二元一次方程而言，方程组有无数组解，这无数组解需满足一定的条件，、中任一字母确定以后，另一个字母随之确定，可知（2）、（4）不正确，（3）代入使得方程左右两边，（3）正确；综上，（1）、（2）、（4）不正确，故选C【总结】考查二元一次方程和二元一次方程的解的相关概念【作业2】 已知一个二元一次方程，当x = 4时，y =_，当y = 4时，x =_，这个方程有_组解【难度】【答案】，7，无数【解析】当时，则有，解得：；当时，则有， 解得：；随着的变化而变化，可知方程有无数组解【总结】考
23、查一个一元二次方程有无数组解【作业3】 已知方程，请你在设计一个方程_，使得这两个方程的公共解是【难度】【答案】答案不唯一，例【解析】根据方程的解确定原方程，答案不唯一，使得解方程尽量简单一些即可【总结】考查根据方程的根写出满足条件的方程【作业4】 若方程是二元一次方程，则a =_，b_【难度】【答案】3，【解析】方程是二元一次方程，则未知项次数都为1，且有两个未知数，则未知项系数不能 为0，则有且，解得：且【总结】考查二元一次方程的定义，注意把握概念中的关键点【作业5】 若方程有一组解中y的值是x的值的4倍，则x =_，y =_【难度】【答案】，【解析】根据题意可得，解得：，【总结】考查满足
24、一定条件的二元一次方程组的求解【作业6】 解方程组：（1）；（2）；（3）；（4）【难度】【答案】（1）；（2）；（3）； （4）【解析】（1）由，得：，则有；由，得， 则有，由此解得方程组的解为：；（2）由，得，由，得：，则， 解得：，将代入，得，所以原方程组的解为：； （3）由，得：，由，得：，解得：，将 代入得：，解得：，所以原方程组的解为：； （4）由得：，由得：，由，得：，解得：，将代入式得，将，代入式，得：，所以原方程组的解为：【总结】考查二元一次方程组和三元一次方程组的解法，注意解方程中消元思想的应用【作业7】 已知，求x和y的值【难度】【答案】，【解析】由，可得：， ，由，解得
25、：【总结】考查平方和绝对值的非负性的应用【作业8】 方程有_组自然数解【难度】【答案】6【解析】由，可得，4、5互素，由此可得相应整 数解应满足是5的倍数，是4的倍数，且有，分别可取得 ，即20以下4的倍数，共6个， 即得方程自然数解共有6组【总结】考查方程的整数解问题，化作倍数问题即可【作业9】 已知方程组与有相同的解，求a、b的值【难度】【答案】，【解析】两个方程组有相同的解，则这个解应满足方程组中的每个方程，由 解得：，同时满足另两个方程，则有，解得：【总结】考查方程组的解的应用，方程组的解应满足方程组中的每个方程【作业10】 已知方程组的解为正数，求m的取值范围【难度】【答案】【解析】由，解得：，因为方程组的解为正数，则有， 解得：，即的取值范围为【总结】考查满足一定条件的二元一次方程组的求解，综合性较强，注意认真分析
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