1、平面向量知识结构模块一：向量的概念及计算知识精讲一、平面向量的相关概念1、向量：既有大小、又有方向的量叫做向量；2、向量的长度：向量的大小也叫做向量的长度（或向量的模）；3、零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作；4、相等的向量：方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量；5、互为相反向量：方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反向量；6、平行向量：方向相同或相反的两个向量叫做平行向量二、实数与向量相乘的运算设k是一个实数，是向量，那么k与相乘所得的积是一个向量，记作1、 如果，且，那么的长度；的方向：当k 0时与同方向；当k 0时与反方向2、 如果k = 0或，那么三、实数与向量相乘的运算律
2、设m、n为实数，则(1) ；(2) ；(3) 四、平行向量定理如果向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数m，使五、 单位向量单位向量：长度为1的向量叫做单位向量设为单位向量，则单位向量有无数个；不同的单位向量，是指它们的方向不同对于任意非零向量，与它同方向的单位向量记作由实数与向量的乘积可知：，例题解析【例1】 向量是既有_又有_的量，它的_也叫向量的长度【难度】【答案】大小，方向，大小【解析】根据向量的定义，可知向量是既有大小又有方向的量【总结】考查向量的基本概念【例2】 有下列说法：互相平行且长度相等的两个向量是相等的向量；方向相同且长度相等的两个向量是相等的向量；方向相反且长度相等的两个
3、向量是相反的向量其中正确的说法的个数有( )A0个B1个C2个D3个【难度】【答案】C【解析】根据相等向量和相反向量的概念，可知正确，错误，故选C【总结】考查相等向量和相反向量的概念【例3】 计算：_【难度】【答案】【解析】根据向量的概念，可知和是相反向量，则有【总结】考查向量的加法计算，注意结果是，不是常数0【例4】 如果非零向量、满足，那么与的方向_，、满足的关系式是_【难度】【答案】相反，【解析】根据，可知两向量是平行向量，“”号表示两方向方向相反，同时根据相应的模长关系，可知【总结】考查反向向量的关系，“”号只表示方向【例5】 下列命题中的假命题是( )A向量与的长度相等B只有零向量的
4、长度等于0 C平行的单位向量方向都相同D两个相等向量若起点相同，则终点必相同【难度】【答案】C【解析】根据平行向量的概念，可知方向相同或相反的向量都是平行向量，平行的单位向量方向可能相同，也可能相反，可知C选项错误，故选C【总结】考查平行向量的基本概念，注意区别平行向量和相等向量、相反向量的关系【例6】 如果向量是单位向量，设，那么_【难度】【答案】5【解析】根据，可知和是平行向量，则有【总结】考查单位向量模长为1【例7】 （松江区二模第9题）计算：_【难度】【答案】【解析】【总结】考查向量的加减计算【例8】 （浦东新区二模第10题）计算：_【难度】【答案】【解析】【总结】考查向量的加减计算【
5、例9】 下列说法中，正确的是( )A一个向量与零相乘，乘积为零B向量不能与无理数相乘C非零向量乘以一个负数所得向量比原向量短D非零向量乘以一个负数所得向量与原向量方向相反【难度】【答案】D【解析】向量前面的正负号只表示方向，不表示大小，可知C错误，D正确【总结】考查向量前面正负号的意义【例10】 已知非零向量，求作，【难度】【答案】略【解析】是长度的2倍，反向相同；和长度相同，反向相反【总结】考查向量的倍数关系和相应的画法【例11】 （长宁区二模第13题）已知，如果，那么实数k =_【难度】【答案】【解析】由，则有，由，即，得【总结】考查平行向量的相互关系，注意平行向量方向可能相同，也可能相反
6、【例12】 ，那么与是平行向量吗？【难度】【答案】平行【解析】根据，解得：，由此可得：，由此可知与是平行向量【总结】考查平行向量的判定模块二：向量的线性运算知识精讲一、 平面向量的加减法则1、几个向量相加的多边形法则；2、向量减法的三角形法则；3、向量加法的平行四边形法则二、 向量的线性运算向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算如、等，都是向量的线性运算一般来说，如果、是两个不平行的向量，是平面内的一个向量，那么可以用、表示，并且通常将其表达式整理成的形式，其中x、y是实数三、 向量的合成与分解如果、是两个不平行的向量，（m、n是实数），那么向量就是向量与的合成；也
7、可以说向量分解为、两个向量，这时，向量与是向量分别在、方向上的分向量，是向量关于、的分解式平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解例题解析【例13】 如图，已知、，求作向量：，【难度】【答案】略【解析】考查应用向量的“三角形法则”或“平行四边形法则”ABO进行向量的合成作图【例14】 如图，已知向量、和、，求作：（1）向量分别在、方向上的分向量；（2）向量分别在、方向上的分向量【难度】【答案】略【解析】考查应用向量的“三角形法则”或“平行四边形法则”进行向量的合成作图，注意作图时把向量移到相同的起点【例15】 已知向量、不平行，x、y是实数，且，求x、y的值【难度】【答案】，
8、【解析】由，整理得，、不平行，则应有，得，解得：【总结】考查向量的平行性质定理的应用【例16】 如图，已知等腰梯形ABCD中，AB = 2CD，点M是AB的中点在以点A、B、C、D、M中的两点为起点和终点的向量中，（1）写出所有与向量平行的向量；（2）设，写出向量的长度以及所有与向量互为相反向量的向量；ABCDM（3）设，分别将向量、用向量、表示出来【难度】【答案】（1），（2）；，；（3），【解析】（1）根据平行向量的基本定义，方向相同或相反的向量都是平行向量，由，可知相应的向量为以上几个，注意不要遗漏本身的相反向量；（2） 由AB = 2CD，可得，互为相反向量要求方向相反可知为以上几个；
9、（3） 根据向量加减的“三角形法则”，可知，【总结】考查图形中平行向量和相反向量的确定，以及三角形法则的应用【例17】 （宝山区、嘉定区二模第14题）已知在平行四边形ABCD中，点M、N分别是边AB、BC的中点，如果，那么向量_（结果用、表示）【难度】【答案】【解析】为的一条中位线，可知【总结】考查向量“平行四边形法则”的应用ABCD【例18】 （崇明县二模第16题）如图，在中，AD是边BC上的中线，设向量，如果用向量、表示向量，那么【难度】【答案】【解析】是中线，可知【总结】考查向量“三角形法则”的应用，注意转化为已知向量的加减进行计算ABCD【例19】 （闸北区二模第16题）如图，在中，点
10、D在AC边上，且AD : DC = 1 : 2，若，那么_（用向量、表示）【难度】【答案】【解析】由AD : DC = 1 : 2，根据向量计算的“三角形法则”，可知【总结】考查向量“三角形法则”的应用，注意转化为已知向量的加减进行计算【例20】 （金山区二模第16题）在中，点D、E分别在边AB、AC上，AD = BD，AE = 2EC设，那么_【难度】【答案】【解析】由AD = BD，AE = 2EC，可知，根据向量加减的“三角形法则”，则有【总结】考查向量“三角形法则”的应用，注意转化为已知向量的加减进行计算ABCDEOF【例21】 （静安区二模第16题）如图，在ABCD中，AC与BD相交
11、于点O，点E、F分别是OA、OD的中点，如果，那么_【难度】【答案】【解析】是的中位线，则有，因为四边形是平行四边形，则有，根据向量的“三角形法则”，可得：【总结】考查向量“三角形法则”的应用，注意转化为已知向量的加减进行计算ABCDPNM【例22】 （普陀区二模第14题）如图，在四边形ABCD中，点M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，如果，那么_（用、表示）【难度】【答案】【解析】因为是的中位线，是的中位线，则有，根据向量计算的“三角形法则”，即可得【总结】考查向量“三角形法则”的应用，注意转化为已知向量的加减进行计算【例23】 （黄浦区二模第16题）已知中，点D、E分别在边AB、AC上
12、，DE / BC，且，若，则_【难度】【答案】【解析】由DE / BC，可得：，则有【总结】考查向量“三角形法则”的应用，注意转化为已知向量的加减进行计算ABCDEF【例24】 （虹口区二模第15题）如图，在梯形ABCD中，E、F分别为腰AD、BC的中点，若，则向量（结果用表示）【难度】【答案】【解析】因为是梯形的中位线，则有，且有，又平行，则有【总结】考查与梯形相关的向量计算，也可通过移腰进行计算【例25】 如图，点M是的重心，则为( )ABCDEFMABCD【难度】【答案】D【解析】根据向量的“平行四边形法则”，可得：，根据重心的性质，则有，由此可得：，故选D【总结】考查向量“平行四边形法
13、则”和重心性质的结合应用【例26】 如图，在中，G、E为AC的三等分点，F、H为BC的三等分点，写出、关于、的线性组合，并通过向量证明EF、GH、AB之间的位置关系FABCEGH【难度】【答案】，【解析】因为、是的三等分点，、是的三等分点，则有，由此可得：，综上可得：，即得，由此即证【总结】考查向量的线性算和向量的平行判定随堂检测【习题1】 在中，可知_【难度】【答案】【解析】根据向量计算的“多边形法则”可知首尾相连，即为【习题2】 化简：_【难度】【答案】【解析】【总结】考查向量的加减计算法则【习题3】 已知非零向量，用表示，其结果是【难度】【答案】【解析】为非零向量，根据题意可得【总结】考
14、查向量平行的计算和相关的表示方法【习题4】 下列命题中个，错误的个数是( )若、都是单位向量，则；若m = 0或，则；设m、n为实数，则；任意非零向量，与同方向的单位向量是，则A1个B2个C3个D4个【难度】【答案】C【解析】单位向量是针对每个向量而言的，有无数个，方向不一定相同，错误；的结果应为，错误；是向量的一条计算法则，正确；要注意向量的模长不一定为1，错误，故选C【总结】考查向量的相关概念和计算应用【习题5】 已知，在四边形ABCD中，且，那么四边形ABCD是【难度】【答案】菱形【解析】由，可知且，得ABCD四边形是平行四边形，由，平行四边形一组邻边相等，可知为菱形【总结】考查利用向量
15、的相等关系判定几何图形的形状【习题6】 （金山区二模第14题）在ABCD中，对角线AC、BD交于点O，设，如果用向量、表示向量，那么_【难度】【答案】【解析】根据平行四边形的性质，可得，根据向量的“平行四边形法则”，可得：【总结】考查向量的“平行四边形法则”的计算应用ABDCE【习题7】 （闵行区二模第14题）如图，已知在梯形ABCD中，AD / BC，且BC = 3AD，点E是边DC的中点设，那么_（用、的式子表示）【难度】【答案】【解析】由AD / BC，BC = 3AD，可得：，根据向量计算的“多边形法则”，可得：，根据向量计算的“三角形法则”，即得：【总结】考查向量的计算法则的综合应用
16、ABCD【习题8】 （崇明县二模第14题）如图，在中，AD是边BC上的中线，设向量，如果用向量，表示向量，那么_【难度】【答案】【解析】因为是中线，可知【总结】考查向量“三角形法则”的应用，注意转化为已知向量的加减进行计算【习题9】 （奉贤区二模第15题）已知中，点D在边BC上，且BD = 2DC设，那么等于_（结果用、表示）【难度】【答案】【解析】由BD = 2DC，可得：，根据向量计算的“三角形法则”，即可得：【总结】考查向量“三角形法则”的应用，注意转化为已知向量的加减进行计算ABCDO【习题10】 （闵行区二模第13题）如图，已知在梯形ABCD中，AB / CD，且AB = 3CD设，
17、那么_【难度】【答案】【解析】由AB / CD，可得：，则有，由此即得【总结】考查向量“三角形法则”的应用，注意转化为已知向量的加减进行计算【习题11】 已知向量、不平行，点A、B、C共线，且，求实数k的值【难度】【答案】【解析】A、B、C三点共线，可令，即，则有，、不平行，则应有，解得：【总结】共线即为平行向量，注意进行相互转化，综合性较强，注意总结方法【习题12】 在四边形ABCD中，求证：四边形ABCD为梯形【难度】【答案】略【解析】证明：因为，所以且，即证四边形ABCD为梯形【总结】考查利用向量证梯形，证明有一组平行且不相等的对边即可课后作业【作业1】 已知，向量的方向是东南方向，且，
18、那么向量的方向是；【难度】【答案】西北方向，10【解析】是东南方向，则与其方向相反，即为西北方向；【总结】考查相反向量的意义，大小和方向的确定【作业2】 下列说法正确的有( )个（1）零向量是没有方向的向量；（2）零向量的方向是任意的；（3）零向量与任意向量共线；（4）零向量只能与零向量共线A1B2C3D以上都不对【难度】【答案】B【解析】零向量的方向是任意的，与任意向量平行，即与任意向量共线，可知（2）、（3）正确，（1）、（4）错误，故选B【总结】考查零向量的性质【作业3】 化简：_【难度】【答案】【解析】【总结】考查向量的加减计算【作业4】 已知向量是单位向量，那么与方向_，的长度为_【
19、难度】【答案】相同，5【解析】根据平行向量的定义可知【作业5】 设、是向量，m、n是实数，化简：（1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）原式；（2） 原式【总结】考查向量的计算，注意结果是不是常数0【作业6】 （徐汇区二模第11题）点E是的重心，那么_（用、表示）【难度】【答案】【解析】根据向量计算的“三角形法则”，可得，根据重心的性质，可得：，则有【总结】考查向量“三角形法则”的应用，注意转化为已知向量的加减进行计算【作业7】 （杨浦区二模第13题）在中，点M、N分别在边AB、AC上，且，如果，那么_（用、表示）【难度】【答案】【解析】由，可得：，根据向量的“三角形法则”，
20、即得【总结】考查向量“三角形法则”的应用，注意转化为已知向量的加减进行计算【作业8】 （奉贤区二模第15题）如图，在中，点D在边BC上，且ABDCEDC = 2BD，点E是边AC的中点，设，那么_（用、的线性组合表示）【难度】【答案】【解析】由DC = 2BD，可得：，E是AC中点，可得：，根据向量的“三角形法则”，即得：【总结】考查向量“三角形法则”的应用，注意转化为已知向量的加减进行计算ABCDEO【作业9】 （静安区、青浦区二模第15题）如图，在ABCD中，AC与BD相交于点O，点E是OD的中点，如果，那么_【难度】【答案】【解析】根据平行四边形的性质，可得则有，即得【总结】考查向量的“
21、平行四边形法则”的应用ABCD【作业10】 （闸北区二模第15题）如图，在正方形ABCD中，如果，那么_【难度】【答案】3【解析】由，可得，即得【总结】考查向量的模的计算【作业11】 已知梯形ABCD中，AD/BC，且AD = 2AB = 2CD，（1）若，求实数k的值；（2）若，求实数x、y的值【难度】【答案】（1）；（2），【解析】（1）如图，过点A、D分别作梯形的高AE、DF，设ABCD，则，B60，BAE30，同理，可得:，即得（2） 延长BA、CD相交于点G，易得、是等边三角形，所以，根据三角形法则，又，即得：，【总结】考查向量的线性运算与几何图形性质的综合应用【作业12】 已知点A、B、C在射线OM上，点D、E、F在射线ON上，设，ABCDEFONM（1）分别求向量、关于、的分解式；（2）判断直线AD、BE、CF是否平行【难度】【答案】（1），；（2）平行【解析】（1）；，同理；（2），直线两两平行【总结】本题考查利用向量证明直线平行位置关系
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