1、四边形知识结构模块一：平行四边形知识精讲一、 多边形1、多边形：在平面内，不在同一直线上的一些线段首尾顺次联结所组成的封闭图形，叫做多边形由n条线段组成的多边形就称为n边形（）组成多边形的每一条线段叫做多边形的边相邻的两条线段的公共端点叫做多边形的顶点多边形相邻两边所在的射线组成的角叫做多边形的内角联结多边形的两个不相邻顶点的线段，叫做多边形的对角线对于一个多边形，画出它的任意一边所在的直线，如果其余各边都在这条直线的一侧，那么这个多边形叫做凸多边形；否则叫做凹多边形2、多边形的内角和定理：n边形的内角和等于（）3、由多边形的一个内角的一边和另一边的反向延长线组成的角，叫做多边形的外角对于多边
2、形的每一个内角，从与它相邻的两个外角中取一个，这样取得的所有外角的和，叫做多边形的外角和多边形的外角和等于360二、 平行四边形1、平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形2、平行四边形的性质：平行四边形性质定理1如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等简述为：平行四边形的对边相等平行四边形性质定理2如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等简述为：平行四边形的对角相等平行四边形性质定理3如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线相互平分简述为：平行四边形的对角线互相平分平行四边形性质定理4平行四边形是中心对称图形，对称中心是两
3、条对角线的交点3、平行四边形的判定平行四边形判定定理1如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形，简述：两组对边分别相等的四边形是平行四边形平行四边形判定定理2如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形，简述为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形平行四边形判定定理3如果一个四边形的两条对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形，简述为：对角线互相平分的四边形是平行四边形平行四边形判定定理4如果一个四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形是平行四边形，简述为：两组对角分别相等的四边形是平行四边形三、 特殊的平行四边形1、矩形：有一个角是直角的平行四边形叫
4、做矩形菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形正方形：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形2、矩形的性质定理1：矩形的四个角都是直角矩形的性质定理2：矩形的两条对角线相等菱形的性质定理1：菱形的四条边都相等菱形的性质定理2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角正方形的性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等.正方形的性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直，每条对角线平分一组对角3、矩形判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形矩形判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形菱形判定定理1：四条边都相等的四边形是菱形菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四
5、边形是菱形例题解析【例1】 （闵行区二模第13题）如果一个四边形的两条对角线相等，那么称这个四边形为“等对角线四边形”写出一个你所学过的特殊的等对角线四边形的名称_【难度】【答案】答案不唯一，例：矩形，正方形，等腰梯形【解析】考查常见的四边形的性质【例2】 （崇明县二模第6题）下列判断错误的是( )A对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形B对角线互相垂直平分的四边形是菱形C对角线相等的四边形是矩形D对角线互相平分的四边形是平行四边形【难度】【答案】C【解析】对平行四边形，矩形，正方形，菱形的性质的考查【例3】 （宝山区、嘉定区二模第5题）下列命题中，真命题是( )A菱形的对角线互相平分且相等
6、B矩形的对角线互相垂直平分C对角线相等且垂直的四边形是正方形D对角线互相平分的四边形是平行四边形【难度】【答案】DABCDO【解析】考查菱形，矩形，正方形，平行四边形的性质【例4】 （金山区二模第14题）如图，在ABCD中，AC、BD相交于点O，请添加一个条件_，可得ABCD是矩形【难度】【答案】或【解析】矩形是有一个角为直角的平行四边形，或者矩形是对角线平分且相等的四边形【总结】考查矩形的判定【例5】 （浦东新区二模第6题）已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，那么下列结论中正确的是( )A当AB = BC时，四边形ABCD是矩形B当ACBD时，四边形ABCD是矩形C当
7、OA = OB时，四边形ABCD是矩形D当时，四边形ABCD是矩形【难度】【答案】C【解析】矩形是对角线平分且相等的四边形【例6】 （崇明县二模第6题）已知在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，那么下列条件中能判定这个四边形是正方形的是( )AAC = BD，AB / CD，AB = CDBAD / BC，CAO = BO = CO = DO，DAO = CO，BO = DO，AB = BC【难度】【答案】C【解析】正方形是对角线互相垂直平分且相等的四边形【例7】 （宝山区、嘉定区二模第5题）如果点K、L、M、N分别是四边形ABCD的四条边AB、BC、CD、DA的中点，且四边形KLMN是菱
8、形，那么下列选项正确的是( )ABCD【难度】【答案】D【解析】连接AC、BD，点K、L、M、N分别是四边形ABCD的四条边AB、BC、CD、DA的中点，所以得四边形KLMN为平行四边形，又它为菱形则相邻两边相等，而邻边正好是四边形ABCD的对角线的中位线，所以AC=BD【总结】考查三角形中位线定理的运用【例8】 （静安区、青浦区二模第12题）从AB / CD，AD / BC，AB = CD，AD = BC四个关系中，任选两个作为条件，那么选到能够判定四边形ABCD是平行四边形的概率是_【难度】【答案】【解析】四种选2中共有6种情况，两组对边平行的四边形、两组对边相等的四边形、一组对边平行且相
9、等的四边形均是平行四边形，共有4种情况，所以概率是【总结】考查平行四边形的判定及概率的综合运用【例9】 （黄浦区二模第17题）在平行四边形ABCD中，BC = 24，AB = 18，和的平分线交AD于点E、F，则EF =_【难度】【答案】12【解析】由平行线和角平分线可知ABE和CDF都是等腰三角形，所以，所以【总结】本题主要考查“平行线+角平分线推出等腰三角形”的基本模型的运用【例10】 （长宁区二模第6题）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AO = CO，E是DC边的中点下列结论中，错误的是( )ABCDEOABCD【难度】【答案】D【解析】由得到，又AO = CO，得A
10、O=AD=OC，因为O、E都是中点，所以OE是中位线，即，又且O为中点，则AO=OC=OB，所以A、B、C正确，D错误【总结】本题主要考查直角三角形的性质与三角形中位线的综合运用【例11】 （杨浦区二模第6题）设边长为3的正方形的对角线长为a下列关于a的四种说法：a是无理数；a可以用数轴上的一个点来表示；a是18的一个平方根其中，所有正确说法的序号是( )ABCD【难度】【答案】C【解析】勾股定理可得：，所以是对的，是错的，是对的，数轴和实数是一一对应，所以是对的，故选C【总结】本题主要考查勾股定理及对实数的认识ABCDE【例12】 （普陀区二模第15题）如图，在中，点D、E分别在AB、AC上
11、，如果AE = 2，的面积是4，四边形BCDE的面积是5，那么AB的长是_【难度】【答案】3【解析】因为，所以因为，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得：，得：，因为AE = 2，所以AB=3【总结】本题主要考查相似三角形的性质的运用【例13】 （奉贤区二模第23题）已知：如图，在四边形ABCD中，AB / CD，点E是对角线AC上一点，且（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）分别过点E、B作AB和AC的平行线交于点F，联结CF，若，ABCDEF求证：四边形EFCD是菱形【难度】【答案】略【解析】证明：（1）AB / CD，又，AB=CD，又因为AB / CD，所以四边形ABCD为
12、平行四边形；（2） ，四边形ABFE是平行四边形，且，又ABCD为平行四边形，且且，四边形EFCD为平行四边形，EF=CF，四边形EFCD为菱形【总结】本题主要考查相似三角形与菱形性质的综合运用【例14】 （金山区二模第23题）如图，在中，AB = AC，点D在边AC上，AD = BD=DE，联结BE，ABCDEOF（1）联结CE，求证：CE = BE；（2）分别延长CE、AB交于点F，求证：四边形DBFE是菱形【难度】【答案】见解析【解析】证明：（1）设DE与BC的交点为O，AB = AC，AD = BD=DE，DE=BC，CD=DO=BO，OC=OE，BE=CE（2），四边形DBFE为平行
13、四边形，又BD=DE，四边形DBFE为菱形【总结】本题主要考查等腰三角形的性质与菱形判定的综合运用【例15】 （金山区二模第23题）已知：如图，在中，AC = BC，点E在边AC上，延长BC至D点，使CE = CD，延长BE交AD于F，过点C作CG / BF，交AD于点G，在BE上取一点H，使GFEDBACH（1）求证：；（2）求证：四边形FHCG是正方形【难度】【答案】略【解析】证明：（1），CE=CD，AC=BC，；（2），又，CE=CD，CH=CG，且，四边形FHCG为矩形，又CH=CG，四边形FHCG为正方形【总结】本题主要考查矩形和正方形性质的综合运用【例16】 （虹口区二模第23题
14、）如图，在四边形ABCD中，AB / DC，E、F为对角线BD上两点，且BE = DF，AF / EC（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）延长AF，交边DC于点G，交边BC的延长线于点H，求证：ABCDEFGH【难度】【答案】略【解析】证明：（1）BE=DF，BF=DF，AF / EC，AB=CD，且AB / DC，四边形ABCD为平行四边形；（2）四边形ABCD为平行四边形，又CD=AB，【总结】本题主要考查平行四边形的性质及相似的性质的综合运用【例17】 （闵行区二模第23题）如图，已知在矩形ABCD中，过对角线AC的ABCDEFGOH中点O作AC的垂线，分别交射线AD和CB于点
15、E、F，交边DC于点G，交边AB于点H联结AF、CE（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）如果OF = 2GO，求证：【难度】【答案】略【解析】（1）四边形ABCD为矩形，AO=OC，OE=OF，又，且AO=OC，四边形AFCE为菱形；（2） 四边形AFCE为菱形，OF = 2GO=OE，OG=EG，【总结】本题主要考查矩形及菱形性质的综合运用【例18】 （杨浦区二模第23题）已知：如图，和中，ABCDEMGHNP，且BC与CD共线，联结AE，点M为AE中点，联结BM，交AC于点G，联结MD，交CE于点H（1）求证：MB = MD；（2）当AB = BC，DC = DE时，求证：四边形MGC
16、H为矩形【难度】【答案】略【解析】（1）过点M作于N，且BC与CD共线，又M为AE中点，N也为BD中点，为等腰三角形，BM=MD；（2）延长BM交DE延长线于点P，M为AE中点，AB=PE，AB=BC，DC=DE，和都是等腰直角三角形，四边形MGCH为平行四边形，又，四边形MGCH为矩形【总结】本题主要考查等腰直角三角形性质和矩形判定的综合运用【例19】 黄浦区二模第23题）如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，点F在边BC上，联结BE、DF，DF交对角线AC于点G，且DE = DGABCDEFGO（1）求证：AE = CG；（2）求证：BE / DF【难度】【答案】略【解析】（1）取
17、AC中点O，连接DOAD=CD，又DE=DG，EO=OG，AE=CG；（2）正方形ABCD，AE=CG，AB=CD，又，BE / DF【总结】本题主要考查正方形性质的运用【例20】 （闸北区二模第23题）已知：如图1，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且AE = AF，（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如图2，若AD = AF，延长AE、DC交于点G，求证：ACBDEFGACBDEF图1图2H（3）在第（2）小题的条件下，连接BD，交AG于点H，若HE = 4，EG = 12，求AH的长【难度】【答案】略【解析】（1），又四边形ABCD为平行四边形，又AE = AF，A
18、B=AD，四边形ABCD为菱形；（2）四边形ABCD为菱形，又，又AD=AF，；（3），又HE=4，EG=12，AH=8【总结】本题主要考查菱形的性质及相似性质的综合运用模块二：梯形知识精讲一、 梯形1、梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形梯形的底：在梯形中，平行的两边叫做梯形的底（通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底）梯形的腰：在梯形中，不平行的两边叫做梯形的腰2、直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形3、等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形二、 等腰梯形的性质及判定1、等腰梯形性质定理：（1）等腰梯形在同一底上的两个内角相等（2）等腰梯形两条对角线相等2、等腰梯形判
19、定定理：（1）在同一底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形（2）对角线相等的梯形是等腰梯形三、 梯形的中位线1、中位线：联接梯形两腰的中点的线段叫做梯形的中位线2、梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半例题解析【例21】 顺次联结等腰梯形各边中点所得的四边形是_形【难度】【答案】菱形【解析】连接对角线，得出新的四边形的每条边为对角线的中位线且分别平行对角线，得出四边形为平行四边形，由因为等腰梯形的对角线相等，所以新的四边形为菱形【总结】本题主要考查三角形中位线的运用【例22】 （黄浦区二模第14题）如果梯形的下底长为7，中位线长为5，那么其上底长为_【难度】【答案】3【解析
20、】梯形中位线等于上底加下底和的一半【总结】本题主要考查梯形中位线的运用【例23】 （金山区二模第15题）梯形ABCD中，AD / BC，AD = 2，BC = 6，点E是边BC上的点，如果AE将梯形ABCD的面积平分，那么BE的长是_【难度】【答案】4【解析】设梯形的高为h，则，因为AE将梯形ABCD的面积平分，所以，所以【总结】本题主要考查梯形的面积及三角形面积的运用【例24】 （静安区、青浦区二模第14题）如果梯形ABCD中，AD / BC，E、F分别是AB、CD的中点，AD = 1，BC = 3，那么四边形AEFD与四边形EBCF的面积比是_【难度】【答案】【解析】因为EF为梯形ABCD
21、的中位线，所以EF=2，又因为四边形AEFD与EBCF为梯形，且他们的高相等，所以面积之比等于【总结】本题主要考查梯形中位线及面积的综合运用【例25】 （黄浦区二模第22题）如图，在梯形ABCD中，AD / BC，ABBC，ABCDH已知AD = 2，梯形ABCD的面积是9（1）求AB的长；（2）求的值【难度】【答案】（1）3；（2）【解析】（1）设，则，梯形面积等于，解得：，即AB的长为3；（2）过D作于H，AD / BC，AC=5，【总结】本题主要考查梯形的面积与锐角三角比的综合运用【例26】 已知，如图，在梯形ABCD中，AD / BC，点E是边CD的中点，点F在边BC上，ABCDEFG
22、EF / AB求证：【难度】【答案】略【解析】取AB的中点G，连接EG，点E是边CD的中点，EG为梯形ABCD的中位线，又，且，四边形BFEG为平行四边形，BF=EG，【总结】本题主要考查梯形的中位线和平行四边形性质的综合运用【例27】 （杨浦区二模第23题）如图，在直角梯形纸片ABCD中，DC / AB，ABCDAD，将纸片沿过点D的直线翻折，使点A落在边CD上的点E处，折痕为DF，联结EF并展开纸片；（1）求证：四边形ADEF为正方形；ABCDEFG（2）取线段AF的中点G，联结GE，当BG = CD时，求证：四边形GBCE为等腰梯形【难度】【答案】略【解析】（1），由翻折性质，知，四边形
23、ADEF为矩形，DA=AF，四边形ADEF为正方形；（2） 连接DG，EG，BG=CD，四边形DGBC为平行四边形，BC=DG，又AG=GF，AD=EF，EG=DG，BC=EG，且不相等，四边形GBCE为等腰梯形【总结】本题综合性较强，一方面考查翻折的性质，另一方面考查特殊的平行四边形的性质的运用【例28】 （黄浦区二模第23题）如图，在中，D、E分别是AC、BC边上的点，AE与BD交于点O，且CD = CE，（1）求证：四边形ABED是等腰梯形；ABCDE12O（2）若EC = 2，BE = 1，求AB的长【难度】【答案】（1）略；（2）【解析】（1），CD = CE，BC=AC，AD=BE
24、，又，四边形ABED为等腰梯形；（2）四边形ADEB为等腰梯形，又，DE=BE=1，【总结】本题一方面考查等腰梯形的判定，另一方面考查三角形一边平行线性质定理的运用【例29】 （宝山区、嘉定区二模第23题）如图，已知和都是等边三角形，点D在边BC上，点E在边AD的右侧，联结CE（1）求证：；（2）在边AB上取一点F，使BF = BD，联结DF、EF求证：四边形CDEF是等腰梯形ABCDEF【难度】【答案】略【解析】（1）和都是等边三角形，AB=AC，AD=AE，；（2）CE=BD，BF=BD，为等边三角形，DF=BD=CE，BF=CE，四边形BFEC为平行四边形，且DF=CE，四边形CDFE为
25、等腰梯形【总结】本题主要考查等边三角形的性质与等腰梯形判定的综合运用【例30】 （静安区、青浦区二模第23题）如图，在梯形ABCD中，AB / CD，AD = BC，E是CD的中点，BE交AC于F，过点F作FG / AB，交AE于点GEDCGFAB（1）求证：AG = BF；（2）当时，求证：【难度】【答案】略【解析】（1）四边形ABCD为等腰梯形，又E是CD的中点，DE=CE，AE=BE，和均为等腰三角形，AG=BF；（2）AD=BC，且，又，又AD=BC，AG=BF，【总结】本题主要考查等腰梯形性质与相性质的综合运用随堂检测【习题1】 （松江区二模第5题）如图，已知四边形ABCD是平行四边
26、形，要使ABCD它成为菱形，那么需要添加的条件可以是( )ABCD【难度】【答案】A【解析】考查平行四边形和菱形的判定条件【习题2】 （奉贤区二模第16题）四边形ABCD中，AD / BC，如果再添加一个条件，可以得到四边形ABCD是矩形，那么可以添加的条件是_（不再添加线或字母，写出一种情况即可）【难度】【答案】AD=BC或【解析】考查矩形的判定条件【习题3】 （黄浦区二模第6题）下列命题中真命题是( )A对角线互相垂直的四边形是矩形B对角线相等的四边形是矩形C四条边都相等的四边形是矩形D四个内角都相等的四边形是矩形【难度】【答案】D【解析】考查矩形的概念【习题4】 下列四边形中，是轴对称但
27、不是中心对称的图形是( )A非正方形的矩形B非正方形的菱形C正方形D等腰梯形【难度】【答案】D【解析】矩形，菱形，正方形既是中心对称图形又是轴对称图形【总结】本题组要考查轴对称图形和中心对称图形的概念【习题5】 （普陀区二模第23题）如图，在中，点D、E分别在边BC、AC上，BE、AD相交于点G，EF / AD交BC于点F，且，联结FGABCDEFGO（1）求证：FG / CE；（2）设，求证：四边形AGFE是菱形【难度】【答案】略【解析】（1），又EF / AD，FG / CE；（2）连接AF交BE于点O，四边形AGFE为平行四边形，AO=OF，AB=BF，四边形AGFE为菱形【总结】本题主
28、要考查三角形一边平行线性质定理及相性质的综合运用【习题6】 已知，如图，在四边形ABCD中，AB = DC，AC = BD，ABCDEF求证：四边形ABCD是等腰梯形【难度】【答案】略【解析】分别过A、D作BC的垂线交BC于点E、F，AB=DC，AC=BD，CB=BC，又，AC=BD，AE=DF又，四边形AEFD为平行四边形，又AB=CD且，四边形ABCD为等腰梯形【总结】本题主要考查等腰梯形的判定定理的运用【习题7】 如图，已知直角梯形ABCD中，AD / BC，CD = 5，ABCDEAC = 8，求梯形ABCD的面积【难度】【答案】【解析】过D作于点E，则CE=3，由勾股定理得：DE=4
29、DE=AB，AC=8，梯形的面积为【总结】本题主要考查直角梯形的特征以及梯形面积公式的运用【习题8】 已知四边形ABCD中，AD / BC，AB = DC，AC与BD相交于点O，AD = 7，BD = 10，求四边形ABCD的面积【难度】【答案】【解析】分别过点A、D分别作AE、DF垂直BC于E、F，由题意得，四边形ABCD为等腰梯形，所以BE=CF，EF=AD，BD = 10，DF=5，梯形的面积为：【总结】本题主要考查梯形常见辅助线的添加及梯形面积的运用【习题9】 （虹口区二模第23题）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E为DC延长线上一点，联结AE，交边BC于点F，联结BE（1）求证：
30、；（2）若CD = CA，且，求证：四边形ABEC是菱形ABCDEF【难度】【答案】略【解析】（1）四边形ABCD是平行四边形，；（2）CD = CA，且，AC=CE=CD，又四边形ABCD为平行四边形，四边形CEBA为平行四边形，又AC=EC，四边形ABEC为菱形【总结】本题主要考查菱形的判定定理及相似三角形性质的综合运用【习题10】 （奉贤区二模第23题）已知：如图，梯形ABCD中，DC / AB， ED CB AAD = BC = DC，AC、BD是对角线，E是AB延长线上一点，且，联结CE（1）求证：四边形DBEC是平行四边形；（2）求证：【难度】【答案】略【解析】（1）DC / AB
31、，AD = BC = DC，四边形ABCD为等腰梯形，又，DC=BC，BC=BE=AD=CD，又，四边形DBEC为平行四边形；（2），又AC=CE，BC=BE=AD，【总结】本题组要考查梯形性质与相似性质的综合运用课后作业【作业1】 （静安区二模第6题）在四边形ABCD中，AD / BC，要使四边形ABCD为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是( )AAB = CDBAC = BDCD【难度】【答案】D【解析】由，AD / BC，知ABCD的四个角相等，所以每个角都为【总结】本题主要考查矩形的判定定理的运用【作业2】 （松江区二模第5题）已知在四边形ABCD中，AB / CD，添加下列一个条
32、件后，一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )AAD = BCBAC = BDCD【难度】【答案】C【解析】由AB / CD，得，又因为，所以所以，所以四边形ABCD为平行四边形【总结】本题主要考查平行四边形的判定【作业3】 （徐汇区二模第17题）已知四边形ABCD是菱形，周长是40，若AC = 16，则_【难度】【答案】【解析】连接对角线交于O，则对角线互相垂直，易知菱形边长为10，所以AO=8，因为AC = 16，所以BO=6，所以【总结】本题主要考查菱形的性质与锐角三角比的综合运用【作业4】 已知边长为4 cm的菱形有一个内角是120，那么这个菱形的较长的一条对角线的长是_cm【难
33、度】【答案】【解析】连接对角线交于点O，则对角线相互垂直，得较长的对角线为【总结】本题主要考查菱形的对角线互相垂直的性质的运用【作业5】 已知，梯形ABCD中，AD / BC，AD : BC = 1 : 2，这个梯形的面积是45 cm2，高是6 cm，那么AD =_cm【难度】【答案】5【解析】设，则，得：，解得：，即AD长为5cm【总结】本题主要考查梯形面积的运用ABCDEF【作业6】 如图，已知在梯形ABCD中，AD / BC，AB = DC，对角线CA平分，且梯形的周长是20，求AC的长【难度】【答案】【解析】过D、A分别作AE、DF垂直BC于点E、F，设CD=2x，由题意，可得：CF=
34、x，BE=x，BC=4x，所以梯形的周长为：10x=20，解得：x=2，所以AC=【总结】本题主要考查梯形的常见辅助线的添加【作业7】 （崇明县二模第23题）如图，中，点D、E分别ABDHGFEC是BC、AC的中点，过点A作AF / BC交线段DE的延长线于点F，取AF的中点G，联结DG，GD与AE交于点H（1）求证：四边形ABDF是菱形；（2）求证：【难度】【答案】略【解析】（1）点D、E分别是BC、AC的中点，AE=EC，CD=BD，AF=CD=BD，四边形ABDF为平行四边形，又AB=BD，四边形ABDF为菱形；（2）四边形ABDF是菱形，AF=DFG为AF的中点，AE=CE，FG=EF
35、，又，【总结】本题主要考查菱形的性质与相似三角形性质的综合运用【作业8】 （长宁区二模第23题）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边ABCDEFGOBC、CD上，AE = AF，AC和EF交于点O，延长AC至点G，使得AO = OG，联结EG、FG（1）求证：BE = DF；（2）求证：四边形AEGF是菱形【难度】【答案】略【解析】（1）四边形ABCD为正方形，AB=AD，又AE=AF，BE=DF；（2），又AF=AE，AG垂直平分EF，又AO=OG，四边形AEGF为菱形【总结】本题主要考查正方形的性质的综合运用【作业9】 （徐汇区二模第23题）已知：如图，正方形ABCD，BM、DN分别是
36、正方形的两个外角平分线，将绕着正方形的顶点A旋转，边AM、AN分别交两条角平分线于点M、N，联结MN（1）求证：；（2）联结BD，当的度数为多少时，四边形BMND为矩形，并加以证明ABCDNM【难度】【答案】略【解析】（1）BM、DN分别是正方形的两个外角平分线，；（2）四边形BMND为矩形，BM=DN，BM=AB，即当是22.5时，四边形BMND为矩形【总结】本题主要考查正方形的性质与相似性质的综合运用【作业10】 （浦东新区二模第23题）如图，已知在平行四边形ABCD中，AEABCDEFBC，垂足为点E，AFCD，垂足为点F（1）如果AB = AD，求证：EF / BD；（2）如果EF / BD，求证：AB = AD【难度】【答案】略【解析】（1）四边形ABCD为平行四边形，AB=AD，四边形ABCD为菱形，AEBC，AFCD，又AB=AD，BE=DF，CE=CF，EF / BD；（2）EF / BD，又，AEBC，AFCD，AB=AD【总结】本题主要考查平行四边形的性质及相似三角形性质的综合运用
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