1、达州市2023届毕业年级第一次诊断测试模拟考试理科数学试卷一 单选题（5分*12）1. 设集合 M=xx2=x,N=xlgx0, 则MN等于（ ）A.0,1B.(0,1C.0,1)D.(-,12. 如图, 若向量 OZ对应的复数为z, 则z+4z表示的复数为（ ）A.1+3iB.-3-iC.3-iD.3+i3. 设条件甲: “事件 A与B是对立事件”, 结论乙: “概率满足P(A)+P(B)=1” , 则甲是乙的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. 已知直线 ax+by-1=0(a0,b0)与圆x2+y2=4相切, 则log2a+log2b的最大值
2、为（ ）A.3B.2C.-2D.-35. 执行程序框图, 则输出的 S的值为（ ）A.31B.32C.63D.646. x2+x+y5的展开式中,x5y2的系数为（ ）A.10B.20C.30D.607. 已知平面向量 a,b是非零向量,|a|=2,a(a+2b), 则向量b在向量a方向上的投影为（ ）A.-1B.1C.-2D.28. 由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品. 若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线y2a2-x2b2=1(a0,b0)下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为
3、2，则该双曲线的方程为（ ）A.y212-x24=1B.3y24-x24=1C.x24-y24=1D.y216-x24=19. 已知定义在 R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x),f(1+x)=f(1-x), 当x-1,1时,f(x)=x3-3x, 则f(2023)等于（ ）A.1B.-2C.-1D.210. 某顾客在 2022 年 1 月 1 日采用分期付款的方式购买一辆价值 2 万元的家电, 在购买一个 月后 2 月 1 日第一次还款, 且以后每个月 1 日等额还款一次, 如果一年内还清全部贷款 (12月 1 日最后一次还款), 月利率为0.5%.按复利计算, 则该顾客每个月应还款多
4、少元? (精确到 1 元, 参考值1.00510=1.05,1.00511=1.06（ ）A.1767B.1818C.1923D.194611. 已知函数 f(x)=3sinx+cosx在0,4上不单调, 在3,23上单调, 则实数的取值范围为（ ）A.(1,2B.43,2 C.1,2D.53,212. 如图所示, 设正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为a, 点P是棱AD上一点, 且AP=a3, 过B1,D1,P的平面交平面ABCD于PQ,Q在直线CD上, 则PQ=（ ）A.223aB.23a C.22aD.233a二 填空题（5分*4）13. 设变量 x,y满足约束条件:x+y-30,
5、x-y0,y0,则目标函数z=x+2y的最大值为_.14. 已知数列 an满足2an=an-1+an+1(n2),a2+a4+a6=12,a1+a3+a5=9, 则a3+a4等于_.15. 已知点 M(-3,2)是坐标平面内一定点, 若抛物线y2=2x的焦点为F, 点Q是抛物线上的一动点, 则|MQ|-|QF|的最小值是_.16. 已知当 xe时, 不等式xa+1x-e1xalnx恒成立, 则正实数a的最小值为_.三 解答题17. （12分）ABC中, 内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 已知bsinC+asinA=bsinB+csinC.(1)求 A;(2) 设 D是线段BC的中点, 若
6、c=2,AD=13, 求a.18. （12分）某种病菌在某地区人群中的带菌率为 10%, 目前临床医学研究中已有费用昂贵但能准确检测出个体是否带菌的方法. 现引进操作易、成本低的新型检测方法: 每次只需检测x,y两项指标，若指标x的值大于 4 且指标y的值大于 100, 则检验结果呈阳性, 否则呈阴性. 为考查该检测方法的准确度, 随机抽取 50 位带菌者(用 “*” 表示)和 50 位不带菌者(用 “+” 表示)各做 1 次检测, 他们检测后的数据, 制成如下统计图: (1)根据独立性检验, 完成列联表, 判断是否有 99.9%以上的把握认为 “带菌” 与 “检测结果呈阳性” 有关?(2)现
7、用新型检测方法, 对该地区人群进行全员检测, 用频率估计概率, 求每个被检者 “带菌” 且 “检测结果呈阳性” 的概率.附：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d), n=a+b+c+d.19. （12分）如图, 三棱柱 ABC-A1B1C1中, 底面ABC为等腰直角三角形,AB=AC=1,BB1=2,ABB1=60.(1) 证明: ABB1C;(2) 若 B1C=2, 求AC1与平面BCB1所成角的正弦值.20. （12分）平面直角坐标系 xOy中, 已知椭圆C:x24+y2=1, 椭圆E:x216+y24=1。设点P为椭圆C上任意一点, 过点P的直线y=kx+m交椭
8、圆E于A,B两点, 射线PO交椭圆E于点Q.(1) 求 |OQ|OP|的值;(2) 求 ABQ面积的最大值.21. （12分）已知函数 f(x)=ex+1-kx-2k(其中e是自然对数的底数,kR).(1) 讨论函数 f(x)的单调性;(2) 当函数 f(x)有两个零点x1,x2时, 证明x1+x2-2.22. （10分）在平面直角坐标系 xOy中, 曲线C1的方程为(x+3)2+(y+1)2=4以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线C2,C3的极坐标方程分别为=2sin,=2cos+6.(1) 若曲线 C2,C3相交于异于极点的点Q, 求点Q的极坐标;(2) 若直线 l:=(R)
9、与C1,C2相交于异于极点的A,B两点, 求|AB|的最大值.23. （10分）设 f(x)=|x-1|-2|x+1|的最大值为m.(1) 求 m;(2) 若 a,b,c(0,+),a2+c22+b2=m, 求ab+bc的最大值.参考答案1. A 【解析】x2=x得x=0或 1 ，所以M=0,1，解 lgx0得0x1，所以 N=x00,b0)与圆x2+y2=4相切，所以 1a2+b2=2，即a2+b2=14，因为 a2+b22ab，所以ab18，所以 log2a+log2b=log2ablog218=-3，所以 log2a+log2b的最大值为-3，故选：D.5. C 【解析】模拟程序的运行，
10、S=0,i=0S=0+20=1， 满足条件i5，i=1，S=1+21=3，满足条件i5，i=2，S=3+22=7， 满足条件i5，i=3，S=7+23=15，满足条件i5，i=4，S=15+24=31，满足条件i5，i=5，S=31+25=63，此时，不满足条件i5，退出循环，输出S的值为 63 .故选：C.6. C 【解析】x2+x+y5的展开式的通项为Tr+1=C5rx2+x5-ryr, 令 r=2, 则x2+x3的通项为C3kx23-kxk=C3kx6-k令 6-k=5, 则k=1,x2+x+y5的展开式中,x5y2的系数为C52C31=30,所以C选项是正确的.7. A 【解析】平面向
11、量a、b是非零向量,|a|=2, a(a+2b)，a(a+2b)=aa+2ab=|a|2+2ab=4+2ab=0，则 ab=-2.设 a与b夹角为,ab=|a|b|cos=-2, 则 |b|cos=-2|a|=-1,b在a方向上投影为-1.故选A.8. B9. D10.A 【解析】设每月还款 x元，共还款 11 个月，所以 x1.00510+1.0059+1.005+1=200001.00511，x=200001.005111+1.005+1.00510=200001.005111-1.005111-1.005=200001.061-1.06-0.0051767.故选: A.11.B12.A
12、【解析】因为平面 A1B1C1D1|平面ABCD，而平面B1D1P平面ABCD=PQ，平面B1D1P平面A1B1C1D1=B1D1，所以 B1D1|PQ.又因为 B1D1|BD，所以BD|PQ，设 PQAB=M，因为AB|CD，所以 APMDPQ.所以 PQPM=PDAP=2，即PQ=2PM.又知 APMADB，所以 PMBD=APAD=13，所以 PM=13BD，又BD=2a，所以 PQ=223a.故选A.13.92 【解析】根据不等式组作出可行域，如图所示当目标函数 z=x+2y经过点32,32时，z取最大值为92.14.7 【解析】2an=an-1+an+1, an是等差数列，由等差数列
13、性质可得 a2+a4+a6=3a4=12，a1+a3+a5=3a3=9,a3+a4=3+4=7.15.52 【解析】抛物线的准线方程为 x=-12，当 MQ|x轴时，|MQ|-QF取得最小值，此时点Q的纵坐标y=2，代入抛物线方程 y2=2x得Q的横坐标x=2，则 |QM|-|QF|=|2+3|-2+12=52.故答案为 52.16.1e 【解析】由题意得，原不等式可变形为 e1x-1xxa-alnx，即1x-lne1xxa-lnxa，设 f(x)=x-lnx，则当xe时，fe1xfxa恒成立，由 f(x)=x-lnx，得f(x)=1-1x=x-1x，当 0x1时，f(x)1时，f(x)0，所
14、以 f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+)上单调递增，因为 xe，a0，所以e1x1，xa1，因为 f(x)在(1,+)上单调递增， 所以要使fe1xfxa，只要 e1xxa， 两边取对数得，1xalnx，因为 xe，所以a1xlnx，令 h(x)=xlnx(xe,+)，则h(x)=1+lnx0，所以 h(x)在e,+)上单调递增，所以 h(x)min =h(e)=elne=e，所以 010.828，所以有 99.9%以上的把握认为 “带菌” 与 “检测结果呈阳性” 有关.(2)设 B=“被检测者带菌” ,C=“被检测者检测结果呈阳性” , 则BC=“被检者 带菌 且 检测结果呈阳性”，
15、用频率估计概率, 根据题意可知 P(B)=0.1,P(CB)=3550=0.7,所以由条件概率公式可知 P(BC)=P(B)P(CB)=0.10.7=0.07.19.(1)证明见解析.(2)10535. 【解析】(1)证明: 连接 AB1, 在ABB1中,AB=1,BB1=2,ABB1=60, 由余弦定理得,AB12=AB2+BB12-2ABBB1cosABB1=3,AB1=3, BB12=AB2+AB12, AB1AB. 又ABC为等腰直角三角形, 且AB=AC,ACAB.ACAB1=A, AB平面AB1C.又 B1C平面AB1C,ABB1C.(2)解: AB1=3,AB=AC=1,B1C=
16、2,B1C2=AB12+AC2, AB1AC. 如图, 以 A为原点, 以AB,AC,AB的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,则 A(0,0,0),B1(0,0,3),B(1,0,0),C(0,1,0),BB1=(-1,0,3),BC=(-1,1,0). 设平面 BCB1的一个法向量为n=(x,y,z),由 BBn=0,BCn=0,得-x+3z=0,-x+y=0,令z=1, 得x=y=3,平面BCB1的一个法向量为n=(3,3,1).AC1=AC+CC1=AC+BB1=(0,1,0)+(-1,0,3)=(-1,1,3)，cosAC1,n=AC1nAC1|n|=357=105
17、35，AC1与平面BCB1所成角的正弦值为10535.20.(1)2.(2)63. 【解析】(1)设 Px0,y0,|OQ|OP|=, 由题意知Q-x0,-y0.因为 x024+y02=1, 又-x0216+-y024=1, 即24x024+y02=1, 所以=2,即 |OQ|OP|=2.(2)由(1)知, ABQ面积为3SOAB，设 Ax1,y1,Bx2,y2.将 y=kx+m代入椭圆E的方程, 可得1+4k2x2+8kmx+4m2-16=0,由 0, 可得m24+16k2,则有 x1+x2=-8km1+4k2,x1x2=4m2-161+4k2. 所以x1-x2=416k2+4-m21+4k
18、2.因为直线 y=kx+m与y轴交点的坐标为(0,m),所以 OAB的面积S=12|m|x1-x2=216k2+4-m2|m|1+4k2=216k2+4-m2m21+4k2=24-m21+4k2m21+4k2.设 m21+4k2=t, 将y=kx+m代入椭圆C的方程,可得 1+4k2x2+8kmx+4m2-4=0,由 0, 可得m21+4k2，由 (1)(2)可知 00时,f(x)在区间(-,lnk-1)上单调递减, 在区间(lnk-1,+)上单调递增.当 k0时,f(x)在R上单调递增.(2)证明见解析. 【解析】(1)易得 f(x)=ex+1-k,当 k0时, 令f(x)=0, 得x=ln
19、k-1, 可得当x(-,lnk-1)时,f(x)0,函数 f(x)在区间(-,lnk-1)上单调递减, 在区间(lnk-1,+)上单调递增.当 k0时,f(x)=ex+1-k0恒成立, 故此时函数f(x)在R上单调递增;(2)证明: 由 (1) 知函数 f(x)在R存在两个零点,k0,由题意知 ex1+1=kx1+2,ex2+1=kx2+2,所以 x1+20,x2+20, 可得x1-x2=lnx1+2x2+2,不妨设 x1x2, 令x1+2x2+2=t, 则t1,由 x1+2x2+2=t,x1-x2=lnx1+2x2+2,解得x1+2=tlntt-1,x2+2=lntt-1,所以 x1+x2+
20、4=(t+1)lntt-1,欲证 x1+x2-2, 只需证明(t+1)lntt-12, 即证(t+1)lnt-2(t-1)0,令 g(t)=(t+1)lnt-2(t-1)(t1), 则g(t)=lnt+1t(t+1)-2=lnt+1t-1.令 h(t)=lnt+1t-1(t1), 则h(t)=1t-1t20,h(t)单调递增,所以 g(t)g(1)=0.所以 g(t)在区间(1,+)上单调递增,所以当 t1时,g(t)g(1)=0, 即(t+1)lnt-2(t-1)0,原不等式得证.22.(1) 1,6.(2) 27. 【解析】(1) 由 =2sin, 由=2cos+6.所以点 Q的极坐标为1
21、,6.(2) 可得 C1的极坐标方程为2+23cos+2sin=0,则 =-23cos-2sin.设 AA,BB,则 A=-23cos-2sin,B=2sin,所以 |AB|=B-A=|4sin+23cos|=27|sin(+)|,因为 |sin(+)|1,所以 |AB|=27|sin(+)|27.故 |AB|的最大值为27.23.(1)m=2.(2)2 . 【解析】(1)f(x)=|x-1|-2|x+1|=x+3,x-1,-3x-1,-1x1,-x-3,x1.所以 f(x)max =f(-1)=2,即 m=2.(2)由(1)知 a2+c22+b2=2.因为 a,b,c(0,+), 所以aba2+b22,bcb2+c22,所以 ab+bca2+b22+b2+c22=a2+c22+b2=2.所以 ab+bc的最大值为 2 .
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