1、专题13：平行四边形与特殊的平行四边形一、单选题1如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD中点，连接OE，则下列结论中不一定正确的是（）AABADBOEABCDOEDEODEODEDO【答案】C【解析】【分析】由菱形的性质可得AB=AD=CD，ACBD，由直角三角形的性质可得OE=DE=CE=CD=AB，即可求解【详解】解：四边形ABCD是菱形，AB=AD=CD，ACBD，故选项A不合题意，点E是CD的中点，OE=DE=CE=CD=AB，故选项B不合题意；EOD=EDO，故选项D不合题意；故选：C【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，掌握菱形的性质是是解题的关键
2、2如图，在矩形纸片ABCD中，将沿BD折叠到位置，DE交AB于点F，则的值为（）ABCD【答案】C【解析】【分析】先根据矩形的性质和折叠的性质，利用“AAS”证明，得出，设，则，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程得出x的值，最后根据余弦函数的定义求出结果即可【详解】解：四边形ABCD为矩形，CD=AB=5，AB=BC=3，根据折叠可知，在AFD和EFB中，（AAS），设，则，在中，即，解得：，则，故C正确故选：C【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角函数的定义，根据题意证明，是解题的关键3（2021四川绵阳）如图，在边长为3的正方形中，则的长是（）A1B
3、CD2【答案】C【解析】【分析】由正方形的性质得出，由证得，即可得出答案【详解】解：四边形是正方形，在中，设，则，根据勾股定理得：，即，解得：（负值舍去），故选：【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质等知识，证明是解题的关键二、填空题4（2020四川凉山）如图，的对角线AC、BD相交于点O，交AD于点E，若OA=1，的周长等于5，则的周长等于_【答案】16【解析】【分析】根据已知可得E为AD的中点，OE是ABD的中位线，据此可求得AB，根据OA=1，的周长等于5，可求得具体的结果【详解】四边形ABCD是平行四边形，AC、BD是对角线，O为BD和
4、AC的中点，又，E为AD的中点，又OA=1，的周长等于5，AE+OE=4，的周长=故答案为16【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，结合三角形中位线定理判定是解题的关键5（2021四川内江）如图，矩形，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上当点在轴上运动时，点也随之在轴上运动，在这个运动过程中，点到原点的最大距离为 _【答案】#【解析】【分析】取 的中点 ，连接 ， ，由勾股定理可求 的长，由直角三角形的性质可求 的长，由三角形的三边可求解【详解】如图，取的中点，连接，矩形，点是的中点，点是的中点，在中，当点在上时，的最大值为，故答案为：【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，三角形的三边形
5、关系，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造三角形是解题的关键6（2020四川凉山）如图，矩形ABCD中，AD=12，AB=8，E是AB上一点，且EB=3，F是BC上一动点，若将沿EF对折后，点B落在点P处，则点P到点D的最短距为 【答案】【解析】【分析】如图，连接利用三角形三边之间的关系得到最短时的位置，如图利用勾股定理计算，从而可得答案【详解】解：如图，连接 则，为定值， 当落在上时，最短，图 如图，连接， 由勾股定理得： 即的最小值为： 故答案为： 图【点睛】本题考查的是矩形的性质，考查利用轴对称求线段的最小值问题，同时考查了勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键三、解答题7（2022四川
6、成都）如图，在矩形中，点是边上一动点（点不与，重合），连接，以为边在直线的右侧作矩形，使得矩形矩形，交直线于点(1)【尝试初探】在点的运动过程中，与始终保持相似关系，请说明理由(2)【深入探究】若，随着点位置的变化，点的位置随之发生变化，当是线段中点时，求的值(3)【拓展延伸】连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的值（用含的代数式表示）【答案】(1)见解析(2)或(3)或【解析】【分析】（1）根据题意可得A=D=BEG=90，可得DEH=ABE，即可求证；（2）根据题意可得AB=2DH，AD=2AB，AD=4DH，设DH=x，AE=a，则AB=2x，AD=4x，可得DE=4x-a，再根据ABED
7、EH，可得或，即可求解；（3）根据题意可得EG=nBE，然后分两种情况：当FH=BH时，当FH=BF=nBE时，即可求解(1)解：根据题意得：A=D=BEG=90，AEB+DEH=90，AEB+ABE=90，DEH=ABE，ABEDEH；(2)解：根据题意得：AB=2DH，AD=2AB，AD=4DH，设DH=x，AE=a，则AB=2x，AD=4x，DE=4x-a，ABEDEH，解得：或，或，或；(3)解：矩形矩形，EG=nBE，如图，当FH=BH时，BEH=FGH=90，BE=FG，RtBEHRtFGH，EH=GH=，ABEDEH，即，；如图，当FH=BF=nBE时，ABEDEH，即，；综上所
8、述，的值为或【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识是解题的关键8（2021四川德阳）如图，点E是矩形ABCD的边BC上一点，将ABE绕点A逆时针旋转至AB1E1的位置，此时E、B1、E1三点恰好共线点M、N分别是AE和AE1的中点，连接MN、NB1（1）求证：四边形MEB1N是平行四边形；（2）延长EE1交AD于点F，若EB1E1F，判断AE1F与CB1E是否全等，并说明理由【答案】（1）见解析；（2）全等，理由见解析【解析】【分析】（1）可证B1是EE1的中点，则
9、EB1=EE1，根据M、N分别是AE和AE1的中点，则MNEB1，MN=EE1，即可证明；（2）由SEAF=SFEC，可得AF=EC然后通过SAS可证明结论【详解】解：（1）证明：四边形ABCD是矩形，B=90，AB1E1是ABE旋转所得的，AE=AE1，AB1E1=AB1E=B=90，B1是EE1的中点，EB1=EE1，M、N分别是AE和AE1的中点，MNEB1，MN=EE1，EB1=MN，四边形MEB1N为平行四边形，（2）AE1FCEB1，证明：连接FC，EB1=B1E1=E1F，=SEAF，同理，=SFEC，=SEB1C，SEAF=SFEC，AFEC，AEF底边AF上的高和FEC底边上的高相等AF=ECAFEC，AFE=FEC，在AE1F和CEB1中，AE1FCEB1（SAS）【点睛】本题主要考查了旋转的性质，平行四边形的判定，三角形中位线定理，以及全等三角形的判定与性质等知识，证明SEAF=SFEC是解题的关键
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