1、专题 2 简单事件的概率题型一 事件的分类例 1 下列事件为必然事件的是( D )A打开电视机，它正在播广告B某彩票的中奖机会是 1%，买 1 张一定不会中奖C抛掷一枚硬币，一定正面朝上D投掷一枚普通的正方体骰子，掷得的点数小于 7【解析】 打开电视机，它正在播广告是随机事件，A 错误；某彩票的中奖机会是 1%，买 1张一定不会中奖是随机事件，B 错误；抛掷一枚硬币，一定正面朝上是随机事件，C 错误；投掷一枚普通的正方体骰子，掷得的点数小于 7 是必然事件，D 正确变式跟进1下列说法不正确的是( C )A “某射击运动员射击一次，正中靶心”属于随机事件B “13 名同学至少有两名同学的出生月份
2、相同”属于必然事件C “在标准大气压下，当温度降到5 时，水结成冰”属于随机事件D “某袋中只有 5 个球，且都是黄球，任意摸出一球是白球”属于不可能事件题型二 概率的意义及计算例 2 将一质地均匀的正方体骰子掷一次，观察向上一面的点数，与点数 3 的差不大于 2 的概率是( D )A. B. C. D.12 13 23 56【点悟】 利用 P(A) 求事件 A 的概率时，要注意正确计算所有可能的结果数 n 和事件 Amn包含的可能的结果数 m，对于几何型的概率问题，要注意各部分面积的关系，抓住“概率等于相应的面积与总面积比” ，这是解决几何类型概率问题的关键变式跟进2掷一枚质地均匀的硬币 1
3、0 次，下列说法正确的是( C )A每 2 次必有 1 次正面向上B必有 5 次正面向上C可能有 7 次正面向上D不可能有 10 次正面向上32017高邮二模平面直角坐标系 xOy 中有四点 A(2，0)， B(1，0)， C(0，1)，D(0，2)，在 A， B， C， D 中取两点与点 O 为顶点作三角形，所作三角形是等腰直角三角形的概率是_ _12第 3 题答图【解析】 如答图，在 A， B， C， D 中取两点与点 O 为顶点作三角形一共可作 4 个三角形，其中所作三角形是等腰直角三角形的有 2 个， P(所作三角形是等腰直角三角形) .24 12题型三 用画树状图或列表法求概率例 3
4、 将如图 1 所示的牌面数字 1，2，3，4 的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上图 1(1)从中随机抽出一张牌，牌面数字是奇数的概率是_ _；12(2)从中随机抽出两张牌，两张牌牌面数字的和是 6 的概率是_ _；16(3)先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽取一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用树状图或列表的方法求组成的两位数恰好是 3 的倍数的概率解：(1)1，2，3，4 共有 4 张牌，随意抽取一张为奇数的概率为 ；24 12(2)只有 246，一种可能但组合一共有 3216(种)，故概率为 ；16(3)列表如下：第一次第二次1 2
5、3 41 11 12 13 142 21 22 23 243 31 32 33 344 41 42 43 44其中恰好是 3 的倍数的有 12，21，24，33，42 五种结果 P(3 的倍数) .516【点悟】 一般地，涉及两步的随机事件的概率，既可以用列表法也可以用画树形图法，涉及三步以上的随机事件的概率，通常用画树形图法求值得注意是，在利用列表法、画树形图法求概率时，各种情况出现的可能性必须相等，否则会产生错误变式跟进42017垫江校级月考已知四张卡片上分别写有四个数1，0，1，2，它们除数字不同外其余全部相同，先从中随机抽取一张，将抽到的卡片上的数字记为 x，不放回再随机抽取一张记为
6、y，则点( x， y)落在 y x2 x1 的图象上的概率为_ _112【解析】 画树状图如答图，第 4 题答图共有 12 种等可能的结果数，其中点( x， y)落在 y x2 x1 的图象上的只有(0，1)一种，故概率为 .11252017泰兴校级二模某校“文化氧吧”有 A， B， C， D 四本书是小明想读的，但他现阶段只打算选读两本(1)若小明已选 A 书，再从其余三本书中随机选一款，恰好选中 C 的概率是_ _；13(2)小明随机选取两本书，请用树状图或列表法求出他恰好选中 A， C 两本的概率解：(1)小明已选 A 书，再从其余三本书中随机选一款，恰好选中 C 的概率是 ；13(2)
7、画树状图如答图，第 5 题答图共 12 种可能出现的结果，它们都是等可能的，符合条件的有两种， P(选中 A， C) .212 16题型四 用频率估计概率例 4 小明和小亮两位同学做投掷骰子(质地均匀的正方体)实验，他们共做了 100 次实验，实验的结果如下：朝上的点数 1 2 3 4 5 6出现的次数 14 15 23 16 20 12(1)计算“2 点朝上”的频率和“4 点朝上”的频率；(2)小明说：“根据实验，一次实验中出现 3 点朝上的概率最大” 小亮说：“如果投掷 1 000 次，那么出现 5 点朝上的次数正好是 200 次 ”小明和小亮的说法正确吗？为什么？(3)小明投掷一枚骰子，
8、计算小明投掷点数不小于 3 的概率解：(1)“2 点朝上”的频率为 0.15；15100“4 点朝上”的频率为 0.16；16100(2)小明的说法错误，因为只有当实验的次数足够大时，该事件发生的频率才会稳定在事件发生的概率附近；小亮的说法是错误的，因为事件发生具有随机性；(3)P(点数不小于 3) .46 23变式跟进6一个不透明的盒子里有 n 个除颜色外其他完全相同的小球，其中有 6 个黄球(1)若先从盒子里拿走 m 个黄球，这时从盒子里随机摸出一个球是黄球的事件为“随机事件” ，则 m 的最大值为_5_；(2)若在盒子中再加入 2 个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下
9、颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在 40%，问 n 的值大约是多少？解：(1)根据题意得，拿走 m 个黄球后，不透明的盒子中至少还有一个黄球，则 m 的最大值为 615；(2)根据题意，得 0.4，解得 n18.2 6n 2题型五 判断游戏公平性问题例 5 小明和小刚用如图 2 所示的两个均匀的转盘做配紫色游戏，游戏规则是：分别任意旋转两个转盘，若其中一个转盘转出了红色，另一个转出了蓝色，则可以配成紫色若配成紫色则小刚获胜，否则小明获胜(1)请用列表或树状图法求出小明胜的概率；(2)这个游戏公平吗？请说明理由图 2解：(1)画树状图如答图，例 5 答图共有 9
10、种等可能的结果数，其中不能配成紫色的结果数为 7，小明胜的概率 ；79(2)这个游戏不公平理由如下：能配成紫色的结果数为 2，小刚胜的概率 ，29而小明胜的概率 ， ，79 79 29这个游戏不公平变式跟进7小王和小明玩一个游戏，规则如下：把分别写有 1，2，3，4 的四张卡片全都放入一个暗盒中，每次摇匀后每人摸出一张，算出这两张上的数字之“和” ，当“和”为奇数时，小王胜，当“和”为偶数时，小明胜，玩了一会，小王对小明说：“好像这个游戏不公平，但我说不清道理 ”(1)这个游戏真的不公平吗？对谁有利？请你说明道理；(2)若真的不公平，能否只改动一张卡片上的数字，使该游戏公平？请把你的改动方案表
11、述在下面，供同学们分享解：(1)不公平理由：两张卡片上的数字之和有以下几种情况：213；314；325；246；145；347，共 6 种情况，其中 2 个偶数，4 个奇数，即出现偶数的概率为 ，而出现奇数的概率为 ， ，小王划算，此规则不公平；13 23 23 13(2)把分别写有 1，2，3，4 的四张卡片，换成分别写有 0，2，3，4 的四张卡片即可过关训练1下列事件：在足球赛中，弱队战胜强队；抛掷一枚硬币，落地后正面朝上；任取两个整数，其和大于 1；长分别为 2，4，8 cm 的三条线段能围成一个三角形其中不确定事件的个数是( C )A1 B2 C3 D422016金华小明和小华参加社
12、会实践活动，随机选择“打扫社区卫生”和“参加社会调查”其中一项，那么两人同时选择“参加社会调查”的概率为( A )A. B. C. D.14 13 12 34【解析】 列表如下：小明打扫社区卫生打扫社区卫生参加社会调查参加社会调查小华打扫社区卫生参加社会调查参加社会调查打扫社区卫生由表可知，可能的结果共有 4 种，且他们都是等可能的，其中两人同时选择“参加社会调查”的结果有 1 种，则所求概率 P .1432017曹县模拟“服务他人，提升自我” ，某学校积极开展志愿者服务活动，来自九年级的 5 名同学(3 男 2 女)成立了“交通秩序维护”小分队，若从该小分队中任选两名同学进行交通秩序维护，则
13、恰好是一男一女的概率是( D )A. B. C. D.16 15 25 35【解析】 根据题意画树状图如答图：第 3 题答图一共有 20 种情况，恰好是一男一女的有 12 种情况， P(恰好是一男一女) .1220 3542017垫江校级月考小杰和爸爸妈妈一起去奥体看球赛，他们买了 3 张连号的票，小杰挨着爸爸坐的概率是( C )A. B. C. D.12 13 23 34【解析】 设小明为 A，爸爸为 B，妈妈为 C，则所有的可能性是( ABC)，( ACB)，( BAC)，(BCA)，( CAB)，( CBA)，小杰挨着爸爸坐的概率是 .46 2352017杭州模拟2017 年参加杭州市体
14、育中考的学生需从耐力类(游泳和男生 1 000 m或女生 800 m)、力量类(实心球和男生引体向上或女生仰卧起坐)、跳跃类(立定跳远和一分钟跳绳)三大类中各选一项作为考试项目，小明已经选了耐力类游泳，则他在力量类和跳跃类中，选“实心球和立定跳远”这两项的概率是_ _14【解析】 画树状图如答图：第 5 题答图选“实心球和立定跳远”这两项的概率是 .146一只不透明的袋子中装有颜色分别为红、黄、蓝、白的球各一个，这些球除颜色外都相同求下列事件的概率：(1)搅匀后从中任意摸出 1 个球，恰好是红球；(2)搅匀后从中任意摸出 1 个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出 1 个球，两次都
15、是红球解：(1)红、黄、蓝、白的球各一个，搅匀后从中任意摸出 1 个球，恰好是红球的概率为 ；14(2)列表：红 黄 蓝 白红 (红，红) (黄，红) (蓝，红) (白，红)黄 (红，黄) (黄，黄) (蓝，黄) (白，黄)蓝 (红，蓝) (黄，蓝) (蓝，蓝) (白，蓝)白 (红，白) (黄，白) (蓝，白) (白，白)所有等可能的情况数有 16 种，其中两次都为红球的情况数有 1 种，两次都是红球的概率为 .1167在一个布袋中装有只有颜色不同，其他都相同的白、红、黑三种颜色的小球各 1 个，甲、乙两人进行摸球游戏，甲先从袋中摸出一球看清颜色后放回，再由乙从袋中摸出一球(1)试用树状图(或
16、列表)的方法表示摸球游戏所有可能的结果；(2)如果规定：乙摸到与甲颜色相同的球为乙胜，否则甲胜，你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由解：(1)所有可能的结果如表所示；乙甲白 红 黑白 (白，白) (白，红) (白，黑)红 (红，白) (红，红) (红，黑)黑 (黑，白) (黑，红) (黑，黑)(2)不公平，理由如下：摸球游戏所有可能出现的结果共有 9 种情况，每种结果出现的可能性相同，乙摸到与甲颜色相同的球有 3 种情况，乙摸到与甲颜色不相同的球有 6 种情况，乙在游戏中获胜的概率是 ，39 13甲在游戏中获胜的概率是 ，69 23 ，这个游戏对双方不公平13 238 中国足球改革总体方案提
17、出足球要进校园，为了解某校学生对校园足球喜爱的情况，随机对该校部分学生进行了调查，将调查结果分为“很喜欢” 、 “较喜欢” 、 “一般” 、 “不喜欢”四个等级，并根据调查结果绘制成了如图 1 的两幅不完整的统计图；(1)一共调查了_30_名学生，请补全条形统计图；(2)在此次调查活动中，选择“一般”的学生中只有两人来自九年级，现在要从选择“一般”的同学中随机抽取两人来谈谈各自对校园足球的感想，请用画树状图或列表法求选中的两人刚好都来自九年级的概率图 1解：(1)根据题意得一共调查的学生有 310%30(名)；调查结果为“一般”的人数为 30131034(名)补全统计图如答图；第 8 题答图(2)用 A， B 分别表示来自九年级的学生， C， D 表示其他两个学生，画树状图如如答图，第 8 题答图共有 12 种等可能的结果，选中的两人刚好都来自九年级的有 2 种情况，选中的两人刚好都来自九年级的概率为 .212 16
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