1、专题 3 圆的基本性质题型一 点与圆的位置关系例 1 2017大冶校级月考若 O 的半径为 5 cm，平面上有一点 A， OA6 cm，那么点 A 与 O 的位置关系是( A )A点 A 在O 外 B点 A 在O 上C点 A 在O 内 D不能确定【解析】 O 的半径为 5 cm， OA6 cm， d r，点 A 与 O 的位置关系是点 A 在 O外变式跟进12016宜昌在公园的 O 处附近有 E， F， G， H 四棵树，位置如图 1 所示(图中小正方形的边长均相等)现计划修建一座以 O 为圆心， OA 为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则 E， F， G， H 四棵树中需要被移除的为( A
2、 )图 1A E， F， G B F， G， HC G， H， E D H， E， F【解析】 OA ， OE2 OA，点 E 在 O 内； OF2 OA，点 F 在 O1 22 5内； OG1 OA，点 G 在 O 内； OH 2 OA，点 H 在 O 外22 22 2题型二 垂径定理及其推论例 2 如图 2， O 的直径 CD10，弦 AB8， AB CD，垂足为 M，则 DM 的长为( D )A5 B6 C7 D8图 2 例 2 答图【解析】 连结 OA，如答图所示 O 的直径 CD10， OA5，弦 AB8， AB CD， AM AB 84，12 12在 Rt AOM 中， OM OA
3、2 AM2 3，52 42 DM OD OM538.【点悟】 已知直径与弦垂直的问题中，常连半径构造直角三角形，其中斜边为圆的半径，两直角边是弦长的一半和圆心到弦的距离，从而运用勾股定理来计算变式跟进2如图 3， AB 为 O 的直径，弦 CD AB 于点 E，若 CD8，且 AE BE14，则 AB 的长度为( A )A10 B5 C12 D.53图 3 第 2 题答图【解析】 如答图，连结 OC，设AE x， AE BE14， BE4 x， OC2.5 x， OE1.5 x， CD AB， CE DE CD124，Rt OCE 中， OE2 CE2 OC2，(1.5 x)24 2(2.5
4、x)2， x2， AB10.3有一座弧形的拱桥如图 4，桥下水面的宽度 AB 为 7.2 m，拱顶与水面的距离 CD 的长为2.4 m，现有一艘宽 3 m，船舱顶部为长方形并且高出水面 2 m 的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？图 4 第 3 题答图解：如答图，连结 ON， OB. OC AB， D 为 AB 中点， AB7.2 m， BD AB3.6 m.12又 CD2.4 m，设 OB OC ON r，则 OD( r2.4)m.在 Rt BOD 中，由勾股定理得 r2( r2.4) 23.6 2，解得 r3.9. CD2.4 m，船舱顶部为长方形并高出水面 2 m， CE2.4
5、20.4(m)， OE r CE3.90.43.5(m)，在 Rt OEN 中， EN2 ON2 OE23.9 23.5 22.96(m 2)， EN1.72(m) MN2 EN21.723.44 m3，此货船能顺利通过这座弧形拱桥题型三 圆周角定理的综合例 3 2017市南区一模如图 5，在直径为 AB 的 O 中， C， D 是 O 上的两点， AOD58， CD AB，则 ABC 的度数为_61_图 5【解析】 AOD58， ACD AOD29， CD AB， CAB ACD29， AB 是直径， ACB90， ABC902961.【点悟】 (1)在同圆(或等圆)中，圆心角(或圆周角)、
6、弧、弦中只要有一组量相等，则其他对应的各组量也分别相等，利用这个性质可以将问题互相转化，达到求解或证明的目的；(2)注意圆中的隐含条件(半径相等)的应用；(3)圆周角定理及其推论，是进行圆内角度数转化与计算的主要依据，遇直径，要想到直径所对的圆周角是 90，从而获得到直角三角形；遇到弧所对的圆周角与圆心角，要想到同弧所对的圆心角等于圆周角的 2 倍以及同弧所对的圆周角相等变式跟进4如图 6， O 是正方形 ABCD 的外接圆，点 P 在 O 上，则 APB_45_图 6 第 4 题答图【解析】 如答图，连结 OA， OB.根据正方形的性质，得 AOB90.再根据圆周角定理，得 APB45.52
7、017永嘉二模如图 7，已知 AB 是半圆 O 的直径， OC AB 交半圆于点 C， D 是射线 OC上一点，连结 AD 交半圆 O 于点 E，连结 BE， CE.(1)求证： EC 平分 BED；(2)当 EB ED 时，求证： AE CE.图 7 第 5 题答图证明：(1) AB 是半圆 O 的直径， AEB90， DEB90. OC AB， AOC BOC90， BEC45， DEC45. BEC DEC，即 EC 平分 BED；(2)如答图，连结 BC， OE，在 BEC 与 DEC 中， BE DE， BEC DEC，EC EC， ) BEC DEC， CBE CDE. CDE90
8、 A ABE， ABE CBE. AOE COE， AE CE.题型四 弧长的计算例 4 如图 8， ABC 是正三角形，曲线 CDEF 叫做“正三角形的渐开线” ，其中， ， ，圆心依次按 A， B， C循环，它们依次相连结若 AB1，则曲线 CDEF 的长是CD DE EF _4_(结果保留 )图 8【解析】 的长是 ， 的长是 ， 的长是 2，则CD 120 1180 23 DE 120 2180 43 EF 120 3180曲线 CDEF 的长是 24.23 43变式跟进6一个扇形的半径为 8 cm，弧长为 cm，则扇形的圆心角为_120_163【解析】 设扇形的圆心角为 n，根据题意
9、得 ，解得 n120，扇形的圆163 n 8180心角为 120.题型五 扇形的面积计算例 5 2016河南如图 9，在扇形 AOB 中， AOB90，以点 A 为圆心， OA 的长为半径作 交 于点 C，若 OA2，则阴影部分的面积是 OC AB 3 13图 9 例 5 答图【解析】 如答图，连结 OC， AC， OAC 是等边三角形，扇形 OBC 的圆心角是 30，阴影部分的面积等于扇形 OBC 的面积减去弓形 OC 的面积 S 扇形 OBC ， S 弓形 OC30 22360 13 22 ， S 阴影 .60 22360 34 23 3 13 (23 3) 3 13【点悟】 求不规则图形
10、的面积，常转化为易解决的基本图形，然后求出各图形的面积，通过面积的和差求出结果变式跟进7若扇形的半径为 3 cm，扇形的面积为 2 cm2，则该扇形的圆心角为_80_，弧长为_ _cm.43【解析】 由 2，解得 n80，由 2 l3，解得 l .n 32360 12 438如图 10，以 AB 为直径的 O 经过 AC 的中点 D， DE BC 于点 E，若 DE1， C30，则图中阴影部分的面积是 49 33图 10【解析】 C30， DE1， DEC90， DC2， OD BC， ODA30， OD OA， OAD ODA30， AOD120， OA ， S 阴影 2 233 120 (
11、233)2 360 12 33 49.33题型六 圆锥例 6 2017西湖区校级三模一个圆锥的侧面展开图是圆心角为 120且半径为 6 的扇形，则这个圆锥的底面半径为( B )A2 B2 C2.5 D3【解析】 设这个圆锥的底面半径为 r，根据题意，得 2 r ，解得 r2.120 6180【点悟】 (1)圆锥侧面展开图是一个扇形；(2)圆锥的底面周长是其侧面展开图的弧长；(3)圆锥的母线就是其侧面展开扇形的半径变式跟进9一个圆锥的底面半径是 5 cm，其侧面展开图是圆心角为 150的扇形，则圆锥的母线长为( B )A9 cm B12 cm C15 cm D18 cm【解析】 设圆锥的母线长为
12、 l，根据题意得 25 ，解得 l12.即圆锥的母线长150 l180为 12 cm.过关训练1一个圆锥形的圣诞帽底面半径为 12 cm，母线长为 13 cm，则圣诞帽的侧面积为( B )A312 cm 2 B156 cm 2C78 cm 2 D60 cm 2【解析】 圆锥的底面周长是 12224，则圆锥的侧面积是2413156(cm 2)1222017连云港三模一个滑轮起重装置如图 1 所示，滑轮的半径是 15 cm，当重物上升15 cm 时，滑轮的一条半径 OA 绕轴心 O 按顺时针方向旋转的角度约为( 取 3.14，结果精确到 1)( C )图 1A115 B60C57 D29【解析】
13、根据题意得 15 ，解得 n 57， OA 绕轴心 O 按顺时针方向旋n 15180 180转的角度约为 57.3一个隧道的横截面如图 2 所示，它的形状是以点 O 为圆心，5 为半径的圆的一部分， M 是 O 中弦 CD 的中点， EM 经过圆心 O 交 O 于点 E.若 CD6，则隧道的高( ME 的长)为( D )图 2A4 B6C8 D9【解析】 M 是 O 弦 CD 的中点，根据垂径定理： EM CD，又 CD6，则有 CM CD3，12设 OM 是 x，在 Rt COM 中，有 OC2 CM2 OM2，即 523 2 x2，解得 x4， EM549.42017大庆模拟如图 3 是圆
14、内接正方形 ABCD，分别将 ， ， ， 沿边长AB BC CD DA AB， BC， CD， DA 向内翻折，已知 BD2，则阴影部分的面积为_4_图 3【解析】 由圆内接正方形的性质知，正方形的边长等于半径的 倍，阴影部分的面积2( )2( )24.2 252016贵港如图 4，在 Rt ABC 中， C90， BAC60，将 ABC 绕点 A 逆时针旋转 60后得到 ADE，若 AC1，则线段 BC 在上述旋转过程中扫过部分(阴影部分)的面积是_ _(结果保留 ) 2图 4【解析】 C90， BAC60， AC1， AB2， S 扇形 BAD ， S 扇形60 22360 23CAE ，
15、则 S 阴影 S 扇形 DAB S ABC S ADE S 扇形 ACE .60 12360 6 23 6 26将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图 5 所示，已知水杯的半径是 4 cm，水面宽度 AB 是 4 cm.3(1)求水的最大深度(即 CD)是多少？(2)求杯底有水部分的面积(阴影部分)图 5解：(1) OD AB， AB4 cm，3 BC AB 4 2 (cm)，12 12 3 3在 Rt OBC 中， OB4 cm， BC2 (cm)，3 OC 2(cm)，OB2 BC2 42 （ 23） 2 DC OD OC422(cm)水的最大深
16、度(即 CD)是 2 cm；(2) OC2， OB4， OC OB，12 ABO30， OA OB， BAO ABO30， AOB120， S AOB ABOC 4 24 ，12 12 3 3S 扇形 OAB ，120 42360 163 S 阴影 S 扇形 S AOB cm2.(163 43)72017苏州一模如图 6，已知 Rt ABD 中， A90，将斜边 BD 绕点 B 顺时针方向旋转至 BC，使 BC AD，过点 C 作 CE BD 于点 E.(1)求证： ABD ECB；(2)若 ABD30， BE3，求 的长CD 图 6解：(1)证明： A90， CE BD， A BEC90.
17、BC AD， ADB EBC.将斜边 BD 绕点 B 顺时针方向旋转至 BC， BD BC.在 ABD 和 ECB 中， ABD ECB； ADB EBC， A BEC，BD CB， )(2) ABD ECB， AD BE3. A90， ABD30， BD2 AD6， BC AD， A ABC180， ABC90， DBC60， 的长为 2.CD 60 618082017高密模拟如图 7， AB 为圆 O 的直径， CD AB 于点 E，交圆 O 于点 D， OF AC 于点 F.(1)求证： OF BD；12(2)当 D30， BC1 时，求圆中阴影部分的面积图 7 第 8 题答图解：(1)
18、证明： OF AC， AF FC， OA OB， BC2 OF， AB CD， ， BC BD， OF BD；BC BD 12(2)如答图，连结 OC，则 OC OA OB， D30， A D30， COB2 A60， AOC120， AB 为 O 的直径， ACB90，在 Rt ABC 中， BC1， AB2， AC ， OF AC，3 AF CF， OA OB， OF 是 ABC 的中位线， OF BC ，12 12 S AOC ACOF ，12 12 3 12 34S 扇形 AOC OA2 ，13 3 S 阴影 S 扇形 AOC S AOC . 3 3492017河北区二模如图 8，在
19、Rt ABC 中， ABC90，点 M 是 AC 的中点，以 AB为直径作 O 分别交 AC， BM 于点 D， E.(1)求证： MD ME；(2)如图，连结 OD， OE，当 C30时，求证：四边形 ODME 是菱形图 8证明：(1)在 Rt ABC 中，点 M 是 AC 的中点， MA MB， A MBA，四边形 ABED 是圆内接四边形， ADE ABE180，而 ADE MDE180， MDE MBA.同理可得 MED A， MDE MED， MD ME；(2) C30， A60， ABM60， OAD 和 OBE 为等边三角形， BOE60， BOE A， OE AC，同理可得 O
20、D BM，四边形 DOEM 为平行四边形，而 OD OE，四边形 ODME 是菱形102017东莞校级模拟如图 9， O 的内接四边形 ABCD 两组对边的延长线分别交于点E， F.(1)当 E F 时，则 ADC_90_；(2)当 A55， E30时，求 F 的度数；(3)若 E ， F ，且 ，请你用含有 ， 的代数式表示 A 的大小图 9解：(1) E F， DCE BCF， ADC E DCE， ABC BCF F， ADC ABC，四边形 ABCD 是 O 的内接四边形， ADC ABC180， ADC90；(2)在 ABE 中， A55， E30， ABE180 A E95， ADF180 ABE85，在 ADF 中， F180 ADF A40；(3) ADC180 A F， ABC180 A E，又 ADC ABC180，180 A F180 A E180，2 A E F180， A90 90 . E F2 2
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