1、专题13 三角函数的图像与性质一、 典例分析1（2021新高考）下列区间中，函数单调递增的区间是AB，CD，2（2021乙卷）函数的最小正周期和最大值分别是A和B和2C和D和23（2020新课标）设函数在，的图象大致如图，则的最小正周期为ABCD4.（2019新课标）下列函数中，以为最小正周期且在区间，单调递增的是ABCD5（2019新课标）设函数，已知在，有且仅有5个零点下述四个结论：在有且仅有3个极大值点；在有且仅有2个极小值点；在单调递增；的取值范围是，其中所有正确结论的编号是ABCD6（2018新课标）已知函数，则A的最小正周期为，最大值为3B的最小正周期为，最大值为4C的最小正周期为
2、，最大值为3D的最小正周期为，最大值为47（2017天津）设函数，其中，若，且的最小正周期大于，则A，B，C，D，8（2016新课标）已知函数，为的零点，为图象的对称轴，且在，上单调，则的最大值为A11B9C7D59（2015新课标）如图，长方形的边，是的中点，点沿着边，与运动，记将动点到，两点距离之和表示为的函数，则的图象大致为ABCD10（2019浙江）设函数，（）已知，函数是偶函数，求的值；（）求函数的值域二、 真题集训1（2018新课标）函数的最小正周期为ABCD2（2016浙江）设函数，则的最小正周期A与有关，且与有关B与有关，但与无关C与无关，且与无关D与无关，但与有关3（2015
3、新课标）函数的部分图象如图所示，则的单调递减区间为A，B，C，D，4（2015安徽）已知函数，均为正的常数）的最小正周期为，当时，函数取得最小值，则下列结论正确的是A（2）B（2）C（2）D（2）5（2014全国）使函数为偶函数的最小正数ABCD6（2014新课标）设函数，若存在的极值点满足，则的取值范围是A，B，C，D，7（2013大纲版）已知函数，下列结论中不正确的是A的图象关于中心对称B的图象关于对称C的最大值为D既是奇函数，又是周期函数8（2020上海）已知函数，（1）的周期是，求，并求的解集；（2）已知，求的值域9（2015山东）设（）求的单调区间；（）在锐角中，角，的对边分别为，若
4、，求面积的最大值典例分析答案1（2021新高考）下列区间中，函数单调递增的区间是AB，CD，分析：本题需要借助正弦函数单调增区间的相关知识点求解解答：解：令，则，当时，故选：点评：本题考查正弦函数单调性，是简单题2（2021乙卷）函数的最小正周期和最大值分别是A和B和2C和D和2分析：化简函数的表达式，再利用三角函数的周期，正弦函数的最值求解即可解答：解：，当时，函数取得最大值；函数的周期为，最大值故选：点评：本题考查了辅助角公式、三角函数的周期性与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题3（2020新课标）设函数在，的图象大致如图，则的最小正周期为ABCD分析：由图象观察可得最小正周期小于
5、，大于，排除，；再由，求得，对照选项，代入计算，即可得到结论解答：解：由图象可得最小正周期小于，大于，排除，；由图象可得，即为，若选，即有，由，可得不为整数，排除；若选，即有，由，可得，成立故选：点评：本题考查三角函数的图象和性质，主要是函数的周期的求法，运用排除法是迅速解题的关键，属于中档题4.（2019新课标）下列函数中，以为最小正周期且在区间，单调递增的是ABCD分析：根据正弦函数，余弦函数的周期性及单调性依次判断，利用排除法即可求解解答：解：不是周期函数，可排除选项；的周期为，可排除选项；在处取得最大值，不可能在区间，单调递增，可排除故选：点评：本题主要考查了正弦函数，余弦函数的周期性
6、及单调性，考查了排除法的应用，属于基础题5（2019新课标）设函数，已知在，有且仅有5个零点下述四个结论：在有且仅有3个极大值点；在有且仅有2个极小值点；在单调递增；的取值范围是，其中所有正确结论的编号是ABCD【分析】依题意作出 的图象，可判断和，根据在，有且仅有5个零点，可得，解出，然后判断是否正确即可得到答案解答：解：依题意作出 的图象如图，其中，显然正确，错误；当，时，在，有且仅有5个零点，故正确，因此由选项可知只需判断是否正确即可得到答案，下面判断是否正确，当时，若在单调递增，则，即，故正确故选：点评：本题考查了三角函数的图象与性质，关键是数形结合的应用，属中档题6（2018新课标）
7、已知函数，则A的最小正周期为，最大值为3B的最小正周期为，最大值为4C的最小正周期为，最大值为3D的最小正周期为，最大值为4分析：首先通过三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成余弦型函数，进一步利用余弦函数的性质求出结果解答：解：函数，故函数的最小正周期为，函数的最大值为，故选：点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，余弦型函数的性质的应用7（2017天津）设函数，其中，若，且的最小正周期大于，则A，B，C，D，分析：由题意求得，再由周期公式求得，最后由若求得值解答：解：由的最小正周期大于，得，又，得，则，即，由，得，取，得，故选：点评：本题考查由三角函数的部分图象求解析式
8、，考查型函数的性质，是中档题8（2016新课标）已知函数，为的零点，为图象的对称轴，且在，上单调，则的最大值为A11B9C7D5分析：根据已知可得为正奇数，且，结合为的零点，为图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合在，上单调，可得的最大值解答：解：为的零点，为图象的对称轴，即即即为正奇数，在，上单调，则，即，解得：，当时，此时在，不单调，不满足题意；当时，此时在，单调，满足题意；故的最大值为9，故选：点评：本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，本题转化困难，难度较大9（2015新课标）如图，长方形的边，是的中点，点沿着边，与运动，记将动点到，两点距离之和表示为的函数，则的图象大致为AB
9、CD分析：根据函数图象关系，利用排除法进行求解即可解答：解：当时，此时，此时单调递增，当在边上运动时，且时，如图所示，当时，当在边上运动时，由对称性可知函数关于对称，且，且轨迹为非线型，排除，故选：点评：本题主要考查函数图象的识别和判断，根据条件先求出时的解析式是解决本题的关键10（2019浙江）设函数，（）已知，函数是偶函数，求的值；（）求函数的值域分析：（1）函数是偶函数，则，根据的范围可得结果；（2）化简函数得，然后根据的范围求值域即可解答：解：（1）由，得，为偶函数，或，（2），函数的值域为：点评：本题考查了三角函数的奇偶性和三角函数的图象与性质，关键是熟练掌握三角恒等变换，属基础题真
10、题集训答案1解：函数的最小正周期为，故选：2解：设函数，图象的纵坐标增加了，横坐标不变，故周期与无关，当时，的最小正周期为，当时，的最小正周期为，的最小正周期为，的最小正周期为，故的最小正周期与有关，故选：3解：由函数的部分图象，可得函数的周期为，再根据函数的图象以及五点法作图，可得，即，由，求得，故的单调递减区间为，故选：4解：依题意得，函数的周期为，又当时，函数取得最小值，可解得：，（2），又，而在区间，是单调递减的，（2）故选：5解：函数为偶函数，使函数为偶函数的最小正数故选：6解：由题意可得，即，即再由，即，即，即，即，故，求得，或，故选：7解：对于，因为，所以，可得的图象关于中心对称
11、，故正确；对于，因为，所以，可得的图象关于直线对称，故正确；对于，化简得，令，的导数当时或，时，函数为减函数；当，时，函数为增函数因此函数的最大值为时或时的函数值，结合，可得的最大值为由此可得的最大值为而不是，故不正确；对于，因为，所以是奇函数因为，所以为函数的一个周期，得为周期函数可得既是奇函数，又是周期函数，得正确综上所述，只有项不正确故选：8解：（1）由于的周期是，所以，所以令，故或，整理得或故解集为或，（2）由于，所以所以由于，所以，故，故所以函数的值域为9解：（）由题意可知，由，可解得：，；由，可解得：，；所以的单调递增区间是，；单调递减区间是：，；（）由，可得，由题意知为锐角，所以，由余弦定理，可得：，即，且当时等号成立因此，所以面积的最大值为
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