1、专题8 分式方程一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1（2021春永嘉县校级期末）分式方程2x+5=1x-2的解是（）Ax9Bx7Cx5Dx12（2021春海曙区校级月考）使得分式xx-3+23-x-2的值为零时，x的值是（）Ax4Bx4Cx4或x4D以上都不对3（2019永康市二模）若代数式1x-2和32x+1的值相等，则x的值为（）Ax7Bx7Cx5Dx34（2021秋柯桥区月考）方程x2-1=2x的正数根的个数为（）A0B1C2D35（2021浙江模拟）已知关于x的方程x-1x-3=mx-3无解，则m的值为（）A4B3C2D16（2020西湖区校级开学）若关于x的分式方
2、程mxx-3-2=2mx-3无解，则m的值为（）A0B2C0或2D无法确定7（2021春奉化区校级期末）用换元法解分式方程xx2+1-x2+1x+10时，如果设xx2+1=y，那么原方程可以变形为整式方程（）Ay23y10By2+3y10Cy2y10Dy2+y108（2022春婺城区期末）某校组织七年级同学乘坐大巴到金华万福塔开展社会实践活动该塔距离学校5千米1号车出发4分钟后，2号车才出发，结果两车同时到达已知2号车的平均速度是1号车的平均速度的1.5倍，求2号车的平均速度设1号车的平均速度为xkm/h，可列方程为（）A5x-51.5x=4B51.5x-5x=4C5x-51.5x=460D5
3、1.5x-5x=4609（2022椒江区二模）北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”引爆购买潮，导致“一墩难求”某工厂承接了60万只冰墩墩的生产任务，实际每天的生产效率比原计划提高了25%，提前10天完成任务设原计划每天生产x万只冰墩墩，则下面所列方程正确的是（）A60x-60(1+25%)x=10B60(1+25%)x-60x=10C60(1+25%)x-60x=10D60x-60(1+25%)x=1010（2020秋义乌市期末）某班“数学兴趣小组”探究出了有关函数y|12x+3-2|（图象如图）的三个结论：方程|12x+3-2|0有1个实数根，该方程的根是x3；如果方程|12x+3-2|a只有一个实数
4、根，则a的取值范围是a2或a0；如果方程|12x+3-2|a有2个实数根，则a的取值范围是0a2或a2你认为正确的结论个数有（）A3B2C1D0二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在横线上11（2022北仑区一模）方程2xx-1-41-x=1的解为 12（2022椒江区校级开学）若关于x的分式方程1x+1=3kx无解，则k的值为 13（2022春诸暨市期末）若关于x的分式方程xx-3+a3-x=-1有增根，则a 14（2022春兰溪市月考）对于实数a，b定义一种新运算“”为ab=1a2-b，这里等式右边是实数运算例如13=112-3=11-3=-12，则方程（3）
5、x=1x-9-2的解是 15（2021春上城区期末）2020年某企业生产医用口罩，为扩大产量，添置了甲、乙两条生产线甲生产线每天生产口罩的数量是乙生产线每天生产口罩数量的2倍，两生产线各加工6000箱口罩，甲生产线比乙生产线少用5天则甲、乙两生产线每天共生产的口罩箱数为 16（2022嘉兴二模）某班同学到距学校12千米的森林公园植树，一部分同学骑自行车先行，半小时后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车速度的3倍，求自行车和汽车的速度设自行车的速度为x千米/时，则根据题意可列方程为 三、解答题（本大题共7小题，共66分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（20
6、22江北区模拟）（1）分解因式：3x312x2y+12xy2；（2）解方程x-22x-1+1=32-4x18（2022柯城区校级三模）对于分式方程2-xx-3+3=23-x，牛牛的解法如下：解：方程两边同乘（x3），得2x+32（x3）去括号，得2x+32x+6解得x1原方程的解为x1（1）上述解答过程中错误的是 （填序号）（2）请写出正确的解答过程19（2020富阳区一模）若关于x的分式方程m-3x-1=1的解为x2，求m的值，20（2022春西湖区校级期末）已知，关于x的分式方程（1）当a2，b1时，求分式方程a2x+3-b-xx-5=1的解；（2）当a1时，求b为何值时分式方程a2x+3
7、-b-xx-5=1无解；（3）若a3b，且a，b为正整数，当分式方程a2x+3-b-xx-5=1的解为整数时，求b的值21（2022春宁波期末）我们把形如x+abx=a+b（a，b不为零），且两个解分别为x1a，x2b的方程称为“十字分式方程”例如x+3x=4为十字分式方程，可化为x+13x=1+3，x11，x23再如x+8x=-6为十字分式方程，可化为x+(-2)(-4)x=（2）+（4），x12，x24应用上面的结论解答下列问题：（1）若x+6x=-5为十字分式方程，则x1 ，x2 （2）若十字分式方程x-5x=-2的两个解分别为x1m，x2n，求nm+mn的值（3）若关于x的十字分式方程
8、x-2k2+3kx-2=-k1的两个解分别为x1，x2（k0，x1x2），求x1-2x2+1的值22（2021秋温岭市期末）杭绍台高铁开通后，相比原有的“杭甬甬台”铁路，全程平均速度提高了50%，温岭站到杭州东站的里程缩短了50km行车时间减少了50分钟测得杭绍台高铁从温岭站到杭州东站全程共skm（1）求杭绍台铁路的平均速度（用含s的式子表示）；（2）因设计原因，列车在杭甬线的平均速度与在杭绍台的平均速度相同，杭甬线与甬台线的线路里程之比为4：5，求列车在甬台线的平均速度23（2022乐清市一模）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”万众瞩目，硅胶是生产“冰墩墩”外壳的主要原材料某硅胶制品有限公
9、司的两个车间负责生产“冰墩墩”硅胶外壳，已知每天生产的硅胶外壳数量甲车间是乙车间的两倍，甲车间生产8000个所用的时间比乙车间生产2000个所用的时间多一天（1）求出甲、乙两车间每天生产硅胶外壳个数（2）现有如下表所示的A，B两种型号硅胶外壳，该公司现有378千克的原材料用于生产外壳，并恰好全部用完型号所需原材料冰墩墩单价A99克198元B90克192元若生产的A，B两种型号的外壳共4000个，求出A，B两种型号的外壳个数若生产的A，B两种型号的外壳若干个用于销售，且A型号的数量大于B型号的数量，则A型号外壳为多少个时，冰墩墩的销售金额最大求出最大销售金额专题8 分式方程一、选择题（本大题共1
10、0小题，每小题3分，共30分） 1（2021春永嘉县校级期末）分式方程2x+5=1x-2的解是（）Ax9Bx7Cx5Dx1【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解【解析】去分母得：2（x2）x+5，去括号得：2x4x+5，解得：x9，经检验x9是分式方程的解故选：A2（2021春海曙区校级月考）使得分式xx-3+23-x-2的值为零时，x的值是（）Ax4Bx4Cx4或x4D以上都不对【分析】根据题意列出分式方程，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解【解析】根据题意列得：xx-3+23-x-20，去分母得
11、：x22（x3）0，去括号得：x22x+60，解得：x4，经检验x4是分式方程的解故选：A3（2019永康市二模）若代数式1x-2和32x+1的值相等，则x的值为（）Ax7Bx7Cx5Dx3【分析】根据题意列出分式方程，求出分式方程的解得到x的值即可【解析】根据题意得：1x-2=32x+1，去分母得：3x62x+1，解得：x7，经检验x7是分式方程的解故选：B4（2021秋柯桥区月考）方程x2-1=2x的正数根的个数为（）A0B1C2D3【分析】方程x2-1=2x的解，可以理解为：二次函数yx21与反比例函数y=2x的图象交点的横坐标【解析】画出函数二次函数yx21与反比例函数y=2x的图象如
12、图所示，由图象可知，这两个函数只在第一象限有一个交点即方程x2-1=2x的正数根的个数为1故选：B5（2021浙江模拟）已知关于x的方程x-1x-3=mx-3无解，则m的值为（）A4B3C2D1【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到x30，求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值【解析】去分母得：x1m，即x1+m，分式方程无解，x30，即x3，把x3代入整式方程得：1+m3，解得：m2，故选：C6（2020西湖区校级开学）若关于x的分式方程mxx-3-2=2mx-3无解，则m的值为（）A0B2C0或2D无法确定【分析】首先由方程两边同乘（x3），得：mx2（x3）2m，又
13、由关于x的分式方程mxx-3-2=2mx-3无解，即可得：x30，继而求得m的值【解析】方程两边同时乘（x3）得：mx2（x3）2m，解得：x=2m-6m-2，关于x的分式方程mxx-3-2=2mx-3无解，x30或m20，即x3或m2，2m-6m-2=3或m2，解得：m0或2故选：C7（2021春奉化区校级期末）用换元法解分式方程xx2+1-x2+1x+10时，如果设xx2+1=y，那么原方程可以变形为整式方程（）Ay23y10By2+3y10Cy2y10Dy2+y10【分析】根据换元法，把xx2+1换成y，然后整理即可得解【解析】xx2+1=y，原方程化为y-1y+10整理得：y2+y10
14、故选：D8（2022春婺城区期末）某校组织七年级同学乘坐大巴到金华万福塔开展社会实践活动该塔距离学校5千米1号车出发4分钟后，2号车才出发，结果两车同时到达已知2号车的平均速度是1号车的平均速度的1.5倍，求2号车的平均速度设1号车的平均速度为xkm/h，可列方程为（）A5x-51.5x=4B51.5x-5x=4C5x-51.5x=460D51.5x-5x=460【分析】由两车速度间的关系可得出2号车的平均速度为1.5xkm/h，利用时间路程速度，结合2号车比1号车少用4分钟，即可得出关于x的分式方程，此题得解【解析】2号车的平均速度是1号车的平均速度的1.5倍，1号车的平均速度为xkm/h，
15、2号车的平均速度为1.5xkm/h依题意得：5x-51.5x=460故选：C9（2022椒江区二模）北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”引爆购买潮，导致“一墩难求”某工厂承接了60万只冰墩墩的生产任务，实际每天的生产效率比原计划提高了25%，提前10天完成任务设原计划每天生产x万只冰墩墩，则下面所列方程正确的是（）A60x-60(1+25%)x=10B60(1+25%)x-60x=10C60(1+25%)x-60x=10D60x-60(1+25%)x=10【分析】根据实际及原计划工作效率之间的关系，可得出实际每天生产（1+25%）x万只冰墩墩，利用工作时间工作总量工作效率，结合实际比原计划提前10天完成
16、任务，即可得出关于x的分式方程，此题得解【解析】实际每天的生产效率比原计划提高了25%，且原计划每天生产x万只冰墩墩，实际每天生产（1+25%）x万只冰墩墩依题意得：60x-60(1+25%)x=10故选：D10（2020秋义乌市期末）某班“数学兴趣小组”探究出了有关函数y|12x+3-2|（图象如图）的三个结论：方程|12x+3-2|0有1个实数根，该方程的根是x3；如果方程|12x+3-2|a只有一个实数根，则a的取值范围是a2或a0；如果方程|12x+3-2|a有2个实数根，则a的取值范围是0a2或a2你认为正确的结论个数有（）A3B2C1D0【分析】观察图象，数形结合解可得到答案【解析
17、】由图象可知，函数y|12x+3-2|的图象与x轴只有一个交点（3，0），故方程|12x+3-2|0有1个实数根，该方程的根是x3，正确；由知a0时，如果方程|12x+3-2|a只有一个实数根x3，12x+30，12x+3-22，即12x+3-22无解，|12x+3-2|2的解即是12x+3-22的解x0，如果方程|12x+3-2|a只有一个实数根，则a的取值范围是a2或a0，故正确；观察图象可知x轴下方没有图象，即a0时，|12x+3-2|a无解，而由知方程|12x+3-2|a只有一个实数根，a2或a0，即方程|12x+3-2|a有2个实数根，则a的取值范围是0a2或a2，故正确；正确的由，
18、故选：A二填空题（共6小题）11（2022北仑区一模）方程2xx-1-41-x=1的解为 x5【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解【解析】去分母得：2x+4x1，解得：x5，检验：把x5代入得：x10，分式方程的解为x5故答案为：x512（2022椒江区校级开学）若关于x的分式方程1x+1=3kx无解，则k的值为 13或0【分析】分两种情况，整式方程无解，分式方程产生增根无解【解析】1x+1=3kx，x3k（x+1），（13k）x3k，分两种情况：当13k0时，k=13，当x（x+1）0，x0或1，当x0时，代入x3k（x+1）中可得：0
19、3k，k0，当x1时，代入x3k（x+1）中可得：k的值不存在，综上所述：k的值为：13或0，故答案为：13或013（2022春诸暨市期末）若关于x的分式方程xx-3+a3-x=-1有增根，则a3【分析】根据分式方程有增根求出x3，然后把x3代入整式方程中进行计算即可解答【解析】由题意得：x30，x3，xx-3+a3-x=-1，xa（x3），把x3代入xa（x3）中得：3a（33），a3，故答案为：314（2022春兰溪市月考）对于实数a，b定义一种新运算“”为ab=1a2-b，这里等式右边是实数运算例如13=112-3=11-3=-12，则方程（3）x=1x-9-2的解是 x10【分析】根据
20、题意列分式方程，再去分母转化为整式方程求解，最后检验即可【解析】根据题意得：（3）x=1(-3)2-x，又（3）x=1x-9-2，1(-3)2-x=1x-9-2，去分母得：112（9x），解得：x10检验：当x10时，9x0，x10是原分式方程的解故答案为：x1015（2021春上城区期末）2020年某企业生产医用口罩，为扩大产量，添置了甲、乙两条生产线甲生产线每天生产口罩的数量是乙生产线每天生产口罩数量的2倍，两生产线各加工6000箱口罩，甲生产线比乙生产线少用5天则甲、乙两生产线每天共生产的口罩箱数为 1800【分析】设乙生产线每天生产x箱口罩，则甲生产线每天生产2x箱口罩，根据工作时间工
21、作总量工作效率结合两生产线各加工6000箱口罩时甲生产线比乙生产线少用5天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论【解析】设乙生产线每天生产x箱口罩，则甲生产线每天生产2x箱口罩，依题意，得：6000x-60002x=5，解得：x600，经检验，x600是原分式方程的解，且符合题意，2x1200600+12001800（箱），答：甲、乙两生产线每天共生产的口罩箱数为1800，故答案为：180016（2022嘉兴二模）某班同学到距学校12千米的森林公园植树，一部分同学骑自行车先行，半小时后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车速度的3倍，求自行车和汽车的速度设
22、自行车的速度为x千米/时，则根据题意可列方程为 123x=12x-12【分析】设自行车的速度是x千米/时，则汽车的速度是3x千米/时，根据某班同学到距离学校12千米的森林公园植树，一部分同学骑自行车先行，半小时后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达可列方程【解析】设自行车的速度是x千米/时，则汽车的速度是3x千米/时，根据题意，得123x=12x-12，故答案为：123x=12x-12三解答题（共7小题）17（2022江北区模拟）（1）分解因式：3x312x2y+12xy2；（2）解方程x-22x-1+1=32-4x【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；（2）分式方程去分
23、母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解【解析】（1）原式3x（x24xy+4y2）3x（x2y）2；（2）去分母得：2x4+4x23，解得：x=12，检验：把x=12代入得：2（2x1）0，x=12是增根，分式方程无解18（2022柯城区校级三模）对于分式方程2-xx-3+3=23-x，牛牛的解法如下：解：方程两边同乘（x3），得2x+32（x3）去括号，得2x+32x+6解得x1原方程的解为x1（1）上述解答过程中错误的是 （填序号）（2）请写出正确的解答过程【分析】（1）观察解方程的步骤，找出出错的即可；（2）写出正确的解答过程即可【解析】（1）上述解答过
24、程中第一步错误的是；故答案为：；（2）方程两边同乘（x3）得：2x+3（x3）2，去括号得：2x+3x92，移项合并得：2x5，解得：x=52，检验：把x=52代入得：x30，分式方程的解为x=5219（2020富阳区一模）若关于x的分式方程m-3x-1=1的解为x2，求m的值，【分析】方程两边都乘以x1得到整式方程，解之求得xm2，结合x2求解可得【解析】方程两边都乘以x1，得：m3x1，解得xm2，x2，m22，解得m420（2022春西湖区校级期末）已知，关于x的分式方程（1）当a2，b1时，求分式方程a2x+3-b-xx-5=1的解；（2）当a1时，求b为何值时分式方程a2x+3-b-
25、xx-5=1无解；（3）若a3b，且a，b为正整数，当分式方程a2x+3-b-xx-5=1的解为整数时，求b的值【分析】（1）把a与b的值代入方程计算即可求出解；（2）把a1代入方程表示出分式方程的解，由分式方程无解求出x的值，即可求出b的值；（3）表示出分式方程的解，把a3b代入，根据分式方程解为整数确定出b的值即可【解析】（1）把a2，b1代入方程得：22x+3-1-xx-5=1，去分母得：2（x5）（2x+3）（1x）（2x+3）（x5），整理得：2x10+2x2+x32x27x15，移项合并得：10x2，解得：x=-15，检验：把x=-15代入得：（2x+3）（x5）0，分式方程的解为
26、x=-15；（2）把a1代入方程得：12x+3-b-xx-5=1，去分母得：x5（bx）（2x+3）（2x+3）（x5），整理得：x5+2x2+（32b）x3b2x27x15，即（112b）x3b10，当112b0，即b5.5时，整式方程无解；分式方程无解，（2x+3）（x5）0，即x=-32或x5，当x=-32时，-32（112b）3b10，此时b无解；当x5时，5（112b）3b10，此时b5，则b5或5.5；（3）把a3b代入方程得：3b2x+3-b-xx-5=1，去分母得：3b（x5）（2x+3）（bx）（2x+3）（x5），整理得：3bx15b+2x2+（32b）x3b2x27x15
27、，即（b+10）x18b15，解得：x=18b-15b+10=18(b+10)-195b+10=18-195b+10，分式方程的解为整数，且x5，b+101，b+1015，b+1013，b+105，b+1039，b+10195，解得：b9或11或5或25或3或23或5或15或29或49或185或205，b为正整数，b5或3或29或18521（2022春宁波期末）我们把形如x+abx=a+b（a，b不为零），且两个解分别为x1a，x2b的方程称为“十字分式方程”例如x+3x=4为十字分式方程，可化为x+13x=1+3，x11，x23再如x+8x=-6为十字分式方程，可化为x+(-2)(-4)x=
28、（2）+（4），x12，x24应用上面的结论解答下列问题：（1）若x+6x=-5为十字分式方程，则x12，x23（2）若十字分式方程x-5x=-2的两个解分别为x1m，x2n，求nm+mn的值（3）若关于x的十字分式方程x-2k2+3kx-2=-k1的两个解分别为x1，x2（k0，x1x2），求x1-2x2+1的值【分析】（1）类比题目中“十字方程”的答题方法即可求解（2）结合运用“十字方程”并代数运算即可求解（3）善于观察并分析方程，代入运算即可求解【解析】（1）x+6x=-5可化为x+(-2)(-3)x=（2）+（3），x12，x23（2）由已知得mn5，m+n2，nm+mn=m2+n2m
29、n =(m+n)2-2mnmn =4+10-5 =-145（3）原方程变为x2-2k2+3kx-2=-k3，x2+k(-2k-3)x-2=k+（2k3）x12k，x222k3，x1-2x2+1=k-2k=-1222（2021秋温岭市期末）杭绍台高铁开通后，相比原有的“杭甬甬台”铁路，全程平均速度提高了50%，温岭站到杭州东站的里程缩短了50km行车时间减少了50分钟测得杭绍台高铁从温岭站到杭州东站全程共skm（1）求杭绍台铁路的平均速度（用含s的式子表示）；（2）因设计原因，列车在杭甬线的平均速度与在杭绍台的平均速度相同，杭甬线与甬台线的线路里程之比为4：5，求列车在甬台线的平均速度【分析】（
30、1）设杭绍台铁路的平均速度为v，则“杭甬甬台”铁路的速度为v1.5，根据行驶时间减少50分钟，列方程求解即可；（2）设杭甬线与甬台线的线路分别为4x和5x，列车在杭甬线的平均速度与在杭绍台的平均速度都为v，列车在甬台线的平均速度为v，根据题意列方程求出v和v的关系，进而求出v即可【解析】（1）设杭绍台铁路的平均速度为v，则“杭甬甬台”铁路的速度为v1.5，50分钟=56时，根据题意列方程得s+50v1.5-sv=56，解得v90+35s，杭绍台铁路的平均速度为（90+35s）千米/时；（2）设杭甬线与甬台线的线路分别为4x和5x，列车在杭甬线的平均速度与在杭绍台的平均速度都为v，列车在甬台线的
31、平均速度为v，根据题意列方程得4x+5xv1.5=4xv+5xv，解得v=1019v，由（1）知v=1019（90+35s）=90019+619s，列车在甬台线的平均速度为（90019+619s）千米/时23（2022乐清市一模）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”万众瞩目，硅胶是生产“冰墩墩”外壳的主要原材料某硅胶制品有限公司的两个车间负责生产“冰墩墩”硅胶外壳，已知每天生产的硅胶外壳数量甲车间是乙车间的两倍，甲车间生产8000个所用的时间比乙车间生产2000个所用的时间多一天（1）求出甲、乙两车间每天生产硅胶外壳个数（2）现有如下表所示的A，B两种型号硅胶外壳，该公司现有378千克的原材料
32、用于生产外壳，并恰好全部用完型号所需原材料冰墩墩单价A99克198元B90克192元若生产的A，B两种型号的外壳共4000个，求出A，B两种型号的外壳个数若生产的A，B两种型号的外壳若干个用于销售，且A型号的数量大于B型号的数量，则A型号外壳为多少个时，冰墩墩的销售金额最大求出最大销售金额【分析】（1）设乙车间每天生产硅胶外壳的个数为m个，则甲车间每天生产硅胶外壳的个数为2m个，由题意：甲车间生产8000个所用的时间比乙车间生产2000个所用的时间多一天列出分式方程，解方程即可；（2）设生产A型号外壳x个，B型号外壳y个，由题意：生产的A，B两种型号的外壳共4000个，该公司现有378千克的原
33、材料用于生产外壳，并恰好全部用完列出二元一次方程组，解方程组即可；设生产A型号外壳x个，B型号外壳y个，销售金额为w元，由题意得：99x+90y378000，则y42001.1x，再由题意得x42001.1x，解得x2000，然后求出w198x+192（42001.1x）13.2x+806400，结合一次函数的性质即可得出结论【解答】（1）解：设乙车间每天生产硅胶外壳的个数为m个，则甲车间每天生产硅胶外壳的个数为2m个，由题意得：80002m=2000m+1，解得：m2000，经检验，m2000是原方程的解，且符合题意，则2m2200040000，答：甲车间每天生产硅胶外壳的个数为4000个，
34、乙车间每天生产硅胶外壳的个数为2000个；（2）设生产A型号外壳x个，B型号外壳y个，由题意得：x+y=400099x+90y=378000，解得：x=2000y=2000，答：生产A型号外壳2000个，B型号外壳2000个；设生产A型号外壳x个，B型号外壳y个，销售金额为w元，由题意得：99x+90y378000，y42001.1x，xy，x42001.1x，解得：x2000，由题意得：w198x+192（42001.1x）13.2x+806400，k13.20，w随x的减小而增大，x，y都是正整数，x是10的倍数，则x的最小值为2010，当x2010时，w有最大值，最大值为：13.22010+806400779868元，答：A型号外壳为2010个时，冰墩墩的销售金额最大最大销售金额为779868元
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