1、第4讲 函数的性质：单调性、对称性、奇偶性、周期性【典型例题】例1（2022秋湖州期末）设函数，且，则函数的奇偶性A与无关，且与无关B与有关，且与有关C与有关，且与无关D与无关，且与有关例2（2022山东模拟）已知函数有唯一零点，则实数A1BC2D例3（2022春雨花区校级期中）已知是定义域为的偶函数，（1），若是偶函数，则ABC2D3例4（2022秋新乡期末）已知函数，记（2）（3）（4），则AB9C10D例5（2022秋道里区校级期中）定义在上的函数满足，且当，时，则方程在，上所有根的和为A0B8C16D32例6（2022龙岩模拟）已知函数为奇函数，为偶函数，且（6），则 例7（2022春
2、岑溪市期中）已知函数的定义域为，图象恒过点，对任意，当时，都有，则不等式的解集为 【同步练习】1已知函数是上的单调函数，则实数的取值范围是AB，C，D，2（2022秋杭州期末）设函数，则A对任意，函数是奇函数B存在，使函数是偶函数C对任意，函数的图象是中心对称图形D存在，使函数的图象是轴对称图形3定义域为的偶函数，满足设，若是偶函数，则ABC2021D20224（2022秋崂山区校级期末）已知函数的定义域为，图象恒过点，对任意，都有则不等式的解集为ABC，D5（2022南京模拟）已知定义在的上函数满足下列条件：函数为偶函数，存在，在，上为单调函数则函数可以是ABCD6（2022秋湖北期末）已知
3、函数，则A2019B2021C2020D20227（多选题）（2022秋金华期末）已知，都是定义在上的函数，其中是奇函数，为偶函数，且，则下列说法正确的是A为偶函数BC为定值D8（多选题）（2022秋宾县校级月考）关于函数，下列命题中真命题有A的定义域为，B为奇函数C在定义域上是增函数D对任意，都有9（多选题）（2022淄博三模）已知定义在上的偶函数，满足，则下列结论正确的是A的图像关于对称BC若函数在区间，上单调递增，则在区间，上单调递增D若函数在区间上的解析式为，则在区间上的解析式为10（多选题）（2022秋泰州期末）已知函数，下列说法正确的是A函数是奇函数B函数的值域为，C函数是周期为的
4、周期函数D函数在，上单调递减11（2022河西区二模）已知函数满足对任意，都有成立，则的取值范围是12（2022秋赣榆区校级期末）已知函数在定义域上是单调函数若对任意都有，则（4）13（2022秋儋州校级月考）是定义在上的奇函数且对任意实数，恒有当，时则（1）（2）14（2022秋瑶海区校级期末）已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且满足，则的值为：若函数有唯一零点，则实数的值为15（2022秋邯郸期末）已知，为常实数），若，则（5）16已知是定义在上的增函数，当时，有，则（1）（2）17（2022秋雅安期末）若，则18（2022吉林模拟）已知函数，则19（2022烟台三模）若为奇函数，
5、则的表达式可以为20（2022秋鹿城区校级月考）已知函数，则第4讲 函数的性质：单调性、对称性、奇偶性、周期性【典型例题】例1（2022秋湖州期末）设函数，且，则函数的奇偶性A与无关，且与无关B与有关，且与有关C与有关，且与无关D与无关，且与有关【解析】解：根据题意，必有，即，变形可得，当时，式变形可得，解可得，即函数的定义域为，此时，为奇函数，当时，式的解集不关于原点对称，函数为非奇非偶函数，故函数的奇偶性与无关，与有关，故选：例2（2022山东模拟）已知函数有唯一零点，则实数A1BC2D【解析】解：因为，定义域为，即，因此，函数的图像关于对称要使有唯一零点，则，即，所以，因此实数的值为故选
6、：例3（2022春雨花区校级期中）已知是定义域为的偶函数，（1），若是偶函数，则ABC2D3【解析】解：是定义域为的偶函数，可得，若是偶函数，则，即，即有，即有，则，可得的最小正周期为4，则故选：例4（2022秋新乡期末）已知函数，记（2）（3）（4），则AB9C10D【解析】解：函数，（2）（3）（4），故选：例5（2022秋道里区校级期中）定义在上的函数满足，且当，时，则方程在，上所有根的和为A0B8C16D32【解析】函数满足，则是以为周期的周期函数；，则的图象关于直线对称；由，有则的图象关于点成中心对称；又函数 的图象关于点成中心对称；方程在，上所有根关于对称；又当，时 ，则与的图象在
7、，为：如图，在时，方程有4个是实根；所以由对称性可知方程的根有8个，组成4对，每组之和均为4；故选：例6（2022龙岩模拟）已知函数为奇函数，为偶函数，且（6），则【解析】解：根据题意，函数为奇函数，则函数的图象关于点对称，则有，为偶函数，则函数的图象关于直线对称，则有，故有，即，变形可得，即函数是周期为12的周期函数，（6），变形有（6），则有（6），（6）；故答案为：例7（2022春岑溪市期中）已知函数的定义域为，图象恒过点，对任意，当时，都有，则不等式的解集为 【解析】解：当时，都有，不妨设，则，令，则函数在上单调递增，解得，则不等式，解得，不等式的解集为故答案为：【同步练习】1（202
8、2秋芜湖期末）已知函数是上的单调函数，则实数的取值范围是AB，C，D，【解析】解：使是上的单调函数，则只能是增函数，当时，为增函数，则，此时，当时，为增函数，则，且，得，综上，故选：2（2022秋杭州期末）设函数，则A对任意，函数是奇函数B存在，使函数是偶函数C对任意，函数的图象是中心对称图形D存在，使函数的图象是轴对称图形【解析】解：设，则，则是奇函数，图象关于原点对称，将沿着轴平移个单位，沿着轴平移个单位，得到，此时关于对称，即是中心对称图形，故选：3定义域为的偶函数，满足设，若是偶函数，则ABC2021D2022【解析】解：根据题意，因为，而是偶函数，所以是偶函数，即，必有，变形可得：，
9、因为是定义域为的偶函数，所以，所以，所以是周期为4的周期函数，故（2），故，故选：4（2022秋崂山区校级期末）已知函数的定义域为，图象恒过点，对任意，都有则不等式的解集为ABC，D【解析】解：由题意可得（1），对任意，都有，则即，令，则可得在单调递增，且（1），由可得，（1），故，解可得，故选：5（2022南京模拟）已知定义在的上函数满足下列条件：函数为偶函数，存在，在，上为单调函数则函数可以是ABCD【解析】解：对于，定义域为，非奇非偶，错误；对于，定义域为，由得，即对任意的正整数，都是的零点，显然不能满足条件，错误；对于，必有，则且，即定义域为且；，则函数为偶函数，满足条件，设，其导数，
10、由得，令，当时，即在上为增函数，而，在上为减函数，因此在上为减函数，即存在，在，上为减函数，满足条件，正确；对于，定义域为，即为奇函数，错误；故选：6（2022秋湖北期末）已知函数，则A2019B2021C2020D2022【解析】解：根据题意，函数，则，则有，故（1），故选：7（多选题）（2022秋金华期末）已知，都是定义在上的函数，其中是奇函数，为偶函数，且，则下列说法正确的是A为偶函数BC为定值D【解析】解：根据题意，则，又由是奇函数，为偶函数，则，联立可得：，依次分析选项：对于，对于，其定义域为，有，故是偶函数，正确；对于，错误；对于，正确；对于，当时，此时，当时，此时，故，正确；故选
11、：8（多选题）（2022秋宾县校级月考）关于函数，下列命题中真命题有A的定义域为，B为奇函数C在定义域上是增函数D对任意，都有【解析】解：函数，其定义域满足：，解得：，定义域为不对由，是奇函数，对定义域为函数在定义内是减函数，根据复合函数的单调性，同增异减，在定义域上是减函数；不对对故选：9（多选题）（2022淄博三模）已知定义在上的偶函数，满足，则下列结论正确的是A的图像关于对称BC若函数在区间，上单调递增，则在区间，上单调递增D若函数在区间上的解析式为，则在区间上的解析式为【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于，函数满足，则的图像关于点对称，错误；对于，是偶函数且满足，则有，即，同时有，
12、则有，正确；对于，函数在区间，上单调递增，且的图像关于点对称，则在，上也是增函数，又由，则在区间，上单调递增，正确；对于，若，则，又由，则，错误；故选：10（多选题）（2022秋泰州期末）已知函数，下列说法正确的是A函数是奇函数B函数的值域为，C函数是周期为的周期函数D函数在，上单调递减【解析】解：对于函数，它的定义域为，由于，故为奇函数，故正确；，故，故正确；由于的周期为，故的周期为，故错误；在，上，单调递减，单调递增，故函数在，上单调递减，故正确，故选：11（2022河西区二模）已知函数满足对任意，都有成立，则的取值范围是，【解析】解：对任意，都有成立；与异号，即时，即时，；函数在上是减函
13、数；时，；时，又，；又，；的取值范围是故答案为：12（2022秋赣榆区校级期末）已知函数在定义域上是单调函数若对任意都有，则（4）3【解析】解：令，则对任意都有，解得故答案为：313（2022秋儋州校级月考）是定义在上的奇函数且对任意实数，恒有当，时则（1）（2）1【解析】解：对任意实数，恒有即函数是以 4为周期的周期函数当，时，（1），（2），而（3）（1）则（1）（2）（1）（2）（3）（1）故答案为：114（2022秋瑶海区校级期末）已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且满足，则的值为1：若函数有唯一零点，则实数的值为【解析】解：因为是定义在上的奇函数，所以有，因为，所以，所以，令
14、，因为是定义在上的偶函数，所以，所以是定义在上的偶函数，图象关于轴对称，所以，所以的图象关于对称，因为有唯一零点，所以，即，即，解得或故答案为：1，或15（2022秋邯郸期末）已知，为常实数），若，则（5）【解析】解：，又，则（5），故答案为：16已知是定义在上的增函数，当时，有，则（1）（2）5【解析】解：若（1），则（1）（1），与条件矛盾，故不成立；若（1），则（1）（3），进而（3）（3），与前式矛盾，故不成立；若（1），则（1），与单调递增矛盾（1）此时（1）（2），（1）（2），故答案为：517（2022秋雅安期末）若，则1010【解析】解：，故答案为：101018（2022吉林模拟）已知函数，则1010【解析】解：根据题意，函数，则，则有；故；故答案为：101019（2022烟台三模）若为奇函数，则的表达式可以为【解析】解：因为为奇函数，所以，所以，故为奇函数，故符合题意的（答案不唯一）故答案为：（答案不唯一）20（2022秋鹿城区校级月考）已知函数，则【解析】解：当，2，3，2019时，原式故答案为：.
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