1、第9讲 二次函数的双参数问题与整体加绝对值问题【典型例题】例1（2022秋湖州期末）设，若函数在区间上有两个不同的零点，则的取值范围是ABCD例2（2022上海）设、，若函数在区间上有两个不同的零点，则（1）的取值范围为例3（2022春下城区校级期中）设二次函数，在，上至少有一个零点，则的最小值为例4（2022浙江模拟）已知函数，对一切，都有，则当，时，的最大值为例5（2022浙江）设函数（）当时，求函数在，上的最小值（a）的表达式（）已知函数在，上存在零点，求的取值范围例6（2022衢州模拟）已知二次函数，（）当时，的解集与不等式的解集相同，求函数的解析式；（）若，恒成立，求的取值范围；（）
2、在（）条件下若，求证：当时，例7已知二次函数（1）若不等式的解集为，求不等式的解集；（2）若函数的图象与的图象没有公共点，求证：，都有；（3）若当时，都有，求证：当时，都有【同步练习】一选择题1（2022春宁波期末）已知关于的二次方程，在区间内有两个实根，若，则实数的最小值为A1BCD2（2022春濉溪县期末）用反证法证明命题“在函数中，（1），（2），（3）至少有一个不小于”时，假设正确的是A假设（1），（2），（3）至多有一个小于B假设（1），（2），（3）至多有两个小于C假设（1），（2），（3）都不小于D假设（1），（2），（3）都小于二填空题3（2022镇海区校级模拟）若函数在，上有
3、零点，则的最小值为4（2022秋金山区期末）关于的方程在，上有实根，则的最小值为5（2022春湖州期末）若关于的方程在区间，有实根，则最小值是6（2022秋沭阳县校级月考）已知函数，当，时，恒成立，则最小值为7（2022温州模拟）已知函数、在区间，上有零点，则的最大值是8（2022绍兴一模）已知，且，函数在，上至少存在一个零点，则的取值范围为 9（2022春宁波期末）已知函数在区间，上有零点，则的最大值是10（2022秋台州期末）关于的方程有实根，则的最小值为11（2022春沛县校级月考）若函数、在区间上有两个零点，则的取值范围是12已知关于的方程在，上有实根，且，则的最大值为 13（2022
4、杭州模拟）已知对任意实数，二次函数恒非负，且，则的最小值是三解答题14（2022秋绍兴期末）设函数（）若在区间，上的最大值为，求的取值范围；（）若在区间，上有零点，求的最小值15（2022秋天山区校级期中）已知函数（1）若关于的不等式的解集是，求实数，的值；（2）若，函数，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）若函数在区间上有两个零点，求（1）的取值范围16已知函数（1）若对任意的实数，都有，求的取值范围；（2）当，时，的最大值为，求的取值范围（3）已知，对于任意的，都有请用表示的取值范围17已知函数（1）（1）成立，求的取值范围；（2）若在区间上有两个零点，求证：18（2022秋嘉兴期末）已
5、知函数（）若函数在区间，上的最大值记为，求；（）若函数在区间，上存在零点，求的最小值19（1996全国）已知，函数，当时，求证：当时，20已知，、，当，时，（1）证明：（2），时，证明（3）设，当时，求21已知，是实数，函数，（1）证明：若无实根，则也无实根；（2）若当时，证明：；（3）设，在（2）的条件下，若的最大值为2，求22已知，的定义域为，（1）记（2）求出（1）中的的表达式23已知二次函数，当时，有，求证：时，有第9讲 二次函数的双参数问题与整体加绝对值问题【典型例题】例1（2022秋湖州期末）设，若函数在区间上有两个不同的零点，则的取值范围是ABCD【解析】解：函数函数在区间上有两
6、个不同的零点，即方程在区间上两个不相等的实根，如图画出数对所表示的区域，目标函数的最小值为过点时，的最大值为：过点时，的取值范围为故选：例2（2022上海）设、，若函数在区间上有两个不同的零点，则（1）的取值范围为【解析】解：函数在区间上有两个不同的零点，即方程在区间上两个不相等的实根，则有，（1），1（1）的取值范围为，故答案为：例3（2022春下城区校级期中）设二次函数，在，上至少有一个零点，则的最小值为【解析】解：把等式看成关于，的直线方程：，由于直线上一点到原点的距离大于等于原点到直线的距离，即，因为在，是减函数，上述式子在，时取等号，故的最小值为故答案为：例4（2022浙江模拟）已知
7、函数，对一切，都有，则当，时，的最大值为7【解析】解：由题意，有得所以（1）对一切，都有所以当时，当时，综上所述，当，时，的最大值为7例5（2022浙江）设函数（）当时，求函数在，上的最小值（a）的表达式（）已知函数在，上存在零点，求的取值范围【解析】解：（）当时，对称轴为，当时，函数在，上递减，则（a）（1）；当时，即有，则（a）；当时，函数在，上递增，则（a）综上可得，（a）；（）设，是方程的解，且，则，由于，由此，当时，由，由，得，所以；当时，由于和，所以，故的取值范围是，例6（2022衢州模拟）已知二次函数，（）当时，的解集与不等式的解集相同，求函数的解析式；（）若，恒成立，求的取值范
8、围；（）在（）条件下若，求证：当时，【解析】解：的解集是，的两根为2，3，解得：，；，（1），（1），又，（1），（1）（1），；，（1），由得，（1）（1）（1）（1），（1）（1）（1），（1），（1）（1）（1）是关于的一次函数，由一次函数的单调性得：当时，例7已知二次函数（1）若不等式的解集为，求不等式的解集；（2）若函数的图象与的图象没有公共点，求证：，都有；（3）若当时，都有，求证：当时，都有【解析】解：（1）根据条件知，3为方程的两实根；根据韦达定理，；，；代入得：，整理得：；解得，或；原不等式的解集为：；（2）证明：根据条件知，且当的对称轴为轴，即，且和相切时取到最大值；对称轴
9、，设，将代入得，该方程有二重根；和没有公共点；此时，函数；即；（3）证明：由已知条件知，且，（1），定义域为，；，；（2）；（2）；时，有【同步练习】一选择题1（2022春宁波期末）已知关于的二次方程，在区间内有两个实根，若，则实数的最小值为A1BCD【解析】解：设，当且仅当时取等号，实数的最小值为，故选：2（2022春濉溪县期末）用反证法证明命题“在函数中，（1），（2），（3）至少有一个不小于”时，假设正确的是A假设（1），（2），（3）至多有一个小于B假设（1），（2），（3）至多有两个小于C假设（1），（2），（3）都不小于D假设（1），（2），（3）都小于【解析】解：用反证法证明数学
10、命题时，应先假设要证的结论的反面成立，而“（1），（2），（3）至少有一个不小于”的否定为：（1），（2），（3）都小于，故选：二填空题3（2022镇海区校级模拟）若函数在，上有零点，则的最小值为【解析】解：函数在，上有零点，可得，即，且（1），即；或，（1），即，即有，当且仅当时，取得最小值，故答案为：4（2022秋金山区期末）关于的方程在，上有实根，则的最小值为2【解析】解：由，知，所以，因为，所以，当，时，等号成立，所以的最小值为2故答案为：25（2022春湖州期末）若关于的方程在区间，有实根，则最小值是【解析】解：由题意，将，看作关于，的直线方程，则表示点到的距离的平方，因为点到直线的
11、距离，又函数在，上递增，所以当时，所以最小值为故答案为：6（2022秋沭阳县校级月考）已知函数，当，时，恒成立，则最小值为【解析】解：方法一：由题意，成立，所以时，则问题等价于（1）或（2）或（3）（1），对应的区域如图所示，由图知，直线经过点时，取得最小值0；（2）对应的区域如图所示，由图知，直线经过点，时，取得最小值；（3），对应的区域如图所示，由图知，直线经过点，时，取得最小值；时，问题等价于，对应的区域如图所示，由图知，直线经过点时，取得最小值，综上，时，取得最小值方法二：由，得，令，则 或，因为当，时，恒成立，所以当时，；当时，所以，所以最小值为故答案为：7（2022温州模拟）已知函
12、数、在区间，上有零点，则的最大值是【解析】解：函数、在区间，上有零点，（1）若，即时，的零点为，即，当时，取得最大值0；（2）若，即，若函数、在区间，上有一个零点，则（1），即，的最大值是；若函数、在区间，上有两个零点，即显然，综上，的最大值为8（2022绍兴一模）已知，且，函数在，上至少存在一个零点，则的取值范围为 ，【解析】解：由题意，要使函数在区间，有零点，只要，或，其对应的平面区域如下图所示：则当，时，取最大值1，当，时，取最小值0，所以的取值范围为，；故答案为：，9（2022春宁波期末）已知函数在区间，上有零点，则的最大值是【解析】解：由得，（当且仅当即时取等号），令，则，在上单调递
13、增，在，上单调递减，在，上单调递增，又，（1），的最大值为的最大值为故答案为：10（2022秋台州期末）关于的方程有实根，则的最小值为【解析】解：设有实根即有实根，即方程至少有一根大于等于2或小于等于，令，设，则有：，由可得或且，有两根，分别为、，分析可得有或，化简得 其中，若 则可化为相等情况为则可设 其中则，分析可得时，的最小值为，故答案为：11（2022春沛县校级月考）若函数、在区间上有两个零点，则的取值范围是【解析】解：的两个零点为，不妨设为：，则又，（1）（1），而（1），即，故答案为：12已知关于的方程在，上有实根，且，则的最大值为 2【解析】解：设方程的根为，则，设，则，则，即的
14、最大值为2故答案为：213（2022杭州模拟）已知对任意实数，二次函数恒非负，且，则的最小值是3【解析】解：二次函数恒非负所以 且所以所以即时，取等号故答案为3三解答题14（2022秋绍兴期末）设函数（）若在区间，上的最大值为，求的取值范围；（）若在区间，上有零点，求的最小值【解析】解：（）因为的图象是开口向上的抛物线，所以在区间，上的最大值必是和（1）中较大者，而，所以只要（1），即，得（）设方程 的两根是，且，则，所以，当且仅当时取等号，设，则，由，得，因此，所以，此时，由知，所以当且时，取得最小值15（2022秋天山区校级期中）已知函数（1）若关于的不等式的解集是，求实数，的值；（2）若
15、，函数，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）若函数在区间上有两个零点，求（1）的取值范围【解析】解：（1）因为不等式的解集是，所以，为方程的两个根，所以由根与系数的关系可得，解得，（2）若，则，即，又由，当时，符合题意；当时，原不等式等价于，必有，设，在，上单调递增，则（2），设，有，当且仅当时等号成立，即，必有，即的取值范围为，（3）若函数在区间上有两个零点，则方程在区间上有两个不同的实根，所以，所以（1），所以，由（1），由（1）得（1），得（1），综上所述，（1）所以（1）的取值范围是（3）另解：由题意可设，则（1），因为，则，所以，即（1）的取值范围是16已知函数（1）若对任意的实数
16、，都有，求的取值范围；（2）当，时，的最大值为，求的取值范围（3）已知，对于任意的，都有请用表示的取值范围【解析】解：（1）根据条件，恒成立；恒成立；若，显然对任意都成立；若，；若，；的取值范围为：，；（2）根据条件：；，两式相加得；的取值范围为：，；（3）；的最小值为，最大值为（1）；对任意的，都有，即；的取值范围为：17已知函数（1）（1）成立，求的取值范围；（2）若在区间上有两个零点，求证：【解析】解：（1）（1），即，满足约束条件的可行域如下图所示：又表示动点到原点距离的平方，由图可知：当，时，取最小值，当，时，取最大值，故的取值范围为，证明：（2）的两个零点为，则又，（1）（1），而
17、（1），即18（2022秋嘉兴期末）已知函数（）若函数在区间，上的最大值记为，求；（）若函数在区间，上存在零点，求的最小值【解析】解：（）当，即时，（2），当，即，（1），所以，（）因为函数在区间，上存在零点，设方程的两根为，令，则，令，则令，在，上递增，时，取得最小值，此时，所以的最小值为19（1996全国）已知，函数，当时，求证：当时，【解析】证明：当时，令得，即当时，在，上是增函数，（1），又，（1）（1）（1），由此得；同理 当时，在，上是减函数，（1），又，（1）（1）（1），由此得；当时，（1）（1）综上得20例4已知，、，当，时，（1）证明：（2），时，证明（3）设，当时，求【解
18、析】证明：（1）由条件当时，取得，即（2）证法一：（利用函数的单调性）由（1）得当时，在，上是增函数，于是（1），（1）（1）（1），因此得；当时，在，上是减函数，于是（1），（1）（1）综合以上结果，当时，都有证法二：（利用绝对值不等式的性质），（1），因此，根据绝对值不等式性质得，函数的图象是一条直线，因此在，上的最大值只能在区间的端点或处取得，于是由得，解：（3），在，上是增函数，当时取得最大值2，即（1）（1）（1），因为当时，即，根据二次函数的性质，直线为的图象的对称轴，由此得，即由得，21已知，是实数，函数，（1）证明：若无实根，则也无实根；（2）若当时，证明：；（3）设，在（2）
19、的条件下，若的最大值为2，求【解析】解：（1）无实根，且，无实根，若，则函数的图象在轴上方，即恒成立，即：对任意实数恒成立对，有恒成立，无实根（2）设，而，当时，在，上为单调增函数，所以（1），（1）（1）（1），当时，在，上为单调减函数，所以（1），（1）（1），；（3），在，上为单调增函数，当时，函数取得最大值为2，即（1），（1），当时，直线是二次函数图象的对称轴，结合得，22已知，的定义域为，（1）记（2）求出（1）中的的表达式【解析】解：（1）（1），同号时取等号（2）若，均，则：，：代回：，：若，均，则：，：，无解综上：23已知二次函数，当时，有，求证：时，有【解析】证明：由已知条件知，且，（1），定义域为，；（2）（2），时，有
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