1、2019 届高三上学期第一次月考数学(文)试题第 I 卷(选择题)一、单选题1.已知集合 ,则 的子集个数为( )A. 2 B. 4 C. 7 D. 8【答案】D【解析】【分析】先求出集合 A,B,再求出 AB=0,1,2,由此能求出 AB 的子集个数【详解】集合 A=0,1,2,3,B=xR|0x2,AB=0,1,2,AB 的子集个数为 23=8故选:D【点睛】本题考查交集的子集个数的求法,考查交集、子集定义等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题若集合有 n 个元素,其子集有 2n 个,真子集有 2n-1 个,非空真子集有 2n-2 个.2.设 为向量,则“ ”是“ ”
2、( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】由向量数量积运算,求得向量的夹角,进而判断向量是否平行;根据向量平行,即夹角为 0,即可判断向量的数量积与模的乘积是否相等。【详解】根据向量数量积运算, 若 ,即 = 所以 =1,即 所以若 ,则 的夹角为 0,所以“所以“ ”是“ ”的充分必要条件所以选 C【点睛】本题考查了向量数量积的运算,充分必要条件的判定,属于基础题。3.已知集合 , , ,则 ( )A. 或 B. 或 C. 或 D. 或【答案】A【解析】【分析】根据集合并集运算与集合互异性原则,可求得 m 的值。【
3、详解】因为所以 m=3 或 = ,即 m=1(舍)或 m=0所以选 A【点睛】本题考查了集合的并集运算,集合互异性原则的应用,属于基础题。4.曲线 在点 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为( )A. 2 B. C. D. 1【答案】D【解析】由题 ,切线方程为 ,即 ,与坐标轴的交点为(0.2) 和(1,0)所以与坐标轴围成的三角形的面积为 ,故选 D.5.已知 ,则 ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据分段函数的定义域,可依次代入求得函数值。【详解】因为 ,所以 =因为 2,所以 = 所以选 C【点睛】本题考查了分段函数值的求解,关键是判断定义域的取值,属于基础题。
4、6.下列四个函数中,以 为最小正周期,且在区间 上单调递减函数的是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析:最小正周期为 的函数有 A、B 、D , 在 上有增有减, 在 是是增函数, 在 上是减函数故选 D考点:函数的周期性与单调性7.设 , 分别是定义在 上的奇函数和偶函数,当 时, ,且 ,则不等式 的解集是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】构造函数 F(x)=f(x)g(x) ,由题意可判断 F(x) 是 R 上的奇函数,且在(-, 0)上是增函数;从而解不等式即可【详解】构造函数 F(x)=f(x)g(x)因为当 时, ,即当 时 F(x)为单调
5、递增函数且 , 分别是定义在 上的奇函数和偶函数,所以 F(x)为奇函数 F(3)= =0所以 的解集是所以选 B【点睛】本题考查了导数与单调性的综合应用,通过结合构造函数法判断函数的单调区间并解不等式,属于中档题。8.在 中,内角 的对边分别为 ,若 的面积为 ,且 ,则 ( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用三角形面积公式表示出 ,再利用余弦定理表示出 ,变形后代入已知等式,进而求出 ,最后得出 的值【详解】 ,代入已知等式 可得:,故选【点睛】本题主要考查了余弦定理和同角三角函数间的基本关系,运用三角形面积公式代入化简,属于基础题9.若 ,设 , , ,则, ,的大
6、小关系为 ( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据定义域,分别判断 a、b、c 的大小即可。【详解】因为所以 所以选 D【点睛】本题考查了不等式大小比较,对数的化简应用,属于中档题。10.下列几个命题: 是不等式 的解集为 的充要条件;设函数 的定义域为 ,则函数 与 的图象关于 轴对称;若函数 为奇函数,则 ;已知 ,则 的最小值为 ;其中不正确的有( )A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个【答案】C【解析】【分析】利用二次函数的性质及充分必要条件的概念可判断正确;通过反例 y=sinx 可判断错误;根据奇函数性质 f(0)=0 可判断正确;由基本不等式
7、等号成立条件,可知错误。【详解】 是一元二次不等式 ax2+bx+c0 的解集为 R 的充要条件,所以正确;,如函数 y=sinx;因为 y=sinx 与 y=sin(-x)的定义域均为 R,但两个函数的图象关于 x 轴对称,故错误若函数 为奇函数,则当 x=0 时 =0,所以 正确,所以正确 ,此时 ,所以 不成立所以错误综上,正确个数为 2 个,所以选 C【点睛】本题综合考查了二次函数恒成立条件和充分必要性的判定,奇偶函数的性质及图像,基本不等式成立的条件等,综合性强,属于中档题。11.已知函数 是定义在 上的可导函数,且对于 ,均有 ,则有( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】
8、【分析】通过构造函数 ,研究 函数的单调性进而判断出大小关系。【详解】因为所以 0,即 构造函数 ,所以 ,即 在 R 上为单调递减函数所以 ,化简得同理 ,化简得所以选 D【点睛】本题考查了利用导数判断函数单调性并解不等式,属于难题。12.已知点 是曲线 上任意一点,记直线 ( 为坐标原点)的斜率为 ,则( )A. 存在点 使得 B. 对于任意点 都有C. 对于任意点 都有 D. 至少存在两个点 使得【答案】B【解析】分析:任取正实数 ,则直线 的斜率为 ,利用 的性质,逐一判定,即可求解.详解:任取正实数 ,则直线 的斜率为 ,因为 ,又由 成立,因为 和 中两个个等号成立条件不一样,所以
9、 恒成立,即 恒成立,排除 A;当 时, ,则 ,排除 C;对于 D 选项,至少存在两个点 使得 ,即 至少存在两解,即 至少有两解,又因为 恒成立,所以至多有一个解,排除 D,综上所述,选项 B 是正确的,故选 B.点睛:本题主要考查了函数性质的综合应用,以及直线的斜率公式,导数在函数中的应用,其中解答中根据题意构造函数 ,利用函数的单调性和最值求解是解答的关键,着重考查了转化思想和推理、论证能力.第 II 卷(非选择题)二、填空题13.已知命题 , ,命题 , 恒成立.若 为假命题,则实数 的取值范围为_【答案】【解析】分析:由题意首先确定 p,q 至少有一个是假命题,然后求解 m 的取值
10、范围即可.详解: 为假命题,则 p,q 至少有一个是假命题,若 p 为假命题,则 ,据此有: ;若 q 为假命题,则 ,据此有: ,解得: 或 ;据此可得:实数 的取值范围为 .点睛:本题主要考查逻辑连接词,由命题的真假确定参数的取值范围等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14.如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北的方向上,行驶 600m 后到达 B 处,测得此山顶在西偏北 的方向上,仰角为 ,则此山的高度 _ 【答案】【解析】【分析】先根据已知条件得 ,在 中利用正弦定理计算 ,再由 为等腰直角三角形,即可求出结果.【详解】由题意
11、可知 , , , 为等腰直角三角形,在 中, ,由正弦定理.故答案为 .【点睛】本题考查解三角形的实际应用,从实际问题中抽象出三角形是解决问题的关键.15.若函数 的定义域和值域都是 ,则实数 b=_.【答案】5【解析】函数 的对称轴方程为 ,所以函数 在1, a上为减函数,又函数在1,a 上的值域也为1,a ,则 ,即 ,由得:b=3a1,代入得: 3a+2=0,解得:a=1(舍),a=2.把 a=2 代入 b=3a1 得:b=5.故答案为 5.点睛:二次函数在闭区间上必有最大值和最小值,它只能在区间的端点或二次函数图象的顶点处取到;常见题型有:(1)轴固定区间也固定;(2)轴动(轴含参数)
12、 ,区间固定;(3)轴固定,区间动(区间含参数). 找最值的关键是:(1)图象的开口方向;(2)对称轴与区间的位置关系;(3)结合图象及单调性确定函数最值.16.已知函数 ,如果函数 恰有两个零点,那么实数 的取值范围为_【答案】【解析】【分析】通过讨论 m 的取值情况,分析零点的个数。【详解】若 m-2,则 f(x)在( -,m上无零点,在(m, +)上有 1 个零点 x=4,不符合题意;若-2m 0,则 f(x)在(-, m上有 1 个零点 x=-2,在(m, +)上有 1 个零点 x=4,符合题意;若 0m4,则 f(x)在(-,m上有 2 个零点 x=-2,x=0,在(m,+)上有 1
13、 个零点 x=4,不符合题意;若 m4,则 f(x)在(- ,m上有 2 个零点 x=-2,x=0,在(m,+)上无零点,符合题意;综上所述,-2m0 或 m4,即实数 的取值范围为【点睛】本题考查了分类讨论在解不等式中的应用,属于难题。三、解答题17.已知命题 曲线 1 与 轴没有交点;命题 函数 是减函数.若 或为真命题, 且 为假命题,则实数 的取值范围.【答案】【解析】【分析】通过复合命题真假,判断出 p 与 q 命题一真一假,进而求得 m 的取值范围。【详解】由 y= 1 与 x 轴没有交点,知 0, m ;由 q:f(x)=(52m)x 在 R 上是减函数,知 52m1,m2由题意
14、 p,q 一真一假,若 p 真 q 假, m 若 p 假 q 真,m综上所述,m 的取值范围为【点睛】本题考查了复合命题的综合应用,属于基础题。18.函数 的部分图象如图所示.(1)求 的最小正周期及解析式;(2)设函数 ,求 在区间 上的最小值.【答案】 (1) ;(2) .【解析】【分析】(1)根据图像,求出最小正周期;进而求得 的值;将最高点坐标代入,可求得 的值;进而求得三角函数表达式。(2)根据三角函数和角公式及倍角公式,结合辅助角公式求得 g(x)=sin ,再根据定义域求出最小值。【详解】(1)由图可得 A=1, ,所以 T=,因此 =2.当 x= 时,由 f(x)=1,可得 s
15、in =1,即 +=k+ ,kZ,又| ,所以 = ,故 f(x)=sin .(2)由(1)知 g(x)=f(x)-cos 2x=sin -cos 2x= sin 2x+ cos 2x-cos 2x= sin 2x- cos 2x=sin ,因为 x ,所以- 2x- ,故当 2x- =- ,即 x=0 时,函数 g(x)取最小值 .【点睛】本题考查了三角函数图像的简单应用,已知定义域求函数的最值,属于基础题。19.在 中,三个内角 所对的边分别为 ,且满足 (1)求角 的大小;(2)若 的面积为 ,求边的长【答案】 (1) ;(2) .【解析】【分析】(1)根据余弦定理,将表达式中余弦值化为
16、边,进而求得角 C。(2)根据三角形面积,求得 ab 的值;结合 a+b 的值与余弦定理,可求得 c。【详解】 由余弦定理可得:, ,又,又 ,.【点睛】本题考查了余弦定理的综合应用,三角形面积在解三角形中的应用,属于基础题。20.(1)已知 ,求 的解析式;(2)已知 是一次函数,且满足 ,求 的最小值.【答案】 (1) ;(2) .【解析】【分析】(1)利用换元法,求函数的解析式。(2)利用待定系数法,设出解析式,根据函数定义求得 g(x),进而求得最小值。【详解】(1)令 ,则 ,所以 ,故 .(2)设 ,则由 ,得 ,即 ,所以 ,解得 .所以 .从而 ,则 .【点睛】本题考查了换元法
17、、待定系数法求函数的解析式,求已知函数的最值,属于基础题。21.已知函数 ( 且 )是定义在 上的奇函数.(1)求的值;(2)求函数 的值域;(3)当 时, 恒成立, 求实数 的取值范围.【答案】(1) ;(2) ;(3) .【解析】【分析】(1)根据奇函数定义,代入求得 a 的值。(2)通过分离常数,得到 ,进而通过函数单调性求得值域。(3)通过分离参数,得到 ,进而利用换元法并结合基本不等式求得 m 的取值范围。【详解】(1) 是 上的奇函数, ,即 .整理可得 (注:本题也可由 解得 ,但要进行验证)(2)由(1)可得 ,函数 在 上单调递增,又 , , 函数 的值域为 (3)当 时,
18、由题意得 在 时恒成立, 在 时恒成立令 ,则有 ,当 时函数 为增函数, . .故实数 的取值范围为 【点睛】本题综合考查了函数的奇偶性与单调性,分离常数法与分离参数法在函数中的应用,基本不等式求最值,综合性强,属于难题。22.已知函数(1)若曲线 与 在公共点 处有相同的切线,求实数 的值;(2)若 ,且曲线 与 总存在公共的切线,求正数的最小值.【答案】(1) (2) 【解析】试题分析:(1)根据 可求得 (2)根据导数的几何意义可求得函数 在点 处的切线方程为 ,由 得 ,由两曲线总存在公切线可得有解,即关于的方程 有解,分离参数后转化为函数的最值问题求解即可试题解析:(1) , 依据题意得 ,即 ,解得 .(2)当 时, , ,设切点为 ,则 ,曲线 在点 处的切线方程为: ,即 由 消去 y 得 , 总存在公切线, 总有解,即关于的方程 总有解. , ,解得 ,方程 总有解令 ,则 ,则当 时, , 单调递减;当 时, , 单调递增 , ,解得 ,正数的最小值故 . 点睛:(1)对于一些复杂的问题,解题时要善于将问题转化 ,转化成能用熟知的导数研究的问题来处理 (2)求解不等式能成立(方程有解)问题时,可以考虑将参数分离出来,将参数范围问题转化为研究新函数的值域(或最值)的问题注意以下结论: 有解等价于的范围即为函数 的值域; 有解等价于 ; 有解等价于