1、专题26 图形的旋转、平移与对称一、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1（2022婺城区校级模拟）下列图形中，属于轴对称图形的是（）ABCD2（2022滨江区二模）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（3，4），将线段AB水平向右平移5个单位，则在此平移过程中，线段AB扫过的区域的面积为（）A2.5B5C10D153（2022镇海区校级二模）如图所示，在RtABC中，C90，AB，tanB，将ABC绕点C顺时针旋转至ABC的位置，且点B在AB上，AB交AC于点D，则ADC的面积为（）ABCD44（2022景宁县模拟）如图，在矩形ABCD中，AB5，AD4，
2、E是边CD上一动点，将ADE沿AE翻折得到AFE，连结BF，若E，F，B三点在同一条直线上，则DE的长度等于（）A1BCD25（2022常山县模拟）如图，点P是RtABC斜边AB上的动点，点D、E分别在AC、BC边上，连结PD、PE，若AC24，BC18，CD8，CE6，则当PD+PE取得最小值时AP的长是（）A18BCD6（2022衢州一模）如图，将矩形纸片ABCD沿EF、GN折叠，使点A和点C重合于点M，点D与点H重合，点B落在边AD上的点P处，且MN经过点P已知，FN10cm，则AB的长为（）AcmBcmCcmD9cm7（2022婺城区校级模拟）矩形纸片ABCD中，BC2AB，将纸片对折
3、，使顶点A与顶点C重合，得折痕EF，将纸片展开铺平后再进行折叠，使顶点B与顶点D重合，得折痕MN，展开铺平后如图所示若折痕EF与MN较小的夹角记为，则sin（）ABCD8（2022瑞安市一模）如图，是半径为4的O，弦AB平移得到CD（AB与CD位于O点的两侧），且线段CD与O相切于点E，DE2CE，若A，O，D三点共线时，AB的长（）A4B5C2D49（2022婺城区模拟）正方形ABCD与正方形AEFG如图所示，AB5，AG4现将正方形AEFG绕点A旋转一周在旋转过程中，当CBG最小时，点F到AB边的距离为（）ABCD10（2022仙居县二模）如图，把正方形ABCD绕着它的对称中心O沿着逆时针
4、方向旋转，得到正方形ABCD，AB和BC分别交AB于点E，F，在正方形旋转过程中，EOF的大小（）A随着旋转角度的增大而增大B随着旋转角度的增大而减小C不变，都是60D不变，都是45二、 填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在横线上11（2022新昌县二模）如图，将线段AB绕点A顺时针旋转36，得到线段AC若AB10，则点B经过的路径BC长度为 （结果保留）12（2022上城区二模）已知点A和点B为平面直角坐标系内两点，且点A的坐标为（1，1），将点A向右平移3个单位至点B，则线段AB上任意一点的坐标可表示为 13（2022常山县模拟）如图，在RtABC中，C90，B
5、C5，AC12，D为AC边上一点，沿BD将三角形进行折叠，使点A落在点E处，记BE与AC边的交点为F，若DEAC，则CF的长为 14（2022路桥区一模）如图，在ABC中，C90，ACBC，将ABC绕点B逆时针旋转a度（0a180）得到A1BC1，D是A1B的中点，当点A，C1，D在同一条直线上时，a的值为 15（2022萧山区校级二模）如图，点E是菱形ABCD的边CD上一点，将ADE沿AE折叠，点D的对应点F恰好在边BC上，设k（1）若点F与点C重合，则k ；（2）若点F是边BC的中点，则k 16（2022婺城区模拟）图1是一款平衡荡板器材，其示意图如图2，A、D为支架顶点，支撑点B，C，E
6、，F在水平地面同一直线上，G、H为荡板上固定的点，GHBF，测量得AGGHDH，Q为DF上一点且离地面1m，旋转过程中，AG始终与DH保持平行如图3，当旋转至A，Q，H在同一直线上时，连结GQ，测得GQ1.6m，DQG90，此时荡板GH距离地面0.6m（1）DQ的长为 m（2）点D离地面的距离为 m三、解答题（本大题共7小题，共66分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（2022北仑区校级三模）如图，在55的方格纸中，有ABC，请分别按要求作图（1）在图1中，找到一格点D，使得与阴影部分组成的新图形为轴对称，但非中心对称图形（作出一个即可）；（2）在图2中，找到一格点D，使得与阴影部
7、分组成的新图形为中心对称，但非轴对称图形（作出一个即可）18（2022黄岩区一模）如图，在平面直角坐标系中，ABC各顶点的坐标为A（3，2），B（1，1），C（4，0），DEF各顶点的坐标为D（3，4），E（5，3），F（2，2）（1）在图中作出ABC关于y轴对称的图形ABC；（2）若ABC与DEF关于点P成中心对称，则点P的坐标是 ；（3）在y轴上找一点Q，使得QA+QD最小19（2022鹿城区二模）在RtABC中，AB，BC，过点C作CGAB，CF平分ACD交射线BA于点F，D是射线CG上的一个动点，连结AD交CF于点E（1）求CF的长（2）当ACE是等腰三角形时，求CD的长（3）当B关于
8、AD的对称点B落在CF上时，求的值20（2022仙居县二模）如图，已知矩形纸片ABCD的长BC8，宽AB4，点E，F分别是边BC，AD上的点，AFCE把矩形纸片沿着直线EF翻折，点A，B的对应点分别为A，B直线AC交射线AD于点G（1）若EB交AD于点P，求证：PEPF，PBPD；（2）若EB交AD于点P，求证：四边形CEFG是平行四边形；（3）若四边形CEFG为菱形，求它的对角线长的比值21（2022诸暨市二模）如图，在RtABC中，C90，BC6，AC8，P为线段BC上一动点，过P作PQAB交AC于Q点，设PCx（1）如图，当x2时，求AQ的长；（2）如图，当x3时，把CPQ绕点C逆时针旋
9、转度（090），使A、P、Q三点一线，求此时AQ的长；（3）如图，将PCQ沿PQ翻折，得到PQM，点M是否可以落在ABC的某边中垂线上？如果可以，求出相应的x的值；如果不可以，说明理由22（2022金东区二模）如图1，已知等腰ABC中，ABAC10，BC12，ADBC，垂足为点D，动点P从点A出发，以1.5个单位每秒速度，沿AB方向运动，同时，点Q从点B出发，以1个单位每秒速度，沿BC方向运动，当点P到达点B时，点Q即停止运动，设运动时间为t秒，过点P作PRAD，垂足为R，连结QR，PQ，作PQR关于QR的对称MQR（1）如图2，当PQAB时，求PQ的长度（2）求PBQ与PQR面积差的最大值（
10、3）当点M落在ABC的边上时，求t的值23（2022宁波模拟）图、都是由边长为1的小菱形构成的网格，每个网格图中有3个小菱形已经涂上了阴影，请在余下的空白小菱形中，按下列要求选取一块涂上阴影（1）如图，使得4个阴影小菱形组成一个既是轴对称图形又是中心对称图形（2）如图，使得4个阴影小菱形组成一个轴对称图形但不是中心对称图形专题26 图形的旋转、平移与对称一、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1（2022婺城区校级模拟）下列图形中，属于轴对称图形的是（）ABCD【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析
11、即可【解答】解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：B2（2022滨江区二模）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（3，4），将线段AB水平向右平移5个单位，则在此平移过程中，线段AB扫过的区域的面积为（）A2.5B5C10D15【分析】由于线段AB向右平移5个单位长度，则段AB在平移过程中扫过的图形的平行四边形的底为5，高为2，然后根据平行四边形的面积公式计算即可【解答】解：A的坐标
12、为（1，2），点B的坐标为（3，4），线段AB向右平移5个单位长度，线段AB在平移过程中扫过的图形的面积5（42）10故选C3（2022镇海区校级二模）如图所示，在RtABC中，C90，AB，tanB，将ABC绕点C顺时针旋转至ABC的位置，且点B在AB上，AB交AC于点D，则ADC的面积为（）ABCD4【分析】先根据B的正切值结合勾股定理可得出BC和AC的长；过点B作BFBC于点F，过点C作CEBB于点E，过点D作DGAC于点G，根据正切值可得出CE的值，根据等面积可求出BF的值，根据勾股定理可得出CF的长，进而得出tanBCF的值，解ADC即可得出DG的值，进而可得出ADC的面积【解答】解
13、：在RtABC中，C90，AB，tanB，设BC2x，AC7x，BC2+AC2AB2，（2x）2+（7x）2（）2，x1（负值舍去）BC2，AC7由旋转的性质可知，BCBC，BCBACA，AA，ACAC7tanAtanA过点B作BFBC于点F，过点C作CEBB于点E，过点D作DGAC于点G，BEBE，tanB，BC2，BE，CE，BB对于BCB，BBCEBFBC，BF2，解得BF，由勾股定理可知，CFtanBCF，tanACD，设DG2m，AG7m，CGm，7m+m7，解得mADC的面积ACDG2m77m故选：B4（2022景宁县模拟）如图，在矩形ABCD中，AB5，AD4，E是边CD上一动点
14、，将ADE沿AE翻折得到AFE，连结BF，若E，F，B三点在同一条直线上，则DE的长度等于（）A1BCD2【分析】根据将ADE沿AE翻折得到AFE，可得BF3，设DEFEx，则CE5x，BEx+3，在RtBCE中，有42+（5x）2（x+3）2，解得DE2【解答】解：四边形ABCD是矩形，ABCD5，ADBC4，DC90，将ADE沿AE翻折得到AFE，AFAD4，AFED90AFB，DEFE，在RtAFB中，BF3，设DEFEx，则CE5x，BEx+3，在RtBCE中，BC2+CE2BE2，42+（5x）2（x+3）2，解得x2，DE2，故选：D5（2022常山县模拟）如图，点P是RtABC斜
15、边AB上的动点，点D、E分别在AC、BC边上，连结PD、PE，若AC24，BC18，CD8，CE6，则当PD+PE取得最小值时AP的长是（）A18BCD【分析】连接DE，过点D作DGAB于G，延长DG到F，使FGDG，连接EF，交AB于P，则PD+PEPF+PEEF，此时PD+PE取得最小值证明CDECAB，得出CDEA，DEAB，由cosAcosCDE，得出，求出AG证明PG是FDE的中位线，得出PGDE5，那么APAG+PG【解答】解：如图，连接DE，过点D作DGAB于G，延长DG到F，使FGDG，连接EF，交AB于P，则PD+PEPF+PEEF，此时PD+PE取得最小值AC24，BC18
16、，CD8，CE6，C90，DE10，CDECAB，CDEA，DEAB，cosAcosCDE，即，AGPGDE，FGDG，PG是FDE的中位线，PGDE5，APAG+PG+5故选：B6（2022衢州一模）如图，将矩形纸片ABCD沿EF、GN折叠，使点A和点C重合于点M，点D与点H重合，点B落在边AD上的点P处，且MN经过点P已知，FN10cm，则AB的长为（）AcmBcmCcmD9cm【分析】作PRBC，证明PFPE，PNPG，FPN90，解直角三角形PMN【解答】解：如图，作PRBC于R，PRB90，四边形ABCD是矩形，AB90，ADBC，BEFPEF，四边形ABRP是矩形，PRAB，由折叠
17、得，PFEBFE，FPMB90，PFEPEF，FPN90，PFPE，同理可得：PNPG，设PF4a，PN3a，FN5a，5a10，a2，PF4a8，PN3a6，PR，ABPR，故选：A7（2022婺城区校级模拟）矩形纸片ABCD中，BC2AB，将纸片对折，使顶点A与顶点C重合，得折痕EF，将纸片展开铺平后再进行折叠，使顶点B与顶点D重合，得折痕MN，展开铺平后如图所示若折痕EF与MN较小的夹角记为，则sin（）ABCD【分析】过D作DHAC于H，由翻折可得EOAEOC90，MODMOB90，即可得DOHMOE，根据BC2AB，设ABmCD，则BC2mAD，即得ACm，OAOCODm，由面积法得
18、DHm，在RtDOH中，sinDOH，即得sin【解答】解：过D作DHAC于H，如图：根据题意可得：EOAEOC90，MODMOB90，EOD+DOH90，MOE+EOD90，DOHMOE，由矩形纸片ABCD中，BC2AB，设ABmCD，则BC2mAD，AC（m），OAOCODm，2SADCADCDACDH，DHm，在RtDOH中，sinDOH，sin，故选：A8（2022瑞安市一模）如图，是半径为4的O，弦AB平移得到CD（AB与CD位于O点的两侧），且线段CD与O相切于点E，DE2CE，若A，O，D三点共线时，AB的长（）A4B5C2D4【分析】接OE，OE的反向延长线交AB于F，由切线的
19、性质得EFCD，则EFAB，得AFBFAB，可得，求出OF，再由勾股定理得AF，则AB2AF，即可求出AB的长【解答】解：连接OE，OE的反向延长线交AB于F，如图，CD与O相切于点E，EFCD，由平移的性质得：CDAB，CDAB，EFAB，AFBFAB，在RtAOF中，OA4，OF，DE2CE，DECDAB，CDAB，AB2，故选：C9（2022婺城区模拟）正方形ABCD与正方形AEFG如图所示，AB5，AG4现将正方形AEFG绕点A旋转一周在旋转过程中，当CBG最小时，点F到AB边的距离为（）ABCD【分析】由旋转的性质可得G点在以A为圆心，AG为半径的圆上，当BG与圆A相切时，CBG有最
20、小值，此时G、F、B三点共线，过点F作MFAB交延长线于点M，由sinABG，求出MF即为所求距离【解答】解：G点在以A为圆心，AG为半径的圆上，当BG与圆A相切时，CBG有最小值，AGF90，G、F、B三点共线，过点F作MFAB交延长线于点M，AB5，AG4，BG3，BF1，sinABG，MF，F点到AB的距离是，故选：C10（2022仙居县二模）如图，把正方形ABCD绕着它的对称中心O沿着逆时针方向旋转，得到正方形ABCD，AB和BC分别交AB于点E，F，在正方形旋转过程中，EOF的大小（）A随着旋转角度的增大而增大B随着旋转角度的增大而减小C不变，都是60D不变，都是45【分析】连接AO
21、，BO，AO，AB，依据正方形的性质，即可得到AEBE，进而得出AOEBOE（SSS），根据全等三角形的的性质，可得AOEBOE同理可得，BOFBOF，根据EOFBOE+BOFAOB，可知在正方形旋转过程中，EOF的大小不变，是45【解答】解：如图所示，连接AO，BO，AO，AB，正方形ABCD绕着它的对称中心O沿着逆时针方向旋转，得到正方形ABCD，AOBO，OABOBA，又OAEOBE45，EABEBA，AEBE，又EOEO，AOEBOE（SSS），AOEBOE同理可得，BOFBOF，EOFBOE+BOFAOB9045在正方形旋转过程中，EOF的大小不变，是45故选：D二、 填空题（本大题
22、共6小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在横线上11（2022新昌县二模）如图，将线段AB绕点A顺时针旋转36，得到线段AC若AB10，则点B经过的路径BC长度为 2（结果保留）【分析】根据弧长公式，直接代入计算即可【解答】解：根据弧长公式得的长度为：2，故答案为：212（2022上城区二模）已知点A和点B为平面直角坐标系内两点，且点A的坐标为（1，1），将点A向右平移3个单位至点B，则线段AB上任意一点的坐标可表示为 （m，1）（1m4）【分析】正确作出图形，利用参数m表示点P的坐标即可【解答】解：如图，点P（m，1）（1m4），故答案为：（m，1）（1m4）13（2022常山县模拟
23、）如图，在RtABC中，C90，BC5，AC12，D为AC边上一点，沿BD将三角形进行折叠，使点A落在点E处，记BE与AC边的交点为F，若DEAC，则CF的长为 【分析】根据勾股定理可以求出AB的长，再根据翻折的性质可得ADBEDB，BEAB，再求出ADB135，然后求出BDC45，再求出CD，根据ADACCD求出AD，最后根据相似三角形的性质求出CF的长即可【解答】解：C90，BC5，AC12，AB13，由翻折的性质得，ADBEDB，EDAD，DEAC，ADE90，ADB（36090）135，BDC180ADB18013545，BCD是等腰直角三角形，CDBC5，EDADACCD1257，B
24、CFEDF，BFCEFD，BCFEDF，即，解得CF故答案为：14（2022路桥区一模）如图，在ABC中，C90，ACBC，将ABC绕点B逆时针旋转a度（0a180）得到A1BC1，D是A1B的中点，当点A，C1，D在同一条直线上时，a的值为 60【分析】根据等腰直角三角形斜边上的中线得C1DA1B，C1DBDA1B，由旋转的性质得A1BAB，可得出BDAB，即可得ABA160，即a的值为60【解答】解：在ABC中，C90，ACBC，将ABC绕点B逆时针旋转a度（0a180）得到A1BC1，C190，A1BAB，ABCA1BC145，A1C1BC1，D是A1B的中点，C1DA1B，C1DBDA
25、1B，BDAB，点A，C1，D在同一条直线上，BAD30，ABA160，即a的值为60故答案为：6015（2022萧山区校级二模）如图，点E是菱形ABCD的边CD上一点，将ADE沿AE折叠，点D的对应点F恰好在边BC上，设k（1）若点F与点C重合，则k1；（2）若点F是边BC的中点，则k2【分析】（1）由折叠性质得DECE，进而求得比值；（2）延长AE，与BC的延长线交于点H，证明ADEHCE，便可求得结果【解答】解：（1）当F与C重合时，DECE，k，故答案为：1；（2）延长AE，与BC的延长线交于点H，四边形ABCD是菱形，ADBC，ADBC，DAHFHA，由折叠性质知，ADAF，DAHF
26、AH，FAHFHA，FHFAAD，F是BC的中点，CFBC，CFFH，CHCFFH，ADCH，ADEHCE，故答案为：216（2022婺城区模拟）图1是一款平衡荡板器材，其示意图如图2，A、D为支架顶点，支撑点B，C，E，F在水平地面同一直线上，G、H为荡板上固定的点，GHBF，测量得AGGHDH，Q为DF上一点且离地面1m，旋转过程中，AG始终与DH保持平行如图3，当旋转至A，Q，H在同一直线上时，连结GQ，测得GQ1.6m，DQG90，此时荡板GH距离地面0.6m（1）DQ的长为 1.6m（2）点D离地面的距离为 （+1）m【分析】（1）先根据判断AGGHDH判断AH垂直平分DG，从而得G
27、QDQ1.6；（2）DMQQNG得出MQGN，再在GNQ中用勾股定理求出GN，即可求得点D离地面的距离【解答】解：（1）如图，过Q作GH的垂线交GH于N，交AD延长线于M，连接AH，连接DG，由图2得：ADGH，AGGHDH，ADAG，GHDH，AH垂直平分DG，A，Q，H在同一直线上，GQDQ1.6，故答案为：1.6；（2）DQG90，GQN+DQM90，DQM+QDM90，GQNQDM，DMQQNG（AAS），MQGN，Q为DF上一点且离地面1m，此时荡板GH距离地面0.6m，QN10.60.4m，GNm，MQm，点D离地面的距离为（+1）m故答案为：（+1）m三、解答题（本大题共7小题，
28、共66分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（2022北仑区校级三模）如图，在55的方格纸中，有ABC，请分别按要求作图（1）在图1中，找到一格点D，使得与阴影部分组成的新图形为轴对称，但非中心对称图形（作出一个即可）；（2）在图2中，找到一格点D，使得与阴影部分组成的新图形为中心对称，但非轴对称图形（作出一个即可）【分析】（1）结合轴对称和中心对称图形的性质，取格点D，连接AD，CD即可（2）结合轴对称和中心对称图形的性质，以AB，BC为边，作平行四边形ABCD即可【解答】解：（1）如图1所示（2）如图2所示18（2022黄岩区一模）如图，在平面直角坐标系中，ABC各顶点的坐标为A
29、（3，2），B（1，1），C（4，0），DEF各顶点的坐标为D（3，4），E（5，3），F（2，2）（1）在图中作出ABC关于y轴对称的图形ABC；（2）若ABC与DEF关于点P成中心对称，则点P的坐标是 （3，1）；（3）在y轴上找一点Q，使得QA+QD最小【分析】（1）由题意确定点A，B，C的位置，再连线即可（2）根据中心对称的性质求解即可（3）作点A关于y轴的对称点A，连接AD，交y轴的交点即为所求的点Q【解答】解：（1）如图，ABC即为所求（2）B（1，1），E（5，3），P点的横坐标为3，纵坐标为1，即点P的坐标为（3，1）故答案为：（3，1）（3）如图，点Q即为所求19（2022鹿
30、城区二模）在RtABC中，AB，BC，过点C作CGAB，CF平分ACD交射线BA于点F，D是射线CG上的一个动点，连结AD交CF于点E（1）求CF的长（2）当ACE是等腰三角形时，求CD的长（3）当B关于AD的对称点B落在CF上时，求的值【分析】（1）先用勾股定理求出AC5，再根据CF平分ACD，CGAB，推出FACF，进而求出CF的长；（2）分情况讨论当ECAAEC时，ACE是等腰三角形，证明ACECFA，推出比例线段，求出CE的长，根据CGAB，证明DCEAFE，推出比例线段，求CD的长；当CAEAEC时，ACE是等腰三角形，如图所示：做题思路与第一种情况差不多；CEACFA，FACF，推
31、出CEAACE，推出CEAACE（3）作DMBA，垂足为M，作BNBF，垂足为N，证明四边形CBMD是矩形，根据三角函数求出线段比值，tanF，再证明ADMBBN，进而求出的值【解答】解：（1）在RtABC中，AB，BC，AC5，CF平分ACD，ACFDCF，CGAB，FDCF，FACF，ACAF5，BFAB+AF8，在RtBCF中，CF20，（2）当ECAAEC时，ACE是等腰三角形，CAEAECFDCF，ACECFA，CE，EFCFCE，CGAB，DCEAFE，CD；当CAEAEC时，ACE是等腰三角形，如图所示：ACCE5，EFCF+CE205，CD，CEACFA，FACF，CEAACE
32、，CEAACE，综上所述：CD的长为或；（3）作DMBA，垂足为M，作BNBF，垂足为N，DMBDMA90，BNB90，CGAB，B90，CDMDMA90，四边形CBMD是矩形，DMCB4，B关于AD的对称点为B，BBAD，ABAB3，tanF，tanF，FN2BN，设BNx，则FN2x，ANAFFN52x，AN2+NB2AB2，+x2，解得x2+2或x2+2，当x2+2时，AN40，（舍去），BN2+2，AN4+，BNAB+AN4+4，BBA+BANBAN+ADM90，BBAADM，ADMBBN，AM35，BMCDABAM5，20（2022仙居县二模）如图，已知矩形纸片ABCD的长BC8，宽
33、AB4，点E，F分别是边BC，AD上的点，AFCE把矩形纸片沿着直线EF翻折，点A，B的对应点分别为A，B直线AC交射线AD于点G（1）若EB交AD于点P，求证：PEPF，PBPD；（2）若EB交AD于点P，求证：四边形CEFG是平行四边形；（3）若四边形CEFG为菱形，求它的对角线长的比值【分析】（1）由翻折可得BEFBEF，根据平行线的性质可得BEFEFD，则EFDBEF，可得PEPF根据PBBCCEPE，PDADAFPF，CEAF，可得PBPD（2）连接AP，CP，由翻折可得ABAB，BB90，AFAFCE，由矩形性质可得BCAD，ABCD，进而可得ABCD，可证得CDPABP，则APC
34、P，PCHGAP，证明CEPAFP，可得FAPECP，FAGECH，结合平行线的性质可得FGAFAG，即AFFG，则FGEC，根据平行四边形的判定定理可得出答案（3）当点G在AD上时，连接CF，EG，设菱形CEFG的边长为x，则CEEFFGCGx，DG82x，在RtCGD中，由勾股定理可得（82x）2+42x2，解得x（舍去）或x4，则此时点A、G与点D重合，点B于点C重合，即菱形CEFG为正方形，即可得出答案；当点G在AD的延长线上时，连接CF，EG，过点E作EMAD于点M，设菱形CEFG的边长为x，则CEEFFGCGx，DG2x8，在RtCGD中，由勾股定理可得（2x8）2+42x2，解得
35、x或x4（舍去），则DF，BEAM，MG12，利用勾股定理求出CF，EG，即可得出答案【解答】（1）证明：由翻折可得BEFBEF，四边形ABCD为矩形，BCAD，BCAD，BEFEFD，EFDBEF，PEPFPBBCCEPE，PDADAFPF，CEAF，PBPD（2）证明：连接AP，CP，由翻折可得ABAB，BB90，AFAFCE，四边形ABCD为矩形，BCAD，ABCD，ABCD，PBPD，BD，CDPABP（SAS），APCP，PCHGAP，PFEP，AFCE，APCP，CEPAFP（SSS），FAPECP，FAGECH，BCAD，ECHFGA，FGAFAG，AFFG，FGEC，四边形CE
36、FG是平行四边形（3）解：当点G在AD上时，连接CF，EG，设菱形CEFG的边长为x，则CEEFFGCGx，AFCEx，DG82x，在RtCGD中，由勾股定理可得，（82x）2+42x2，解得x（舍去）或x4，此时点A、G与点D重合，点B于点C重合，即菱形CEFG为正方形，CFEG，1当点G在AD的延长线上时，连接CF，EG，过点E作EMAD于点M，设菱形CEFG的边长为x，则CEEFFGCGx，AFCEx，DG2x8，在RtCGD中，由勾股定理可得，（2x8）2+42x2，解得x或x4（舍去），DF，BEAM，MG12，CF，EG4，综上所述，的值为1或21（2022诸暨市二模）如图，在Rt
37、ABC中，C90，BC6，AC8，P为线段BC上一动点，过P作PQAB交AC于Q点，设PCx（1）如图，当x2时，求AQ的长；（2）如图，当x3时，把CPQ绕点C逆时针旋转度（090），使A、P、Q三点一线，求此时AQ的长；（3）如图，将PCQ沿PQ翻折，得到PQM，点M是否可以落在ABC的某边中垂线上？如果可以，求出相应的x的值；如果不可以，说明理由【分析】（1）设AQy，由PQAB，推出，由此构建方程求解即可；（2）证明BCPACQ，推出，CBPCAQ，推出BPTACT90，设PB3k，AQ4k，利用勾股定理构建方程求解即可；（3）分两种情形：如图1中，当点M落在BC的中垂线JN上时，连接
38、CM，延长CM交AB于点H如图2中，当点M落在AC的中垂线上时，过点P作PRKM于点R，设CPPMy分别利用勾股定理构建方程求解【解答】解：（1）如图中，设AQyPQAB，y，AQ；（2）如图2中，设BC交AP于点Tx3，CP3，CQ4，PQ5，PCQBCA90，PCBACQ，BCPACQ，CBPCAQ，BTPATC，BPTACT90，可以假设PB3k，AQ4k，AB10，PQ5，AB2PB2+AP2，102（3k）2+（5+4k）2，解得k或（舍去），AQ（3）如图1中，当点M落在BC的中垂线JN上时，连接CM，延长CM交AB于点HPQM与PCQ关于PQ对称，CMPQ，PQAB，CHAB，ABCHACBC，CH，BH，tanMCJ，MJ3，在RtPMJ中，PJ2+MJ2PM2，x2（3x）2+（）2，x，CP；如图2中，当点M落在AC的中垂线上时，过点P作PRKM于点R，设CPPMy在RtPMR中，同法可得y242+（y）2，解得y，CP，综上所述，满足条件的CP的值为或22（2022金东区二模）如图1，
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