2023年中考数学压轴题：二次函数综合（特殊三角形问题）含答案

1、2023年中考数学压轴题：二次函数综合（特殊三角形问题）1在平面直角坐标系中，由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”如图所示，抛物线与抛物线：组成一个“月牙线”，相同的交点分别为M，N（点M在点N的左侧），与y轴的交点分别为A，B，且点A的坐标为(1)求M，N两点的坐标及抛物线的解析式；(2)若抛物线的顶点为D，当时，试判断三角形的形状，并说明理由；(3)在（2）的条件下，点是抛物线上一点，抛物线第三象限上是否存在一点Q，使得，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由2如图，在平面直角坐标系中，点，分别是轴正半轴，轴正半轴上两动点，以，为邻边

2、构造矩形，抛物线交轴于点，为顶点，轴于点(1)求，的长（结果均用含的代数式表示）(2)当时，求该抛物线的表达式(3)在点在整个运动过程中，若存在是等腰三角形，请求出所有满足条件的的值3如图1，抛物线与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点点在轴正半轴上，直线：与抛物线交于点(1)求线段的长度；(2)如图，点是线段上的动点，过点作轴的平行线交抛物线于点，求的最大值；(3)如图3，将抛物线向左平移4个单位长度，将沿直线平移，平移后的记为，在新抛物线的对称轴上找一点M，当是以点为直角顶点的等腰直角三角形时，请直接写出所有符合条件的点M的坐标4如图1，抛物线经过点、，并交轴于另一点，点在第一象

3、限的抛物线上，交直线于点(1)求该抛物线的函数表达式；(2)如图1，当点P的坐标为时，求四边形的面积；(3)请利用备用图，若点Q也是抛物线上的一点，当的值最大时，求此时点P的坐标；当的值最大且是直角三角形时，求点Q的横坐标5如图，抛物线经过点，交y轴于点C(1)求抛物线的顶点坐标；(2)点D为抛物线上一点，是否存在点D使，若存在请直接给出点D坐标；若不存在请说明理由；(3)将直线BC绕点B顺时针旋转45，与抛物线交于另一点E，求直线的解析式6已知抛物线经过、两点，O为坐标原点，抛物线交正方形的边于点E，点M为射线上一动点，连接，交于点F(1)求b和c的值及点C的坐标；(2)求证(3)是否存在点

4、M，使为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长7在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴上，顶点在轴上，、的长分别是一元二次方程的两个根（）(1)求、两点坐标；(2)二次函数经过点和点，求此二次函数解析式；(3)在直线上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由8如图，抛物线，与x轴交于A，B两点（A在B的左边），与y轴交于C点，顶点为E，其中，点A坐标为，对称轴为(1)求此抛物线解析式；(2)在第四象限的抛物线上找一点F，使，求点F的坐标；(3)如图，点P是x轴上一点，点E与点H关于点P成中心对称，点B与点Q关于点P成中心对称，当以点Q，H，E为顶点

5、三角形是直角三角形时，求P的坐标9如图，抛物线经过、三点，直线l是抛物线的对称轴(1)求抛物线的函数关系式：(2)设点P是直线l上的一个动点，当的周长最小时，求点P的坐标：(3)在直线l上是否存在点M，使为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；(4)若点E在x轴上，点F在抛物线上，是否存在以B，C，E，F为顶点且以BC为一边的平行四边形？若存在，求点F的坐标：若不存在，请说明理由10如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，二次函数的图象与x轴交于A、B（点A在点B左侧）两点，与y轴交于点C，已知点，P点为抛物线的顶点，连接PC，作直线(1)点A的坐标为

6、；(2)若射线平分，求二次函数的表达式；(3)在（2）的条件下，如果点是线段（含A、B）上一个动点，过点D作x轴的垂线，分别交直线和抛物线于E、F两点，当m为何值时，为直角三角形？11如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知，(1)求抛物线的表达式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；(3)点E是线段上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出四边形的最大面积及此时E点的坐标12如图，抛物线yax2bx过A（4，0）

7、，B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BHx轴，交x轴于点H(1)求抛物线的表达式；(2)直接写出点C的坐标，并求出ABC的面积；(3)若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，是否存在以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出其值；若不存在，请说明理由13如图，抛物线yax2bx2交x轴于点A（3，0）和点B（1，0），交y轴于点C已知点D的坐标为（1，0），点P为第二象限内抛物线上的一个动点，连接AP、PC、CD(1)求这个抛物线的表达式(2)点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值(3)点M在平面内，当CDM是以CM为斜边

8、的等腰直角三角形时，求出满足条件的所有点M的坐标；在的条件下，点N在抛物线对称轴上，当MNC45时，求出满足条件的所有点N的坐标14如图1，抛物线yax2bx3过点A（1，0），点B（3，0），与y轴交于点CM是抛物线任意一点，过点M作直线lx轴，交x轴于点E，设M的横坐标为m（0m3）(1)求抛物线的解析式及tanOBC的值；(2)当m1时，P是直线l上的点且在第一象限内，若ACP是直角三角形时，求点P的坐标；(3)如图2，连接BC，连接AM交y轴于点N，交BC于点D，连接BM，设BDM的面积为S1，CDN的面积为S2，求S1S2的最大值15如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，已知抛物线

9、的对称轴是直线，为抛物线上的一个动点，过点作轴于点，交直线于点(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点在第三象限内，且，求的面积(3)在（2）的条件下，若为直线上一点，是否存在点，使为等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由16二次函数yax2+bx+2的图象交x轴于点A(1，0)，B(4，0)两点，交y轴于点C动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MNx轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒(1)求二次函数yax2+bx+2的表达式；(2)连接BD，当t时，求DNB的面积；(3)在直线MN上存在一点P，当PBC是以BPC为直角

10、的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标；(4)当t时，在直线MN上存在一点Q，使得AQC+OAC90，求点Q的坐标17如图1，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A、B两点，点A、B分别位于原点左、右两侧，且AO2BO4，过A点的直线ykx+c交y轴于点C(1)求k、b、c的值；(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使ACP为直角三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，点M为线段AC上一点，连接OM，求AM+OM的最小值18如图，已知直线y2x+m与抛物线yax2+bx+c相交于A，B两点，且点A(1，4)为抛物线的顶点，点B在x轴正方向上(1)求抛物线

11、的解析式；(2)若点P在抛物线第三象限的图象上，且到x轴、y轴的距离相等，证明：POBPOC；直接写出OP的长；(3)若点Q是y轴上一点，且ABQ为直角三角形，求点Q的坐标参考答案1(1)，(2)是等腰三角形(3)存在，或2(1)，(2)(3)或或3(1)(2)(3)或4(1)(2)(3)或1或或5(1)（，）(2)存在，共四个点，或或或(3)6(1)，(3)存在，或7(1)，(2)(3)存在，或8(1)抛物线的解析式为(2)F坐标为(3)点P坐标为或9(1)(2)(3)存在，点的坐标为或或或(4)存在，点的坐标为或或10(1)(2)(3)当或时，为直角三角形11(1)(2)存在；，(3)，12(1)yx2+4x(2)3(3)存在，N点坐标为（2，0）或（4，0）或（2，0）或（4，0）13(1)(2)(3)点N的坐标为（1，）或（1，）或（1，5）14(1)yx2+2x+3，1(2)（1，1）或（1，2）或（1，）(3)15(1)(2)(3)或或或16(1)yx2x+2(2)2(3)D(1，3)或D(3，2)(4)Q点坐标分别为(，)，(，)17(1)k，b，c2(2)存在，点P的坐标为（1，3）或（1，）或（1，）或（1，3）(3)AM+OM的最小值为18(1)(2) (3)Q(0，3.5)或Q(0，1.5)或Q(0，1)或Q(0，3)