1、全国2021年4月高等教育自学考试概率论与数理统计（经营类）试题课程代码：04183一、单项选择题：本大题共10小题，每小题2分，共20分，在每小题列出的备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其选出。1某人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是（A）A“两次都不中靶”B“两次都中靶”C“只有一次中靶”D“至多有一次中靶”【解析】对立事件（P35）称事件“A不发生”为事件A的对立事件（或余事件，或逆事件），记作，若事件A与事件B中至少有一个发生，且A与B互不相容即，则称A与B互为对立事件，对于任意事件“至少有一次中靶”的对立事件，显然有：“两次都不中靶”。2设事件A与B互不相容
2、，且，则（C）A0.2B0.3C0.5D0.8【解析】互不相容事件（P34）：若事件A与事件B不能同时发生，即，则称事件A与事件B是互不相容的两个事件，简称A与B互不相容（或互斥）由互斥事件的基本性质可知：A，B是互不相容的，故：3甲、乙两人对弈一局，两人下成和棋的概率是1/2，乙获胜的概率是1/3，则甲获胜的概率是（A）A1/6B1/3C1/2D2/3【解析】对立事件（P35）称事件“A不发生”为事件A的对立事件（或余事件，或逆事件），记作。根据甲获胜与两个人和棋或乙获胜对立，可得甲获胜概率等于1减去两人和棋的概率，再减去乙获胜的概率。因为甲获胜与两个人和棋或乙获胜对立，所以甲获胜概率是：故
3、选：A.4设随机变量，则，则常数c（C）A0B2C3D4【解析】正态分布（P74）：其中，为常数，则称X服从参数为，的正态分布，简记为由题意得X的分布函数为因为由题意知故即xc为正态分布的对称轴又随机变量则c35对于任意参数，随机变量X均可满足E（X）D（X），则X服从的分布一定是（D）A均匀分布B指数分布C二项分布D泊松分布【解析】上述选项中，只有泊松分布的方差与均值相等，又E（X）D（X），因此选D。6设随机变量，X与Y相互独立，则D（XY）（D）A2B6C12D20【解析】方差的计算（P129）：方差的性质：性质6：设x为随机变量C为常数，则性质7：设X，Y为相互独立的随机变量，则根据性
4、质6和性质7，又，则7设是来自总体的样本，如果，则常数a，b的值分别为（A）Aa1/20，b1/100Ba1/12，b1/28Ca20，b100Da12，b28【解析】x分布（P178）：设，独立同分布于标准正态分布N（0，1），则的分布称为自由度为N的分布，记为令，则，为使，必有，因而注意到，由分别得8设总体，为来自的样本，为样本均值，则未知参数的无偏估计是（B）ABCD【解析】点估计的无偏性（P194）：设是的一个估计，的参数空间为0，若对任意的0，有E（），则称是的无偏估计，否则称为有偏估计。由题意可知：又依题可知：9设总体，已知，的置信度为1a的的置信区间长度为，则当a增大时，的变化长
5、度为（B）A增大B减小C不变D不确定【解析】单个正态总体参数的置信区间（P198）：设总体X服从正态总体，则参数和的置信区间如下：（1）已知时u的置信度1a的置信区间：当a增大时，减小，从而置信区间的长度将变大，故答案为B10在线性回归模型中，总的偏差平方和为SST，剩余平方和为SSE，回归平方和为SSR，三者之间的关系是（C）ASSESSTSSRBSSRSSTSSECSSTSSESSRDSSTSSESSR0教材找不到答案。【解析】公式：总的偏差平方和SST剩余平方和SSE回归平方和SSR二、填空题：本大题共15小题，每小题2分，共30分。11已知，则_【解析】条件概率与乘法公式（P44）：1
6、、条件概率：设A，B是两个事件，且P（B）0，称为在事件B发生条件下事件A发生的条件概率.当P（A）0时，依题意可知：得，12设随机事件A与B相互独立，则_【解析】两事件相互独立及其性质（P49）：若P（AB）P（A）P（B），则称A与B相互独立，简称A，B独立。因为随机事件A与B相互独立13某种饮料每箱装6听，如果其中有2听不合格，质检人员随机抽取2听，则检测出不合格饮料的概率是_0.6_【解析】对立事件（P35）称事件“A不发生”为事件A的对立事件（或余事件，或逆事件），记作设检测出不合格饮料的概率为P（A），则检测出合格饮料的概率为，有，14某射手射击所得环数x的分布律为，如果命中810
7、环为优秀，则这名射手射击一次为优秀的概率是_0.62_【解析】离散型随机变量的分布律（P59）：定义：若随机变量X只取有限多个或可列无限多个值，则称X为离散型随机变量.在实际应用中，有时还要求X满足某一条件这样的事件的概率，如，等，求法就是把满足条件的所对应的概率相加起来.由题意知：命中810环优秀概率15设随机变量，为标准正态分布函数，且0.9772，则_0.9544_【解析】正态分布和标准正态分布（P74）：通常我们称（x）为标准正态分布函数，它具有下列性质：正态分布的概率计算公式：（2）依题可知：【解析】正态分布和标准正态分布（P74）：通常我们称（x）为标准正态分布函数，它具有下列性质
8、：正态分布的概率计算公式：（2）依题可知：16已知随机变量X服从参数为的泊松分布，随机变量Y服从二项分布B（2，）且满足，则_ln4_【解析】二项分布（P32）：若随机变量x的可能取值为而X的分布律为其中则称X服从参数为n，p的二项分布，简记为泊松分布（P63）；设随机变量x的可能取值为而X的分布律为其中，则称X服从参数为的泊松分布，简记为.依题意可知即17设随机变量X服从参数为1的指数分布，则_【解析】指数分布（P73）：若随机变量x的概率密度为其中为常数，则称X服从参数为的指数分布，简记为其分布函数为依题意：随机变量X服从参数为1的指数分布18设二维随机变量（X，Y）的分布律为则ab_0.
9、5_【解析】二维离散型随机变量的分布律及其性质（P90）：二维离散型随机变量（X，Y）的分布律具有两条基本性质：.（1）非负性：（2）正则性：二维随机变量F（X，Y），总概率为1，即有，得19设二维随机变量（X，Y）的概率密度为则当时，Y的概率密度_1_.【解析】二维连续型随机变量的边缘概率密度（P97）：对连续型随机变量（X，Y），分量X（或Y）的概率密度称为（X，Y）关于X（或Y）的边缘概率密度，简称边缘密度记为.边缘概率密度可由（X，Y）的概率密度f（x，y）求出：依题意可知：当时，Y的概率密度20设二维随机变量（X，Y）服从平面区域上的均匀分布，则E（XY）_【解析】区域上的均匀分布（
10、P96）：.设D为平面.上的有界区域，其面积为S且S0，如果二维随机变量（X，Y）的概率密度为其他二维连续型随机变量及其函数的期望（P125）：若（X，Y）为连续型随机变量，且积分收敛，则21设总体X服从01分布，即，为来自该总体的样本，令，则_.【解析】01分布（P62）：若随机变量x只取两个可能值0，1，且其中则称X服从01分布（又称两点分布），X的分布律为依题意可得：，欲使，则则22某理财产品每月的收益率X服从正态分布，现随机抽取5个月的收益率分别为0.2，0.1，0.8，0.6，0.9，则的置信度为0.95的置信区间为_0.192，0.592_.（附：）【解析】单个正态总体参数的置信区
11、间（P198）：设总体X服从正态总体，则参数和的置信区间如下：（1）已知时u的置信度1a的置信区间：依题可知：已知时u的置信度1a的置信区间：依题23设是假设检验的原假设，显著性水平为0.05，则_0.05_.【解析】两类错误的概念（P211）：一个假设检验问题，要先根据实际问题提出原假设及备择假设.这里要求H与H有且仅有一个为真.在假设检验中可能犯两类错误即：（1）第一类错误：在成立的情况下，样本值落入了W（拒绝域），因而被拒绝，称这种错误为第一类错误，又称为拒真错误，一般记犯第一类错误的概率为（2）第二类错误：在不成立（成立）的情况下，样本值未落入W.因而被接受，称这种错误为第二类错误，又
12、称为取伪错误，并记犯第二类错误的概率为依题意可知：即为第一错误，那么样本值落入了W（拒绝域）的概率即为显著性水平0.0524设总体，为来自X的样本，为样本均值，则检验假设应采用的统计量表达式为_.【解析】单个正态总体的假设检验（P213）：检验（适用情形：方差已知时，检验均值u）：设是从正态总体中抽取的一个样本，是已知常数，欲检验假设：其中为已知数.在假设成立时，检验统计量，从而，对给定的显著水平a，得拒绝域为若由样本观测值计算出n的值落在W内，则作出拒绝H，的判断，否则认为与相容.拒绝域也可表示为此题中，方差已知时，检验均值u那么检验统计量25设总体，其中未知，为来自X的样本，为样本均值，S
13、为样本标准差，检验假设，已知在成立的条件下，则n_20_.【解析】单个正态总体的假设检验（P213）：t检验（适用情形：方差未知时，检验均值）：设是从正态总体中抽取的一个样本其中未知，欲检验其中为已知数.在假设成立时，检验统计量依题意得：三、计算题：本大题共2小题，每小题8分，共16分。26某在线支付设置的支付密码共有6位数字，每位数字都可从09中任选一个，某客户一次购物进行在线支付时，忘记了密码的最后一位数字.求：（1）任意选择最后一位数字，不超过2次就选正确的概率；（2）如果该客户记得密码的最后一位是奇数，不超过2次选正确的概率。答：假设事件A，表示“第i次选正确密码”（i1，2），A表示
14、“不超过2次选正确密码”，B表示“最后一位选奇数”。（2分）（1）（5分）（2）（8分）【解析】条件概率与乘法公式（P44）：1、条件概率：设A，B是两个事件，且P（B）0，称为在事件B发生条件下事件A发生的条件概率.当P（A）0时，2、乘法公式：当P（A）0时，有P（AB）P（A）P（B|A）.当P（B）0时，有P（AB）P（B）P（A|B）.此题中：（1）不超过2次就选正确的概率为第1次选正确密码和第1次未选正确密码且第2次选正确密码。则（2）如果该客户记得密码的最后一位是奇数，不超过2次选正确的概率即为表达式。27设总体X的概率密度为，其中为未知参数，为来自该总体的样本，记N为样本在区间
15、（0，1）内的个数，其余的样本均在区间1，2）中。求：（1）的矩估计（2）的极大似然估计解：（1）由得（2）似然函数为（6分）对数似然的数为令所以的极大似然估计【解析】（1）求矩估计（P187）：设是来自总体的一个样本，我们用一个统计量的取值作为的估计值，称为的点估计（量），简称估计矩估计方法：用样本均值估计总体的数学期望E（X），即本题中：连续型随机变量的期望，又因为求矩公式有则得（2）求极大似然估计（P189）：求极大似然估计的一般步骤：（1）写出似然函数（2）对似然函数等号两边同时取对数即得（3）对求导数.（4）令求导结果等于零，求出的值即为极大似然估计.四、综合题：本大题共2小题，每小
16、题12分，共24分。28设二维随机变量（X，Y）的分布律为求：（1）关于X的边缘分布律；（2）X的分布函数；（3）答：（1）（X，Y）关于X的边缘分布律为（3分）（2）X的分布函数为（8分）（3）（12分）【解析】二维离散型随机变量的边缘分布律（P92）：对于离散型随机变量（X，Y），分量X（或Y）的分布律称为（X，Y）关于X（或Y）的边缘分布律，记为，它可由（X，Y）的分布律求出，事实上，即（X，Y）关于x的边缘分布律为：此题中：，X的分布函数为29设随机变量X的分布函数为求：（1）E（X）；（2）；（3）.解：随机变量X的概率密度为（1）（2）（3），【解析】求连续型随机变量的期望（P12
17、2）：设连续型随机变量x的概率密度为f（x），若广义积分绝对收敛，则称该积分为随机变量x的数学期望（简称期望或均值），记为E（X），即求连续型随机变量函数的期望（P124）：设X为连续型随机变量，其概率密度为，又随机变量Yg（X），则当积分绝对收敛时，Yg（X）的数学期望存在，且有此题中：（1）（2）（3）五、应用题：10分。30某制药厂广告宣称某种药品的疾病治愈率为80%，药品主管部门随机抽查了100名服用此药的疾病患者，如果其中有超过75%的患者治愈就认为该广告宣称是真实的，否则为虚假广告。求：（1）若此药的实际治愈率为75%，不接受这一广告宣称的概率；（2）若此药的治愈率确为80%，接受这一广告宣称的概率；（附：（1.25）0.8944）解：设随机抽查的100名患者中被治您的人数为X，p为治愈率，则（2分）（1）当p0.75时，（6分）（2）当p0.8时，（10分）【解析】棣莫弗拉普拉斯中心极限定理（P161）：设随机变量服从以n，p为参数的二项分布，且0p1.则对于任意实数x，有其中，为标准正态函数.由上式可知，近似服从标准正态分布，即依题可得：根据二项分布的定义：（1）（2）
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