1、16.1二次根式第1课时 二次根式的概念教学目标一、基本目标 【知识与技能】理解并掌握二次根式的概念，掌握二次根式中被开方数的取值范围和二次根式的取值范围【过程与方法】经历观察、比较、总结二次根式概念和被开方数取值范围的过程，发展学生的归纳概括能力【情感态度与价值观】经历观察、比较和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性和创造性，体验发现的快乐，并提高应用意识二、重难点目标【教学重点】二次根式的概念，二次根式有意义的条件【教学难点】求二次根式中字母的取值范围教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P2P3的内容，完成下面练习【3 min反馈】1一个正数有两个平方根；0的平方
2、根为0；在实数范围内，负数没有平方根因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0.2一般地，我们把形如(a0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号3下列式子中，不是二次根式的是(B)ABCD环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？，(x3)，(x0)，(ab0)【互动探索】(引发学生思考)要判断一个根式是不是二次根式，一是看根指数是不是2，二是看被开方数是不是非负数【解答】因为，(x3)，(ab0)中的根指数都是2，且被开方数均为非负数，所以都是二次根式.的根指数不是2，(x0)，的被开方数都小于0，所以不是二次根式【互动总
3、结】(学生总结，老师点评)判断一个式子是不是二次根式，要看所给的式子是否具备以下条件：(1)带二次根号；(2)被开方数是非负数【例2】当x_，在实数范围内有意义【互动探索】(引发学生思考)二次根式有意义要满足什么条件？本题是否还要考虑其他条件？【分析】要使在实数范围内有意义，必须同时满足被开方数x30和分母x10，解得x3且x1.【答案】3且x1【互动总结】(学生总结，老师点评)使一个代数式有意义的未知数的取值范围通常要考虑三种情况：一是分母不为零，二是偶次方根的被开方数为非负数，三是零次幂的底数不为零活动2巩固练习(学生独学)1下列式子中，是二次根式的是(A)ABCDx2使式子有意义的未知数
4、x有(B)A0 个B1 个C2 个D无数个3当x是多少时，x2在实数范围内有意义？解：依题意，得解得当x且x0时，x2在实数范围内没有意义活动3拓展延伸(学生对学)【例3】若实数x、y满足y3，求|y3|的值【互动探索】要求|y3|的值，需确定出x、y的取值范围根据式子y，可以确定出x、y的取值范围【解答】由题意，得x20且63x0，解得x2，则y3.故|y3|y3y2231.【互动总结】(学生总结，老师点评)利用二次根式有意义的条件求出x的值，从而确定y的取值范围，然后利用二次根式的性质化简代数式环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)二次根式练习设计请完成本课时对应训练！第2课时二次
5、根式的性质教学目标一、基本目标 【知识与技能】理解(a0)是一个非负数、()2a(a0)和a(a0)，并利用它们进行计算和化简；了解代数式的概念【过程与方法】在明确()2a(a0)和a(a0)的算理的过程中，感受数学的实用性；通过小组合作交流，培养学生的合作意识【情感态度与价值观】通过二次根式的相关计算，进而解决一些实际问题，培养学生解决问题的能力二、重难点目标【教学重点】二次根式的性质【教学难点】运用二次根式的性质进行有关计算教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P3P4的内容，完成下面练习【3 min反馈】1(1)当a0时，表示a的算术平方根，因此0；(2)当a0时，表
6、示0的算术平方根，因此0.概括：一般地，(a0)是一个非负数2教材P3“探究”，根据算术平方根的意义填空：(1)()24；()22；2；()20.(2)一般地，()2a(a0)3教材P4“探究”，填空：(1)2；0.01；0.(2)一般地，a(a0)教师点拨：二次根式的三个性质：(1)(a0)是一个非负数；(2)()2a(a0)；(3)a(a0)4用基本运算符号把数或表示数的字母连结起来的式子，我们称这样的式子为代数式5计算：21；.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】计算：(1)()2；(2)(2)2；(3)；(4).【互动探索】(引发学生思考)一个非负数的算术平方根的
7、平方等于什么？当二次根式的被开方数是一个完全平方数，开方时有什么规则？【解答】(1)2 1.5.(2)(2)222()24520.(3)()4.(4)5.【互动总结】(学生总结，老师点评)一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数当二次根式的被开方数是一个完全平方数时，【例2】化简下列二次根式(1)(a0，b0)；(2).【互动探索】(引发学生思考)根据开方的定义化简注意：二次根式的结果是最简二次根式【解答】(1)2a.(2)6133234.【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)若被开方数中含有负因数，则应先化成正因数；(2)将二次根式尽量化简，使被开方数(式)中不含能开得尽方的因数(式)，
8、即化为最简二次根式活动2巩固练习(学生独学)1下列各式正确的是(D)ABCD2计算：(1)()2；(2)()2；(3)；(4).解：(1)9.(2)3.(3)8.(4).当a1时，原式a1；当a1时，原式a1.3已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：2|ab|.解：从数轴上a、b的位置关系，可知2a1,1b2，且ba，故a10，b10，ab0，原式|a1|2|b1|ab|(a1)2(b1)(ab)b3.活动3拓展延伸(学生对学)【例3】 已知a、b、c是ABC的三边长，化简.【互动探索】根据三角形的三边关系，得出bca，bac.根据二次根式的性质得出含有绝对值的式子，然后去绝对值符号合并
9、即可【解答】a、b、c是ABC的三边长，bca，bac，原式|abc|bca|cba|abc(bca)(bac)abcbcabac3abc.【互动总结】(学生总结，老师点评)解答本题的关键是根据三角形的三边关系得出不等关系，进行变换后，结合二次根式的性质进行化简环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)二次根式的性质练习设计请完成本课时对应训练！16.2二次根式的乘除第1课时二次根式的乘法教学目标一、基本目标 【知识与技能】理解(a0，b0)，(a0，b0)，并利用它们进行计算和化简【过程与方法】经历“探索发现猜想验证”的过程，引导学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖、相互补充的关系；培养
10、学生用规范的数学语言进行表达的习惯和能力【情感态度与价值观】鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲，体验数学活动中的探索和创新，感受数学的严谨性二、重难点目标【教学重点】二次根式的乘法运算法则【教学难点】运用二次根式的乘法运算法则进行简单的运算教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P6P7的内容，完成下面练习【3 min反馈】1教材P6“探究”，计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？(1)6，6；(2)20，20；(3)30，30.规律：一般地，二次根式的乘法法则是 .2把反过来，就得到，利用它可以进行二次根式的化简环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论
11、(师生互学)【例1】计算：(1)；(2)；(3)；(4).【互动探索】(引发学生思考)利用二次根式的乘法运算法则进行计算【解答】(1).(2)3.(3)9.(4).【互动总结】(学生总结，老师点评)利用二次根式的乘法运算法则进行计算时，注意被开方数必须是非负数【例2】化简：(1)9；(2)；(3)81100；(4)；(5).【互动探索】(引发学生思考)利用二次根式积的算术平方根的性质进行化简时，需要注意什么？【解答】(1)3412.(2)4936.(3)91090.(4)2a2ab.(5)3.【互动总结】(学生总结，老师点评)积的算术平方根是二次根式乘法法则的逆用，注意被开方数必须是非负数活动
12、2巩固练习(学生独学)1等式成立的条件是(A)Ax1Bx1C1x1Dx1或x12计算：(1)；(2)3；(3)25.解：(1)6.(2)3.(3)18.3判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：(1)；(2)4448.解：(1)不正确改正：6.(2)不正确改正：4.活动3拓展延伸(学生对学)【例3】比较大小：(1)3与5；(2)4与5.【互动探索】由于根号外的因数不为1，可以将根号外的因数移到根号内，再比较被开方数的大小【解答】(1)3，5.因为，所以35.(2)4，5.因为，所以45.【互动总结】(学生总结，老师点评)要比较两个二次根式的大小，可以先运用二次根式的乘法运算法则，将根号外的数
13、移到根号内，再比较被开方数的大小环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)练习设计请完成本课时对应训练！第2课时二次根式的除法教学目标一、基本目标 【知识与技能】1理解(a0，b0)和(a0，b0)及利用它们进行运算；2理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式【过程与方法】通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求【情感态度与价值观】在经历二次根式除法运算法则的过程中，获得成就感，建立学习数学的信心和兴趣二、重难点目标【教学重点】最简二次根式的概念，二次根式的除法运算法则【教学难点】二次根式商的算术平方
14、根的运用教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P8P10的内容，完成下面练习【3 min反馈】(一)二次根式的除法1教材P8“探究”，计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？(1)，；(2)，；(3)，.规律：一般地，二次根式的除法法则是.2把 反过来，就得到，利用它可以进行二次根式的化简(二)最简二次根式1观察教材P8P9例4、例5、例6中各小题的最后结果，比如2，等，可以发现这些式子有如下两个特点：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式2在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根
15、式，并且分母中不含二次根式环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】计算：(1)；(2)；(3)；(4).【互动探索】(引发学生思考)利用二次根式的除法运算法则进行计算【解答】(1)原式2 .(2)原式2.(3)原式2.(4)原式2.【互动总结】(学生总结，老师点评)利用二次根式的除法运算法则进行计算时，注意被开方数必须是非负数，结果必须是最简二次根式【例2】化简：(1)；(2)；(3)；(4) .【互动探索】(引发学生思考)利用二次根式的除法运算法则和商的算术平方根的性质将二次根式进行化简【解答】(1)原式.(2)原式.(3)原式.(4)原式2.【互动总结】(学生总结，老师点
16、评)利用二次根式的除法运算法则和商的算术平方根的性质将二次根式进行化简时，注意将结果化为最简二次根式活动2巩固练习(学生独学)1计算的结果是(A)A B C D2如果(y0)是二次根式，那么化为最简二次根式是(C)A(y0)B(y0)C(y0)D以上都不对3化简：(1)； (2)； (3)； (4).解：(1)4.(2).(3)1.(4)112.活动3拓展延伸(学生对学)【例3】已知，且x为偶数，求(1x)的值【互动探索】等式形式符合商的算术平方根公式确定x的取值范围化简所求式子【解答】由题意，得即60，c.(2)根据勾股定理，得b2c2a217215264.b0，b8.活动3拓展延伸(学生对
17、学)【例3】在ABC中，AB20，AC15，AD为BC边上的高，且AD12，求ABC的周长【互动探索】应考虑高AD在ABC内和ABC外的两种情形【解答】当高AD在ABC内部时，如图1.在RtABD中，由勾股定理，得BD2AB2AD2202122162，BD16.在RtACD中，由勾股定理，得CD2AC2AD215212281，CD9.BCBDCD25，ABC的周长为25201560.当高AD在ABC外部时，如图2.同理可得，BD16，CD9.BCBDCD7，ABC的周长为7201542.综上所述，ABC的周长为42或60.图1图2【互动总结】(学生总结，老师点评)题中未给出图形，作高构造直角三
18、角形时，易漏掉钝角三角形的情况如在本例题中，易只考虑高AD在ABC内的情形，忽视高AD在ABC外的情形环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2b2c2.练习设计请完成本课时对应练习！第2课时勾股定理的应用教学目标一、基本目标【知识与技能】能运用勾股定理解决有关直角三角形的简单实际问题【过程与方法】经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，明确应用的条件【情感态度与价值观】培养合情推理能力，体会数形结合的思维方法，激发学习热情二、重难点目标【教学重点】勾股定理的简单应用【教学难点】运用勾股定理建立直角三角形模型解决有
19、关问题教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P25的内容，完成下面练习【3 min反馈】1勾股定理的内容是：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方2在ABC中，C90.若BC6，AB10，则AC8.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】如图，已知在ABC中，ACB90，AB5 cm，BC3 cm，CDAB于点D，求CD的长【互动探索】(引发学生思考)观察图形：“多直角三角形嵌套”图形已知边长，求高CD 利用等面积法求解【解答】ABC是直角三角形，ACB90，AB5 cm，BC3 cm，由勾股定理，得AC4 cm.又SABCABCDACBC，CD(cm)
20、【互动总结】(学生总结，老师点评)由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，这个规律也称“弦高公式”，它常与勾股定理联合使用【例2】如图，侦察员小王在距离东西向公路400 m处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400 m,10 s后，汽车与他相距500 m，你能帮小王算出敌方汽车的速度吗？【互动探索】(引发学生思考)要求敌方汽车的速度，需要算出BC的长在RtABC中利用勾股定理即可求得BC.【解答】由勾股定理，得AB2BC2AC2，即5002BC24002，所以BC300 m.故敌方汽车10 s行驶了300 m，所以它1 h行
21、驶的距离为300660108 000(m)，即敌方汽车的速度为108 km/h.【互动总结】(学生总结，老师点评)用勾股定理解决实际问题的关键是建立直角三角形模型，再代入数据求解活动2巩固练习(学生独学)1等腰三角形的腰长为13 cm，底边长为10 cm，则它的面积为(D)A30 cm2B130 cm2C120 cm2D60 cm22直角三角形两直角边长分别为5 cm、12 cm，则斜边上的高为cm.3如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达地点B 200 m，结果他在水中实际游了520 m，求该河流的宽度为多少？解：根据图中数据，运用勾股定理，得AB480(m)即该河
22、流的宽度为480 m.活动3拓展延伸(学生对学)【例3】如图1，长方体的高为3 cm，底面是正方形，边长为2 cm，现有绳子从D出发，沿长方体表面到达B点，问绳子最短是多少厘米？图1图2图3【互动探索】可把绳子经过的面展开在同一平面内，有两种情况，分别计算并比较，得到的最短距离即为所求【解答】如图2，由题易知，DD3 cm，BD224(cm)在RtDDB中，由勾股定理，得BD2DD 2BD 2324225；如图3，由题易知，BC2 cm，CD235 (cm)在RtDCB中，由勾股定理，得BD2BC 2CD2225229.因为2925，所以第一种情况绳子最短，最短为5 cm.【互动总结】(学生总
23、结，老师点评)此类题可通过侧面展开图，将要求解的问题放在直角三角形中，问题便迎刃而解环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)勾股定理的简单运用：(1)由直角三角形的任意两边的长度，可以应用勾股定理求出第三边的长度(2) 用勾股定理解决实际问题的关键是建立直角三角形模型，再代入数据求解练习设计请完成本课时对应练习！第3课时利用勾股定理表示无理数教学目标一、基本目标 【知识与技能】进一步熟悉勾股定理的运用，掌握用勾股定理表示无理数的方法【过程与方法】通过探究用勾股定理表示无理数的过程，锻炼了学生动手操作能力、分类比较能力、讨论交流能力和空间想象能力【情感态度与价值观】让学生充分体验到了数学思
24、想的魅力和知识创新的乐趣，体会数形结合思想的运用二、重难点目标【教学重点】探究用勾股定理表示无理数的方法【教学难点】会用勾股定理表示无理数教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P26P27的内容，完成下面练习【3 min反馈】1勾股定理的内容是：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方2教材P27，利用勾股定理在数轴上画出表示，的点3.的线段是直角边为正整数3,2的直角三角形的斜边环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是()A1B1C1D【互动探索】(引发学生思考)先根据勾股定理求出三角形的斜边长，再根据两点间
25、的距离公式即可求出A点的坐标【分析】图中的直角三角形的两直角边为1和2，斜边长为，1到A的距离是，那么点A所表示的数为1.故选C【答案】C【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，解答此题时要注意，确定点A的位置，再根据A的位置来确定a的值活动2巩固练习(学生独学)1小明学了利用勾股定理在数轴上找一个无理数的准确位置后，又进一步进行练习：首先画出数轴，设原点为点O，在数轴上的2个单位长度的位置找一个点A，然后过点A作ABOA，且AB3.以点O为圆心，OB为半径作弧，设与数轴右侧交点为点P，则点P的位置在数轴上(C)A1和2之间B2和3之间C3和4之间D4和5之间
26、2如图，OP1，过P作PP1OP且PP11，根据勾股定理，得OP1 ；再过P1作P1P2OP1且P1P21，得OP2 ；又过P2作P2P3OP2且P2P31，得OP32；.依此继续，得OP2018，OPn(n为自然数，且n0)3利用如图44的方格，作出面积为8平方单位的正方形，然后在数轴上表示实数和.解：面积为8平方单位的正方形的边长为，是直角边长为2,2的两个直角三角形的斜边长，画图如下：活动3拓展延伸(学生对学)【例2】如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形(1)在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；(2)在图2中，
27、画一个直角三角形，使它们的三边长都是无理数；(3)在图3中，画一个正方形，使它的面积是10.【互动探索】(1)利用勾股定理，找长为有理数的线段，画三角形即可；(2)先找出几个能构成勾股数的无理数，再画出来即可，如画一个边长，2， 的三角形；(3)画一个边长为的正方形即可【解答】(1)直角三角形的三边分别为3,4,5 ，如图1.(2)直角三角形的三边分别为，2， ，如图2.(3)画一个边长为的正方形，如图3.【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了格点三角形的画法，需仔细分析题意，结合图形，利用勾股定理和正方形的性质即可解决问题环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)利用勾股定理表示无理数练习设计请完成本课时对应练习！17.2勾股定理的逆定理教学目标一、基本目标【知识与技能】掌握勾股定理的逆定理，并能进行简单运用；理解互逆命题的有关概念【过程与方法】经历探索直角三角形的判定条件过程，理解勾股定理的逆定理【情感态度与价值观】激发学生解决问题的愿望，体会勾股定理逆向思维所获得的结论，明确其应用范围和实际价值二、重难点目标【教学重点】掌握勾股定理的逆定理，勾股数，理
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