1、2023年江苏省中考数学冲刺专题练8：二次函数一选择题（共12小题）1（2023泗阳县一模）设A（2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线yx22x+2上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）Ay1y2y3By1y3y2Cy3y2y1Dy3y1y22（2023涟水县一模）二次函数yax2+bx+c（a0）的顶点坐标为（1，n），其部分图象如图所示，下面结论错误的是（）Aabc0Bb24ac0C关于x的方程ax2+bx+cn+1没有实数根D关于x的方程ax2+bx+c0的负实数根x1取值范围为：1x103（2023常州模拟）对于二次函数y（x1）2的图象的特征，下列描述正确的是（）
2、A开口向上B经过原点C对称轴是y轴D顶点在x轴上4（2023常州模拟）现有函数y=x+4(xa)x2-2x(xa)如果对于任意的实数n，都存在实数m，使得当xm时，yn，那么实数a的取值范围是（）A5a4B1a4C4a1D4a55（2022亭湖区校级二模）已知抛物线ykx2+2x1与x轴有两个交点，则k的取值范围是（）Ak1Bk1Ck1且k0Dk1且k06（2022海陵区校级三模）如图，已知二次函数yax2+bx+c的图象与x轴交于（3，0），顶点是（1，m），则以下结论：若yc，则x2或x0；b+c=12m其中正确的是（）ABC都对D都不对7（2022邳州市校级模拟）在同一直角坐标系中，函数
3、yax+a和函数yax2+x+2（a是常数，且a0）的图象可能是（）ABCD8（2022钟楼区校级模拟）以下对二次函数y4x2的图象与性质的描述中，不正确的是（）A开口向上B对称轴是y轴C图像经过点（1，4）Dx0时，y随x的增大而增大9（2023靖江市校级模拟）如图，抛物线y=12x2x-32的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，顶点为D，以AB为直径在x轴上方画半圆交y轴于点E，圆心为I，P是半圆上一动点，连接DP，点Q为PD的中点下列四种说法：点C在I上；IQPD；当点P沿半圆从点B运动至点A时，点Q运动的路径长为；线段BQ的长可以是3.2其中正确说法的个数为（）A1个B2个C3个D
4、4个10（2022高邮市模拟）在三个函数：ykx+b（k0）；y=kx(k0)；yax2+bx+c（a0）的图象上，都存在点P1（n，y1），P2（n+1，y2），P3（n+2，y3），能够使不等式y3y2y2y1总成立的函数有（）A0个B1个C2个D3个11（2022淮阴区校级一模）已知关于x的一元二次方程为x2+px+q0的根为x12，x24则关于x的一元二次不等式x2+px+q0的解集为（）Ax2或x4B2x4Cx2Dx412（2022虎丘区校级模拟）设M为抛物线y（x1）2的顶点，点A、B为该抛物线上的两个动点，且MAMB连接点A、B，过M作MCAB于点C，则点C到y轴距离的最大值（）
5、A2B32C3D2二填空题（共7小题）13（2023泗阳县一模）在平面直角坐标系中，将抛物线yx22x+3绕着顶点旋转180后，所得抛物线的解析式为 14（2023泗洪县一模）如图，抛物线yx2+2x3交x轴于A、B两点，点P为x轴下方抛物线上任意一点，点C是抛物线对称轴与x轴的交点，直线BP、AP分别交抛物线的对称轴于点M、N，CM+CN的值等于 15（2023苏州模拟）已知二次函数ya（x2）2+a（a0），当1x4时，y的最小值为10，则a的值为 16（2023锡山区校级模拟）写出一个顶点坐标是（1，2）且开口向下的抛物线的解析式 17（2023靖江市校级模拟）二次函数yax2+bx3（
6、a0）的图象经过点（1，2），则代数式a+b的值为 18（2023工业园区校级模拟）如图是一座截面为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面3米高时，水面宽l为6米，则当水面下降3米时，水面宽度为 米（结果保留根号）19（2023沭阳县模拟）小敏在今年的校运动会跳高比赛中跳出了满意一跳，函数h3.5t4.9t2（t的单位：s，h的单位：m）可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间是 s三解答题（共8小题）20（2023涟水县一模）如图，抛物线yx2+bx+c与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，顶点D（1，4）在直线l：y=43x+t上，动点P（m，n）在x轴
7、上方的抛物线上（1）写出A点坐标 ；B点坐标 ；C点坐标 ；（2）过点P作PMx轴于点M，PNl于点N，当1m3时，求PM+PN的最大值；（3）设直线AP，BP与抛物线的对称轴分别相交于点E，F，请探索以A，F，B，G（G是点E关于x轴的对称点）为顶点的四边形面积是否随着P点的运动而发生变化，若不变，求出这个四边形的面积；若变化，说明理由；（4）将线段AB先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段MN，若抛物线ym（x2+bx+c）（a0）与线段MN只有一个交点，请直接写出m的取值范围 21（2023徐州一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数yx2+bx+c的图象与x轴分别交于
8、点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C（1）求该二次函数的表达式；（2）若点P是该二次函数图象上的动点，且P在直线BC的上方，如图1，当CB平分ACP时，求点P的坐标；如图2，连接PA交BC于E点，设SCPEkSCAE，求k的最大值22（2023贾汪区一模）如图，已知抛物线yx2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点（1）求抛物线的解析式；（2）连接AC，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得ACP的周长最小？若存在，求出点P的坐标和ACP的周长的最小值，若不存在，请说明理由；（3）点M为抛物线上一动点，点N为x轴上一动点，当以A，C，M，N为顶点的四边形为平行
9、四边形时，直接写出点M的横坐标23（2023锡山区校级模拟）如图，抛物线yx2+bx+c与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，若A（1，0）且OC3OA（1）求该抛物线的函数表达式；（2）如图，点D是该抛物线的顶点，点P（m，n）是第二象限内抛物线上的一个点，分别连接BD、BC、BP若PBC是直角三角形，且PBC90时，求P点坐标；当PBA2CBD时，求P点坐标24（2023惠山区校级模拟）某商店决定购A，B两种“冰墩墩”纪念品进行销售已知每件A种纪念品比每件B种纪念品的进价高30元用1000元购进A种纪念品的数量和用400元购进B种纪念品的数量相同（1）求A，B两种纪
10、念品每件的进价分别是多少元？（2）该商场通过市场调查，整理出A型纪念品的售价与数量的关系如表，售价x（元/件）50x6060x80销售量（件）1004005x当x为何值时，售出A纪念品所获利润最大，最大利润为多少？该商场购进A，B型纪念品共200件，其中A型纪念品的件数小于B型纪念品的件数，但不小于50件若B型纪念品的售价为每件m（m30）元时，商场将A，B型纪念品均全部售出后获得的最大利润为2800元，直接写出m的值25（2023沛县模拟）如图，已知抛物线yx2+ax经过点A（4，0）和B（1，m）点，其对称轴交x轴于点H，点C是抛物线在直线AB上方的一个动点（不含A，B两点）（1）求a、m
11、的值（2）连接AB、OB，若AOB的面积是ABC的面积的2倍，求点C的坐标（3）若直线AC、OC分别交该抛物线的对称轴于点E、F，试问EH+FH是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由26（2023工业园区校级模拟）在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（2，3），C（2，1），直线yx+m经过点A，抛物线yax2+bx+1恰好经过A，B，C三点中的两点（1）判断点B是否在直线yx+m上，并说明理由；（2）求a，b的值；（3）平移抛物线yax2+bx+1，若所得新抛物线的顶点仍在直线yx+m上，且经过点（0，1），求新抛物线的表达式27（2023泗阳县一模）在平面直角坐标系xOy
12、中，已知点A（1，0），B（0，b），C（1，4），P（m，n），点P在第一象限（1）若A、B、C、P在同一直线上b ，求4m2n的值；（2）如果P、C都在双曲线y=kx上，且四边形ABPC为平行四边形，请直接写出平行四边形ABPC的面积；（3）若A、B、P都在以C为顶点的抛物线上，该抛物线与x轴的另一交点为D求点D坐标； 连接BD、AP，若BD与AP相交于点E，则PEAE的最大值为 参考答案解析一选择题（共12小题）1（2023泗阳县一模）设A（2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线yx22x+2上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）Ay1y2y3By1y3y2Cy3y2y
13、1Dy3y1y2【解答】解：抛物线yx22x+2上（x+1）2+3的开口向下，对称轴为直线x1，而A（2，y1）离直线x1的距离最近，C（2，y3）点离直线x1最远，y1y2y3故选：A2（2023涟水县一模）二次函数yax2+bx+c（a0）的顶点坐标为（1，n），其部分图象如图所示，下面结论错误的是（）Aabc0Bb24ac0C关于x的方程ax2+bx+cn+1没有实数根D关于x的方程ax2+bx+c0的负实数根x1取值范围为：1x10【解答】解：A抛物线开口向下，a0，对称轴为直线x=-b2a=-1，b2a0，抛物线与y轴交于正半轴，c0，abc0，故A正确；B抛物线与x轴有两个交点，b
14、24ac0，即4acb20，故B正确；C抛物线开口向下，顶点为（1，n），函数有最大值n，抛物线yax2+bx+c与直线yn+1无交点，一元二次方程ax2+bx+cn+1无实数根，故C正确；D抛物线的对称轴为直线x1，抛物线与x轴的一个交点在（3，0）和（2，0）之间，抛物线与x轴的另一个交点在（0，0）和（1，0）之间，于x的方程ax2+bx+c0的正实数根x1取值范围为：0x11，故D错误；故选：D3（2023常州模拟）对于二次函数y（x1）2的图象的特征，下列描述正确的是（）A开口向上B经过原点C对称轴是y轴D顶点在x轴上【解答】解：y（x1）2，抛物线开口向下，顶点为（1，0），对称轴
15、为直线x1，故选：D4（2023常州模拟）现有函数y=x+4(xa)x2-2x(xa)如果对于任意的实数n，都存在实数m，使得当xm时，yn，那么实数a的取值范围是（）A5a4B1a4C4a1D4a5【解答】解：yx22x（x1）21，函数yx22x的最小值为1，把y1代入yx+4得，1x+4，解得x5，由图象可知，当5a4时，对于任意的实数n，都存在实数m，使得当xm时，函数yn，故选：A5（2022亭湖区校级二模）已知抛物线ykx2+2x1与x轴有两个交点，则k的取值范围是（）Ak1Bk1Ck1且k0Dk1且k0【解答】解：根据题意得22+4k10，解得：k1，由于该函数为二次函数，则k0
16、k1且k0故选：D6（2022海陵区校级三模）如图，已知二次函数yax2+bx+c的图象与x轴交于（3，0），顶点是（1，m），则以下结论：若yc，则x2或x0；b+c=12m其中正确的是（）ABC都对D都不对【解答】解：由题意可知对称轴为：直线x1，x=-b2a=-1，b2a，把yc，b2a代入yax2+bx+c得：ax2+2ax+cc，x2+2x0，解得x0或2，当yc，则x2或x0，故结论正确；把（1，m），（1，0）代入yax2+bx+c得：ab+cm，a+b+c0，b=-12m，b2a，a=-14m，二次函数yax2+bx+c的图象与x轴交于（3，0），顶点是（1，m），抛物线与x轴
17、的另一个交点为（1，0），a+b+c0，c=34m，b+c=-12m+34m=14m，故结论不正确故选：A7（2022邳州市校级模拟）在同一直角坐标系中，函数yax+a和函数yax2+x+2（a是常数，且a0）的图象可能是（）ABCD【解答】解：当a0时，一次函数过一二三象限，抛物线开口向上，对称轴x=-12a0，故B、C不符合题意，当a0时，一次函数过二三四象限，抛物线开口向下，对称轴x=-12a0，故A不符合题意故选：D8（2022钟楼区校级模拟）以下对二次函数y4x2的图象与性质的描述中，不正确的是（）A开口向上B对称轴是y轴C图像经过点（1，4）Dx0时，y随x的增大而增大【解答】解：
18、y4x2，抛物线开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0），x0时，y随x增大而增大，函数值y0，故选：C9（2023靖江市校级模拟）如图，抛物线y=12x2x-32的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，顶点为D，以AB为直径在x轴上方画半圆交y轴于点E，圆心为I，P是半圆上一动点，连接DP，点Q为PD的中点下列四种说法：点C在I上；IQPD；当点P沿半圆从点B运动至点A时，点Q运动的路径长为；线段BQ的长可以是3.2其中正确说法的个数为（）A1个B2个C3个D4个【解答】解：抛物线y=12x2x-32的图象与坐标轴交于点A，B，C，A（1，0），B（3，0），C（0，-32），点I（1
19、，0），I的半径为2，y=12x2x-32=12（x1）22，顶点D的坐标为：（1，2），ID2，点D在I上IC=OI2+OC2=12+(32)2=1322，故点C不在I上，故不正确；圆心为I，P是半圆上一动点，点D在I上，点Q为PD的中点IQPD，故正确；图中实点G、Q、I、F是点N运动中所处的位置，则GF是等腰直角三角形的中位线，GF=12AB2，ID交GF于点R，则四边形GDFI为正方形，当点P在半圆任意位置时，中点为Q，连接IQ，则IQPD，连接QR，则QR=12IDIRRDRGRF=12GF1，则点Q的运动轨迹为以R为圆心的半圆，则Q运动的路径长=122r，故正确；由得，当点Q运动到
20、点G的位置时，BQ的长最大，最大值为32+12=103.2，线段BQ的长不可以是3.2，故不正确故正确说法有：故选：B10（2022高邮市模拟）在三个函数：ykx+b（k0）；y=kx(k0)；yax2+bx+c（a0）的图象上，都存在点P1（n，y1），P2（n+1，y2），P3（n+2，y3），能够使不等式y3y2y2y1总成立的函数有（）A0个B1个C2个D3个【解答】解：如图，当点P1（n，y1），P2（n+1，y2），P3（n+2，y3）在同一直线上时，过点P1作P1Ax轴于点A，过点P2作P2Bx轴于点B，过点P3作P3Cx轴于点Cn+1=n+n+22，ABBC，AP1BP2CP3
21、，P1P2P2P3，y2=y1+y32，2y2y1+y3，y3y2y2y1，一次函数不满足条件，对于反比例函数k0时，如图，观察图象可知，y212（y1+y3），2y2y1+y3，y3y2y2y1，反比例函数不满足条件，对于抛物线a0，如图，观察图象可知，y212（y1+y3），2y2y1+y3，y3y2y2y1，当a0时，二次函数满足条件故选：B11（2022淮阴区校级一模）已知关于x的一元二次方程为x2+px+q0的根为x12，x24则关于x的一元二次不等式x2+px+q0的解集为（）Ax2或x4B2x4Cx2Dx4【解答】解：关于x的一元二次方程x2+px+q0的根为x12，x14，不等
22、式x2+px+q0可化为（x+2）（x4）0解得x2或x4，关于x的一元二次不等式x2+px+q0的解集为x2或x4故选：A12（2022虎丘区校级模拟）设M为抛物线y（x1）2的顶点，点A、B为该抛物线上的两个动点，且MAMB连接点A、B，过M作MCAB于点C，则点C到y轴距离的最大值（）A2B32C3D2【解答】解：如图，以M为原点建立新坐标系过点B作BEx轴于点E，过点A作ADx轴于点D，AHBE于点H，交y轴于点G，设AB交y轴于点K则抛物线在新坐标系下的解析式yx2，顶点M（0，0）设MDa，MEb，K（0，m），则ADa2，BEb2，KGBH，KGBH=AGAH，m-a2b2-a2
23、=aa+b，mab，AMMB，AMBADMBEM90，AMD+BME90，BME+EBM90，AMDMBE，ADMMEB，ADME=DMBE，a2b=ab2，ab1，m1，K（0，1），MK1，ACAB，MCK90，点C的运动轨迹是以MK为直径的圆，当点C在y的右边侧，到y轴的距离为12时，点C到y轴的距离最大，最大值为1+12=32故选：B二填空题（共7小题）13（2023泗阳县一模）在平面直角坐标系中，将抛物线yx22x+3绕着顶点旋转180后，所得抛物线的解析式为 yx2+2x+1【解答】解：yx22x+3（x1）2+2，抛物线的顶点坐标为（1，2），将抛物线yx22x+3绕着顶点旋转1
24、80后抛物线的顶点坐标不变，开口方向发生变化，所得抛物线的解析式为y（x1）2+2x2+2x+1故答案为：yx2+2x+114（2023泗洪县一模）如图，抛物线yx2+2x3交x轴于A、B两点，点P为x轴下方抛物线上任意一点，点C是抛物线对称轴与x轴的交点，直线BP、AP分别交抛物线的对称轴于点M、N，CM+CN的值等于 8【解答】解：令y0，则x2+2x30，解得x3或x1，A（3，0），B（1，0），yx2+2x3（x+1）24，抛物线的对称轴为直线x1，C（1，0），xMxN1，设P（t，t2+2t3）（3t1），设直线AP解析式为ydx+e，由题意得：d+e=0dt+e=t2+2t-3
25、，解得d=t+3e=-t-3，直线AP：y（t+3）xt3，当x1时，yMt3t32t6，CM0（2t6）2t+6设直线BP解析式为ymx+n，-3m+n=0mt+n=t2+2t-3，解得m=t-1n=3t-3，直线BP：y（t1）x+3t3当x1时，yNt+1+3t32t2，CN0（2t2）2t+2，CM+CN2t+6+（2t+2）8，CM+CN的值为8故答案为：815（2023苏州模拟）已知二次函数ya（x2）2+a（a0），当1x4时，y的最小值为10，则a的值为 1【解答】解：ya（x2）2+a（a0）的对称轴为直线x2，顶点坐标为（2，a），a0，函数有最大值a，在1x4，当x1时，
26、函数有最小值，9a+a10，解得a1；故答案为：116（2023锡山区校级模拟）写出一个顶点坐标是（1，2）且开口向下的抛物线的解析式 y（x1）2+2（答案不唯一）【解答】解：抛物线开口向下，顶点坐标为（1，2），a0，设函数解析式为ya（x1）2+2，只要a0取值即可；故答案为：y（x1）2+2（答案不唯一）17（2023靖江市校级模拟）二次函数yax2+bx3（a0）的图象经过点（1，2），则代数式a+b的值为 1【解答】解：将（1，2）代入yax2+bx3得2a+b3，a+b1，故答案为：118（2023工业园区校级模拟）如图是一座截面为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面3米高时，水面宽l为
27、6米，则当水面下降3米时，水面宽度为 62米（结果保留根号）【解答】解：建立平面直角坐标系如图所示：则抛物线顶点的坐标为（0，3），设抛物线的解析式为yax2+3，将A点坐标（3，0）代入，可得：09a+3，解得：a=-13，故抛物线的解析式为y=-13x2+3，将y3代入抛物线解析式得出：3=-13x2+3，解得：x32，所以水面宽度为62米，故答案为：6219（2023沭阳县模拟）小敏在今年的校运动会跳高比赛中跳出了满意一跳，函数h3.5t4.9t2（t的单位：s，h的单位：m）可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间是 514s【解答】解：h3.5t4.9t24.
28、9（t-514）2+58，当t=514时，h取得最大值，故他起跳后到重心最高时所用的时间是514s，故答案为：514三解答题（共8小题）20（2023涟水县一模）如图，抛物线yx2+bx+c与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，顶点D（1，4）在直线l：y=43x+t上，动点P（m，n）在x轴上方的抛物线上（1）写出A点坐标 （1，0）；B点坐标 （3，0）；C点坐标 （0，3）；（2）过点P作PMx轴于点M，PNl于点N，当1m3时，求PM+PN的最大值；（3）设直线AP，BP与抛物线的对称轴分别相交于点E，F，请探索以A，F，B，G（G是点E关于x轴的对称点）为顶点的
29、四边形面积是否随着P点的运动而发生变化，若不变，求出这个四边形的面积；若变化，说明理由；（4）将线段AB先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段MN，若抛物线ym（x2+bx+c）（a0）与线段MN只有一个交点，请直接写出m的取值范围 m=54或m1或m53【解答】解：（1）抛物线的顶点D（1，4），可以假设抛物线的解析式为y（x1）2+4x2+2x+3，当x0时，y3，即点C（0，3），令yx2+2x+30，解得：x3或1，即A（1，0），B（3，0），故答案为：（1，0），（3，0），（0，3）；（2）延长MP交直线l与点H，将点D的坐标代入直线l的表达式得：4=43+t，
30、解得：t=83，则直线l：y=43x+83，H（m，43m+83） 设直线l交x轴于点C，交y轴于点L，C（2，0），L（0，83），CL=103，sinCLO=35，由LOHM，NHMCLO，sinNHM=35，PH=43m+83+m22m3m2-23m-13，PN=35PH，PM+PNm2+2m+3+35（m2-23m-13）=-25（m2）2+225，-250，m2时，PM+PN的值最小，最小值为225；（3）四边形AFBG的面积不变，理由：理由：如图，设P（m，m2+2m+3），A（1，0），B（3，0），直线AP的解析式为y（m3）xm+3，E（1，2m+6），E，G关于x轴对称，G
31、（1，2m6），直线PB的解析式y（m+1）x+3（m+1），F（1，2m+2），GF2m+2（2m6）8，四边形AFBG的面积=12ABFG=124816四边形AFBG的面积是定值；（4）A（1，0），B（3，0）；将线段AB先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段MN，M（0，5），N（4，5），而ym（x2+bx+c）m（x1）2+4m，抛物线的顶点为（1，4m），当顶点在线段MN上时，抛物线与线段MN只有一个交点，则m=54，当m0时，如图，当x4时，ym（41）2+4m5，解得：m1；当x0时，y5，解得：m53，m1；当m0时，如图所示，当x0时，ym+4m5，解得
32、：m53，当x4时，y5，解得：x1，m53，综上所述：m=54或m1或m53，故答案为：m=54或m1或m5321（2023徐州一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数yx2+bx+c的图象与x轴分别交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C（1）求该二次函数的表达式；（2）若点P是该二次函数图象上的动点，且P在直线BC的上方，如图1，当CB平分ACP时，求点P的坐标；如图2，连接PA交BC于E点，设SCPEkSCAE，求k的最大值【解答】解：（1）将点A（1，0）、B（3，0）代入yx2+bx+c，-1-b+c=0-9+3b+c=0，解得b=2c=3，二次函数的解析式为yx2+2x+
33、3；（2）令x0，则y3，C（0，3），OC3，B（3，0），OB3，OBOC，OBCOCB45，如图1，过点C作CDOB，过点P作PDCD交于点D，连接PC，BCD45，CB平分ACP，ACBPCB，ACOPCD，OA1，OC3，tanACOtanPCD=13，设P（t，t2+2t+3），则PDt2+2t，CDt，13=-t2+2tt，解得t0（舍）或t=53，P点坐标为（53，329）；如图2，过点P作PHx轴交于点H，交直线BC于点M，过点A作AGx轴交直线BC于点G，PHAG，PEAE=PMAG，SCPEkSCAE，PEkAE，PMAG=k，设直线BC的解析式为ypx+q，q=33p+
34、q=0，解得p=-1q=3，yx+3，设P（m，m2+2m+3），则M（m，m+3），PMm2+2m+3+m3m2+3m，AG4，PMAG=-m2+3m4=k，k=-14（m-32）2+916，0m3，当m=32时，k有最大值91622（2023贾汪区一模）如图，已知抛物线yx2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点（1）求抛物线的解析式；（2）连接AC，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得ACP的周长最小？若存在，求出点P的坐标和ACP的周长的最小值，若不存在，请说明理由；（3）点M为抛物线上一动点，点N为x轴上一动点，当以A，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形
35、时，直接写出点M的横坐标【解答】解：（1）将A（1，0），B（3，0）代入yx2+bx+c，-1-b+c=0-9+3b+c=0，解得b=2c=3，抛物线的解析式为：yx2+2x+3；（2）抛物线的对称轴上存在点P，使得ACP的周长最小，理由如下：yx2+2x+3（x1）2+4，抛物线的对称轴为直线x1，A、B点关于直线x1对称，PAPB，ACP的周长AC+AP+CPAC+PB+CPAC+BC，当B、C、P三点共线时，ACP的周长有最小值，当x0时，y3，C（0，3），AC=10，BC=32，ACP的周长的最小值为10+32；设直线BC的解析式为ykx+m，m=33k+m=0，解得k=-1m=3
36、，yx+3，P（1，2）；（3）设M（x，x2+2x+3），N（n，0），当AC为平行四边形的对角线时，-1=x+n3=-x2+2x+3，解得x=0n=-1（舍）或x=2n=-3，M（2，3）；当AM为平行四边形的对角线时，-1+x=n-x2+2x+3=3，解得x=0n=-1（舍）或x=2n=1，M（2，3）；当AN为平行四边形的对角线时，-1+n=x0=3-x2+2x+3，解得x=1+7n=2+7或x=1-7n=2-7，M(1+7，-3)或(1-7，-3)；综上所述：M点横坐标为2或1+7或1-723（2023锡山区校级模拟）如图，抛物线yx2+bx+c与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的
37、左侧），与y轴交于点C，若A（1，0）且OC3OA（1）求该抛物线的函数表达式；（2）如图，点D是该抛物线的顶点，点P（m，n）是第二象限内抛物线上的一个点，分别连接BD、BC、BP若PBC是直角三角形，且PBC90时，求P点坐标；当PBA2CBD时，求P点坐标【解答】解：（1）由点A的坐标知，OA1，而OC3AO3，则CO3，即点C（0，3），则抛物线的表达式为：yx2+bx3，将点A的坐标代入上式得：01b3，解得：b2，故抛物线的表达式为：yx22x3；（2）令yx22x30，解得：x1或3，即点B（3，0），故OBOC3，则ABC45OCB，PBC90，则BP和x轴负半轴的夹角为45，
38、故直线PB的表达式为：y（x3），联立yx22x3和y（x3）并解得：x2，则点P（2，5）；由抛物线的表达式知，点D（1，4），则CD=2，且CD和y轴负半轴的夹角为45，而OCB45，故CDBC，延长DC到M使CMCD，连接BM，则BMD为等腰三角形，则CBDCBM，则MBD2CBDPBA，过点D作DHBM于点H，则SBDM=12MDBC=12MBDH，由点C、D、B的坐标得：MD2CD22，BC32，BD=20=BM，即2232=20HD，则HD=1220，则sinHBD=HDBD=122020=35，则tanHBD=34=tanPBA，故直线BP的表达式为：y=-34（x3），联立yx
39、22x3和上式并解得：x=-74y=5716即点P的坐标为：（-74，5716）24（2023惠山区校级模拟）某商店决定购A，B两种“冰墩墩”纪念品进行销售已知每件A种纪念品比每件B种纪念品的进价高30元用1000元购进A种纪念品的数量和用400元购进B种纪念品的数量相同（1）求A，B两种纪念品每件的进价分别是多少元？（2）该商场通过市场调查，整理出A型纪念品的售价与数量的关系如表，售价x（元/件）50x6060x80销售量（件）1004005x当x为何值时，售出A纪念品所获利润最大，最大利润为多少？该商场购进A，B型纪念品共200件，其中A型纪念品的件数小于B型纪念品的件数，但不小于50件若
40、B型纪念品的售价为每件m（m30）元时，商场将A，B型纪念品均全部售出后获得的最大利润为2800元，直接写出m的值【解答】解：（1）设B纪念品每件的进价是x元，则A纪念品每件的进价是（x+30）元，由题意，得：1000x+30=400x，解得：x20，经检验：x20是原方程的解；当x20时：x+3020+3050；A，B两种纪念品每件的进价分别是50元和20元；（2）设利润为w元，由表格得：当50x60时，w（x50）100100x5000，k1000，w随着x的增大而增大，当售价为：60元时，利润最大为：1006050001000元；当60x80，w（x50）（4005x）5x2+650x200005（x652）+1125，a50，当x65时，利润最大为：1125元；综上：当x65时，售出A纪念品所获利润最大，最大利润为1125元设该商场购进A型纪念品a件，则购进B型纪念品（200a）件，由题意，得：50a200a，解得：50a100，由可知：由表格
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