1、2023年中考数学高频考点突破：圆的综合1如图，点O在的平分线上，与相切于点C(1)判断与的位置关系，并说明理由；(2)的延长线与交于点E若的半径为3，求弦的长2如图，以的边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与边交于点E，D为的下半圆弧的中点，连接交于F，若(1)求证：是的切线；(2)若，求阴影部分的面积3如图，为的直径，C为上一点，D为延长线上一点，(1)求证：为的切线；(2)若的半径为5，求的长4如图，、为上的两个定点，是上的动点（不与、重合），我们称为上关于、的滑动角已知是上关于点、的滑动角(1)若为的直径，则 _ ；(2)若半径为，求的度数5如图，中，点D为斜边的中点，以为直径作，
2、分别与，边交于点E，F，连接，过点F作，垂足为G(1)求证：是的切线；(2)已知的半径为，若，求的长6如图，在中，弦与直径交于点，弦的延长线与过点A的的切线交于点连接，且(1)求证：；(2)若，求的长7如图，为的切线，A为切点，过点A作，垂足为点C，交于点B，延长与的延长线交于点D(1)求证：是的切线；(2)若，求的长8如图，在中，以为直径作交于点D、E，过点D作交于点G，交的延长线于点H，直线是的切线(1)求证：；(2)若，求的长9如图，交于点，是半径，且于点(1)求证：；(2)若，求的半径10如图，为的直径，C，D为上不同于A，B的两点，连接过点C作，垂足为E，直线与相交于点F(1)求证：
3、为的切线；(2)当，时，求、的长11如图，已知在中，以为半径的与、分别交于点、，联结，(1)求的长；(2)求的面积12如图，在中，以为直径作交于点D，交的延长线于点E，连接，过点D作，垂足为点F(1)求证：是的切线；(2)如果，求的半径13如图，矩形内接于O请用直尺（不带刻度）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹(1)在图1中，作出圆心O；(2)在如图2中， 点E是边的中点，连接， 作出的角平分线14如图1，为的直径，为弦，过圆心O作于D，点E为延长线上一点，是的切线(1)求证：；(2)如图2，取弧的中点P，连接、，若、，求弦的长15如图，在中，是的平分线，是上一点，以为半径的经过点D，
4、交于点E、G(1)求证：(2)若，求的长16如图，是的直径，直线与相切于点A，直线与相切于点，点（异于点）在上，点在上，且，延长与相交于点，连接并延长交于点(1)求证：是的切线；(2)求证：17已知与相切于点A，与相交于点B，点C在优弧上，且与点A，B不重合(1)如图，若，求的大小；(2)如图，垂足为D，若，求的长18如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，且(1)求证：是的切线；(2)若直径，求的长参考答案1(1)与相切，理由见解析(2)【分析】（1）连接，过点作，交于点，根据角平分线的性质，可得，即可得到与相切；（2）设交于点，连接，证明，求出的长，利用相似比，得到，再利用勾股定
5、理，进行求解即可【解析】（1）解：与相切，理由如下：连接，与相切于点C，过点作，交于点，点O在的平分线上，点在上，与相切（2）设交于点，连接，则：，即：，的半径为3，或（舍去）；，在中：，即：，【点评】本题考查圆的综合应用，主要考查了切线的判定和性质，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，以及勾股定理熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键2(1)见解析(2)【分析】（1）连接、，易得，证明，即可得证；（2）连接，利用，进行求解即可【解析】（1）证明：连接、，D为弧的中点， ，为半径，是切线；（2）解：连接，在中，在中，【点评】本题考查圆周角定理，垂径定理的推论，切线的判定和性质，求阴影
6、部分的面积熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键3(1)证明见解析(2)【分析】（1）如图所示，连接，由直径所对的圆周角是直角得到，则，再根据等边对等角和已知条件证明，推出，由此即可证明为的切线；（2）先解，得到 ，证明，得到，设，则，利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案【解析】（1）证明：如图所示，连接，为的直径，又，即，为的切线；（2）解：在中，即，设，则，在中，由勾股定理得：，解得（不合题意的值舍去），【点评】本题主要考查了切线的判定，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的性质与判定，等边对等角等等，正确作出辅助线是解题的关键4(1)(2)或【分析】（1）由为的直径，根据直径所对
7、的圆周角是直角，即可求得的度数（2）连接由勾股定理的逆定理，即可证得然后由圆周角定理，即可求得答案【解析】（1）为的直径，故答案为：；（2）连接 的半径是， 又 由勾股定理的逆定理可得 若点在优弧上, 若点在劣弧上,或【点评】本题考查了圆周角定理，勾股定理的逆定理，掌握圆周角定理是解题的关键5(1)见解析(2)4【分析】（1）连接OF，根据D为斜边的中点，可得，再根据，等量代换，则，即可得到，即可求证；（2）连接DF，通过证明四边形是矩形，则，根据勾股定理可得，即可求解【解析】（1）证明：连接OF，点D为斜边的中点，又，又，即，又是的半径，与相切（2）连接为的直径，又，四边形是矩形，中，【点评
8、】此题考查了圆的有关性质，涉及了切线的判定与性质，矩形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关基础性质并灵活运用6(1)见解析(2)4【分析】（1）由圆周角定理的推论和切线的性质可得出，进而可得出，再根据等腰三角形的性质即可推出，由同弧所对圆周角相等即可得出，从而推出，即证明；（2）过点作于点，由正切的定义可求出，再结合勾股定理可求出，再利用由等积法可求出又易证，即得出，即点是的中点由等腰三角形的性质可得出点是的中点，即得出是的中位线，从而可求出【解析】（1）证明：是的直径，是的切线，又，；（2）解：如图，过点作于点，即点是的中点，点是的中点，是的中位线，【点评】本题考查圆周角定理的
9、推论，切线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，三角形中位线的性质等知识熟练掌握圆的相关知识是解题关键7(1)见解析(2)10【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质得到，根据切线的判定定理即可证得结论；（2）先根据勾股定理求出，再求出，即可求解【解析】（1）证明：连接，是的切线，在与中，是半径，是的切线；（2）解：，在中，、为的切线，在中，即，解得，【点评】本题考查的是切线的判定和性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理的应用，切线长定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键8(1)见解析(2)【分析】（1）连接，先证明，再
10、利用平行线分线段成比例定理进行证明即可；（2）设，表示出，通过平行线的性质得出，再通过解直角三角形求出半径长度和的长度，进行求解即可【解析】（1）连接，直线是的切线，；（2）设，为的中位线， ，即，解得，【点评】本题考查了切线的性质，三角形中位线的性质，平行线的判定和性质，平行线分线段成比例定理及解直角三角形，熟练掌握知识点是解题的关键9(1)证明见解析；(2)的半径为5【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，由垂径定理得，再根据线段的和差关系可得结论；（2）连结，结合垂径定理和勾股定理列方程求解即可【解析】（1），是半径，即（2）如图，连结，解得答：的半径为5【点评】本题考查垂径定理、勾股定
11、理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题10(1)见解析(2)，【分析】（1）连接先根据等边对等角及三角形外角的性质得出，由已知，得到，则，再由，得到，根据切线的判定即可证明为的切线；（2）连接，先解，得出，由，得出，则，设的半径为r，由此列出方程，解方程求出r的值，由为的直径，得出，再根据三角形内角和定理证明，则由，求出的长【解析】（1）证明：如下图所示，连接，又，又，又为的半径，为的切线；（2）解：如下图所示，连接在中， ，设的半径为r，为的直径，【点评】本题考查了切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定与性质等知识点要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆
12、心与这点（即为半径），再证垂直即可11(1)(2)27【分析】（1）作交于点F，首先根据三角函数值求出，然后利用勾股定理求出，进而得到，最后利用勾股定理求解即可；（2）首先根据勾股定理的逆定理得到，作交于点G，然后证明，根据相似三角形的性质得到，然后利用垂径定理得到，最后利用三角形面积公式求解即可然后利用三角形面积公式求解即可【解析】（1）如图，作交于点F，；（2），如图所示，作交于点G，即，【点评】此题考查了解直角三角形，垂径定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理和逆定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点12(1)见解析(2)【分析】（1）连结，根据圆的基本性质知，结合题意知，是的中位线，所以
13、，再根据题意及切线性质，进行作答；（2）证明，得到，根据中位线的性质得到，根据勾股定理计算出的值，最后得到的半径【解析】（1）证明：连结，以为直径的交于点D，又O是中点，是的中位线，,是的切线；（2）解：为直径.，,， 的半径为.【点评】本题考查了圆的基本性质、与直线与圆的位置关系和中位线的性质，熟练掌握圆的基本性质、与直线与圆的位置关系、中位线性质运用是本题解题关键.13(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据矩形内接于O及矩形中心对称的性质即可得到圆心与矩形对称中心重合，连接，交点即为圆心O；（2）找到圆心O，过圆心作的垂线交弧于一点F，根据垂径定理及圆周角定理可知连接即可得到答案；【解
14、析】（1）解：矩形内接于O，圆心即为矩形对称中心，连接，交于一点即为圆心O，如图所示， ；（2）解：找到圆心O，过圆心作的垂线交弧于一点F，根据垂径定理及圆周角定理可知连接即为的角平分线， ；【点评】本题考查圆周角定理，垂径定理，矩形的中心对称性，解题的关键是熟练掌握矩形的中心对称性与圆的中心对称性14(1)见解析(2)【分析】（1）连接，首先根据切线的性质可得， 由等腰三角形的性质可得，再由，可得，据此即可证得结论；（2）连接交于点F，首先根据是直径，可得，由勾股定理可得，再由点为弧的中点，可得，可证得四边形是矩形，可得，再利用勾股定可理即可求得弦的长【解析】（1）证明：如图：连接，是的切线
15、， 即， ，；（2）解：如图：连接交于点F，是的直径，为弧的中点， ，又，四边形是矩形， ， ，在中，【点评】本题考查了切线的性质，垂径定理，等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，矩形的判定与性质，作出辅助线是解决本题的关键15(1)见解析(2)8【分析】（1）根据角平分线和等边对等角，得到，进而得到，即可得证；（2）作于，易得四边形为矩形，得到，勾股定理求出，利用，即可求出的长【解析】（1）证明：是的平分线，（2）解：作于，由（1）可知，又，四边形为矩形，由勾股定理得：，【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理熟练掌圆中半径相等，等边对等角，是
16、解题的关键16(1)见解析(2)见解析【分析】（1）连接，根据等边对等角可得，再根据可得，即可求证；（2）易证，则，根据，可得，进而得到，再根据切线长定理可得，即可求证【解析】（1）解：连接，直线与相切于点A，是的切线（2）直线、直线是的切线，、是的切线，【点评】本题主要考查了切线的判定、切线长定理，解题的关键是熟练掌握切线的判定方法以及从圆外一点可以作圆的两条切线，这两条切线长度相等17(1)(2)【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，再利用余角的性质求出的度数即可；（2）连接由可得，再根据垂径定理及勾股定理解答即可【解析】（1）解：如图，连接与相切于点A，得，（2）如图，连接由（1）知，在中，【点评】此题考查了切线的性质定理，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，正确掌握圆的知识是解题的关键18(1)详见解析(2)【分析】(1)根据直径所对的圆周角是直角，余角的性质即可求得结论；(2)根据已知条件可知，再根据正切的定义和相似三角形的性质得到线段的关系即可求得线段的长度【解析】（1）证明：连接，是的直径，又，又，即，是的切线；（2）解：，在中，设，则，又，即，解得（取正值），【点评】本题考查了圆周角的性质，切线的判定定理，正切的定义，相似三角形的性质和判定，找出正切的定义与相似三角形相似比的关联是解题的关键
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