1、2023年中考数学高频考点突破圆的综合1如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且ODBC，OD与AC交于点E（1）若B=70，求CAD的度数；（2）若AB=4，AC=3，求DE的长2如图，在ABC中，AB=AC，以AB为直径的O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作O的切线DF，交AC于点F（1）求证：DFAC；（2）若O的半径为4，CDF=22.5，求阴影部分的面积3如图，AB为O的直径，点C在O上，延长BC至点D，使DC=CB，延长DA与O的另一个交点为E，连结AC，CE（1）求证：B=D；（2）若AB=4，BC-AC=2，求CE的长4如图，四边形ABCD是O的内接四边形，BC
2、的延长线与AD的延长线交于点E，且DC=DE（1）求证：A=AEB；（2）连接OE，交CD于点F，OECD，求证：ABE是等边三角形5如图点A、B、C、D在O上，ACBD于点E，过点O作OFBC于F，求证：（1）AEBOFC；（2）AD=2FO6如图，AB是O的直径，弦CDAB与点E，点P在O上，1=C，（1）求证：CBPD；（2）若BC=3，sinP=，求O的直径7如图，四边形OABC是平行四边形，以O为圆心，OA为半径的圆交AB于D，延长AO交O于E，连接CD，CE，若CE是O的切线，解答下列问题：（1）求证：CD是O的切线；（2）若BC=3，CD=4，求平行四边形OABC的面积8如图，已
3、知O的半径为6cm，射线PM经过点O，OP=10cm，射线PN与O相切于点QA，B两点同时从点P出发，点A以5cm/s的速度沿射线PM方向运动，点B以4cm/s的速度沿射线PN方向运动设运动时间为ts（1）求PQ的长；（2）当t为何值时，直线AB与O相切？9如图，AB是O直径，D为O上一点，AT平分BAD交O于点T，过T作AD的垂线交AD的延长线于点C（1）求证：CT为O的切线；（2）若O半径为2，CT=，求AD的长10如图，AD是ABC的外接圆O的直径，点P在BC延长线上，且满足PAC=B（1）求证：PA是O的切线；（2）弦CEAD交AB于点F，若AFAB=12 ，求AC的长11如图，已知A
4、B，CD是的直径，过点C作的切线交AB的延长线于点P，的弦DE交AB于点F，且DF=EF（1）求证：CO2=OFOP；（2）连接EB交CD于点G，过点G作GHAB于点H，若PC=，PB=4，求GH的长12已知：AB为O的直径，延长AB到点P，过点P作圆O的切线，切点为C，连接AC，且AC=CP.（1）求P的度数；（2）若点D是弧AB的中点，连接CD交AB于点E，且DEDC=20，求O的面积.（取3.14）13如图，在RtACB中，ACB=90，以点A为圆心，AC长为半径的圆交AB于点D，BA的延长线交A于点E，连接CE，CD，F是A上一点，点F与点C位于BE两侧，且FAB=ABC，连接BF（1
5、）求证：BCD=BEC；（2）若BC=2，BD=1，求CE的长及sinABF的值14如图，在RtABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连结AD已知CAD=B,（1）求证：AD是O的切线（2）若BC=8，tanB=，求O 的半径15如图，在RtACB中，C=90，AC=3cm，BC=4cm，以BC为直径作O交AB于点D（1）求线段AD的长度；（2）点E是线段AC上的一点，试问：当点E在什么位置时，直线ED与O相切？请说明理由16如图，ABC内接于O，BD为O的直径，BD与AC相交于点H，AC的延长线与过点B的直线相交于点E，且A=EBC（1）求证
6、：BE是O的切线；（2）已知CGEB，且CG与BD、BA分别相交于点F、G，若BGBA=48，FG=，DF=2BF，求AH的值17如图，在ABC中，C=90,AE平分BAC交BC于点E,O是AB上一点，经过A,E两点的O交AB于点D，连接DE，作DEA的平分线EF交O于点F，连接AF.（1）求证：BC是O的切线；（2）若sinEFA=,AF=,求线段AC的长.18如图，AB为的直径，C为上一点，D为BA延长线上一点，求证：DC为的切线；线段DF分别交AC，BC于点E，F且，的半径为5，求CF的长参考答案1（1）35；（2）2【分析】（1）根据圆周角定理可得ACB=90，则CAB的度数即可求得，
7、在等腰AOD中，根据等边对等角求得DAO的度数，则CAD即可求得.（2）易证OE是ABC的中位线，利用中位线定理求得OE的长，则DE即可求得【解析】解：（1）AB是半圆O的直径，ACB=90，又ODBC，AEO=90，即OEAC.B=70，CAB=90B=9070=20OA=OD，DAO=ADO=55，CAD=DAOCAB=5520=35；（2）在RtABC中，BC=OEAC，AE=EC，又OA=OB，OE=BC=又OD=AB=2，DE=ODOE=2【点评】题目主要考查圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，勾股定理，垂径定理，三角形中位线定理等知识点，熟练掌握运用这些知
8、识点是解题关键2（1）证明见解析；（2）【分析】（1）连接，易得，由，易得，等量代换得，利用平行线的判定得，由切线的性质得，得出结论；（2）连接，利用（1）的结论得，易得，得出，利用扇形的面积公式和三角形的面积公式得出结论【解析】（1）证明：连接，AB=AC，ABC=ACBODB=ACB，ODACDF是O的切线，DFODDFAC（2）连接OE，DFAC，CDF=22.5 ABC=ACB=67.5，BAC=45OA=OE，AOE=90的半径为4，【点评】本题主要考查了切线的性质，扇形的面积与三角形的面积公式，圆周角定理等，作出适当的辅助线，利用切线性质和圆周角定理，数形结合是解答此题的关键3（1
9、）见解析（2）【分析】（1）由AB为O的直径，易证得ACBD，又由DC=CB，根据线段垂直平分线的性质，可证得AD=AB，即可得：B=D；（2）首先设BC=x，则AC=x-2，由在RtABC中，可得方程：，解此方程即可求得CB的长，继而求得CE的长【解析】解：（1）证明：AB为O的直径，ACB=90ACBCDC=CBAD=ABB=D（2）设BC=x，则AC=x2，在RtABC中，解得：（舍去）B=E，B=D，D=ECD=CECD=CB，CE=CB=4（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）根据圆内接四边形的性质可得，根据邻补角互补可得，进而得到，然后利用等边对等角可得，进而可得；（2）
10、首先证明是等边三角形，进而可得，再根据，可得ABE是等腰三角形，进而可得ABE是等边三角形【解析】解：（1）四边形ABCD是O的内接四边形，DC=DE，；（2），ABE是等腰三角形，EOCD，CF=DF，EO是CD的垂直平分线，ED=EC，DC=DE，DC=DE=EC，DCE是等边三角形，ABE是等边三角形【点评】本题考查圆内接四边形的性质；等边三角形的判定与性质；圆周角定理5证明：（1）如图，连接OB，则BAE=BOC，OFBC，COF=BOCBAE=COF又ACBD，OFBC，OFC=AEB=90AEBOFC（2）AEBOFC，即由圆周角定理，D=BCE，DAE=CBE，ADEBCEOFB
11、C，BC=2CFAD =2FO【解析】试题分析：（1）连接OB，根据圆周角定理可得BAE=BOC，根据垂径定理可得COF=BOC，再根据垂直的定义可得OFC=AEB=90，然后根据两角对应相等，两三角形相似证明即可；（2）根据相似三角形对应边成比例可得，再根据圆周角定理求出D=BCE，DAE=CBE，然后求出ADE和BCE相似，根据相似三角形对应边成比例可得，从而得到，再根据垂径定理BC=2FC，代入整理即可得证6（1）见解析;（2）5【分析】（1）要证明CBPD，可以求得1P，根据可以确定CP，又知1C，即可得1P；（2）根据题意可知PCAB，则sinCAB，即，所以可以求得圆的直径【解析】
12、解：（1）证明：C=P，1=C，1=P.CBPD.（2）连接AC，AB为O的直径，ACB=90.又CDAB，.P=CAB.sinCAB=sinP =，即.又BC=3，AB=5.O的直径为5.7（1)证明见解析；（2）平行四边形OABC的面积S=12【解析】试题分析：（1）连接OD，求出EOC=DOC，根据SAS推出EOCDOC，推出ODC=OEC=90，根据切线的判定推出即可；（2）根据全等三角形的性质求出CE=CD=4，根据平行四边形性质求出OA=3，根据平行四边形的面积公式求出即可试题解析：（1）连接OD，OD=OA，ODA=A，四边形OABC是平行四边形，OCAB，EOC=A，COD=O
13、DA，EOC=DOC，又OE=OD，OC=OC，EOCDOC（SAS），ODC=OEC=90，即ODDC，CD是O的切线；（2）EOCDOC，CE=CD=4，四边形OABC是平行四边形，OA=BC=3，平行四边形OABC的面积S=OACE=34=12考点：1、全等三角形的性质和判定；2、切线的判定与性质；3、平行四边形的性质8（1）8cm（2）当t为0.5s或3.5s时直线AB与O相切【分析】（1）根据切线的性质得OQP=90，在直角OPQ中根据勾股定理就可以求出PQ的值；（2）过点O作OCAB，垂足为C直线AB与O相切，则PABPOQ，根据相似三角形的对应边的比相等，就可以求出t的值【解析】
14、（1）连接OQ，PN与O相切于点Q，OQPN，即OQP=90.OP=10，OQ=6，PQ=8（cm）（2）过点O作OCAB，垂足为C.点A的运动速度为5cm/s，点B的运动速度为4cm/s，运动时间为ts，PA=5t，PB=4t.PO=10，PQ=8，.P=P，PABPOQ.PBA=PQO=90.BQO=CBQ=OCB=90，四边形OCBQ为矩形BQ=OCO的半径为6，BQ=OC=6时，直线AB与O相切当AB运动到如图1所示的位置，BQ=PQPB=84t，BQ=6，84t=6.t=0.5（s）当AB运动到如图2所示的位置，BQ=PBPQ=4t8，BQ=6，4t8=6.t=3.5（s）当t为0.
15、5s或3.5s时直线AB与O相切9（1）证明见解析；（2）2【分析】（1）连接OT，根据角平分线的性质，以及直角三角形的两个锐角互余，证得CTOT，CT为O的切线（2）证明四边形OTCE为矩形，求得OE的长，在直角OAE中，利用勾股定理即可求解【解析】解：（1）证明：连接OT，OA=OT，OAT=OTA又AT平分BAD，DAT=OATDAT=OTAOTAC又CTAC，CTOTOT是O的半径，CT为O的切线（2）过O作OEAD于E，则E为AD中点，CTAC，OECT四边形OTCE为矩形CT=，OE=又OA=2，在RtOAE中，AD=2AE=210（1）见解析；（2）AC=2.【分析】（1）先根据
16、直径所对的圆周角是直角和直角三角形的两锐角互余得出CAD+D=90，再根据同弧所对的圆周角相等和已知条件等量代换可得CAD+PAC=90，根据切线的判定定理即可得出结论；（2）先判断出B=ACF，进而判断出ABCACF，得出比例式即可得出结论【解析】（1）是的直径；，点在上，是的切线（2）， ，【点评】此题主要考查了圆的切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，判断出B=ACF是解本题的关键11（1）见解析；（2）.【分析】（1）根据切线性质求出PCO=90，利用相似的条件可得OCPOFD，根据对应边成比例可解答.(2)利用勾股定理求出圆的半径，再利用相似证明EFBGHB，根据对应边成比
17、例可求解.【解析】（1）证明：是的切线，是直径， ，（2）解：如图作于，连接、设在中，是直径，四边形是矩形，在中， ， ，【点评】本题考查直角三角形，相似三角形的判定与性质，以及与圆有关的位置关系，熟悉掌握相关知识是解答本题的关键.12（1）P=30；（2）31.4.【分析】（1）连接OC，根据圆的切线的性质可得2P90，根据等腰三角形的性质可得PCAO，再根据三角形外角的性质可得22P，进而可求出P的度数；（2）连接AD，根据等弧对等角得到ACDDAE，故ACDDAE，然后根据相似比求出AD的长，再根据“直径所对的角是90”以及ADBD得到RtADB是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质
18、求出OA的长，进而可求出O的面积.【解析】（1）连接，为的切线，即，又是的一个外角，；（2）连接，为的中点， ，即， ，是的直径，为等腰直角三角形，【点评】本题主要考查圆的切线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、圆周角定理及其推论，熟练掌握这些知识点，熟读题意，掌握数形结合的思想是解答本题的关键.13（1）见解析；（2）CE=， sinABF=.【分析】（1）先利用等角的余角相等即可得出结论；（2）先判断出BDCBCE得出比例式求出BE=4，DE=3，利用勾股定理求出CD，CE，再判断出AFMBAC，进而判断出四边形FNCA是矩形，求出FN，NC，即：BN，再用勾股定理求出BF，即可得
19、出结论【解析】（1）ACB=90，BCD+ACD=90，DE是A的直径，DCE=90，BEC+CDE=90，AD=AC，CDE=ACD，BCD=BEC，（2）BCD=BEC，EBC=EBC，BDCBCE，BC=2，BD=1，BE=4，EC=2CD，DE=BEBD=3，在RtDCE中，DE2=CD2+CE2=9，CD=，CE=，过点F作FMAB于M，FAB=ABC，FMA=ACB=90，AFMBAC，DE=3，AD=AF=AC=，AB=，FM=，过点F作FNBC于N，FNC=90，FAB=ABC，FABC，FAC=ACB=90，四边形FNCA是矩形，FN=AC=，NC=AF=，BN=，在RtFB
20、N中，BF=，在RtFBM中，sinABF=.【点评】此题主要考查了圆的有关性质，等角的余角相等，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，正确作出辅助线是解本题的关键14（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）连接OD，由OD=OB，利用等边对等角得到一对角相等，再由已知角相等，等量代换得到1=3，求出4为90，即可得证；（2）设圆的半径为r，利用锐角三角函数定义求出AB的长，再利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解即可得到结果【解析】（1）证明：连接，在中，则为圆的切线；（2）设圆的半径为，在中，根据勾股定理得：，在中，根据勾股定理得：，在中，即，解得：【点评】此题考查了切线的判
21、定与性质，以及勾股定理，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键15（1）AD=；（2）当点E是AC的中点时，ED与O相切；理由见解析.【分析】（1）由勾股定理易求得AB的长；可连接CD，由圆周角定理知CDAB，易知ACDABC，可得关于AC、AD、AB的比例关系式，即可求出AD的长（2）当ED与 O相切时，由切线长定理知EC=ED，则ECD=EDC，那么A和DEC就是等角的余角，由此可证得AE=DE，即E是AC的中点在证明时，可连接OD，证ODDE即可【解析】（1）在RtACB中，AC=3cm，BC=4cm，ACB=90，AB=5cm；连接CD，BC为直径，ADC=BDC=90；A=A，ADC
22、=ACB，RtADCRtACB；，；（2）当点E是AC的中点时，ED与O相切；证明：连接OD，DE是RtADC的中线；ED=EC，EDC=ECD；OC=OD，ODC=OCD；EDO=EDC+ODC=ECD+OCD=ACB=90；EDOD，ED与O相切【点评】本题考查了圆周角定理、切线的判定、相似三角形的判定与性质，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.16（1）证明见解析；（2）【分析】（1）欲证明BE是O的切线，只要证明EBD=90（2）由ABCCBG，得求出BC，再由BFCBCD，得=BFBD求出BF，CF，CG，GB，再通过计算发现CG=AG，进而可以证明CH=CB，求出AC即可解决问题【解
23、析】（1）连接CD，BD是直径，BCD=90，即D+CBD=90，A=D，A=EBC，CBD+EBC=90，BEBD，BE是O切线（2）CGEB，BCG=EBC，A=BCG，CBG=ABCABCCBG，即=BGBA=48，BC=，CGEB，CFBD，BFCBCD，=BFBD，DF=2BF，BF=4，在RTBCF中，CF=，CG=CF+FG=，在RTBFG中，BG=，BGBA=48，BA=，即AG=，CG=AG，A=ACG=BCG，CFH=CFB=90，CHF=CBF，CH=CB=，ABCCBG，AC=，AH=ACCH=【点评】证明切线常用方法为链接切点与圆心，通过角的代换或者全等，平行等来证明
24、直角并且构造直径所对的圆周角是常见找直角的方法灵活运用圆周角定理找等角及相似三角形17（1）证明见解析；（2）6.4.【分析】（1）连接OE，根据等腰三角形的性质和角平分线定义可得，根据平行线的判定可得OEAC，再由平行线的性质可得BEO=C=90，即可证得结论；（2）连接,根据已知条件易证.在中，根据勾股定理求得.根据同弧所对的圆周角相等及已知条件可得.在中求得AE的长，再证明ACEAED，根据相似三角形的性质即可求得线段AC的长.【解析】证明：（1）如图1，连接，.平分，. ,. 为的半径，是的切线. （2）如图2，连接.由题可知为的直径，.平分，.AFD为等腰直角三角形，.在中，.，.在
25、中，. .，.（或6.4）【点评】本题属于圆的综合题，运用的知识点有：切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，勾股定理，以及平行线的判定与性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键.18证明见解析；【分析】根据圆周角定理得：，根据同圆的半径相等和已知相等的角代换可得：，可得结论；先根据三角函数计算，证明，得，设，利用勾股定理列方程可得x的值，证明，列比例式可得CF的长【解析】（1）如图，连接OC为的直径，即为的切线；(2)RtACB中，设，中，舍或，设【点评】本题考查了切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等，正确添加辅助线、熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键
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