1、上海市闵行区2023届高三下学期学业质量调研数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）1设全集，集合，则_ 2若实数、满足、，则_ 3已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为_ 4已知圆柱的底面积为，侧面积为，则该圆柱的体积为_5已知常数，的二项展开式中项的系数是，则的值为_ 6已知事件A与事件B互斥，如果，那么 _ 7今年春季流感爆发期间，某医院准备将名医生和名护士分配到两所学校，给学校老师和学生接种流感疫苗. 若每所学校分配名医生和名护士，则不同的分配方法数为_ 8_ 9 若关于的方程在实数范围内有解，则实数的取值范围是_ 10已知在等比数列中，
2、、分别是函数的两个驻点，则_11已知抛物线,圆，点的坐标为，、分别为、上的动点，且满足，则点的横坐标的取值范围是_ 12平面上有一组互不相等的单位向量，若存在单位向量满足，则称是向量组的平衡向量. 已知，向量是向量组的平衡向量，当取得最大值时，的值为_二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑13下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的为（ ）（A） （B） （C） （D）14在某区高三年级举行的一次质量检测中，某学科共有人参加考试为了解本次考试学生的成绩情况，从中抽取了
3、部分学生的成绩（成绩均为正整数，满分为分）作为样本进行统计，样本容量为按照，的分组作出频率分布直方图（如图所示）.已知成绩落在内的人数为，则下列结论正确的是（ ） （A）样本容量（B）图中（C）估计全体学生该学科成绩的平均分为分（D）若将该学科成绩由高到低排序，前的学生该学科成绩为A等，则成绩为分的学生该学科成绩肯定不是A等15已知，若存在正整数，使函数在区间内有2023个零点，则实数所有可能的值为（ ） （A） （B） （C） （D）或16若数列、均为严格增数列，且对任意正整数，都存在正整数，使得，则称数列为数列的“M数列”已知数列的前项和为，则下列选项中为假命题的是（ ）（A）存在等差数列
4、，使得是的“M数列” （B）存在等比数列，使得是的“M数列”（C）存在等差数列，使得是的“M数列”（D）存在等比数列，使得是的“M数列”三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 在中，角、所对的边分别为,已知，（1）求的值；（2）求的面积18（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，点在线段上，且.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值. 19（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在临床检测试验中，某地用某
5、种抗原来诊断试验者是否患有某种疾病. 设事件表示试验者的检测结果为阳性，事件表示试验者患有此疾病. 据临床统计显示，已知该地人群中患有此种疾病的概率为.（下列两小题计算结果中的概率值精确到）（1）对该地某人进行抗原检测，求事件与同时发生的概率；（2）对该地个患有此疾病的患者进行抗原检测，用随机变量表示检测结果为阳性的人数，求的分布和期望20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知为坐标原点，曲线和曲线有公共点，直线与曲线的左支相交于、两点，线段的中点为（1）若曲线和有且仅有两个公共点，求曲线的离心率和渐近线方程；（2）若直线经过曲线上的点，且为正整数，求的
6、值；（3）若直线与曲线相交于、两点，且直线经过线段中点，求证：21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）如果曲线存在相互垂直的两条切线，称函数是“正交函数”已知，设曲线在点处的切线为 （1）当时，求实数的值； （2）当，时，是否存在直线满足，且与曲线相切？请说明理由；（3）当时，如果函数是“正交函数”，求满足要求的实数的集合；若对任意，曲线都不存在与垂直的切线，求的取值范围 参考答案一. 填空题 1； 2.； 3； 4； 5； 6；7；8；9； 10； 11；12. 二. 选择题 13D； 14C； 15B； 16C三. 解答题 17 解 （1）在中，由已知
7、得，2分由正弦定理得， 4分而，所以； 6分（2）在中，由余弦定理得，8分即，而，解得， 10分因为，则， 12分，所以的面积为. 14分18解 （1）设与相交于点，因为平面，平面，所以，2分由，得，因此，可得，4分因为，所以，即，又因为，所以平面；6分（2）如图，建立空间直角坐标系，则，所以，8分设平面的一个法向量，则 即 令，则，于是，10分 平面的一个法向量为，则，12分由图形可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值是.14分19 解(1)由题意可得，；6分(2)设，则， 8分， 10分的分布为，12分 14分20解 （1）由条件知 ，曲线的半焦距， 所以曲线的离心率，2分渐近线方程为； 4
8、分（2）联立方程组，得， 所以， 故直线的方程为，依题意直线经过点，代入得， 6分因为直线与曲线的左支相交于两点，故，得 8分又曲线和有公共点，所以，且为正整数，根据，得，所以； 10分 【供参考：因为直线与曲线的左支相交于、两点， 所以，又，为正整数，所以】（3）由（2）可得，12分同理，联立直线与曲线，可得， 14分因为，所以，16分又因为，所以，即 18分 21解 （1）由题设，函数定义域为，且，2分由 ，则； 4分（2） 当时，则， 6分即的斜率，假设存在，则的斜率，则有解，即在上有解， 8分该方程化简为，解得或，符合要求，因此该函数存在另外一条与垂直的切线； 10分（3），当时，严格
9、减；当时，严格增；10分【供参考：令，则，当时，严格减；当时，严格增. 】设曲线的另一条切线的斜率为.1当时，显然不存在，即不存在两条相互垂直的切线； 12分2当时，且，趋近于0或趋向于正无穷大时，都趋向于正无穷大，所以在上各有一个零点，故当或时，都有，当时，故必存在，即曲线存在相互垂直的两条切线，所以.14分因为，由2知，曲线存在相互垂直的两条切线，不妨设，满足，所以，故（当且仅当时等号成立），由，解得， 16分，因为，所以.综上可知，对任意满足的所有函数不存在与垂直的切线的的取值范围是 18分【供参考：对任意，曲线都不存在与垂直的切线，有恒成立，解得，综上可知，对任意满足的所有函数不存在与垂直的切线的的取值范围是】
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