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    2023届上海市杨浦区高三下学期4月模拟质量调研(二模)数学试卷(含答案)

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    2023届上海市杨浦区高三下学期4月模拟质量调研(二模)数学试卷(含答案)

    1、上海市杨浦区2023届高三下学期4月模拟质量调研(二模)数学试卷一填空题(本大题满分54分)本大题共有12题,1-6每题4分,7-12每题5分。1.集合,则_.2.复数的虚部是_.3.已知等差数列中,则通项公式为_.4.设,则_.5.函数的导数是_.6.若圆锥的侧面积为,高为4,则圆锥的体积为_.7.由函数的观点,不等式的解集是_.8.某中学举办思维竞赛,现随机抽取50名参赛学生的成绩制作成频率分布直方图(如图),估计:学生的平均成绩为_分.9.内角的对边是,若,则_.10.,分别是双曲线的左右焦点,过的直线与双曲线的左右两支分别交于两点若为等边三角形,则双曲线的离心率为_.11.若存在实数,

    2、使函数在上有且仅有2个零点,则的取值范围为_.12.已知非零平面向量,满足,且,则的最小值是_.二、 选择题(本题共有4题,满分18分,13、14每题4分,15、16每题5分)每题有且只有一个正确选项,考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑.13.已知,则 “” 是 “” 的 ( )A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件.14.对成对数据用最小二乘法求回归方程是为了使( )A. B. C.最小 D. 最小.15.下列函数中,既是偶函数,又在区间上严格递减的是 ( )A. B. C. D. .16.如图,一个由四根细铁杆、组成的支架(

    3、、按照逆时针排布),若,一个半径为1的球恰好放在支架上与四根细铁杆均有接触,则球心到点的距离是 ( )A. B. C. 2 D. .三、解答题(本大题满分78分)本大题共5题17. (本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.已知一个随机变量的分布为:.(1) 已知,求的值;(2) 记事件:为偶数;事件:. 已知,求,并判断是否相互独立?18. (本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.四边形是边长为1的正方形,与交于点,平面,且二面角的大小为.(1)求点到平面的距离;(2)求直线与平面所成的角.19. (本题满分14分)本题共有2个小

    4、题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.如图,某国家森林公园的一区域为人工湖,其中射线,为公园边界. 已知,以点为坐标原点,以为轴正方向,建立平面直角坐标系(单位:千米),曲线的轨迹方程为: . 计划修一条与湖边相切于点的直路(宽度不计),直路与公园边界交于点两点,把人工湖围成一片景区.(1)若点坐标为,计算直路的长度; (精确到0.1千米)(2)若为曲线(不含端点)上的任意一点,求景区面积的最小值. (精确到0.1平方千米)20 (本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.已知椭圆的右焦点为,直线.(1)若到直线的距离为,求;(2)若直线与椭圆交

    5、于两点,且的面积为,求;(3)若椭圆上存在点,过作直线的垂线,垂足为,满足直线和直线的夹角为,求的取值范围.21. (本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.已知数列是由正实数组成的无穷数列,满足,(为正整数)(1)写出数列前4项的所有可能取法;(2)判断:是否存在正整数,满足,并说明理由;(3)为数列的前项中不同取值的个数,求的最小值.参考答案一填空题(本大题满分54分)本大题共有12题,1-6每题4分,7-12每题5分。1 2 3 4 80 5 6 7 8107 9 10 11 12 三、 选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只

    6、有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,填上正确的答案,选对得5分,否则一律得零分. 13C 14 D 15 A 16 B三、解答题(本大题满分76分)本大题共5题17. (本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.解:(1)由可得: (2分)由,可得: (2分) 联立 解得:, (2分)(2)由可得:,所以; (2分)由,可得:; (2分),; (2分)因为,所以事件不是相互独立. (2分)18. (本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.【解】(1)作于. (2分)E ,. .,为到平面的距离. (2分)根据二面角定义,则.,.

    7、解得. (2分)(2)作于,连接 (2分) . F.为与平面所成的角. (2分)中, (2分)得,. (2分)19. (本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.【解】(1)相切于点的切线斜率 (2分)切线 (2分)解得, . (2分)答:直路的长度为5.6千米(2)如图设,相切于点的切线斜率为,切线 (2分),有. (2分),为驻点. 在上是严格减函数,在为严格增函数. (2分). (2分)答:景观区最小面积为平方千米.20.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.【解】(1) (2分)解得 (0舍). (2分)(

    8、2)设直线与轴交于点,与椭圆交于,得. (2分)由 得 (2分),解得,验证判别式大于0成立. (2分)(3)若,直线经过,此时直线和直线的夹角为(舍); 若,直线和直线的夹角为且 或不存在 直线或,代入得:或 (2分)直线或,代入椭圆方程得: 或 (2分)由 或,解得或. (2分)综上且. (2分,各1分)21. (本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.【解】(1)3,7,10,17或 3,7,10,3或 3,7,4,11 (4分) (2)不存在. (2分)先证:.由题设,得或. 若,此时若,得;若,得. 若,则.此时若,得;若.(舍)综上,. (2分)于是, 证毕 (2分)(3)由,得. 对于任意,均可以使用递推,只有满足,才可以使用递推;若 ,显然,则下一次只能使用递推,即,即不能连续使用. (2分)记 (且) 若 则 若 则 所以 综合 得 (且) (2分)中至少有共51项,即举例如下:3,7,10,3,13,10,23,13,36,23,此时 (2分)所以最小值为51. (2分) (直接猜出结果得2分)


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