2023年中考数学高频考点突破训练：圆的综合（3）含答案解析

1、 2023年中考数学高频考点突破训练圆的综合1如图，在O中，AB是直径，点D是O上一点且BOD=60，过点D作O的切线CD交AB的延长线于点C，E为的中点，连接DE，EB(1)求证：四边形BCDE是平行四边形；(2)已知图中阴影部分面积为6，求O的半径r2如图，AB为O的直径，点C，D在O上，且BC6cm，AC8cm，ABD45（1）求BD的长；（2）求图中阴影部分的面积3在O中，直径AB6，BC是弦，ABC30，点P在BC上，点Q在O上，且OPPQ（1）如图1，当PQAB时，求PQ的长度；（2）如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值4如图，O是ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，连接

2、CD，且AE=DE，BC=CE（1）求ACB的度数；（2）过点O作OFAC于点F，延长FO交BE于点G，DE=3，EG=2，求AB的长5如图，以ABC的一边AB为直径作O，O与BC边的交点恰好为BC的中点D，过点D作O的切线交AC于点E(1)求证：DEAC；(2)若AB=3DE，求tanACB的值6如图，已知P是O外一点，PO交圆O于点C，OC=CP=2，弦ABOC，劣弧AB的度数为120，连接PB（1）求BC的长；（2）求证：PB是O的切线7如图，在ABC中，以BC为直径作半圆0，交AB于点D，交AC于点EAD=AE（1）求证：AB=AC；（2）若BD=4，BO=，求AD的长8如图，AB为O

3、的直径，点C为O上一点，若BAC=CAM，过点C作直线l垂直于射线AM，垂足为点D（1）试判断CD与O的位置关系，并说明理由；（2）若直线l与AB的延长线相交于点E，O的半径为3，并且CAB=30，求CE的长9如图，在ABC中，B=60，O是ABC的外接圆，过点A作O的切线，交CO的延长线于点M，CM交O于点D（1）求证：AM=AC；（2）若AC=3，求MC的长10如图，PA，PB分别切O于点A，B，连结PO，AB相交于点D，C是O上一点，C60.(1)求APB的大小；(2)若PO20 cm，求AOB的面积11如图，ABC中，ACB=90，D是边AB上一点，且A=2DCBE是BC边上的一点，以

4、EC为直径的O经过点D（1）求证：AB是O的切线；（2）若CD的弦心距为1，BE=EO，求BD的长12如图，A，P，B，C是半径为8的O上的四点，且满足BAC=APC=60，（1）求证：ABC是等边三角形；（2）求圆心O到BC的距离OD13如图，AB，CD是O的直径，点E在AB延长线上，FEAB，BE=EF=2，FE的延长线交CD延长线于点G，DG=GE=3，连接FD（1）求O的半径；（2）求证：DF是O的切线14如图，在ABC中，AB=BC，以AB为直径的O交AC于点D，DEBC，垂足为E（1）求证：DE是O的切线；（2）若DGAB，垂足为点F，交O于点G，A=35，O半径为5，求劣弧DG的

5、长（结果保留）15如图，在O中，直径AB与弦CD相交于点P，CAB=40，APD=65.（1）求B的大小；（2）已知圆心O到BD的距离为3，求AD的长.16如图，AB是O的直径，BCAB于点B，连接OC交O于点E，弦ADOC(1)求证：；(2)求证：CD是O的切线17如图在O中弦BC垂直于半径OA垂足为ED是优弧BC上一点连接BD、AD、OC，ADB=30（1）求AOC的度教；（2）若弦BC=6cm求图中阴影部分的面积18如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD、AC分别交于点E、F，且ACB=DCE（1）判断直线CE与O的位置关系，并证明你的结论；（2）若ta

6、nACB=，BC=2，求O的半径参考答案1(1)证明见试题解析(2)6【分析】（1）连接OE，先由CD是O的切线，得到ODCD，于是得到BECD，再证明DEBC，即可证得结论；（2）连接OE，设BE与OD交于F，由（1）知ODE是等边三角形，OFBF，即可得到，则，根据扇形的面积公式列方程即可得到结论(1)解：连接OE，BOD=60，AOD=120，E是的中点，ODBE，CD是圆O的切线，ODCD， OE=OD，DOE是等边三角形，EDO=BOD=60， 四边形BCDE是平行四边形；(2)解：连接OE，设BE与OD交于F，由（1）知ODE是等边三角形，OFBF，F是OD的中点，F是BE的中点，

7、 阴影部分面积为6，r=6【点评】本题主要考查了切线的性质，平行四边形的性质与判定，垂径定理，等边三角形的性质与判定，弧、弦、圆心角的关系，扇形面积，正确作出辅助线是解题的关键2（1）BD5cm；（2）S阴影cm2【分析】（1）由AB为O的直径，得到ACB=90，由勾股定理求得AB，OB=5cm连OD，得到等腰直角三角形，根据勾股定理即可得到结论；（2）根据S阴影=S扇形SOBD即可得到结论【解析】（1）AB为O的直径，ACB=90，BC=6cm，AC=8cm，AB=10cmOB=5cm连OD，OD=OB，ODB=ABD=45BOD=90BD=cm（2）S阴影=S扇形SOBD=5255=cm2

8、3（1）；（2）【分析】（1）在RtOPB中，由OP=OBtanABC可求得OP=，连接OQ，在RtOPQ中，根据勾股定理可得PQ的长；（2）由勾股定理可知OQ为定值，所以当OP最小时，PQ最大根据垂线段最短可知，当OPBC时OP最小，所以在RtOPB中，由OP=OBsinABC求得OP的长；在RtOPQ中，根据勾股定理求得PQ的长【解析】解：（1）OPPQ，PQAB，OPAB在RtOPB中，OP=OBtanABC=3tan30=连接OQ，在RtOPQ中，（2） 当OP最小时，PQ最大，此时OPBCOP=OBsinABC=3sin30=PQ长的最大值为考点：解直角三角形；勾股定理4（1）ACB

9、=60；（2）AB=7【分析】（1）由题意可得出AEBDEC，从而可得出EBC为等边三角形，即可得出答案；（2）由已知得出EF，BC的长，进而得出CM，BM的长，再求出AM的长，再由勾股定理求出AB的长【解析】解：（1）在AEB和DEC中，AEBDEC（ASA），EB=EC，又BC=CE，BE=CE=BC，EBC为等边三角形，ACB=60；（2）OFAC，AF=CF，EBC为等边三角形，GEF=60，EGF=30，EG=2，EF=1，又AE=ED=3，CF=AF=4，AC=8，EC=5，BC=5，作BMAC于点M，BCM=60，MBC=30，CM=，BM=，AM=ACCM=，AB=【点评】本题

10、考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形的外接圆与外心、勾股定理等知识点，综合性较强，掌握基本图形的性质，熟练运用勾股定理是解题关键5(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接OD，可以证得DEOD，然后证明ODAC即可证明DEAC；（2）利用ADECDE，求出DE与CE的比值即可(1)证明：连接OD，D是BC的中点，OA=OB，OD是ABC的中位线，ODAC，DE是O的切线，ODDE，DEAC；(2)解：连接AD，AB是O的直径，ADB=90，DEAC，ADC=DEC=AED=90，ADE+CDE=DCE+CDE=90，ADE=DCE在ADE和CDE中，CDEADE，设tan

11、ACB=x，CE=a，则DE=ax，ADBC，D是BC的中点，AC=AB，AB=3DE， AC=3ax，AE=3axa，整理得：x23x+1=0，解得：x=，tanACB=【点评】本师生考查切线的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，圆周角定理的推论，三角形中位线定理，熟练掌握切线的性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理的推论、三角形中位线定理是解题的关键6（1）2（2）见解析【分析】1）连接OB，由弦ABOC，劣弧AB的度数为120，易证得OBC是等边三角形，则可求得BC的长（2）由OC=CP=2，OBC是等边三角形，可求得BC=CP，即可得P=CBP，又由等边三角形的性质，OBC=

12、60，CBP=30，则可证得OBBP，从而证得PB是O的切线【解析】解：（1）连接OB，弦ABOC，劣弧AB的度数为120，弧BC与弧AC的度数为：60BOC=60OB=OC，OBC是等边三角形OC =2，BC=OC=2（2）证明：OC=CP，BC=OC，BC=CPCBP=CPBOBC是等边三角形，OBC=OCB=60CBP=30OBP=CBP+OBC=90OBBP点B在O上，PB是O的切线7（1）见解析（2）6【分析】（1）连接CD、BE，利用直径所对圆周角900，由ASA证明ADCAEB得AB=A C（2）由OBDABC得，求得AB=10，因此由 AD=ABBD求解【解析】解：（1）证明：

13、连接CD、BE， BC为半圆O的直径，BDC=CEB=90ADC=AEB=90又AD=AE，A=AADCAEB（ASA）AB=AC（2）连接OD，OD=OBOBD=ODBAB=ACOBD=ACBODB=ACB又OBD=ABCOBDABCBO=BC=又BD=4解得AB=10AD=ABBD=68（1）直线CD与O相切（2）【分析】（1）要证明过圆上已知点的直线是圆的切线时，只需连接圆心和这点，再证过已知点的半径垂直于这条直线即可因此，连接CO，根据OCA=CAM，证明OCAD，再根据CDAD，得OCCD，从而证明CD是O的切线（2）由题意得COE=2CAB=60，则在RtCOE中应用正切函数定义即

14、可求解【解析】解：（1）直线CD与O相切理由如下：连接OC，OA=OC，BAC=OCABAC=CAM，OCA=CAMOCADCDAD ，OCCDOC是O的半径，直线CD与O相切（2）CAB=30，COE=2CAB=60在RtCOE中，OC=3，CE=OCtan60=【点评】本题考查了切线的判定与性质，正切的定义，等腰三角形的性质等知识，证明切线是解题的关键9（1）证明见解析（2）3 【解析】试题分析：（1）连接OA，可求出AOC=120，得到OCA的度数，由切线的性质求出M的度数，即可得到答案；（2）作AGCM于G，由直角三角形的性质求出AG的长，由勾股定理求出CG，即可得到答案试题解析：（1

15、）连接OA，AM是O的切线，OAM=90，B=60，AOC=120，OA=OC，OCA=OAC=30，AOM=60，M=30，OCA=M，AM=AC；（2）作AGCM于G，OCA=30，AC=3，AG=，由勾股定理的，CG=，则MC=2CG=考点：切线的性质10(1)60(2)25【分析】（1）由PA、PB分别切O于A、B，由切线的性质，即可得OAPA，OBPB，又由圆周角定理，求得AOB的度数，继而求得APB的大小（2）由切线长定理，可求得APO的度数，继而求得AOP的度数，易得PO是AB的垂直平分线，然后利用三角函数的性质，求得AD与OD的长，从而求得答案(1)解：PA、PB分别切O于A、

16、B，OAPA，OBPB，PAO=PBO=90，C=60，AOB=2C=260=120，APB=360-PAO-PBO-AOB=60；(2)解：PA、PB分别切O于A、B，PAO=PBO=90，APO=APB=60=30，PA=PB，P在AB的垂直平分线上，OA=OB，O在AB的垂直平分线上，即OP是AB的垂直平分线，即ODAB，AD=BD=AB，PAO=90，AOP=60，在RtPAO中，AO=PO=20=10，在RtAOD中，AD=AOsin60=10=5，OD=OAcos60=10=5，AB=2AD=10，AOB的面积为：ABOD=105=25【点评】本题考查了切线的性质，切线长定理，圆周

17、角定理，三角函数以及线段垂直平分线的判定和性质，掌握切线的相关知识是解题的关键11（1）证明见解析；（2）BD=2.【分析】（1）连接OD，如图1所示，由OD=OC，根据等边对等角得到一对角相等，再由DOB为COD的外角，利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，等量代换可得出DOB=2DCB，又A=2DCB，可得出A=DOB，又ACB=90，可得出直角三角形ABC中两锐角互余，等量代换可得出B与ODB互余，即OD垂直于BD，确定出AB为圆O的切线，得证；（2）过O作OM垂直于CD，根据垂径定理得到M为DC的中点，由BD垂直于OD，得到三角形BDO为直角三角形，再由BE=OE=OD，得到O

18、D等于OB的一半，可得出B=30，进而确定出DOB=60，又OD=OC，利用等边对等角得到一对角相等，再由DOB为三角形DOC的外角，利用外角的性质及等量代换可得出DCB=30，在三角形CMO中，根据30角所对的直角边等于斜边的一半得到OC=2OM，由弦心距OM的长求出OC的长，进而确定出OD及OB的长，利用勾股定理即可求出BD的长；【解析】（1）证明：连接OD，如图1所示：OD=OC，DCB=ODC，又DOB为COD的外角，DOB=DCB+ODC=2DCB，又A=2DCB，A=DOB，ACB=90，A+B=90，DOB+B=90，BDO=90，ODAB，又D在O上，AB是O的切线；（2）过点

19、O作OMCD于点M，如图1，OD=OE=BE=BO，BDO=90，B=30，DOB=60，OD=OC，DCB=ODC，又DOB为ODC的外角，DOB=DCB+ODC=2DCB，DCB=30，在RtOCM中，DCB=30，OM=1，OC=2OM=2，OD=2，BO=BE+OE=2OE=4，在RtBDO中，根据勾股定理得：BD=；【点评】考点: 1.切线的判定；2.含30度角的直角三角形；3.垂径定理；4圆周角定理.12（1）证明见解析（2）4【解析】解：（1）证明：APC和ABC是同弧所对的圆周角，APC=ABC 又在ABC中，BAC=APC=60，ABC=60ACB=180BACABC=180

20、6060=60ABC是等边三角形（2）连接OB，ABC为等边三角形，O为其外接圆，O为ABC的外心BO平分ABCOBD=30.OD=8=4（1）根据同弧所对的圆周角相等的性质和已知BAC=APC=60可得ABC的每一个内角都等于60，从而得证（2）根据等边三角形三线合一的性质，得含30度角直角三角形OBD，从而根据30度角所对边是斜边一半的性质，得OD=8=413（1）2；（2）证明见解析【分析】（1）O半径为R，则OD=OB=R，在RtOEG中，OEG=90，由勾股定理得出方程（R+3）2=（R+2）2+32，求出即可；（2）证FDGOEG，推出FDG=OEG=90，求出ODDF，根据切线的

21、判定推出即可【解析】解：（1）设O半径为R，则OD=OB=R，在RtOEG中，OEG=90，由勾股定理得：OG2=OE2+EG2，（R+3）2=（R+2）2+32，R=2，即O半径是2（2）OB=OD=2，OG=2+3=5，GF=2+3=5=OG，在FDG和OEG中FDGOEG（SAS），FDG=OEG=90，ODF=90，ODDF，OD为半径，DF是O的切线【点评】本题考查切线的判定；全等三角形的判定与性质；勾股定理14（1）见解析；（2）【分析】（1）连接BD，OD，求出ODBC，推出ODDE，根据切线判定推出即可（2）求出BOD=GOB，从而求出BOD的度数，根据弧长公式求出即可【解析】

22、解：（1）证明：连接BD、OD，AB是O直径，ADB=90BDACAB=BC，AD=DCAO=OB，DOBCDEBC，DEODOD为半径，DE是O切线（2）连接OG，DGAB，OB过圆心O，弧BG=弧BDA=35，BOD=2A=70BOG=BOD=70GOD=140劣弧DG的长是15（1）证明见解析；（2）AD=2OE=6【分析】（1）由同弧所对的圆周角相等求得CAB=CDB=40，然后根据平角是180求得BPD=115；最后在BPD中依据三角形内角和定理求B即可；（2）过点O作OEBD于点E，则OE=3根据直径所对的圆周角是直角，以及平行线的判定知OEAD；又由O是直径AB的半径可以判定O是

23、AB的中点，由此可以判定OE是ABD的中位线；最后根据三角形的中位线定理计算AD的长度【解析】解：（1）CAB=CDB（同弧所对的圆周角相等），CAB=40，CDB=40；又APD=65，BPD=115；在BPD中，B=180-CDB-BPD=25；（2）过点O作OEBD于点E，则OE=3AB是直径，ADBD（直径所对的圆周角是直角）；OEAD；又O是AB的中点，OE是ABD的中位线，AD=2OE=616（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）连接OD，由平行可得DAO=COB，ADO=DOC；再由OA=OD，可得出，DAO=ADO，则COB=COD，从而证出；（2）由（1）得，COD

24、COB，则CDO=B又BCAB，则CDO=B=90，从而得出CD是O的切线【解析】证明：（1）连接ODADOC，DAO=COB，ADO=DOC，又OA=OD，DAO=ADO，COB=COD，；（2）由（1）知DOE=BOE，在COD和COB中，CO=CO，DOC=BOC，OD=OB，CODCOB，CDO=B又BCAB，CDO=B=90，即ODCD即CD是O的切线【点评】本题考查了切线的判定和圆周角定理以及圆心角、弧、弦之间的关系，注：在同圆或等圆中，圆心角、圆周角、弧、弦中有一组量相等，其余各组量也相等17（1）；（2）.【分析】（1）先根据垂径定理得出，再根据圆周角定理即可得出的度数；（2）先根据勾股定理得出的长，再连接，求出的度数，再根据计算即可.【解析】（1）连接，（2），在中，.【点评】本题考查的是垂径定理、圆周角定理、三角函数的定义、扇形面积的计算及勾股定理，熟知以上知识是解答此题的关键.18（1）相切（2）【解析】解：（1）直线CE与相切.理由如下：四边形ABCD是矩形，.又，如答图所示，连接OE，则，.，即又OE是的半径，直线CE与相切.（2）, ，.又，.方法一：在中，, .连接OE，设的半径为r，则在中，即，解得.方法二：，过点O作于点M，则.在中，