2023年四川省成都市浦江县、邛崃市中考一模数学试卷（含答案解析）

1、2023年四川省成都市浦江县、邛崃市中考一模数学试题A卷（共100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）1. 的倒数是（ ）A. B. C. D. 2. 据第三方大数据监测显示，某年春节期间四川省共接待游客万人次，旅游收入242亿元，同比分别增长，增幅超过全国平均水平将数据242亿用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ）A. B. C. D. 4. 如图，在中，是角平分线，于点，则（ ）A. 2B. C. D. 65. 如图是根据某次射击比赛中甲、乙两人5次射击的成绩（环数）制作的折线统计图，成绩更稳定的是（ ）A. 甲B. 一样C. 乙D

2、. 不能确定6. 如图，直线相交于点O，垂足为点O若，则的度数为（ ）A. B. C. D. 7. 九章算术中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出9元，多5元；每人出6元，少4元问：有多少人？该物品价值多少元？设有x人，物品价值y元，则所列方程组正确是（ ）A. B. C. D. 8. 下列关于抛物线说法正确的是（ ）开口方向向上；对称轴是直线；当时，随的增大而减小；当或时，A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）9 因式分解：3x2+6x+3=_10. 计算：_11. 若关于一元二次方程（）的一个解是，则_12. 如果

3、两个相似三角形的面积之比为，这两个三角形的周长的和是，那么小的三角形的周长为_13. 如图，四边形是平行四边形，以点B为圆心，的长为半径作弧交于E，分别以点C，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交的延长线于点F，则_三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）14. （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中15. 某校为进一步活跃校园文化活动，促进学生体育社团活动向健康、文明、向上的方向发展，优化育人环境，全面抓好学生社团工作，更加合理地安排体育社团活动，学校请某班数学兴趣小组就本班同学“我最想加入的体育社团”进行了一次调查统计，下面是小组通过收集数据后绘制

4、的两幅不完整的统计图请你根据图中提供的信息，解答以下问题：（1）该班共有多少名学生？在扇形统计图中，“其他”部分所对应的圆心角度数是多少度？请补全条形统计图；（2）全市举行学生乒乓球比赛，该学校要推选5位乒乓球社团同学参加，其中有2名七年级同学和3名八年级同学，现从中选取两名同学组成双打组合，用树状图或列表法表示出所有的结果，并求出恰好抽到七、八年级同学各1名的概率16. 如图，小茗家车库的宽长为3米，小茗妈妈将一辆宽为米（即米）的汽车正直停入车库，此时，车门长为米，当左侧车门接触到墙壁时，车门与车身的夹角为，此时为右侧车门开至最大的宽度（也是物体进出的最大宽度），小茗妈妈能否将车内一个边长为

5、40厘米的正方体包裹从右侧车门取出？（结果精确到米；参考数据：） 17. 如图，在中，点O为边上一点，以为半径的与相切于点D，分别交，边于点E，F（1）证明：平分；（2）若，求的半径18. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，已知点，点B，C在第二象限内（1）求点B坐标；（2）将正方形以每秒2个单位的速度沿x轴向右平移t秒，若存在某一时刻t，使在第一象限内点B，D两点的对应点正好落在某反比例函数的图象上，请求出此时t的值以及该反比例函数的表达式；（3）在（2）的情况下，问是否存在y轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P，Q，四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题

6、意的点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由B卷（共50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）19. 若，则代数式_20. 将二次函数化成的形式为_21. 在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点”例如，都是“黎点”若抛物线（为常数）上有且只有一个“黎点”，当时，的取值范围是_22. 如图，在矩形中，、分别是边、上一点，将沿翻折得，连接，当_时，是以为腰的等腰三角形 23. 如图，F为中点，若点D在直线上运动，连接，则在点D运动过程中，线段的最小值为_二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）24. “儿童散

7、学归来早，忙趁东风放纸鸢”，阳春三月，正是放风筝的好时节，某商店购进一批风筝已知成批购进时的单价是30元调查发现：销售单价是40元时，月销售量是300件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每个风筝售价不能高于60元设每个风筝的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）每个风筝的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月销售利润是多少？25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点，点，与y轴交于点（1）求抛物线的函数表达式；（2）在对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标；（3）在（2）的条件下，

8、点P是抛物线上的一点，当和面积相等时，请求出所有点P的坐标26. （1）【探究发现】如图，在正方形中，E为边上一点，将沿BE翻折得到，延长交边于点G求证：；（2）【类比迁移】如图，在矩形中，E为边上一点，且，将沿翻折得到，延长交边于点G，延长交边于点H，且，求的长；（3）【实践创新】如图，为等腰三角形，O为斜边的中点， M，N为线段上的动点，且满足，设，证明：2023年四川省成都市浦江县、邛崃市中考一模数学试题A卷（共100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）1. 的倒数是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据倒数的性质，两个数的乘积为1，这两个数互为

9、倒数对各选项进行乘法计算看计算结果是否为1即可【详解】解：根据两个数的乘积为1，这两个数互为倒数，故选项A不合题意；，故选项B不合题意；，故选项C符合题意；，故选项D不合题意故选C【点睛】本题考查倒数识别，掌握倒数的性质是解题关键2. 据第三方大数据监测显示，某年春节期间四川省共接待游客万人次，旅游收入242亿元，同比分别增长，增幅超过全国平均水平将数据242亿用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】242亿即用科学记数法表示成的形式，其中，代入可得结果【详解】解：242亿即的绝对值大于表示成的形式，表示成，故选C【点睛】本题考查了科学记数法解题的关键在于确定

10、的值3. 下列运算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据合并同类项，同底数幂相乘，积的乘方，平方差公式计算，即可求解【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意；B、，故本选项错误，不符合题意；C、，故本选项错误，不符合题意；D、，故本选项正确，符合题意；故选：D【点睛】本题主要考查了合并同类项，同底数幂相乘，积的乘方，平方差公式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键4. 如图，在中，是角平分线，于点，则（ ）A. 2B. C. D. 6【答案】C【解析】【分析】根据角平分线的性质得出，根据已知条件得出，在中，勾股定理即可求解【详解】解：在中，是角平分线，在中，故选：C

11、【点睛】本题考查了角平分线的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键5. 如图是根据某次射击比赛中甲、乙两人5次射击的成绩（环数）制作的折线统计图，成绩更稳定的是（ ）A. 甲B. 一样C. 乙D. 不能确定【答案】A【解析】【分析】方差小的较稳定，分别求出甲、乙方差，即可得到答案【详解】解：甲的平均成绩为，乙的平均成绩为，甲成绩的方差为，乙成绩的方差为，甲的成绩更稳定故选：A【点睛】本题考查方差的应用，解题的关键是求出甲、乙的方差6. 如图，直线相交于点O，垂足为点O若，则的度数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据垂直的定义可得，根据平角的定义求解即可【详解】解

12、： ，故选：B 【点睛】本题主要考查了垂线的定义、平角的定义等知识点，根据图形明确各角的关系是解题的关键7. 九章算术中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出9元，多5元；每人出6元，少4元问：有多少人？该物品价值多少元？设有x人，物品价值y元，则所列方程组正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设有x人，物品价值y元，根据每人出9元，多5元；每人出6元，少4元，列出方程组即可【详解】解：设有x人，物品价值y元，根据题意得：，故C正确故选：C【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程组8. 下列关于抛物线的说法

13、正确的是（ ）开口方向向上；对称轴是直线；当时，随的增大而减小；当或时，A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】将解析式化为顶点式，进而判断，令，得出与轴的交点，根据函数图象即可判断，即可求解【详解】解：，抛物线开口向上，对称轴为直线，当时，随的增大而减小；故正确，错误，正确；令，即，解得：，抛物线开口向上，与轴交于，当或时，故正确，综上所述，正确的有：，故选：C【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，抛物线与轴的交点，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答第卷（非选择题，共68分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）9. 因式分解：3x2+6x

14、+3=_【答案】3（x+1）2【解析】【分析】原式提取公因式3，再利用完全平方公式分解即可【详解】原式=3（x2+2x+1）=3（x+1）2故答案为3（x+1）2【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键10. 计算：_【答案】999【解析】【分析】根据二次根式性质进行求解即可【详解】解：，故答案为：999【点睛】本题主要考查了二次根式性质，解题的关键是熟练掌握二次根式性质，11. 若关于的一元二次方程（）的一个解是，则_【答案】1【解析】【分析】根据一元二次方程解的定义把代入到（）进行求解即可【详解】解：关于的一元二次方程（）的一个解是，故答案为：

15、1【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，熟知一元二次方程解的定义是解题的关键12. 如果两个相似三角形的面积之比为，这两个三角形的周长的和是，那么小的三角形的周长为_【答案】20【解析】【分析】根据相似三角形的性质，即可解答【详解】解：两个相似三角形的面积之比为，这两个三角形的周长之比为，设这两个三角形的周长分别为，解得：，小的三角形的周长为，故答案为：20【点睛】此题主要考查相似三角形的性质，利用相似三角形面积比等于相似比的平方，利用相似三角形周长比等于相似比，求解即可.13. 如图，四边形是平行四边形，以点B为圆心，的长为半径作弧交于E，分别以点C，E为圆心，大于的长为半

16、径作弧，两弧交于点P，作射线交的延长线于点F，则_【答案】【解析】【分析】利用基本作图得到，平分，则，再根据平行四边形的性质和平行线的性质证明，所以【详解】解：由作法得，平分，四边形为平行四边形，故答案为：【点睛】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作也考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）14. （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中【答案】（1）7（2），【解析】【分析】（1）利用零指数幂、负整数指数幂、绝对值的性质以及特殊角的三角函数值

17、计算即可；（2）先利用分式运算法则将原式化简，然后将代入求值即可【详解】解：（1）原式；（2）原式 ，当时，原式【点睛】本题主要考查了实数运算以及分式化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题关键15. 某校为进一步活跃校园文化活动，促进学生体育社团活动向健康、文明、向上的方向发展，优化育人环境，全面抓好学生社团工作，更加合理地安排体育社团活动，学校请某班数学兴趣小组就本班同学“我最想加入的体育社团”进行了一次调查统计，下面是小组通过收集数据后绘制的两幅不完整的统计图请你根据图中提供的信息，解答以下问题：（1）该班共有多少名学生？在扇形统计图中，“其他”部分所对应的圆心角度数是多少度？请补全条形统计

18、图；（2）全市举行学生乒乓球比赛，该学校要推选5位乒乓球社团同学参加，其中有2名七年级同学和3名八年级同学，现从中选取两名同学组成双打组合，用树状图或列表法表示出所有的结果，并求出恰好抽到七、八年级同学各1名的概率【答案】（1）50名，；图见解析 （2）树状图见解析，【解析】【分析】（1）根据条形统计图中想参加篮球的人数除以扇形统计图中篮球部分的占比，即可算出该班的总人数；再通过计算想参加足球的人数，计算出其他部分的人数，即可算出其他部分所对应的圆心角度数；统计图如图所示，即可解答（2）按题意画出树状图，即可求出恰好抽到七、八年级同学各1名的概率【小问1详解】解：由统计图可得，该班共有学生：（

19、名），想加入足球社团的学生有：（名），想加入其他社团的学生有：（名），在扇形统计图中，“其他”部分所对应的圆心角度数为：答：该班共有50名学生，在扇形统计图中，“其他”部分所对应的圆心角度数是72度补全的条形统计图如图所示： 【小问2详解】由题意可得， 根据上图可得，总共有20种情况，恰好选出七、八年级同学各1名组成双打组合有12种，恰好选出七、八年级同学各1名的概率是【点睛】本题考查了列表法与树状图法，条形统计图，扇形统计图，结合图形得出相关的数据是解题的关键16. 如图，小茗家车库的宽长为3米，小茗妈妈将一辆宽为米（即米）的汽车正直停入车库，此时，车门长为米，当左侧车门接触到墙壁时，车门与

20、车身的夹角为，此时为右侧车门开至最大的宽度（也是物体进出的最大宽度），小茗妈妈能否将车内一个边长为40厘米的正方体包裹从右侧车门取出？（结果精确到米；参考数据：）【答案】不能【解析】【分析】过点C作于点O，根据锐角三家函数可得的长，从而得到的长，即可求解【详解】解：如图所示，过点C作于点O，米，米，米，米厘米，小茗妈妈不能把包裹从右侧车门取出【点睛】本题主要考查了解直角三角形，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键17. 如图，在中，点O为边上一点，以为半径的与相切于点D，分别交，边于点E，F（1）证明：平分；（2）若，求的半径【答案】（1）见解析 （2）1【解析】【分析】（1）连接，证明，

21、再利用等腰三角形的性质平行线的性质即可解决问题；（2）连接，过点作于点，推出，设，则，利用面积法求出，再利用勾股定理求出，再根据，构建方程求解即可【小问1详解】证明：如图，连接是的切线，是的半径，D是切点，则，又，平分；【小问2详解】连接，过点D作于点T，是直径，设，则，的半径为1【点睛】本题属于圆综合题，考查了切线性质，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型18. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，已知点，点B，C在第二象限内（1）求点B的坐标；（2）将正方形以每秒2个单位的速度沿x轴向右平移t秒，若存在某一时刻t，使在第一象限内点

22、B，D两点的对应点正好落在某反比例函数的图象上，请求出此时t的值以及该反比例函数的表达式；（3）在（2）的情况下，问是否存在y轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P，Q，四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）点B的坐标为 （2）；反比例函数解析式为； （3）符合题意的点P、Q的坐标分别为：、或、或、【解析】【分析】（1）过点D作轴于点E，过点B作轴于点F，由正方形的性质结合同角的余角相等即可证出，从而得出，再结合点A、D的坐标即可求出点B的坐标；（2）根据平行的性质找出点和的坐标，再结合反比例函数图象上点的坐标特征

23、即可得出关于k、t的二元一次方程组，解方程组解得出结论；（3）假设存在，设点P的坐标为，点Q的坐标为分为对角线或为边考虑，根据平行四边形的性质找出关于m、n的方程组，解方程组即可得出结论【小问1详解】解：过点D作轴于点E，过点B作轴于点F，如图1所示四边形为正方形，在和中，点，点B的坐标为，即【小问2详解】解：由题意得：点坐标为，点坐标为，点和在该比例函数图象上，解得：，反比例函数解析式为；【小问3详解】解：假设存在，设点P的坐标为，点Q的坐标为以P、Q、四个点为顶点的四边形是平行四边形分两种情况：为对角线时，四边形为平行四边形，解得：，点P坐标为，点Q的坐标为；当为边时四边形为平行四边形，解

24、得：，点P的坐标为，点Q的坐标为；四边形为平行四边形，解得：点P的坐标为，点Q的坐标为综上可知：存在x轴上点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P、Q、四个点为顶点的四边形是平行四边形，符合题意的点P、Q的坐标分别为：、或、或、【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、全等三角形的判定及性质、平行四边形的性质以及解方程组，解题的关键是：（1）证出；（2）找出关于k、t的二元一次方程组；（3）分类讨论解决该题型题目时，找出点的坐标，利用反比例函数图形上点的坐标表示出来反比例函数系数k是关键B卷（共50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）19

25、. 若，则代数式_【答案】【解析】【分析】由，可得，根据，计算求解即可【详解】解：，即，故答案为：【点睛】本题考查了完全平方公式，代数式求值等知识解题的关键在于正确的化简代数式20. 将二次函数化成的形式为_【答案】【解析】【分析】根据配方法将一般式转化成顶点式，即可解答【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查了把一般式化成顶点式，熟练运用配方法是解题的关键21. 在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点”例如，都是“黎点”若抛物线（为常数）上有且只有一个“黎点”，当时，的取值范围是_【答案】#【解析】【分析】抛物线（为常数）上有且只有一个“黎点”，推出方程有且

26、只有一个解，即，即可得出结论【详解】解：抛物线上有且只有一个“黎点”，方程有且只有一个解，方程整理可得，即有，解得，故答案为：【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题22. 如图，在矩形中，、分别是边、上一点，将沿翻折得，连接，当_时，是以为腰的等腰三角形 【答案】或【解析】【分析】对是以为腰的等腰三角形分类讨论，当时，设，可得到，再根据折叠可得到，然后在RtABE中利用勾股定理列方程计算即可；当时，过A作AH垂直于于点H，然后根据折叠可得到，在结合，利用互余性质可得到，然后证得ABEAHE，进而得到，然后再利用等腰三

27、角形三线合一性质得到，然后在根据数量关系得到【详解】解：当时，设，则，沿翻折得，在RtABE中由勾股定理可得：即，解得：；当时，如图所示，过A作AH垂直于于点H， AH，沿翻折得，在ABE和AHE中，ABEAHE（AAS），综上所述，故答案为：【点睛】本题主要考查等腰三角形性质，勾股定理和折叠性质，解题的关键是分类讨论等腰三角形的腰，然后结合勾股定理计算即可23. 如图，F为中点，若点D在直线上运动，连接，则在点D运动过程中，线段的最小值为_【答案】【解析】【分析】连接，可证，是的中点，可得，当时，最短，所以此时最短，求出最短值即可求出的最小值【详解】解：连接，是的中点，当时，最短，此时最小，

28、 ，故答案：【点睛】本题考查了线段最小值问题，利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”及相似三角形的判定及性质，勾股定理等，再根据“垂线段最短”，作出辅助线，进行正确求解是解题的关键二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）24. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，阳春三月，正是放风筝的好时节，某商店购进一批风筝已知成批购进时的单价是30元调查发现：销售单价是40元时，月销售量是300件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每个风筝售价不能高于60元设每个风筝的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的

29、取值范围；（2）每个风筝的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月销售利润是多少？【答案】（1），且x为正整数（或且x为正整数） （2）每个风筝的售价定为50元时，商店可获得最大月销售利润，最大的月销售利润是4000元【解析】【分析】（1）根据题意知每个风筝的利润为元，月销售量为，然后根据月销售利润每个风筝的利润月销售量即可求出函数关系式；（2）把化成顶点式，求得当时，有最大值，再计算出的值即可【小问1详解】依题意得即：，自变量x的取值范围是：且x为正整数（或且x为正整数）；【小问2详解】， ，当时，y有最大值，且x为正整数，当时，每个风筝的售价定为50元时，商店可获得最大月销售利润，最大

30、的月销售利润是4000元【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是分析题意，找到关键描述语，求出函数的解析式25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点，点，与y轴交于点（1）求抛物线的函数表达式；（2）在对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标；（3）在（2）的条件下，点P是抛物线上的一点，当和面积相等时，请求出所有点P的坐标【答案】（1） （2） （3），【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）如图，连接交对称轴于点Q，先求出抛物线的对称轴为直线，由对称性得到，进一步推出当C，B，Q三点共线时，的周长最小，求出直线的解析式为，进而求出点Q的坐标即可；（

31、3）同理可求出直线的解析式，过点C作的平行线，交抛物线于点，同理可求出直线的解析式为，联立，解得，则；直线与y轴的交点为，点到的距离为2个单位，根据平行线间间距相等可知将直线向上平移2个单位，得到直线，其与抛物线的两个交点也符合题意，同理求出对应的交点坐标即可【小问1详解】解：抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点，抛物线解析式为；【小问2详解】解：如图，连接交对称轴于点Q，抛物线解析式为，抛物线的对称轴为直线，点A，B关于对称轴对称，当C，B，Q三点共线时，的周长最小，设直线的解析式为，直线的解析式为，在中，当时，；【小问3详解】解： 同理可求出直线的解析式，过点C作的平行线，交抛物线于点，同

32、理可求出直线的解析式为，联立，解得或（舍去），；直线与y轴的交点为，点到的距离为2个单位，根据平行线间间距相等可知将直线向上平移2个单位，得到直线，其与抛物线的两个交点也符合题意，联立，解得或同理可得，综上所述：点P的坐标为，【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数函数综合，待定系数法求函数解析式，平行线间间距相等等等，灵活运用所学知识是解题的关键26. （1）【探究发现】如图，在正方形中，E为边上一点，将沿BE翻折得到，延长交边于点G求证：；（2）【类比迁移】如图，在矩形中，E为边上一点，且，将沿翻折得到，延长交边于点G，延长交边于点H，且，求的长；（3）【实践创新】如图，为等腰三角形，O为

33、斜边的中点， M，N为线段上的动点，且满足，设，证明：【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析【解析】【分析】（1）由翻折的性质以及正方形的性质可得，则，通过证明三角形全等即可；（2）如图，延长交于点Q，设，则，在中，根据勾股定理求得，则，证明，则，即，解得，在中，根据勾股定理求得，则，证明，则，即，解得，根据可得的值；（3）由题意知，如图，将绕B点顺时针旋转90得到，连接，由旋转的性质可得，则，证明，则，由，可得，在中，由勾股定理得，整理可得，代入得，进而结论得证【小问1详解】证明：由翻折的性质以及正方形的性质可得，在和中，；【小问2详解】解：如图，延长交于点Q，设，则，在中，由勾股定理得，即，解得，即，解得，在中，由勾股定理得，即，解得，的长为；【小问3详解】解：为等腰三角形，O为斜边的中点，如图，将绕B点顺时针旋转90得到，连接，由旋转的性质可得，在和中，在中，由勾股定理得，即，【点睛】本题考查了正方形、矩形的性质，相似三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，正切，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用