福建省福州市晋安区2022-2023学年八年级下期中数学试卷（含答案解析）

1、福建省福州市晋安区2022-2023学年八年级下期中数学试卷一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）1. 下列二次根式，属于最简二次根式的是（）A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（）A. B. C. D. 3. 在中，的对应边分别是，下列条件不能说明是直角三角形的是（）A B. C. D. 4. 如图，菱形的对角线相交于点，则菱形的面积为（）A. B. C. D. 5. 在下列条件中，能够判定为矩形的是（ ）A. B. C. D. 6. 下列逆命题成立的是（）A. 两条直线平行，内错角相等B. 全等三角形的对应角相等C 如果，那么D. 如果，那么7. 如图，在中，点，分别

2、是，边上中点，连接，如果，那么的长是（）A. B. C. D. 8. 如图，菱形的顶点在直线上，若，则的度数为（）A. B. C. D. 9. 已知在平面直角坐标系中，矩形三个顶点的坐标为，则第四个顶点的坐标为()A. B. C. (D. 10. 在平行四边形中，为的中点，点，为平行四边形同一边上任意两个不重合的动点（不与端点重合），的延长线分别与平行四边形的另一边交于点，下面四个判断：四边形是平行四边形；四边形是平行四边形；若平行四边形是矩形（正方形除外），则至少存在一个四边形ENFM是正方形；对于任意的平行四边形，存在无数个四边形是矩形其中，正确的个数有（）A. 4个B. 3个C. 2个D

3、. 1个二、填空题：（本题共6小题，每小题4分，共24分）11. 二次根式有意义，则的取值范围是_12. 在 Rt ABC中, ACB=90，AC=6，BC=8，D是AB的中点，则 _13. 如图，在正方形外作等边，则_14. 如图，在矩形ABCD中，ABC的平分线交AD于点E，连接CE若BC7，AE4，则CE_15. 如图，已知菱形的边长为，为的中点，若为对角线上一动点，则的最小值为_ 16. 如图，四边形中，且，以、为边向外作正方形，其面积分别为，若，则的值为_三、解答题（本题共9小题，共86分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 计算：（1）；（2）18. 先化简，再求值：，其

4、中19. 如图，在平行四边形 中，E、F是对角线上的两点，且 求证：四边形是平行四边形20. 如图，在中，为的高，求的长 21. 求证：四个角都相等的四边形是矩形（根据题意画出图形，并写出已知、求证和证明过程）22. 如图，已知四边形是平行四边形（1）尺规作图：按下列要求完成作图；（保留作图痕迹，请标注字母）连接；作的垂直平分线交，于，；连接，；（2）判断四边形的形状，并说明理由23. 在一个数学活动中，若身旁没有量角器或者三角尺，又需要作，的角，可以采用如下的方法：【操作感知】第一步：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展开第二步；再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同

5、时得到线段（如图1）【猜想论证】（1）写出图1中一个的角：_（2）若延长交于点，如图所示，试判断的形状，并证明【迁移探究】（3）小华将矩形纸片换正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照操作感知的方式操作，并延长交于点，连接当点在上时，求正方形的边长24. 在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：已知，求的值，他是这样解答的：，请你根据小明的解题过程，解决如下问题：（1）_；（2）化简：；（3）若，求的值25. 已知：菱形的边长为，把一个含的三角尺与这个菱形叠合，如果使三角形的顶点与点重合，三角尺的两边与菱形的两边，分别相交于点，（点，不与端点重合）（1）如图1，求证：；（2）如

6、图2，连接，求面积最大值；（3）如图3，连接，与，相交于点，若以线段，为边组成的三角形是直角三角形，求的值福建省福州市晋安区2022-2023学年八年级下期中数学试卷一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）1. 下列二次根式，属于最简二次根式的是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可【详解】解：和的被开方数不是整数，故A、B选项错误；，故D选项错误；属于最简二次根式；故选：C【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足以下两个条件的二次根式，叫最简二次根式：被开方数中的因数是整数，因式是整式，被开

7、方数中不含有能开得尽方的因数和因式2. 下列运算正确的是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据二次根式的性质进行化简即可求解【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项正确，符合题意；故选：D【点睛】本题考查了二次根式的性质进行化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键3. 在中，的对应边分别是，下列条件不能说明是直角三角形的是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据勾股定理逆定理以及三角形内角和定理对各项逐一判断即可.【详解】解：A. ，设此三角形是直角三角形

8、；故A选项不符合题意；B. 设，则：，解得：，此三角形不是直角三角形；故B选项符合题意；C.，且，此三角形是直角三角形；故C选项不符合题意；D.，即，此三角形是直角三角形；故D选项不符合题意；故选：B【点睛】本题考查直角三角形的判定，如果有边长，则可利用勾股定理的逆定理进行判定；如果有角度相关条件，则利用有一个角是的三角形是直角三角形进行判定.4. 如图，菱形的对角线相交于点，则菱形的面积为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由菱形面积公式即可得出答案【详解】解：四边形是菱形，对角线，则菱形的面积为，故选：C【点睛】本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键5. 在

9、下列条件中，能够判定为矩形的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据矩形的判定定理逐项判断即可【详解】当AB=AC时，不能说明是矩形，所以A不符合题意；当ACBD时，是菱形，所以B不符合题意；当AB=AD时，是菱形，所以C不符合题意；当AC=BD时，是矩形，所以D符合题意故选：D【点睛】本题主要考查了矩形的判定，掌握判定定理是解题的关键有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形6. 下列逆命题成立的是（）A. 两条直线平行，内错角相等B. 全等三角形的对应角相等C. 如果，那么D. 如果，那么【答案】A【解析】【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它

10、的逆命题，再分析逆命题是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案【详解】解：A、两条直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，成立；B、全等三角形的对应角相等的逆命题是：如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等，不成立；C、如果，那么逆命题是如果，那么；也可能是，不成立；D、如果，那么的逆命题是如果，那么也可能是，不成立；故选：A【点睛】本题考查了互逆命题的知识，平行线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，实数的性质，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题其中一个命题

11、称为另一个命题的逆命题7. 如图，在中，点，分别是，边上的中点，连接，如果，那么的长是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据三角形中位线定理即可求解【详解】解：点，分别是，边上的中点，,故选：A【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，熟练掌握三角形中位线的性质是解题的关键8. 如图，菱形的顶点在直线上，若，则的度数为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出，根据菱形性质得出，即得到，可得的度数【详解】，四边形为菱形，故选：C【点睛】本题考查了菱形的性质求角度，熟知以上知识是解题的关键9. 已知在平面直角坐标系中，矩形的三个顶点的坐标为，则第四个顶点的坐标为

12、()A. B. C. (D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意描出点，结合矩形的定义即可求解【详解】解：如图所示，矩形的三个顶点的坐标为，,故选：B【点睛】本题考查了坐标与图形，矩形的等定义，数形结合是解题的关键10. 在平行四边形中，为的中点，点，为平行四边形同一边上任意两个不重合的动点（不与端点重合），的延长线分别与平行四边形的另一边交于点，下面四个判断：四边形是平行四边形；四边形是平行四边形；若平行四边形是矩形（正方形除外），则至少存在一个四边形ENFM是正方形；对于任意的平行四边形，存在无数个四边形是矩形其中，正确的个数有（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【答案】B【解析】

13、【分析】由可证，可得，可证四边形是平行四边形，可得与不一定相等，故错误，正确，由正方形的判定和性质和矩形的判定可判断正确，正确，即可求解【详解】解：设点，为边上任意两个不重合的动点，如图，连接， 四边形是平行四边形，为的中点，也经过点，在和中，（），同理可得，四边形是平行四边形，与不一定相等，故错误，正确；若四边形是矩形，当、时，则、，又四边形是平行四边形，四边形是正方形，故正确，当时，则，又四边形是平行四边形，四边形是矩形，故正确，正确的为：故选：B【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，证明四边形ENFM是平行四边形是解题的关键二、填空题：（本题共6小题，

14、每小题4分，共24分）11. 二次根式有意义，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】根据二次根式 有意义的条件即可求解【详解】根据二次根式 有意义的条件，二次根式有意义，即解得：故答案为：【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的双重非负性（即 ）是本题的解题关键12. 在 Rt ABC中, ACB=90，AC=6，BC=8，D是AB的中点，则 _【答案】5【解析】【分析】先根据题意画出图形，再运用勾股定理求得AB，然后再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可【详解】解：如图：ACB=90，AC=6，BC=8 ACB=90，D为AB的中点，CD=AB=10=5故答案为

15、5【点睛】本题主要考查了运用勾股定理解直角三角形、直角三角形斜边上中线等于斜边的一半的性质等知识点，掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”成为解题的关键13. 如图，在正方形外作等边，则_【答案】【解析】【分析】根据四边形是正方形，是等边三角形，可得到，然后利用正方形和正三角形的性质，等边对等角以及三角形内角和定理即可求解【详解】解：四边形是正方形，又是等边三角形， ，故答案为【点睛】此题主要考查了正方形和等边三角形的性质，三角形的内角和定理，等边对等角，综合运用以上知识是解题的关键14. 如图，在矩形ABCD中，ABC的平分线交AD于点E，连接CE若BC7，AE4，则CE_【答案】5【

16、解析】【详解】四边形ABCD矩形，ADBC，AD=BC，AB=CD，D=90.AEB=CBE.BE平分ABC，ABE=CBE，ABE=AEB，AE=AB.CD=AE=4，DE=AD-AE=BC-AE=7-4=3.在RtCDE中，根据勾股定理得CE=.故答案为5.15. 如图，已知菱形的边长为，为的中点，若为对角线上一动点，则的最小值为_ 【答案】【解析】【分析】连接，交于，依据，可得，依据是等边三角形，即可得到，当点，在同一直线上时，即点在点处时，的最小值为的长，的最小值为【详解】解：如图，连接，交于，四边形是菱形，是等边三角形，又是的中点，菱形的边长为，中，当点，在同一直线上时，即点在点处时

17、，的最小值为的长，的最小值为，故答案为：【点睛】本题考查轴对称最短问题、菱形的性质，等边三角形的判定与性质、勾股定理，轴对称求线段和的最值问题，解题的关键是学会添加常用辅助线16. 如图，四边形中，且，以、为边向外作正方形，其面积分别为，若，则的值为_【答案】【解析】【分析】根据已知条件得到，过作交于，则，根据平行四边形的性质得到，由已知条件得到，根据勾股定理得到，于是得到结论【详解】解：，过作交于，则，四边形是平行四边形， ，故答案为：【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理等，正确地添加辅助线是解题的关键.三、解答题（本题共9小题，共86分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

18、17. 计算：（1）；（2）【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）二次根式化简、合并，然后由二次根式的除法运算即可完成计算；（2）利用平方差公式和完全平方差公式，进行二次根式的加减法运算即可【小问1详解】解：；【小问2详解】解：【点睛】本题考查了二次根式混合运算，涉及二次根式的化简，平方差公式与完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题的关键18. 先化简，再求值：，其中【答案】，【解析】【分析】先将括号内的通分、分式的除法变乘法，再结合完全平方公式即可化简，代入x的值即可求解【详解】，原式=【点睛】本题考查了分式混合运算，掌握分式的混合运算法则是解答本题的关键19. 如图，在平行四边形 中，

19、E、F是对角线上的两点，且 求证：四边形是平行四边形【答案】见解析【解析】【分析】连接，交于点，根据四边形是平行四边形可得，再由，可得，即可得出结论【详解】证明：连接，交于点，如图所示：四边形是平行四边形，又，即，四边形是平行四边形【点睛】此题考查了平行四边形的性质和判定，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键20. 如图，在中，为的高，求的长 【答案】【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，然后根据等面积法即可求解【详解】解：在中，是直角三角形，且为的高，【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的高的定义，证明是直角三角形是解题的关键21. 求证：四个角都相等的四边形是矩

20、形（根据题意画出图形，并写出已知、求证和证明过程）【答案】见解析【解析】【分析】先根据题意画出图形，写出已知，求证，根据已知得出问题得证【详解】已知：如图所示，四边形中，求证：四边形是矩形，证明：，又四边形内角和为，四边形是矩形【点睛】本题主要考查矩形的判定，解题的关键是掌握矩形的判定定理22. 如图，已知四边形是平行四边形（1）尺规作图：按下列要求完成作图；（保留作图痕迹，请标注字母）连接；作的垂直平分线交，于，；连接，；（2）判断四边形的形状，并说明理由【答案】（1）见解析 （2）四边形是菱形，理由见解析【解析】【分析】（1）根据题意连接，作的垂直平分线，连接，；（2）先根据线段垂直平分线

21、的性质得到，再证明得到，所以，于是可判断四边形为菱形【小问1详解】如图，、为所作；【小问2详解】四边形为菱形理由如下：如图，垂直平分，四边形为平行四边形，在和中，（），四边形为菱形【点睛】本题考查了作垂直平分线，菱形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，段垂直平分线的性质，掌握尺规作图的方法，作图中的条件就是第二问中的已知条件，正确进行尺规作图是解题的关键23. 在一个数学活动中，若身旁没有量角器或者三角尺，又需要作，的角，可以采用如下的方法：【操作感知】第一步：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展开第二步；再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段（

22、如图1）【猜想论证】（1）写出图1中一个的角：_（2）若延长交于点，如图所示，试判断的形状，并证明【迁移探究】（3）小华将矩形纸片换正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照操作感知的方式操作，并延长交于点，连接当点在上时，求正方形的边长【答案】（1）（答案不唯一） （2）见解析 （3）【解析】【分析】（1）设交与点，连接，由折叠可知，证明，得出，则；（2）由（1）可知，根据平行线的性质得出，则，即可证明是等边三角形；（3）由（2）可得，则在中，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，证明，得出，进而根据，可得，即可求解【小问1详解】解：设交与点，连接，由折叠可知，又，故答案为：

23、【小问2详解】是等边三角形，证明：如图所示，由（1）可知，是等边三角形，【小问3详解】解：由（2）可得，在中，折叠，在中，【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，正方形的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键24. 在数学课外学习活动中，小明和他同学遇到一道题：已知，求的值，他是这样解答的：，请你根据小明的解题过程，解决如下问题：（1）_；（2）化简：；（3）若，求的值【答案】（1） （2） （3）【解析】【分析】（1）利用分母有理化计算；（2）先将每一项分母有理化，然后合并即可；（3）先根据分母有理化得出，两边平方得到，然后利用整体代入

24、的方法计算【小问1详解】故答案为：【小问2详解】解：原式=；【小问3详解】，即【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：解答时一定要先化简再代入求值二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰25. 已知：菱形的边长为，把一个含的三角尺与这个菱形叠合，如果使三角形的顶点与点重合，三角尺的两边与菱形的两边，分别相交于点，（点，不与端点重合）（1）如图1，求证：；（2）如图2，连接，求面积的最大值；（3）如图3，连接，与，相交于点，若以线段，为边组成的三角形是直角三角形，求的值【答案】（1）见解析 （2） （3）或【解析】【分析】（1），利用证明，利

25、用全等三角形的对应边相等即可得证；（2）由三角形与三角形全等，得到两三角形面积相等，根据等边三角形的边长为，求出四边形的面积，即为三角形的面积，表示出三角形的面积，当垂直于时，三角形面积最小时，三角形面积最大，求出此时的长，确定此三角形的面积，即可求出三角形面积的最大值；（3）将绕点逆时针旋转得到，其中，由三角形全等于三角形，得到对应角，再由，利用等式性质得到一对角相等，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形的对应边相等得到，又在中，故即为以，为边的三角形，则，所以为直角三角形的情况分为两种：，如图所示，求出此时的长；，如图所示，求出此时的长即可【小问1详解】证明：菱形的边长为，和为等边三角形，又，且，又在和中，（），；【小问2详解】，又等边的边长为，且又，为等边三角形，三角尺运动过程中，当时，最小，最大，当时，此时；【小问3详解】将绕点逆时针旋转得到，其中，又， ，又在和中，（），又在中，即为以，为边的三角形， 且，所以为直角三角形的情况分为两种：，如图所示，中，且，即，则，如图所示，中，且，即，则，综上所述，或【点睛】本题考查了菱形的性质，旋转的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，分类讨论是解题的关键