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    广东省茂名市2023届高三二模数学试卷(含答案)

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    广东省茂名市2023届高三二模数学试卷(含答案)

    1、广东省茂名市2023届高三二模数学试卷一、单选题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.1.已知集合,若,则实数的取值范围是A. B. C. D. 2.若复数满足,则A.2B. C.3D.53.已知平面,直线,满足,则是的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.从1、2、3、4、5中任选3个不同数字组成一个三位数,则该三位数能被3整除的概率为A. B. C. D. 5.已知平面内的动点,直线:,当变化时点始终不在直线上,点为:上的动点,则的取值范围为A. B. C. D. 6.如图所示,正三棱锥,底面边长为2,点到平面ABC距离为2,点M在平面PAC内,且

    2、点M到平面ABC的距离是点P到平面ABC距离的,过点M作一个平面,使其平行于直线PB和AC则这个平面与三棱锥表面交线的总长为A. B. C. D. 7.黎曼函数是由德国数学家黎曼发现并提出的,它是一个无法用图象表示的特殊函数,此函数在高等数学中有着广泛的应用,在上的定义为:当(,且p,q为互质的正整数)时,;当或或为内的无理数时,则下列说法错误的是A. 在上的最大值为B.若,则C.存在大于1的实数,使方程有实数根D. ,8.已知函数,若实数a、b、c使得对任意的实数恒成立,则的值为A. B. C.2D. 二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.

    3、全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.9.小爱同学在一周内自测体温(单位:)依次为36.1,36.2,36.1,36.5,36.3,36.6,36.3,则该组数据的A.平均数为36.3B.方差为0.04C.中位数为36.3D.第80百分位数为36.5510.已知为坐标原点,椭圆:的左、右焦点分别为、,椭圆的上顶点和右顶点分别为A、B,点P、Q都在上,且,则下列说法正确的是A. 周长的最小值为14B.四边形可能是矩形C.直线,的斜率之积为定值D. 的面积最大值为11.已知,若关于的不等式恰好有6个不同的实数解,则的取值可以是A. B. C. D. 12.如图所示,有一个棱长为4的正

    4、四面体容器,D是PB的中点,E是CD上的动点,则下列说法正确的是A.若E是CD的中点,则直线AE与PB所成角为B. 的周长最小值为C.如果在这个容器中放入1个小球(全部进入),则小球半径的最大值为D.如果在这个容器中放入10个完全相同的小球(全部进入),则小球半径的最大值为三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知实数a,b满足,则的最小值是_.14.已知函数的图象关于直线对称,且时,则曲线在点处的切线方程为_.15.已知抛物线的焦点为,准线为,过的直线与抛物线交于点A、B,与直线交于点D,若且,则_.16.修建栈道是提升旅游观光效果的一种常见手段.如图,某水库有一个半径为1

    5、百米的半圆形小岛,其圆心为C且直径MN平行坝面.坝面上点A满足,且AC长度为3百米,为便于游客到小岛观光,打算从点A到小岛建三段栈道AB、BD与BE,水面上的点B在线段AC上,且BD、BE均与圆C相切,切点分别为D、E,其中栈道AB、BD、BE和小岛在同一个平面上.此外在半圆小岛上再修建栈道、以及MN,则需要修建的栈道总长度的最小值为_百米.四、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(10分)已知数列的前项和满足,且.(1)求,;(2)若不超过240,求的最大值.18.(12分)在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足.(1)求A;(2)若D为边BC上一点,

    6、且,试判断的形状.19.(12分)在四棱锥中,平面平面ABCD,O为AD的中点.(1)求证:;(2)若,点E在棱PB上,直线AE与平面ABCD所成角为,求点E到平面PCD的距离.20.(12分)已知,分别为双曲线:的左、右焦点,为渐近线上一点,且,.(1)求双曲线的离心率;(2)若双曲线E实轴长为2,过点且斜率为的直线交双曲线C的右支不同的A,B两点,为轴上一点且满足,试探究是否为定值,若是,则求出该定值;若不是,请说明理由.21.(12分)已知函数,为常数,且.(1)判断的单调性;(2)当时,如果存在两个不同的正实数,且,证明:.22.(12分)马尔可夫链是因俄国数学家安德烈马尔可夫得名,其

    7、过程具备“无记忆”的性质,即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关,与第次状态是“没有任何关系的”.现有甲、乙两个盒子,盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球.从两个盒子中各任取一个球交换,重复进行次操作后,记甲盒子中黑球个数为,甲盒中恰有1个黑球的概率为,恰有2个黑球的概率为.(1)求的分布列;(2)求数列的通项公式;(3)求的期望.数学答案一、单选题12345678ADADDBCB5.【提示】由原点到直线:的距离为可知直线是:的切线,又动直线始终没有经过点,所以点在该圆内,因为点为:上的动点,且,即的取值范围为.7.【提示】解:设,(,且p,q为互质的正整数),对于A选项:由题意

    8、,的值域为,其中p是大于等于2的正整数,故选项A正确;对于B选项:若,设,(,互质,互质),则;若,有一个为0,则;所以选项B正确;对于C选项:若为大于1的正数,则,而的最大值为,所以该方程不可能有实根.故选项C错误;对于D:和内的无理数,则,若为内的有理数,设(,为正整数,为最简真分数),则,故选项D正确.8.【提示】由题设可得其中,且,于是可化为即所以由已知条件,上式对任意恒成立,故必有若,则由式知,显然不满足式.故所以,由式知,则当时,则式,矛盾.所以由式,知,所以(法二)因为为中心对称函数,对称中心的纵坐标为1,从恒成立,可以看出,故的可能一个取值为,所以.二、多选题9101112AC

    9、ACDABACD10.【提示】由,可知P,Q关于原点对称.对于A.根据椭圆的对称性,当PQ为椭圆的短轴时,有最小值6,所以周长的最小值为14,正确;对于B.因为,所以,则,故椭圆上不存在点,使得,又四边形是平行四边形,所以四边形不可能是矩形,故B不正确.对于C.由题意得,设,则,所以,故C正确;对于D.设的面积为.11.【提示】记,则所以在单调增,在单调减所以的大致图像如下所示:所以关于的方程有6个不同实根等价于关于方程在内有2个不等实根即与在内有2个不同交点又的大致图像如下所示:又,所以12.【提示】A选项,直线平面,;A选项正确B选项,把沿着CD展开与面BDC同一个平面内,由,B选项错误C

    10、选项,要使小球半径最大,则小球与四个面相切,是正四面体的内切球,半径为(为棱长),C选项正确D选项,10个小球分三层(1个,3个,6个)放进去,要使小球半径要最大,则外层小球与四个面相切,设小球半径为,四个角小球球心连线是棱长为的正四面体,其高为,由正四面体内切球的半径是高的得,如图正四面体,则,正四面体高为,得.D选项正确三、填空题:13.【答案】14.【答案】15.【答案】3【提示】如图,设准线与轴的交点为,作,垂足分别为,则.根据抛物线定义知,设,因为,所以,.设,所以,所以16.【答案】【提示】:(1)连CD,CE,由半圆半径为1得记,又,则,所以的长为.又,故,即,所以,则;所以.-

    11、0+单调递减极小值单调递增所以栈道总长度最小值.四、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.解:(1)当时,当时,当时,(2),当时,又,则,当时,-可得:,当为偶数时,.当为奇数时,由,得,的最大取值为15.法二:,当时,又,则,当时,-可得:,可得:,故,-可得:,当时,即,的偶数项组成一个等差数列,公差为4,且从第3项起,所有的奇数项也组成一个等差数列,公差为4,当为偶数时,当为奇数时,由,得,的最大取值为15.18.(1)由得所以所以所以所以所以,即因为,所以.法一:(2)设,则,在中,由正弦定理知,即,化简得所以,所以是直角三角形.法二:(2)如图所示,取AB

    12、中点M,延长MD与AC的延长线交于点N,连接NB,由有,由,设,则,即,故,所以,即C为AN中点.又,为AB中点,所以,又,所以为正三角形,又BC平分AN,所以,所以ABCD是直角三角形.19.证明:(1),O为AD的中点,又平面平面,平面平面,平面,又平面(2)法(一)由,可知ABCD四边形为等腰梯形,易知,建立如图所示的空间直角坐标系,平面的法向量为,设,则,直线AE与平面ABCD所成角为点E在棱PB上即,代入解得或(舍去)., ,设平面的法向量为令,得,点E到平面PCD的距离法(二)建立如图所示的空间直角坐标系,平面的法向量为,设,则,直线AE与平面ABCD所成角为点E在棱PB上即,代入

    13、解得或(舍去),设平面的法向量为令,得,点E到平面PCD的距离20.解:(1)由,可设,在中,因为,所以,即,所以,即为直角三角形.所以在中,所以,则双曲线的离心率为.(2)由(1)可知在双曲线中有且实轴长为2,所以,所以双曲线方程为.由,故设斜率为k的直线为,联立,可得,因为直线与双曲线右支交于不同两点,所以设,则,则,即,的中点坐标为,因为Q为x轴上一点,满足,故Q为AB的垂直平分线与x轴的交点,AB的垂直平分线的方程为:,令,则得,即,所以,又又因为,在双曲线的右支上,故,故,即,故,即为定值.21.解:,记当,即时,恒成立在上恒成立在上单调递增.当,即时,方程有两个不等实根,且,单调递增,单调递减,单调递增综上所述:当时在上单调递增时,在和上单调递增,在上单调递减(2),由(1)可知时,在上单调递增故不妨设,要证记,时,恒成立,单调递增22.解:(1)由题可知,的可能取值为0,1,2.由相互独立事件概率乘法公式可知故的分布列如下表:012(2)由全概率公式可知:即:所以所以又所以,数列为以为首项,以为公比的等比数列所以即:(3)(法一)易知:由全概率公式可得:即:又所以所以又所以所以即:(法二)由全概率公式可得:即:又所以所以又所以所以所以所以.


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