2023年内蒙古呼和浩特市中考一模数学试卷（含答案解析）

1、2023年内蒙古呼和浩特市中考一模数学试题一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. 下列图标中是中心对称图形的是（）A. B. C. D. 2. 如图，数轴上点A所表示的数的相反数为（ ）A. B. 3C. D. 3. 用代入法解一元二次方程过程中，下列变形不正确的是（ ）A. 由得B. 由得C. 由得D. 由得4. 下列运算正确的是（）A. B. C. D. 5. 如图是某企业2020年510月份月利润变化情况的折线统计图，下列说法与图中反映的信息相符的是（）A. 56月份月利润增长量大于910月份月利润增长量B. 510月份月利润的中位数是700万元C. 510月份月利润平

2、均数是760万元D. 510月份月利润的众数是1000万元6. 下列命题：（1）一个三角形的各边长扩大为原来的9倍，这个三角形的面积也扩大为原来的9倍（2）相等的圆心角所对的弦相等（3）对角线相等且互相垂直的四边形是正方形（4）经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，其中真命题的个数有（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个7. 如图，在中，将绕点按顺时针方向旋转至的位置时，点恰好落在边的中点处，则的长为（）A. 1B. C. 2D. 8. 年月日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，三名航天员平安归来，神舟十三号任务取得圆满成功某航模店购进了“神舟”和“天宫”两款航空模型已知每个“神

3、舟”模型比“天宫”模型的进价多元，且同样花费元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多个设“天宫”模型进价为每个元，则下列方程正确的是（）A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，以为边在第一象限作正方形，其中顶点恰好落在双曲线上，现将正方形沿轴向下平移个单位，可以使得顶点落在双曲线上，则的值为（）A B. C. 2D. 10. 如图，在中，于点点是上两点，且，若，则的值为（）A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11. 因式分解：=_12. 如图是某立体图形的三视图，该立体图形的名称是_，若主视图和左视图均为边长为的

4、等边三角形，则该立体图形的表面积为_13. 盒子里装有若干个彩色球，它们除颜色外完全相同，其中有6个黄球，从盒子中任意摸出一个球，摸到黄球的概率是，则盒子里共有_个彩色球14. 如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分如果是中弦的中点，经过圆心交于点，并且，则的半径为_15. 如图在菱形中，为对角线与的交点，点为边上的任一点（不与、重合），过点分别作，、为垂足，则可以判断四边形的形状为_若菱形的边长为，则的最小值为_（用含的式子表示）16. 新定义：在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足时，；时，则称点是点的限变点例如：点的限变点是，则点的限变点是_若点在二次函数的图象上，则当

5、时，其限变点的纵坐标的取值范围是_三、解答题（本大题共8小题，共72分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 计算求解（1）计算：；（2）先化简，再求值：，其中18. 如图，过的对角线AC的中点O作两条互相垂直的直线，分别交AB，BC，CD，DA于E，F，G，H四点，连接EF，FG，GH，HE试判断四边形EFGH的形状，并说明理由19. 某校为落实“双减”政策，增强课后服务的丰富性，充分用好课后服务时间，3月份学校开展数学学科活动，其中七年级开展了五个项目（每位学生只能参加一个项目）：A阅读数学名著；B讲述数学故事；C制作数学模型；D参与数学游戏；E挑战数学竞赛为了解学生对以上活动的参

6、与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图根据图中信息，解答下列问题：（1）此次调查一共随机抽取了_名学生；补全条形统计图（要求在条形图上方注明名数）；扇形统计图中圆心角_度；（2）若该年级有1100名学生，请你估计该年级参加D项目的学生大约有多少名；（3）在C项目展示活动中，某班获得一等奖的学生有3名男生，2名女生，则从这5名学生中随机抽取2名学生代表本班参加学校制作数学模型活动，请直接写出恰好抽到2名男生的概率20. 如图，某测量小组为了测量山的高度，在地面处测得山顶的仰角，然后沿着坡角为（即）的坡面走了米到达处，此时在处测得山顶的仰角为，求

7、山高（结果保留根号）21. 如图，点，是反比例函数图像上的两点，过点，分别作轴于点，轴于点，连接，已知点， （1）求点坐标及反比例函数解析式；（2）若所在直线的解析式为，根据图像，请直接写出不等式的解集22. 某校九年级学生小丽、小强和小红到某商场参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某商品销售工作，已知该商品的进价为元/件，售价为元/件，下面是他们在活动结束后的对话：小丽：我发现此商品如果按元/件销售，每星期可卖出件小强：我发现在售价元/件的基础上调整价格，每涨价元，每星期比小丽所调查的销售量件要少卖出件小红：我发现在售价元/件的基础上调整价格，每降价元，每星期比小丽所调查的销售量件要多卖出

8、件（1）若设每件涨价元，则每星期实际可卖出_件，每星期售出商品利润（元）与的关系式为_，的取值范围是_（2）若设每件降价元，则每星期售出商品的利润（元）与的关系式为_（3）在涨价情况下，如何定价才能使每星期售出商品的利润最大？最大利润是多少？23. 如图，是的直径，是弦，是的中点，与交于点，是延长线上的一点，且（1）求证：为的切线；（2）连接，取的中点，连接若，求的长24. 已知，二次函数与轴的一个交点为，且过和点（1）求a、b、c的值，并写出该抛物线的顶点坐标；（2）将二次函数向右平移个单位，得到新抛物线，当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小，若m是整数，请求出所有符合条件的新抛物

9、线的解析式；（3）已知M、P、Q是抛物线上互不重合的三点，已知P、Q的横坐标分别是，点M与点P关于该抛物线的对称轴对称，求2023年内蒙古呼和浩特市中考一模数学试题一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. 下列图标中是中心对称图形的是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据中心对称图形的概念求解在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形这个旋转点，就叫做中心对称点【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，选项B能找到

10、这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，故选：B【点睛】本题主要考查了中心对称图形的概念中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合2. 如图，数轴上点A所表示的数的相反数为（ ）A. B. 3C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据数轴得到点表示的数为，再求的相反数即可【详解】解：点表示的数为，的相反数为3，故选：B【点睛】本题考查了数轴，相反数，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键3. 用代入法解一元二次方程过程中，下列变形不正确的是（ ）A. 由得B. 由得C. 由得D. 由得【答案】C【解析】【分析】根据代入消元法解方程组的

11、方法，进行变形时要特别注意移项后符号要变号【详解】解：，C选项变形不正确故选C【点睛】本题考查了解方程的方法，解题关键是掌握代入消元法解方程组的相关知识4. 下列运算正确的是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据算术平方根，单项式乘单项式、分母有理化以及同类项的运算法则判断即可【详解】A ，故本选项错误；B，故本选项错误；C ，故本选项正确；D 与不是同类项，不能合并，故本选项错误；故选C【点睛】本题主要考查了算术平方根，单项式乘单项式、分母有理化以及同类项，熟练掌握相关运算法则是解题的关键5. 如图是某企业2020年510月份月利润变化情况的折线统计图，下列说法与图中反映

12、的信息相符的是（）A. 56月份月利润增长量大于910月份月利润增长量B. 510月份月利润中位数是700万元C. 510月份月利润平均数是760万元D. 510月份月利润的众数是1000万元【答案】B【解析】【分析】先从统计图获取信息，再对选项逐一分析，选择正确结果【详解】解：由折线统计图知这组数据为500、600、700、700、900，1000、A.56月份利润增长了，910月份利润，增长了，故A说法与图中反映的信息不相符，故本选项不符合题意；B.510月份利润的中位数为700万元，故B说法与图中反映的信息相符，故本选项符合题意C.510月份利润的平均数为（万元），故C说法与图中反映的信

13、息不相符，故本选项不符合题意；D.700出现了2次，是出现次数最多的，510月份月利润的众数700万元，故D说法与图中反映的信息不相符，故本选项不符合题意；故选：B【点睛】本题考查了折线统计图，平均数和中位数，根据图表准确获取信息是解题的关键6. 下列命题：（1）一个三角形的各边长扩大为原来的9倍，这个三角形的面积也扩大为原来的9倍（2）相等的圆心角所对的弦相等（3）对角线相等且互相垂直的四边形是正方形（4）经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，其中真命题的个数有（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【答案】D【解析】【分析】利用平行公理、正方形的判定方法、相似三角形的性质、弦与

14、圆心角的关系判定即可【详解】解一个三角形的各边长扩大为原来的9倍，这个三角形的面积也扩大为原来的81倍,故（1）是假命题；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故（2）是假命题；对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，故（3）是假命题；经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故（4）是真命题；共有1个真命题，故选 D【点睛】本题考查了平行公理、正方形的判定方法、相似三角形的性质、弦与圆心角的关系以及命题与定理判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理7. 如图，在中，将绕点按顺时针方向旋转至的位置时，点恰好落在边的中点处，则的长为

15、（）A. 1B. C. 2D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意，判断出斜边的长度，根据勾股定理算出的长度，且，所以为等边三角形，可得旋转角为，同理，故也是等边三角形，的长度即为的长度【详解】解：在中，将其进行顺时针旋转，落在的中点处，是由旋转得到，点恰好落在边的中点处，根据勾股定理：，又，且，为等边三角形，旋转角，且，也是等边三角形，故选：B【点睛】本题主要考查了旋转性质的应用以及勾股定理的计算，解题的关键在于通过题中所给的条件，判断出图形旋转的度数，知道图形旋转的角度后，有关线段的长度也可求得8. 年月日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，三名航天员平安归来，神舟十三号任务取得圆满成功某

16、航模店购进了“神舟”和“天宫”两款航空模型已知每个“神舟”模型比“天宫”模型的进价多元，且同样花费元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多个设“天宫”模型进价为每个元，则下列方程正确的是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】每个“神舟”模型比“天宫”模型的进价多元，同样花费元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多个设“天宫”模型进价为每个元，根据数量关系列方程即可【详解】解：根据题意，设“天宫”模型进价为每个元，则“神舟”模型的价格为元，花费元购进“天宫”模型的数量是，购进“神舟”模型的数量是，“天宫”模型的数量比“神舟”模型多个，故选：【点睛】本题主要考查分式方程在实际问

17、题中的运用，理解题目中的数量关系，正确列出方程是解题的关键9. 如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，以为边在第一象限作正方形，其中顶点恰好落在双曲线上，现将正方形沿轴向下平移个单位，可以使得顶点落在双曲线上，则的值为（）A. B. C. 2D. 【答案】A【解析】【分析】作轴于点，作轴于点，作轴于点，交双曲线于点，由函数解析式确定的坐标是，的坐标是，根据全等三角形的判定和性质得出，结合图形求解即可【详解】解：作轴于点，作轴于点，作轴于点，交双曲线于点在中，令，解得：，即的坐标是令，解得：，即的坐标是则，又直角中，在和中，（），同理，故的坐标是，的坐标是代入得：，则函数的解析式是：

18、，则的纵坐标是，把代入得：即的坐标是，故选：A【点睛】题目主要考查反比例函数与一次函数综合问题，全等三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键10. 如图，在中，于点点是上两点，且，若，则的值为（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据，可得是等腰直角三角形，根据勾股定理可算出的长，如图所示，是的外角，是的外角，由此可证，由此即可求解【详解】解：如图所示，是等腰直角三角形，且，在中，已知，是的外角，是的外角，设，则，代入得，解得，（舍去），故选：【点睛】本题主要考查等腰直角三角形，相似三角形的综合，掌握等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键二

19、、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，本题要求把正确结果填在答题纸规定的横线上，不需要解答过程）11. 因式分解：=_【答案】x(x+1)(x1)【解析】【详解】解：原式= =x(x+1)(x1)，故答案为:x(x+1)(x1)12. 如图是某立体图形的三视图，该立体图形的名称是_，若主视图和左视图均为边长为的等边三角形，则该立体图形的表面积为_【答案】 . 圆锥 . 【解析】【分析】根据三视图的特点，可知立体几何的名称，再根据立体几何的表面积公式即可求解【详解】解：主视图、俯视图都是等边三角形，俯视图是圆形，该立体图形是圆锥，主视图和左视图均为边长为的等边三角形，底面圆的直径是，

20、半径是，底面圆的周长为，底面圆的面积为，侧面展开图的扇形的弧长为，半径为，扇形所在的圆的周长为，则扇形的圆心角，扇形的面积为，圆锥的表面积为，故答案为：圆锥，【点睛】本题主要考查立体几何的三视图，扇形的综合，掌握三视图的特点，立体几何表面积的计算公式，扇形的面积的计算方法是解题的关键13. 盒子里装有若干个彩色球，它们除颜色外完全相同，其中有6个黄球，从盒子中任意摸出一个球，摸到黄球概率是，则盒子里共有_个彩色球【答案】54【解析】【分析】用黄球的个数除以其概率即可得【详解】解根据题意知， 盒子里的球共有 (个) ；故答案为54【点睛】本题主要考查概率，熟练掌握概率的意义是解题的关键14. 如

21、图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分如果是中弦的中点，经过圆心交于点，并且，则的半径为_【答案】#【解析】【分析】连接，利用垂径定理求解再令的半径为，利用勾股定理建立方程求解半径即可得到答案【详解】解：连接是弦的中点，且经过圆心，且在中，令的半径为，解得：，故答案为：【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，勾股定理的应用，掌握利用垂径定理构建直角三角形是解题的关键15. 如图在菱形中，为对角线与的交点，点为边上的任一点（不与、重合），过点分别作，、为垂足，则可以判断四边形的形状为_若菱形的边长为，则的最小值为_（用含的式子表示）【答案】 . 矩形 . #【解析】【分析】根据菱形的

22、性质即可得到，根据，即可得到，根据矩形的判定方法即可判断出四边形是矩形；根据菱形的边长为，即可求出，的长度，根据四边形是矩形即可得到，即可判断出当时，取得最小值，也取得最小值，根据三角形的面积计算方法，即可求出的最小值，即可得出答案【详解】解：如图，连接四边形是菱形，四边形矩形；菱形的边长为，是等边三角形，四边形是矩形，当时，取得最小值，也取得最小值，此时，的最小值为，故答案为：矩形，【点睛】本题主要考查了矩形的判定及性质、垂线段最短以及菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键16. 新定义：在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足时，；时，则称点是点的限变点例如：点的限变点是，则点的限变点是

23、_若点在二次函数的图象上，则当时，其限变点的纵坐标的取值范围是_【答案】 . . 【解析】【分析】根据新定义可求得点的限变点，根据新定义得到当时，在时，得到；当时，在时，得到，即可得到限变点的纵坐标n的取值范围是【详解】解：， ，点的限变点是，点在二次函数的图象上，当时，当时，当时，综上，当时，其限变点的纵坐标n的取值范围是，故答案为：，【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据限变点的定义得到n关于m的函数三、解答题（本大题共8小题，共72分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 计算求解（1）计算：；（2）先化简，再求值：，其中【答案】（1）； （2），【解

24、析】【分析】（1）根据负整数指数幂、锐角三角函数、零指数幂和绝对值可以解答本题；（2）先化简式子，再将x的值代入即可解答本题【小问1详解】解：；【小问2详解】解：，当时，原式【点睛】本题考查含有特殊角的三角函数的混合运算以及分式的化简求值，解题的关键是明确分式化简求值的方法以及熟记特殊角的三角函数值是解题的关键18. 如图，过的对角线AC的中点O作两条互相垂直的直线，分别交AB，BC，CD，DA于E，F，G，H四点，连接EF，FG，GH，HE试判断四边形EFGH的形状，并说明理由【答案】菱形，理由见解析【解析】【分析】由平行四边形的性质可推出，即可利用“ASA”证明，得出OE=OG同理可得出O

25、F=OH，再结合题意，即证明四边形为菱形【详解】四边形EFGH的形状是菱形，理由如下：四边形为平行四边形，,在和中， ，(ASA)OE=OG同理可证OF=OH，四边形为菱形【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，菱形的判定19. 某校为落实“双减”政策，增强课后服务的丰富性，充分用好课后服务时间，3月份学校开展数学学科活动，其中七年级开展了五个项目（每位学生只能参加一个项目）：A阅读数学名著；B讲述数学故事；C制作数学模型；D参与数学游戏；E挑战数学竞赛为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图根据图中信

26、息，解答下列问题：（1）此次调查一共随机抽取了_名学生；补全条形统计图（要求在条形图上方注明名数）；扇形统计图中圆心角_度；（2）若该年级有1100名学生，请你估计该年级参加D项目的学生大约有多少名；（3）在C项目展示活动中，某班获得一等奖的学生有3名男生，2名女生，则从这5名学生中随机抽取2名学生代表本班参加学校制作数学模型活动，请直接写出恰好抽到2名男生的概率【答案】（1）400；补图见解析； （2）385名； （3）.【解析】【分析】（1）根据B讲述数学故事的名数是100名，所占的比例是，据此即可求得此次调查的学生人数；用总人数乘以A项所占百分比即可得阅读数学名著的人数，再用总人数减去A

27、、B、D、E的人数即可得C的人数，从而画出条形统计图；将乘以C所占百分比即可得解；（2）利用总人数1100乘以对应的百分比即可求得；（3）根据题意画出树状图即可得解小问1详解】解：（名），故答案为400；A阅读数学名著（名），C制作数学模型（名），补全统计图如下：，故答案为；【小问2详解】解：D项目的学生：（名）【小问3详解】解：男1男2男3女1女2男1（男1，男2）（男1，男3）（男1，女1）（男1，女2）男2（男2，男1）（男2，男3）（男2，女1）（男2，女2）男3（男3，男1）（男3，男2）（男3，女1）（男3，女2）女1（女1，男1）（女1，男2）（女1，男3）（女1，女2）女2（女

28、2，男1）（女2，男2）（女2，男3）（女2，女1）共有20种等可能的情况，其中抽到2名男生的情况数为6种，.【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用以及利用树状图求概率率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小20. 如图，某测量小组为了测量山的高度，在地面处测得山顶的仰角，然后沿着坡角为（即）的坡面走了米到达处，此时在处测得山顶的仰角为，求山高（结果保留根号）【答案】米【解析】【分析】作于解直角三角形分别求出、即可解决问题【详解】解：作于，米，（米，四边形是矩形，（米，（米，在中

29、，（米，（米【点睛】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型21. 如图，点，是反比例函数图像上的两点，过点，分别作轴于点，轴于点，连接，已知点， （1）求点坐标及反比例函数解析式；（2）若所在直线的解析式为，根据图像，请直接写出不等式的解集【答案】（1）点的坐标为，反比例函数解析式为 （2）当时或当时，【解析】【分析】（1）根据点，可表示出点的坐标，根据可算出的长，由此即可求解；（2）根据（1）可求出点的坐标，根据图像即可求解【小问1详解】解：点，是反比例函数图像上，轴于点，轴于点，点，点，即点，即，

30、解得，反比例函数解析式为，点的坐标为，反比例函数解析式为【小问2详解】解：已知点，由图像可知，当时，即；当时，即；综上所述，当时或当时，【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，理解图示的意义，掌握待定系数法求解析式，一次函数以反比例函数交点的含义及计算是解题的关键22. 某校九年级学生小丽、小强和小红到某商场参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某商品的销售工作，已知该商品的进价为元/件，售价为元/件，下面是他们在活动结束后的对话：小丽：我发现此商品如果按元/件销售，每星期可卖出件小强：我发现在售价元/件的基础上调整价格，每涨价元，每星期比小丽所调查的销售量件要少卖出件小红：我发现在售

31、价元/件的基础上调整价格，每降价元，每星期比小丽所调查的销售量件要多卖出件（1）若设每件涨价元，则每星期实际可卖出_件，每星期售出商品的利润（元）与的关系式为_，的取值范围是_（2）若设每件降价元，则每星期售出商品的利润（元）与的关系式为_（3）在涨价情况下，如何定价才能使每星期售出商品的利润最大？最大利润是多少？【答案】（1），且为整数 （2） （3）商品的定价为元时，销售利润最大，最大为元【解析】【分析】（1）根据每涨价元，每星期比小丽所调查的销售量件要少卖出件，由此即可求解；（2）根据每降价元，每星期比小丽所调查的销售量件要多卖出件，由此即可求解；（3）根据（1）中数量关系，将变形为顶点

32、式，即可求解【小问1详解】解：进价为元/件，按元/件销售，每星期可卖出件，每涨价元，每星期比销售量件要少卖出件，设每件涨价元，现在每件的销售价格为：元，销售量为：件，每件的利润为元，即，则，且为整数，故答案为：，且为整数【小问2详解】解：进价为元/件，按元/件销售，每星期可卖出件，每降价元，每星期比销售量件要多卖出件，设每件降价元，现在销售价为：，销售量为：件，每件的利润为：元，即，故答案为：【小问3详解】解：由（1）可知，（为整数），当时，商品的利润最大，最大利润，商品的定价为元时，销售利润最大，最大为元【点睛】本题主要考查二次函数与销售问题的综合，理解题目中的数量关系，列方程解方程是解题的

33、关键23. 如图，是的直径，是弦，是的中点，与交于点，是延长线上的一点，且（1）求证：为的切线；（2）连接，取的中点，连接若，求的长【答案】（1）证明见解析； （2）【解析】【分析】（1）连接，由，可得，由是的直径，是的中点，进而可得，即可证明为的切线；（2）连接，过作，垂足为利用相似三角形的性质求出，设的半径为，则在中，勾股定理求得，证明，得出，根据，求得，进而求得，根据勾股定理即可求得【小问1详解】证明：如图1，连接，是的直径，是的中点，即为的切线【小问2详解】解：如图，连接，过作，垂足为是的直径，解得，设的半径为，则解之得，为中点，【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，相似三角形的性质

34、与判定，综合运用以上知识是解题的关键24. 已知，二次函数与轴的一个交点为，且过和点（1）求a、b、c的值，并写出该抛物线的顶点坐标；（2）将二次函数向右平移个单位，得到的新抛物线，当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小，若m是整数，请求出所有符合条件的新抛物线的解析式；（3）已知M、P、Q是抛物线上互不重合的三点，已知P、Q的横坐标分别是，点M与点P关于该抛物线的对称轴对称，求【答案】（1），二次函数的表达式为，顶点为； （2）新函数的解析式为或或； （3）的度数是或【解析】【分析】（1）根据二次函数上的三个点的坐标列方程组即可求得、的值，进而求得二次函数表达式及顶点坐标；（2）将二

35、次函数的图象向右平移个单位得新图象的对称轴为直线，由时，随增大而增大，时，随增大而减小，且抛物线开口向下，得，进而有，或或，即可得到答案；（3）当在左侧时，过作于，先求出，进而得，于是可求得，当在右侧时，同理可得是等腰直角三角形，于是可求得，从而即可得解【小问1详解】解：二次函数与轴的一个交点为，且过和，解得，二次函数的表达式为，二次函数化为顶点式为，二次函数顶点为；【小问2详解】解：如图将二次函数，的图象向右平移个单位得的图象，新图象的对称轴为直线，当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，且抛物线开口向下，解得，是整数，或或，或或，符合条件的新函数的解析式为或或；【小问3详解】解：当在左侧时，过作于，如图，点、的横坐标分别是、，点与点关于该抛物线的对称轴对称，而抛物线对称轴为直线，是等腰直角三角形，即，当在右侧时，如图，同理可得是等腰直角三角形，综上所述，的度数是或【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，抛物线的平移变换，等腰直角三角形的判定等知识，解题的关键是掌握数形结合的思想