2023年山东省济宁市金乡县中考二模数学试卷（含答案解析）

1、2023年山东省济宁市金乡县中考二模数学试题一、单选题1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 2. 中国2023年2月份重要宏观经济数据先后已公布，其中12月份发电量约为13500亿千瓦时，同比增长0.7%，13500亿用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 3. 下列计算，正确的是（）A. B. C. D. 4. 某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支总数是43若设主干长出x个支干，则可列方程为（ ）A. B. C. D. 5. 如图，中，点C为弦中点，连接，点D是上任意一点，则度数为（ ）A B. C

2、. D. 6. 如图，在大楼AB正前方有一斜坡CD，坡角DCE=30，楼高AB=60米，在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60，在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45，其中点A,C,E在同一直线上.则斜坡CD的长度为（ ）.A. B. C. D. 7. 如图，点A，B的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为，则点D的横坐标最大值为（ ）A. B. 1C. 5D. 88. 由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形，AOBBOCCODLOM30若SAOB1，则图中与AOB位似的三角形的面积为( )A. （）3B. （）7C.

3、（）6D. （）69. 如图，抛物线与x轴正半轴交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C若点，则下列结论中，正确的个数是（ ）；与是抛物线上两点，若，则；若抛物线的对称轴是直线，m为任意实数，则；A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10. 如图，在正方形中，点G是上一点，且，连接交对角线于F点，过D点作交延长线于点E，若，则的长为（ ）A. B. C. D. 二、填空题11. 如果代数式有意义，那么字母x的取值范围是_12. 一副三角板如图放置，则_13. 已知圆锥侧面展开图的面积是，圆心角是60，则这个圆锥的底面圆的半径是_14. 如图，在中，为上的一动点，于，于，为的中点，则的最小值为_1

4、5. 如图，一次函数的图像与x轴和y轴分别交于点A和点B与反比例函数上的图像在第一象限内交于点C，轴，轴，垂足分别为点D，E，当时，k的值为_三、解答题16. 计算：；17. 为落实重庆市关于开展中小学课后服务工作的要求，某学校开展了四门校本课程供学生选择：A趣味数学；B博乐阅读；C快乐英语；D硬笔书法全校共有100名学生选择了A课程，为了解选A课程学生的学习情况，从这100名学生中随机抽取了30名学生进行测试将他们的成绩（百分制）绘制成频数分布直方图（1）其中70x80这一组的数据为74，73，72，75，76，76，79，则这组数据的中位数是，众数是（2）根据题中信息，估计该校共有人，选A

5、课程学生成绩在80x90的有人（3）课程D在扇形统计图中所对应的圆心角的度数为（4）如果学校规定每名学生要选两门不同的课程，小张和小王在选课程中，若第一次都选了课程C，那么他俩第二次同时选课程A或B的概率是多少？请用列表法或画树状图的方法加以说明18. 如图，直线y=kx+b与双曲线y=相交于A（1，2），B两点，与x轴相交于点C（4，0）（1）分别求直线AC和双曲线对应的函数表达式；（2）连接OA，OB，求AOB面积；（3）直接写出当x0时，关于x的不等式kx+b的解集19. 为助力苏州市双碳目标实现，充分挖掘学校光伏发电资源，学校屋顶安装了太阳能电板. 图是太阳能电板的实物图，其截面示意图

6、如图，为太阳能电板，其一端固定在水平面上且夹角，另一端与支撑钢架相连，钢架底座和水平面垂直，且. 若，求的长. （参考数据：，结果精确到. ） 20. 某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8x15，且x为整数）当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件（1）求y与x之间的函数关系式（2）若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？（3）设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销

7、售利润最大？最大利润是多少元？21. 如图，在中，以为直径的交于点D，连接，过点D作，垂足为M，、的延长线交于点N（1）求证：是的切线；（2）求证；（3）若，求的直径22. 和均为等边三角形，点E、D分别从点A，B同时出发，以相同的速度沿运动，运动到点B、C停止.（1）如图1，当点E、D分别与点A、B重合时，请判断：线段的数量关系是_，位置关系是_；（2）如图2，当点E、D不与点A，B重合时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）当点D运动到什么位置时，四边形的面积是面积的一半，请直接写出答案；此时，四边形是哪种特殊四边形？请在备用图中画出图形并给予证明.

8、2023年山东省济宁市金乡县中考二模数学试题一、单选题1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心【详解】解：A、轴对称图形，不是中心对称图形，本选项不符合题意；B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，本选项符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，本选项不符合题意；D

9、、是轴对称图形，不是中心对称图形，本选项不符合题意；故选：B【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知二者的定义是解题的关键2. 中国2023年2月份重要宏观经济数据先后已公布，其中12月份发电量约为13500亿千瓦时，同比增长0.7%，13500亿用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数【详解】解：13500亿用科学记数法表示为；故选B【点

10、睛】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键3. 下列计算，正确的是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分别利用二次根式加减运算法则、负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简求出答案即可【详解】A：，故此选项错误；B：20231，故此选项错误；C：46(2)64626212262664，正确；D：，二者不是同类二次根式，无法化简计算，故此选项错误；故选：C【点睛】本题主要考查了实数的运算，熟练掌握相关概念是解题关键.4. 某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支总数是43若设主干长出x个支干，则可列方程为（ ）A. B.

11、 C. D. 【答案】D【解析】【分析】设主干长出x个支干，则长出x2个小分支，根据主干、支干和小分支总数是43，即可列出关于x的一元二次方程【详解】解：设主干长出x个支干，则长出个小分支根据题意得故选D【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键5. 如图，中，点C为弦中点，连接，点D是上任意一点，则度数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】连接OA，在上取点E，连接AE，BE，先证明，可得AOB=112，结合圆周角定理和圆内接四边形的性质，即可求解【详解】解：连接OA，在上取点E，连接AE，BE，点C为弦中点，OC AB

12、，即ACO=BCO=90，又AC=BC，OC=OC，AOC=，即：AOB=112，E=AOB=56，四边形ADBE是的内接四边形，=180-56=124，故选B【点睛】本题主要考查圆周角定理、垂径定理、圆的内接四边形的性质，添加辅助线，构造圆的内接四边形，是解题的关键6. 如图，在大楼AB正前方有一斜坡CD，坡角DCE=30，楼高AB=60米，在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60，在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45，其中点A,C,E在同一直线上.则斜坡CD的长度为（ ）.A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】过点D作DFAB于点F,则四边形AEDF为矩形,设CD=x米,表示出D

13、E和CE,进而得出BF=DF=AB-AF,然后根据DF=AE=AC+CE列方程求解即可.【详解】过点D作DFAB于点F,则四边形AEDF为矩形AF=DE, DF=AE设CD=x米,在RtCDE中,DE= x米,CE=x米,在RtBDF中,BDF=45BF=DF=AB-AF=60-x(米)DF=AE=AC+CE20+x=60-x解得:x=80-120(米)故选A【点睛】此题考查解直角三角形-仰角俯角问题、坡度坡角题,构造直角三角形是解本题的关键7. 如图，点A，B的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为，则点D的横坐标最大值为（ ）

14、A. B. 1C. 5D. 8【答案】D【解析】【分析】当点横坐标最小时，抛物线顶点必为，根据此时抛物线的对称轴，可判断出间的距离；当点横坐标最大时，抛物线顶点为，再根据此时抛物线的对称轴及的长，可判断出点横坐标最大值【详解】解：当点横坐标为时，抛物线顶点为，对称轴为，此时点横坐标为5，则；当抛物线顶点为时，抛物线对称轴为，故，此时点横坐标最大，故点的横坐标最大值为8，故选：D【点睛】本题主要考查了二次函数的性质和图象，明确CD的长度固定是解此题的关键8. 由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形，AOBBOCCODLOM30若SAOB1，则图中与AOB位似的三角形的面积为( )A.

15、 （）3B. （）7C. （）6D. （）6【答案】C【解析】【分析】根据题意得出A、O、G在同一直线上，B、O、H在同一直线上，确定与AOB位似的三角形为GOH，利用锐角三角函数找出相应规律得出OG=，再由相似三角形的性质求解即可【详解】解：AOBBOCCODLOM30AOG180，BOH180，A、O、G在同一直线上，B、O、H在同一直线上，与AOB位似的三角形为GOH，设OA=x，则OB=，OC=，OD=，OG=，故选：C【点睛】题目主要考查利用锐角三角函数解三角形，找规律问题，相似三角形的性质等，理解题意，找出相应边的比值规律是解题关键9. 如图，抛物线与x轴正半轴交于A，B两点，与y

16、轴负半轴交于点C若点，则下列结论中，正确个数是（ ）；与是抛物线上两点，若，则；若抛物线的对称轴是直线，m为任意实数，则；A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】【分析】根据图像得出a0，c0，b0，可判断；再由图像可得对称轴在直线x=2右侧，可得，可判断；再根据二次函数在y轴右侧时的增减性，判断；根据抛物线对称轴为直线x=3，得出，再利用作差法判断【详解】解：抛物线开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴右侧，a0，c0，b0，abc0，故正确；抛物线过点B（4，0），点A在x轴正半轴，对称轴在直线x=2右侧，即，又a0，4a+b0，故正确；与是抛物线上两点，可得：抛物线在

17、时，y随x的增大而增大，在时，y随x的增大而减小，不一定成立，故错误；若抛物线对称轴为直线x=3，则，即，则=0，故正确；综上分析可知，正确的个数为3个，故C正确故选：C【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是能根据图像得出二次函数表达式各系数的符号10. 如图，在正方形中，点G是上一点，且，连接交对角线于F点，过D点作交的延长线于点E，若，则的长为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】过点作的垂线交的延长线于点，根据正方形的性质求得，根据，求得，从而求得，然后根据相似三角形的性质求得， 在中，勾股定理即可求解【详解】解：如图，过点作的垂线交的延长线于点，四边形是

18、正方形，中，中，故选D【点睛】本题考查了勾股定理，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，正方形的性质，掌握以上知识是解题的关键二、填空题11. 如果代数式有意义，那么字母x的取值范围是_【答案】x2且x5【解析】【分析】先根据分式及二次根式有意义的条件列出关于x的不等式组，求出x的取值范围即可【详解】代数式有意义，解得x2且x5故答案为x2且x5【点睛】本题考查分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件和二次根式有意义的条件.12. 一副三角板如图放置，则_【答案】105【解析】【分析】根据平行性的性质可得，根据三角形的外角的性质即可求解【详解】解：如图，故答案为

19、：105【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，直角三角形的两锐角互余，掌握以上知识是解题的关键13. 已知圆锥的侧面展开图的面积是，圆心角是60，则这个圆锥的底面圆的半径是_【答案】2【解析】【分析】设扇形的半径为r，圆锥的底面半径为R利用扇形的面积公式求出r，再根据扇形的弧长=圆锥底面圆的周长，构建方程求出R即可【详解】解：设扇形的半径为r，圆锥的底面半径为R由题意，解得r=12或-12（舍弃），扇形弧长=圆锥底面圆的周长，解得R=2，故答案为：2【点睛】本题考查圆锥的计算，弧长公式，扇形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型14. 如图，在中，为上的一动点

20、，于，于，为的中点，则的最小值为_【答案】2.4【解析】【分析】过点作于点，根据勾股定理求出BC的长，再由三角形的面积公式求出AM 的长，易知四边形AEMF是矩形，故可得出AM = EF， ，当最小时，最短，此时点与重合，据此可得出结论【详解】解：过点作于点，在中，于，于，四边形是矩形，当最小时，最短，此时点与重合，故答案为：2.4【点睛】本题考查了矩形性质、勾股定理、三角形面积公式、垂线段最短等知识点的运用，将求MN的最值转化为求AM的最值是解题关键15. 如图，一次函数的图像与x轴和y轴分别交于点A和点B与反比例函数上的图像在第一象限内交于点C，轴，轴，垂足分别为点D，E，当时，k的值为_

21、【答案】#【解析】【分析】由题意可得A点坐标为，设C点坐标为，则：，据此列出二元一次方程组求出k的值即可【详解】解：意可得A点坐标为，设C点坐标为，解得： 故答案为：【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的性质，掌握反比例函数和一次函数的性质是解题的关键三、解答题16. 计算：；【答案】【解析】【分析】利用零指数幂、负整数指数幂的定义以及特殊角的三角函数值进行计算【详解】解：原式【点睛】本题考查了零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值，解决本题的关键是掌握对相关概念的理解17. 为落实重庆市关于开展中小学课后服务工作的要求，某学校开展了四门校本课程供学生选择：A趣味数学；B博乐阅读；C快

22、乐英语；D硬笔书法全校共有100名学生选择了A课程，为了解选A课程学生的学习情况，从这100名学生中随机抽取了30名学生进行测试将他们的成绩（百分制）绘制成频数分布直方图（1）其中70x80这一组的数据为74，73，72，75，76，76，79，则这组数据的中位数是，众数是（2）根据题中信息，估计该校共有人，选A课程学生成绩在80x90的有人（3）课程D在扇形统计图中所对应的圆心角的度数为（4）如果学校规定每名学生要选两门不同的课程，小张和小王在选课程中，若第一次都选了课程C，那么他俩第二次同时选课程A或B的概率是多少？请用列表法或画树状图的方法加以说明【答案】（1）75，76； （2）500

23、，30； （3）108； （4），见解析【解析】【分析】（1）把70x80这组数据按从小到大排序，出现次数最多的数是众数，中间的一个数是中位数；（2）观察扇形统计图，用A课程的人数100除以所占的20%得到该校共有学生数；观察频数分布直方图，用该校共有学生数乘以成绩在80x90的人数除以30的商，得到该校选A课程成绩在80x90的学生人数；（3）观察扇形统计图，用周角360乘以D占的（1-20%-35%-15%）得到课程D在扇形统计图中所对应的圆心角的度数；（4）小张和小王在选课程中，若第一次都选了课程C，那么他俩第二次同时选课程只有ABD了，当小张选ABC中任一项时，小王都有选ABC任一项的

24、可能，列出树状图解答【小问1详解】把70x80这组的数据排序为：72，73，74，75，76，76，79，则这组数据的中位数是75，众数是76，故答案为：75 ，76；【小问2详解】估计该校共有：10020%500（人），选A课程学生成绩在80x90的有：10030（人），故答案为：500，30；【小问3详解】课程D在扇形统计图中所对应的圆心角的度数为：360（120%35%15%）108，故答案为：108；【小问4详解】画树状图如下：共有9种等可能的结果，小张和小王他俩第二次同时选课程A或B的结果有2种，小张和小王他俩第二次同时选课程A或B的概率为【点睛】本题主要考查了扇形统计图，频率分布直

25、方图，概率。熟练掌握扇形统计图，频率分布直方图，概率的意义，并熟练按意义计算，是解决此类问题的关键18. 如图，直线y=kx+b与双曲线y=相交于A（1，2），B两点，与x轴相交于点C（4，0）（1）分别求直线AC和双曲线对应的函数表达式；（2）连接OA，OB，求AOB的面积；（3）直接写出当x0时，关于x的不等式kx+b的解集【答案】（1）y=x+，y=； （2）AOB的面积为； （3）1x的解集是1x3【点睛】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会利用方程组求两个函数的交点坐标，学会利用分割法求三角形面积19. 为助力苏州市双碳目标实

26、现，充分挖掘学校光伏发电资源，学校屋顶安装了太阳能电板. 图是太阳能电板的实物图，其截面示意图如图，为太阳能电板，其一端固定在水平面上且夹角，另一端与支撑钢架相连，钢架底座和水平面垂直，且. 若，求的长. （参考数据：，结果精确到. ）【答案】【解析】【分析】如图所示，过点B作于F，过点C作于E，则四边形是矩形，证明，设，则，然后解即可得到答案【详解】解：如图所示，过点B作于F，过点C作于E，则四边形是矩形，设，则，在中，解得，的长约为【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，解直角三角形，等腰直角三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键20. 某商店购进了一种消毒用品，进价

27、为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8x15，且x为整数）当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件（1）求y与x之间的函数关系式（2）若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？（3）设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？【答案】（1） （2）13 （3）每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元【解析】【分析】（1）根据给定的数据，利用待定系

28、数法即可求出y与x之间的函数关系式；（2）根据每件的销售利润每天的销售量=425，解一元二次方程即可；（3）利用销售该消毒用品每天的销售利润=每件的销售利润每天的销售量，即可得出w关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题【小问1详解】解：设y与x之间的函数关系式为，根据题意得：，解得：，y与x之间的函数关系式为；【小问2详解】解：（-5x+150）（x-8）=425，整理得：，解得：，8x15，若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为13元；【小问3详解】解：根据题意得：8x15，且x为整数，当x19时，w随x的增大而增大，当x=15时，w有最大值

29、，最大值为525答：每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及二次函数的应用，解题的关键是找准题目的等量关系，21. 如图，在中，以为直径的交于点D，连接，过点D作，垂足为M，、的延长线交于点N（1）求证：是的切线；（2）求证；（3）若，求的直径【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】【分析】（1）如图，连接，由圆周角定理可得，由等腰三角形的性质可得，由三角形中位线定理可得，可证，可得结论；（2）通过证明，可得，可得结论；（3）由相似三角形的性质可求，即可求解详解】解：（1）证明：如图，连接，是直径，又，又是半

30、径，是的切线；（2），又，；（3），设，的直径为【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的判定和性质，三角形中位线定理，圆的有关知识，相似三角形的判定和性质等知识，利用相似三角形的性质可求线段的长度是本题的关键22. 和均为等边三角形，点E、D分别从点A，B同时出发，以相同的速度沿运动，运动到点B、C停止.（1）如图1，当点E、D分别与点A、B重合时，请判断：线段的数量关系是_，位置关系是_；（2）如图2，当点E、D不与点A，B重合时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）当点D运动到什么位置时，四边形的面积是面积的一半，请直接写出答案；此时，四边形是哪种特殊

31、四边形？请在备用图中画出图形并给予证明.【答案】（1）CD=EF，CDEF （2）CD=EF，CDEF，成立，理由见解析 （3）点D运动到BC的中点时，是菱形，证明见解析【解析】【分析】（1）根据和均为等边三角形，得到AF=AD，AB=BC，FAD=ABC=60，根据E、D分别与点A、B重合，得到AB=AD，EF=AF，CD=BC，FAD=FAB，推出CD=EF，CDEF；（2）连接BF，根据FAD=BAC=60，推出FAB=DAC，根据AF=AD，AB=AC，推出AFBADC，得到ABF=ACD=60，BF=CD，根据AE=BD，推出BE=CD，得到BF=BE，推出BFE是等边三角形，得到B

32、F=EF，FEB=60，推出CD=EF， CDEF；（3）过点E作EGBC于点G，设ABC的边长为a，AD=h，根据AB=BC，BD=CD= BC= a， BD=AE，推出AE=BE= AB，根据AB=AC， 推出ADBC，得到EGAD，推出EBGABD，推出，得到= h，根据CD=EF， CDEF，推出四边形CEFD是平行四边形，推出，根据EF=BD，EFBD，推出四边形BDEF是平行四边形，根据BF=EF，推出是菱形【小问1详解】和均为等边三角形，AF=AD，AB=BC，FAD=ABC=60，当点E、D分别与点A、B重合时，AB=AD，EF=AF，CD=BC，FAD=FAB，CD=EF，C

33、DEF；故答案为：CD=EF，CDEF；【小问2详解】CD=EF，CDEF，成立证明：连接BF，FAD=BAC=60，FAD-BAD=BAC-BAD，即FAB=DAC，AF=AD，AB=AC，AFBADC(SAS)，ABF=ACD=60，BF=CD，AE=BD，BE=CD，BF=BE，BFE是等边三角形，BF=EF，FEB=60，CD=EF，BCEF，即CDEF，CD=EF， CDEF；【小问3详解】如图，当点D运动到BC的中点时，四边形的面积是面积的一半，此时，四边形是菱形证明：过点E作EGBC于点G，设ABC的边长为a，AD=h，AB=BC，BD=CD= BC= a， BD=AE，AE=BE= AB，AB=AC， ADBC，EGAD，EBGABD，= h，由（2）知，CD=EF， CDEF，四边形CEFD是平行四边形，,此时，EF=BD，EFBD，四边形BDEF是平行四边形，BF=EF，是菱形【点睛】本题主要考查了等边三角形判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，菱形的判定，解决问题的关键是熟练掌握等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形判定和性质，相似三角形的判定和性质，菱形的判定