2023年中考数学高频考点突破：圆的综合（含答案解析）

1、2023年中考数学高频考点突破圆的综合1如图，AC是O直径，D是的中点，连接CD交AB于点E，点F在AB延长线上且FCFE(1)求证：CF是O的切线；(2)若BF6，求O的半径2如图，在中，以为直径的交边于点，在边上取一点，使得，连接，交于点，且(1)求证：是的切线；(2)若的直径为4，求的长3如图，AB是的直径，点D在直径AB上（D与A，B不重合），且，连接CB，与交于点F，在CD上取一点E，使(1)求证：EF是的切线：(2)连接AF，若D是OA的中点，求CF的长4如图，四边形ABCO是菱形，点D在边AB上，以O为圆心、OD为半径的圆切AB于点D(1)试判断直线BC与的位置关系，并说明理由；

2、(2)若，且点D是AB的中点，求图中阴影部分的面积5如图，是的直径，C是上一点，过点C作的切线，过点A作的垂线，垂足为点D，交的延长线于点E(1)求证：(2)若的半径为3，求的长（结果保留）6如图，AB是O的直径，点C为O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连接AC，BC(1)求证：AC平分BAD；(2)若AB=6，AC=，求EC和PB的长7图，在中，点O为斜边AB上一点，以OA为半径的O与BC相切于点D，与AC相交于点E，连接AD(1)求证：AD平分；(2)若O的半径为3，求阴影部分的面积（结果保留）8如图，AB是O的直径，C是O上一点

3、，ACB的平分线交AB于E，交O于D，连接AD，BD(1)求证：；(2)若，求的值9如图，已知AB是圆O的直径F是圆O上一点，BAF的平分线交O于点E，交O的切线BC于点C，过点E作EDAF，交AF的延长线于点D(1)求证：DE是O的切线；(2)若AB4，BC3，求DE的值10如图，ABC内接于O，AB是O的直径，直线l与O相切于点A，在l上取一点D使得DADC，线段DC，AB的延长线交于点E(1)求证：直线DC是O的切线；(2)若BC4，CAB30，求图中阴影部分的面积（结果保留）11如图，中，以为直径的与相交于点，与的延长线相交于点，过点作于点(1)求证：是的切线；(2)若，则 _ 12如

4、图，AB2，射线，点P为BM上一点，以BP为直径作，点D在上，ADAB，连接PD，点Q为弦PD上一点，射线QC交于点E(1)求证：AD为的切线；(2)若，求劣弧的长13如图，是的直径，、是圆上的两点，且，的平分线交于点，过作的垂线，垂足为(1)求证：是的切线；(2)连接，交于点，若已知，求的长14如图，AB是O的直径，点C是O上异于A、B的点，连接AC、BC，点D在BA的延长线上，且DCAABC，点E在DC的延长线上，且BEDC(1)求证：DC是O的切线；(2)若，求DA的长15如图，内接于，的直径AD与弦BC相交于点E，BECE，过点D作交AC的延长线于点F(1)求证：DF是的切线；(2)若

5、，AB6，求DF的长16如图，在等腰ABC中，AB=AC，底边BC的高AD与腰AC上的高BE相交于点F，且AE=BE，O是AEF的外接圆，连接DE(1)求证：DE是O的切线；(2)求证：DFBC=EFBF17如图，在RtABC中，ACB=90，延长CA到点D，以AD为直径作O，交BA的延长线于点E，延长BC到点F，使BF=EF(1)求证：EF是O的切线；(2)若AC=2，CD=7，cosDAE=，求EF的长18如图1，在四边形ABCD中，AB是的直径，CO平分(1)求证：直线CD与相切；(2)如图2，记（1）中的切点为E，P为优弧上一点，求的直径AB；求的值参考答案1(1)证明见解析(2)【分

6、析】（1）连接BC，利用直径所对的圆周角是直角，可得ABC=90，然后利用等腰三角形的性质，以及等弧所对的圆周角是直角证明FCB=A，即可解答；（2）在RtFBC中先求出BC和FC的长，然后证明FBCFCA，利用相似三角形的性质即可解答【解析】（1）连接BC，AC是O的直径，ABC=90，A+ACB=90，FC=FE，FCE=FEC，FCB+DCB=A+ACD，D是的中点，ACD=DCB，FCB=A，FCB+ACB=90，OCF=90，OC是O的半径，CF是O的切线；（2）在RtFBC中，BF=6，即，CBF=ACF=90，F=F，FBCFCA，O的半径为：【点评】本题考查了解直角三角形，切线

7、的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，垂径定理，熟练掌握切线的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键2(1)证明见解析(2)【分析】（1）通过已知条件得出即可；（2）连接，则，通过证明，从而得出，设，再根据已知求出的长度代入比例式解出即可（1）证明：，是的半径，是的切线（2）解：连接，是的直径，是的切线，的直径为4，令，则，解得：，（舍去）经检验：是原方程的解并符合题意，的长为【点评】本题考查切线的判定与性质，三角形相似的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，分式方程等知识正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键3(1)见解析(2)【分析】（1）连接OF和AF，证明

8、GFE=AGD，进而可证明OFE=90后即可求解；（2）先由AB=CD=8，BD=6，在RtBCD中结合勾股定理求出BC，再证ABFCBD，由对应边成比例求出BF的长，最后用BC减去BF就是所求的CF的长【解析】（1）解：连接OF和AF，设AF与DC相交于点G，如下图所示：OA=OF，A=OFA，AB为圆O的直径，AFB=AFC=90，C+CGF=90，GFE+EFC=90，又EC=EF，C=EFC，CGF=GFE，又CGF=AGD，GFE=AGD，CDAB，ADG=90，OFE=OFA+GFE=A+AGD=180-ADG=180-90=90，OFEF，EF是圆O的切线；（2）解：D是OA的中

9、点，且AB=8，DO=2，BD=BO+DO=6，又AB=CD=8，在RtBCD中，BC=BD+CD=10，BC=10，BDC=BFA=90，且B=B，ABFCBD，代入数据后得：，CF的长为【点评】本题考查了直径所对的圆周角是直角，圆的切线的判定定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握其定理及性质是解决此类题的关键4(1)与相切，理由见解析(2)【分析】（1）过点O作OEBC，垂足为点E由已知可以得到OADOCE，从而得出OD=OE，即可得出直线BC与O相切；（2）分别计算四边形ABCO和扇形的面积，求出其差即得解（1）解：直线BC与O相切理由是：如图，过点O作

10、OEBC，垂足为点EO与边AB相切于点D，ODABODA=OEC=90，四边形ABCO是菱形，A=C，OA=OC，OADOCE（AAS），OD=OE，OE是O的半径直线BC与O相切（2）解：如图：标出四边形与圆的交点，由已知可得，在RtOAD中，OA=AB=2，AD=，由勾股定理可得OD=，AD=，AOD=30，A=60，AOC=120，阴影部分的面积=【点评】本题考查圆的综合应用，熟练掌握菱形的性质、全等三角形的判定与性质、圆切线的判定与性质、扇形与菱形面积的求法是解题关键5(1)见解析(2)【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到OCCD，根据平行线的性质、等腰三角形的判定和性质定理证明

11、即可；（2）连接AC，根据同角的余角相等可得CBO=E，进而求得CAB，根据弧长公式计算，得到答案（1）证明：连接OC，CD是O的切线，OC为半径，OCCD，AECD，AEOC，OCB=E，OB=OC， OCB=B，E=B，AE=AB；（2）连接AC，CD是O的切线，OC=OD，OCB=OBC=55，AB为O的直径，ACB=ACE=90，CAB=90CBA=35的长为【点评】本题考查了切线的性质，弧长公式，直径所对的圆周角是直角，综合运用以上知识是解题的关键6(1)见解析(2)EC=；BP=3【分析】（1）首先连接OC，由PE是的切线，AE和过点C的切线互相垂直，可证得OCAE，又由OA=OC

12、，易证得DAC=OAC，即可得AC平分BAD；（2）根据题意先证明RtABCRtACE得出CE的值，再由RtABCRtACE，得出PB的值（1）证明：连接OC，如图所示：PE是O的切线，平分（2）AB是O的直径，在中，在和中，即，；在中，又，即，【点评】本题主要考查了的是相似三角形的性质和判定、切线的性质、圆周角定理的应用，作出辅助线，熟练掌握相关定理是解题的关键7(1)见解析(2)【分析】（1）由切线的性质及已知条件可证，再由两直线平行，内错角相等及等边对等角的性质可得，即可得到结论；（2）设EO，AD交于点M，连接ED，先证明是等边三角形，继而证明四边形AEDO是菱形，利用菱形的性质可得，

13、得出，再根据阴影部分的面积=扇形DOE的面积并利用扇形面积公式求解即可（1）以OA为半径的O与BC相切于点D，平分；（2）设EO，AD交于点M，连接ED，是等边三角形，四边形AEDO是菱形，阴影部分的面积=扇形DOE的面积【点评】本题考查了切线的性质，平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形等边对等角的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质及扇形的面积公式，熟练掌握知识点是解题的关键8(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据角平分线的定义确定ACD=BCD，根据圆周角定理的推论和等价代换思想确定ABD=BAD，再根据等角对等边即可证明（2）连接OD，过点C作于H

14、根据圆周角定理的推论确定ACB=90，根据勾股定理求出BC的长度，根据三角形面积公式求出CH的长度，根据等腰三角形三线合一的性质和垂直的定义确定EHC=EOD，根据相似三角形的判定定理和性质即可求出的值【解析】（1）证明：CD平分ACB，ACD=ABD，BCD=BAD，（2）解：如下图所示，连接OD，过点C作于HAB是O的直径，AB=10，OA=OB=DO=5AC=6，AD=BD，CHAB，OD垂直平分AB，EHC=90EOD=90EHC=EODCEH=DEO，【点评】本题考查角平分线的定义，圆周角定理的推论，等角对等边，勾股定理，三角形面积公式，等腰三角形的性质，相似三角形的判定定理和性质，

15、综合应用这些知识点是解题关键9(1)见解析；(2)【分析】（1）连接OE，根据等腰三角形的性质及角平分线的性质证明即可；（2）连接BE，根据直径所对的圆周角是直角求出AEB90，再根据切线的性质求出ABC90，从而证明ADEBEC，再利用相似三角形的性质进行求解即可（1）证明：连接OE，OAOE，OAEOEA，AE平分BAF，OAEEAD，OEAEAD，OEADEAEADDEA180D90，OEDE，DE是O的切线（2）连接BE，AB是O直径，AEB90，BECD90，BAEABE90，BC是O的切线，ABCABECBE90，BAECBE，DAEBAE，DAECBE，ADEBEC，AB4，BC

16、3，又CBEBAC，得，【点评】本题考查了切线的判定与性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键10(1)见解析(2)【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到DAB90，根据等腰三角形的性质得到DCODAO90，于是得到结论；（2）根据圆周角定理得到BOC2CAB60，根据等边三角形的性质得到OCOBBC4，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论【解析】（1）证明：连接OC，如图所示：直线l与O相切于点A，DAB90，DADC，OAOC，DACDCA，OACOCA，DCAOCADACOAC，即DCODAO90，OCCD

17、，直线DC是O的切线；（2）解：CAB30，BOC2CAB60，OCOB，COB是等边三角形，OCOBBC4，图中阴影部分的面积【点评】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积的计算，正确的添加辅助线是解题的关键11(1)见解析(2)2【分析】（1）连接，根据等边对等角性质和平行线的判定和性质证得，从而证得是的切线；（2）根据圆周角定理、勾股定理得出，然后根据勾股定理求得，然后证得，根据相似三角形的性质即可得到结论（1）证明：连接，是的切线；（2）解：连接，是直径，故答案为：【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，切线的判定，勾股定理的应用

18、以及三角形相似的判定和性质等，是一道综合题，难度中等12(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接CD根据全等三角形的判定定理和性质求出CDA，再根据切线的判定定理即可证明（2）根据全等三角形的性质求出ACD，根据角的和差关系求出PCD，根据30所对的直角边是斜边的一半求出AC的长度，根据勾股定理求出BC的长度，再根据弧长公式求解即可(1)证明：如下图所示，连接CDADAB，DCBC，ACAC，BMAB，CBA=90CD为半径，AD为的切线(2)解：，AB=2，ACD=ACB=30，AC=2AB=4，劣孤的长为【点评】本题考查全等三角形的判定定理和性质，切线的判定定理，含30的直角三角形，勾股定

19、理，弧长公式，综合应用这些知识点是解题关键13(1)见解析(2)【分析】（1）如图所示，连接OE，证明OEA=DAE，推出，再由EFAD，得到EFOE，即可证明EF为圆O的切线；（2）如图所示，连接OC，过点O作OHCE于H，则COE=2CAE，再由OC=OE，证得，由，得到AOC=BOC=90，从而推出OGH=COH，则【解析】（1）解：如图所示，连接OE，AE平分BAD，DAE=OAE，OA=OE，OAE=OEA，OEA=DAE，EFAD，EFOE，EF为圆O的切线；（2）解：如图所示，连接OC，过点O作OHCE于H，COE=2CAE，OC=OE，AOC=BOC=90，OGC+OCG=90

20、，又OCG+COH=90，OGH=COH，【点评】本题主要考查了圆切线的判定，等腰三角形的性质，平行线的性质与判定，角平分线的性质，圆周角定理，解直角三角形等等，正确作出辅助线是解题的关键14(1)见解析(2)【分析】（1）连接，先根据等腰三角形的性质可得，再根据圆周角定理可得，从而可得，然后根据圆的切线的判定定理即可得证；（2）设，则，再根据相似三角形的判定证出，然后根据相似三角形的性质求出的值，由此即可得出答案【解析】（1）证明：如图，连接，是的直径，即，又是的半径，是的切线（2）解：，设，则，即，解得，【点评】本题考查了圆的切线的判定定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练

21、掌握圆的切线的判定定理和相似三角形的判定定理是解题关键15(1)见解析；(2)【分析】（1）根据垂径定理的推论，证得，再根据证得，最后结合切线的定义证得结论；（2）通过解直角三角形求得AE，AD的长，从而求得DF的长(1)证明：AD为的直径，BECE，且OD是的半径，DF是的切线；(2)（2）解：连接CD，AB6，CEBE2，ACAB6，（注：答案不唯一，可利用两个三角形相似进行解答）.【点评】本题考查了切线的证明与圆相关的线段长度计算充分运用圆的性质，综合三角函数相关概念，求得线段长度是解题的关键16(1)见解析(2)见解析【分析】（1）连接OE，由等腰三角形的性质得到D是BC的中点，FBD

22、+BFD=90，推出FED+OEF=FBD=OFE=90，即可证明DE是O的切线；（2）先证明EAFEBC，得出AF=BC，再证明AEFDBF，进而得出DFAF=EFBF，即可证明DFBC=EFBF(1)证明：连接OE，OE=OF，OFE=OEF，又AB=AC，AD是边BC的高，D是BC的中点，FBD+BFD=90，又BE是AC边的高，BEC=90，DE=BD=BC，FBD=FED，又BFD=OFE，FED+OEF=FBD=OFE=90，DE是O的切线；(2)证明：BEAC，AEF=BEC=90，EAF=EBC，AE=BE，EAFEBC（ASA），AF=BC，AEF=BDF=90，EAF=DB

23、F，AEFDBF，DFAF=EFBF，DFBC=EFBF【点评】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握切线的判定方法，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定方法，相似三角形的判定与性质是解决问题的关键17(1)证明见解析(2)EF=【分析】（1）连接OE，证明OEEF即可；（2）连接DE，根据已知条件求出O的直径AD=5，在RtADE中，求出DE=3，在RtABC中，求出cosBAC=，根据BAC=DAE，求出BE=，根据相似三角形的判定证得FBEODE，根据相似三角形的性质即可求出EF(1)证明：如图，连接OE， OA=OE，OEA=OAE在

24、RtABC中，ACB=90，BAC+B=90BF=EF，B=BEFOAE=BAC，OEA=BAC，OEF=OEA+BEF=BAC+B=90，OEEF OE是O的半径，EF是O的切线；(2)解：如图，连接DE，CD=7，AC=2AD=CD-AC=5，AD是O的直径，AED=90在RtADE中，AE=ADcosDAE=5=4，DE= BAC=DAE，cosBAC=cosDAE=，在RtABC中，AB=BE=AB+AE= OD=OE，ODE=OED EF是O的切线，FEO=90，OED+OEA=90，FEB+OEA=90，FEB=OED，B=FEB=OED=ODE，FBEODE， ，EF=BF=【点

25、评】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是正确作出辅助线，把化为直角三角形，灵活应用三角函数的定义解决问题18(1)见解析(2)；【分析】（1）作于E，根据“AAS”证OCEOCB，得出OEOB，即可得出结论；（2）作DFBC于F，连接BE，则四边形ABFD是矩形，得ABDF，BFAD1，则CF1，证AD、BC是O的切线，由切线长定理得EDAD1，ECBC2，则CDEDEC3，由勾股定理得DF，即AB=；则OB，证ABEBCH，由圆周角定理得APEABE，则APEBCH，由三角函数定义即可得出答案（1）证明：作于E，如图所示：则，,CO平分，在和中，（AAS），又，直线CD与相切（2）作于F，连接BE，如图所示：，四边形ABFD是矩形，AD，BC是的切线，由（1）得CD是的切线，；，CO平分，BC=CE，【点评】本题主要考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角梯形的性质、勾股定理、圆周角定理等知识，熟练掌握切线的判定与性质和圆周角定理，是解题的关键