1、北京市昌平区20222023学年八年级下期中质量抽测数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）1. 在平面直角坐标系中，点P（3，4）位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 下列多边形中，内角和为的是（ ）A. B. C. D. 3. 下列各曲线表示y与x的关系中，y是x的函数的是（ ）A. B. C. D. 4. 如图，在平行四边形 ABCD中，AB=3，BC=5，ABC的平分线交AD于点E，则DE的长为（）A. 5B. 4C. 3D. 25. 用图像法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图像（如图），则所解的二元一次方程组
2、是（ ）A. B. C. D. 6. 平行四边形ABCD的周长是20，AC与BD交于点O，AOB的周长比BOC的周长大4，则AB的长为（）A. 3B. 7C. 8D. 127. 小明用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图（1）所示的菱形，并测得B60，接着活动学具成为图（2）所示的正方形，并测得对角线AC40 cm，则图（1）中对角线AC的长为（ ）A. 20cmB. 30cmC. 40cmD. cm8. 根据研究，运动员未运动时，体内血乳酸浓度通常在以下；运动员进行高强度运动后，如果血乳酸浓度降到以下，运动员就基本消除了疲劳体育科研工作者根据实验数据，绘制了一幅图象
3、，如图所示，它反映了运动员进行高强度运动后，体内血乳酸浓度随时间变化而变化的函数关系下列叙述正确的是（ ）A. 运动后时，采用慢跑活动方式放松时的血乳酸浓度与采用静坐方式休息时的血乳酸浓度相同B. 运动员进行高强度运动后，最高血乳酸浓度大约为C. 采用慢跑活动方式放松时，运动员必须慢跑后才能基本消除疲劳D. 运动员进行高强度运动后，为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用慢跑活动方式来放松二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 函数中自变量x的取值范围是_10. 在中，那么的度数是_11. 如果一次函数的图象经过，且随x的增大而减小，那么这个一次函数的表达式可以是_（写出一个即可）12. 若菱
4、形的两条对角线长分别是5和12，则此菱形的面积是_13. 如图，矩形中，对角线、交于点O，如果，那么的度数为_14. 已知若、是一次函数图象上的两个点，那么_（用“”、“”或“”填空）15. 如图，四边形ABCD是菱形，点A为，点B为，则点C的坐标为_16. 如图，正方形中，相交于点O，E，F分别为边，上的动点（点E，F不与线段的端点重合）且，连接，在点E，F运动的过程中，有下列四个结论：是等腰直角三角形；面积的最小值是；至少存在一个，使得的周长是；四边形的面积是1请写出正确结论的序号_三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分
5、）17. 如图，在正方形网格中，若点的坐标为，点坐标为，按要求解答下列问题：（1）在图中建立正确的平面直角坐标系，并写出点的坐标为 ；（2）在（1）的基础上，作出关于轴的对称图形，并与出点的坐标为 18. 已知一次函数，当m为何值时，（1）y随x值增大而减小？（2）一次函数的图象与直线平行？（3）一次函数的图象与x轴交于点？19. 如图，在中，点，分别在，上，且求证：20. 已知直线yx+3（1）求出直线与x轴、y轴的交点A、B的坐标；（2）画出直线的图象；（3）求直线与两坐标轴围成三角形的面积21. 为保护学生视力，课桌椅高度都是按一定的关系配套设计的，研究表明：假设课桌的高度为ycm，椅子
6、的高度为xcm，则y是x的一次函数，下表列出两套符合条件的课桌椅的高度第一套第二套椅子高度x（cm）4238课桌高度y（cm）7470（1）请确定课桌高度与椅子高度的函数关系式；（2）现有一张高80cm的课桌和一张高为43cm的椅子，它们是否配套？为什么？22. 如图，在44的网格中每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，线段AB的两个端点都在格点上，以格点为顶点分别按下列要求画图（1）在图中，以AB为一边画平行四边形ABCD，使其面积为6；（2）在图中，以AB为一边画菱形ABEF；（3）在图中，以AB为一边画正方形ABGH，且与图中所画的图形不全等23. 如图，在平面直角坐标系中，长
7、方形OABC的两个顶点坐标为，（1）求对角线AC所在直线对应的函数表达式；（2）若点P在x轴上，且，求点P的坐标24. 某通讯公司推出两种收费方式供用户选择，其中一种有月租费，另一种没有月租费，且两种收费方式的通话时间（分钟）与收费（元）的关系如图所示：（1）分别求出两种方案的收费（元）与通话时间（分钟）之间的函数关系式（2）当值为多少时两种方案收费相等（3）当值为多少时，第种方案比第一种方案每个月多元？25. 如图，已知，分别在的两边AM，AN上截取线段AB，AC，使ABAC，连接BC，过点A作垂足为D，过点C作AM的平行线，交AD的延长线于点E，连接BE，过点E作EFAM于点F，连接DF（
8、1）补全图形；（2）求证：四边形ABEC是菱形；（3）若AB，BC2，求DF的长26. 如图，直线与过点的直线交于点，与x轴交于点B（1）求直线的解析式；（2）过动点且垂直于x轴的直线与，的交点分别为M，N，当点M位于点N上方时请直接写出n的取值范围_；若，求点M的坐标27. 如图，在正方形中，点E是边上的一动点（不与点A，B重合），连接，点A关于直线的对称点为F，连接并延长交边于点G，连接，（1）求证：；（2）过点E作于点E，交的延长线于点M，连接补全图形，并直接写出图中和相等线段；用等式表示线段，的数量关系，并证明28. 在平面直角坐标系中，对于点P，如果点Q满足条件：以线段PQ为对角线的
9、正方形，且正方形的边分别与x轴，y轴平行，那么称点Q为点P的“和谐点”，如图所示已知点，（1）已知点A的坐标是在D，E，F中，是点A的“和谐点”的是_；已知点B的坐标为，如果点B为点A的“和谐点”，求b的值；（2）已知点，如果线段DE上存在一个点M，使得点M是点C的“和谐点”，直接写出m的取值范围北京市昌平区20222023学年八年级下学期期中质量抽测数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）1. 在平面直角坐标系中，点P（3，4）位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】由题意根据点的横纵坐标特点，判断其所在象限即可.【详解】解：点（-3
10、，4）的横纵坐标符号分别为：-，+，点P（-3，4）位于第二象限故选：B【点睛】本题考查各象限内点的坐标的符号，注意掌握四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）2. 下列多边形中，内角和为的是（ ）A B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据n边形的内角和公式为，进行求解即可【详解】解：n边形内角和公式为，当，则四边形的内角和等于故选：C【点睛】本题主要考查多边形的内角和，熟练掌握多边形内角和公式是解题关键3. 下列各曲线表示的y与x的关系中，y是x的函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数
11、的定义“对于每一个确定的x值，存在唯定的唯一y值与之对应”进行判断即可【详解】解：由函数定义可知：作垂直x轴的直线在左右平移的过程中看是否与函数图象只会有一个交点，若只有一个交点，则是函数，否则不是；其中选项A、C、D均可能会有2个交点，故错误，而选线B中只会有一个交点，故选：B【点睛】本题主要考查了函数的定义函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量4. 如图，在平行四边形 ABCD中，AB=3，BC=5，ABC的平分线交AD于点E，则DE的长为（）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】D【解析】【分析】由在平
12、行四边形ABCD中，ABC的平分线交AD于点E，易证得ABE是等腰三角形，继而求得答案【详解】四边形ABCD是平行四边形，ADBC，AD=BC=5，AEB=CBE，BE平分ABC，ABE=CBE，ABE=AEB，AE=AB=3，DE=ADAE=2故选D【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义注意证得ABE是等腰三角形是解此题的关键5. 用图像法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图像（如图），则所解的二元一次方程组是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用待定系数法求出两个一次函数的解析式即可得【详解】解：
13、设其中一个一次函数的解析式为，将点代入，可得，解得，则这个一次函数的解析式为，同理可得：另一个一次函数的解析式为，则所解的二元一次方程组为故选：B【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键6. 平行四边形ABCD的周长是20，AC与BD交于点O，AOB的周长比BOC的周长大4，则AB的长为（）A. 3B. 7C. 8D. 12【答案】B【解析】【分析】由题意易得OA=OC，AB=CD，AD=BC，然后可得AB+BC=10，进而可得AB-BC=4，最后问题可求解【详解】解：如图所示：四边形ABCD是平行四边形，OA=OC，AB=CD，AD=BC，平行四边
14、形ABCD的周长是20，AB+BC=10，AOB的周长比BOC的周长大4，+得：，AB=7；故选：B【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质7. 小明用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图（1）所示的菱形，并测得B60，接着活动学具成为图（2）所示的正方形，并测得对角线AC40 cm，则图（1）中对角线AC的长为（ ）A. 20cmB. 30cmC. 40cmD. cm【答案】D【解析】【分析】如图1，2中，连接AC在图2中，理由勾股定理求出BC，在图1中，只要证明ABC是等边三角形即可解决问题【详解】解：如图1，2中，连接AC在图2
15、中，四边形ABCD是正方形，AB=BC，B=90，AC=40cm，AB=BC=cm，在图1中，B=60，BA=BC，ABC是等边三角形，AC=BC=cm故选：D【点睛】本题考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型8. 根据研究，运动员未运动时，体内血乳酸浓度通常在以下；运动员进行高强度运动后，如果血乳酸浓度降到以下，运动员就基本消除了疲劳体育科研工作者根据实验数据，绘制了一幅图象，如图所示，它反映了运动员进行高强度运动后，体内血乳酸浓度随时间变化而变化的函数关系下列叙述正确的是（ ）A. 运动后时，采用慢跑活动方式放松时的血乳酸浓度与
16、采用静坐方式休息时的血乳酸浓度相同B. 运动员进行高强度运动后，最高血乳酸浓度大约为C. 采用慢跑活动方式放松时，运动员必须慢跑后才能基本消除疲劳D. 运动员进行高强度运动后，为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用慢跑活动方式来放松【答案】D【解析】【分析】根据函数图像横纵坐标表示的意义判断即可【详解】解：运动后时，采用慢跑方式放松的血乳酸浓度与采用静坐方式休息时的血乳酸浓度不同，故不符合题意；运动高强度运动后最高血乳酸浓度不超过，故不符合题意；采用慢跑活动的方式放松时，根据图象显示运动员慢跑小于大于可以基本消除疲劳，故不符合题意；运动员进行完剧烈运动，为了更快达到消除疲劳的效果，应该采取慢跑活
17、动方式来放松，故符合题意；故选【点睛】本题考查了函数图像，正确理解函数图像横纵坐标表示的意义是解题的关键二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 函数中自变量x的取值范围是_【答案】x2【解析】【分析】详解】解：由被开方数必须0，所以，解得x2.故答案为：10. 在中，那么的度数是_【答案】【解析】【分析】由于，由平行四边形的性质及可得到的度数【详解】解：由题意作图如下，四边形是平行四边形，故填：【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形同旁内角互补的性质是解题的关键11. 如果一次函数的图象经过，且随x的增大而减小，那么这个一次函数的表达式可以是_（写出一个即可）【答案】（不唯
18、一）【解析】【分析】根据一次函数的性质，y随x的增大而减小，则是，不妨令，把经过的点代入求出b的值即可【详解】解：一次函数y随x的增大而减小，不妨设，则，把代入得，得：，所以，故答案为：（答案不唯一）【点睛】本题考查了一次函数的性质，开放型题目，所写函数解析式必须满足12. 若菱形的两条对角线长分别是5和12，则此菱形的面积是_【答案】30【解析】【分析】根据菱形的面积等于对角线积的一半计算即可【详解】因为菱形的两条对角线长分别是5和12，所以菱形的面积为：，故答案为：30【点睛】本题考查了菱形的面积计算，熟练掌握菱形的面积等于对角线积的一半是解题的关键13. 如图，矩形中，对角线、交于点O，
19、如果，那么的度数为_【答案】#80度【解析】【分析】根据矩形的性质，可得的度数，与的关系，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，可得答案【详解】解：是矩形，故答案：【点睛】本题主要考查了矩形的性质，利用矩形的性质得出的度数是解答本题的关键14. 已知若、是一次函数图象上的两个点，那么_（用“”、“”或“”填空）【答案】【解析】【分析】根据一次函数图像性质求解即可【详解】解：一次函数解析式为，y随x增大而减小，、，故答案为： 【点睛】本题考查了一次函数图像的性质，熟记知识点是解题关键15. 如图，四边形ABCD是菱形，点A为，点B为，则点C的坐标为_【答案】（5，4）【解析】【分析】由题目所给
20、的A、B两点坐标，即可求出AB的长，再根据四边形ABCD是菱形，可求出BC=5，即可求出C点坐标【详解】A（-3，0），B（0，4），OA=3，OB=4，AB=5，四边形ABCD为菱形，AD=CD=BC=5，点C的坐标为（5，4）故答案是：（5，4）【点睛】本题考查菱形的性质和坐标与图形的性质，熟练掌握菱形的性质并用坐标表示点的位置是解决本题的关键16. 如图，正方形中，相交于点O，E，F分别为边，上的动点（点E，F不与线段的端点重合）且，连接，在点E，F运动的过程中，有下列四个结论：是等腰直角三角形；面积的最小值是；至少存在一个，使得的周长是；四边形的面积是1请写出正确结论的序号_【答案】【
21、解析】【分析】证明，可得，可得到；再由当时，最小，此时，可得面积的最小值是，可得到正确；设，则，根据勾股定理可得，从而得到，得正确；再根据，可得，可得正确；即可求解【详解】解：四边形是正方形，是等腰直角三角形，故正确；当时，最小，此时，面积的最小值是，故正确；，设，则，的周长是，存在一个，使得的周长是，故正确；，故正确；故答案为：【点睛】此题属于四边形的综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理以及等腰直角三角形的性质注意掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）17.
22、 如图，在正方形网格中，若点的坐标为，点坐标为，按要求解答下列问题：（1）在图中建立正确的平面直角坐标系，并写出点的坐标为 ；（2）在（1）的基础上，作出关于轴的对称图形，并与出点的坐标为 【答案】（1） （2）图见解析，【解析】【分析】（1）根据点的坐标作出平面直角坐标系，写出点A的坐标即可；（2）根据轴对称变换的性质，作出对应点即可求解【小问1详解】解：如图所示，平面直角坐标系即为所求，故答案为：；【小问2详解】解：如图所示，即为所求，故答案为：【点睛】本题考查了轴对称变换的性质，坐标与图形，熟练掌握轴对称变换的性质是解题的关键18. 已知一次函数，当m为何值时，（1）y随x值的增大而减小
23、？（2）一次函数的图象与直线平行？（3）一次函数的图象与x轴交于点？【答案】（1） （2） （3）【解析】【分析】（1）根据一次函数性质时，y的值随x值的增大而碱小即可；（2）根据两直线平行k值相等即可；（3）把点代入即可【小问1详解】由题意，得，解得，时，y随x值的增大而减小【小问2详解】由题意，得，解得，时，一次函数的图象与直线平行【小问3详解】把点代入，得，解得，时，一次函数的图象与x轴交于点【点睛】此题考查了一次函数图象和性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象和性质19. 如图，在中，点，分别在，上，且求证：【答案】见解析【解析】【分析】根据得出，进而得出四边形是平行四边形，再根据平
24、行四边形的性质，即可进行解答【详解】证明：四边形是平行四边形，又，即，四边形是平行四边形，【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，解题的关键是掌握有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，平行四边形对边相等20. 已知直线yx+3（1）求出直线与x轴、y轴的交点A、B的坐标；（2）画出直线的图象；（3）求直线与两坐标轴围成的三角形的面积【答案】（1）A（3，0），B（0，3）；（2）见解析；（3）【解析】【分析】（1）令x0，求出B（0，3）；令y0，求出A（3，0）；（2）过A（3，0），B（0，3）作直线即可得函数图象；（3）可知OA3，OB3，则SAOB【详解】解：（1）令x0，得
25、y3，令y0，得x3，A（3，0），B（0，3）；（2）如图所示：（3）A（3，0），B（0，3），OA3，OB3，SAOB直线与两坐标轴围成的三角形的面积为【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质是解题的关键21. 为保护学生视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的，研究表明：假设课桌的高度为ycm，椅子的高度为xcm，则y是x的一次函数，下表列出两套符合条件的课桌椅的高度第一套第二套椅子高度x（cm）4238课桌高度y（cm）7470（1）请确定课桌高度与椅子高度的函数关系式；（2）现有一张高80cm的课桌和一张高为43cm的椅子，它们是否配套？为什么？【答案
26、】（1）y=x+32； （2）不配套，理由见解析【解析】【分析】（1）本题利用待定系数法求出一次函数的解析式；（2）求x=43代入函数解析式求出y的值，看求出的y值是否等于80，若相等则说明配套，否则不配套【小问1详解】设一次函数的解析式为y=kx+b，把点（42，74）、（38，70）代入，得到， 解得：， 函数解析式为：y=x+32，【小问2详解】不配套，理由如下：当x=43时，y=43+32=7580， 它们不能配套【点睛】本题考查了一次函数的应用，用待定系数法求出函数解析式是本题的关键22. 如图，在44的网格中每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，线段AB的两个端点都在格点
27、上，以格点为顶点分别按下列要求画图（1）在图中，以AB为一边画平行四边形ABCD，使其面积为6；（2）在图中，以AB为一边画菱形ABEF；（3）在图中，以AB为一边画正方形ABGH，且与图中所画的图形不全等【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）画出底为3，高为的平行四边形ABCD即可；（2）根据菱形的定义，画出图形即可；（3）根据正方形的定义画出图形即可【详解】解：（1）如图中，平行四边形ABCD即为所求；（2）如图中，菱形ABEF即为所求；（3）如图中，正方形ABGH即为所求【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，菱形的判定和性质，正方形的判定和性质，平行四边形
28、的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型23. 如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的两个顶点坐标为，（1）求对角线AC所在直线对应的函数表达式；（2）若点P在x轴上，且，求点P的坐标【答案】（1） （2）或【解析】【分析】（1）求出点C的坐标，用待定系数法即可求得函数解析式；（2）由面积关系可得，再由点A的坐标并考虑点P可在点A的两边，即可求得点P的坐标【小问1详解】解：设直线l对应的函数表达式是，在直线l上，解这个二元一次方程组，得直线l对应的函数表达式为【小问2详解】解：，且，或【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，根据面积关系求满足条
29、件的点的坐标，注意点P的坐标有两个，不要有遗漏24. 某通讯公司推出两种收费方式供用户选择，其中一种有月租费，另一种没有月租费，且两种收费方式的通话时间（分钟）与收费（元）的关系如图所示：（1）分别求出两种方案的收费（元）与通话时间（分钟）之间的函数关系式（2）当值为多少时两种方案收费相等（3）当值为多少时，第种方案比第一种方案每个月多元？【答案】（1）y10.1x+30；y20.2x；（2）当通话时间300分钟时，两种方案收费相等（3）当值为600时，第种方案比第种方案每个月多【解析】【分析】（1）根据图象经过的点的坐标设出函数的解析式，用待定系数法求函数的解析式即可；（2）利用两种收费方式
30、费用相同构造方程，求出x的值即可（3）利用第种方案比第种方案每个月多元，构造方程求出即可【详解】解：（1）设y1k1x+30，y2k2x，由题意得：将（500，80），（500，100）分别代入：500k1+3080，k10.1，500k2100，k20.2，故所求的解析式为：y10.1x+30；y20.2x；（2）当通讯时间相同时y1y2，得0.2x0.1x+30，解得x300，当x300时，y60当通话时间300分钟时，两种方案收费相等；（3）第种方案比第种方案每个月多元， 0.1x+30=0.2x-30，x=600，当值为600时，第种方案比第种方案每个月多元【点睛】本题考查的是用一次函
31、数解决实际问题，掌握待定系数方法求一次函数解析式，熟悉相关性质是解题的关键25. 如图，已知，分别在的两边AM，AN上截取线段AB，AC，使ABAC，连接BC，过点A作垂足为D，过点C作AM的平行线，交AD的延长线于点E，连接BE，过点E作EFAM于点F，连接DF（1）补全图形；（2）求证：四边形ABEC是菱形；（3）若AB，BC2，求DF的长【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）2【解析】【分析】（1）根据题意作出图形即可；（2）根据等腰三角形的性质得到BDCD，根据全等三角形的性质得到CEAB，根据菱形的判定定理即可得到结论；（3）过D作DHAF于H，根据菱形的性质得到DH垂直平分AF
32、，求得ADDF，根据勾股定理即可得到结论【小问1详解】解：如图所示；【小问2详解】证明：ACAB，ADBC，BDCD，CEAB，ECBABD，CEDBAD，ABDECD（AAS），CEAB，四边形ABEC是平行四边形，ABAC，四边形ABEC是菱形；【小问3详解】解：过D作DHAF于H，EFAM，DHEF，四边形ABEC是菱形；ADDE，AHHF，DH垂直平分AF，ADDF，BC2，BD1，AD，DFAD2【点睛】本题考查了菱形的判定，作图基本作图，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键26. 如图，直线与过点的直线交于点，与x轴交于点B（1）求直线的解析式；（2）过动点
33、且垂直于x轴的直线与，的交点分别为M，N，当点M位于点N上方时请直接写出n的取值范围_；若，求点M的坐标【答案】（1） （2）；【解析】【分析】（1）先求出点C的坐标，然后根据待定系数法求出一次函数解析式即可；（2）根据当点M、N在点C右边时，点M位于点N上方，写出n的取值范围即可；先求出点B的坐标，用n表示出点M、N的坐标，然后根据列出关于n的方程，解方程得出n的值，即可得出答案【小问1详解】解：把代入得：，点C的坐标为，设直线的解析式为，把，代入得：，解得：，直线的解析式为【小问2详解】解：根据函数图像可知，当点M、N在点C右边时，点M位于点N上方，故答案为：；把代入得：，解得：，把分别代
34、入和得，点M位于点N上方，解得：，此时点M的坐标为：【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，两条直线的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求一次函数解析式，数形结合，准确计算27. 如图，在正方形中，点E是边上的一动点（不与点A，B重合），连接，点A关于直线的对称点为F，连接并延长交边于点G，连接，（1）求证：；（2）过点E作于点E，交的延长线于点M，连接补全图形，并直接写出图中和相等的线段；用等式表示线段，的数量关系，并证明【答案】（1）见解析 （2），图见解析；，理由见解析【解析】【分析】（1）根据对称得，再由证明，可得结论（2）证得，则可得出结论过点M作交AB的延长线于点N，连接BM
35、，证明，由全等三角形的性质得出，则得出，证得是等腰直角三角形，则可得出结论【小问1详解】证明：四边形是正方形，点A关于直线的对称点为F，又【小问2详解】补全图形证明：如图，过点M作交AB的延长线于点N，连接BM，又，由得，是等腰直角三角形，（其它证明过程如正确也相应给分，下图中辅助线供参考）【点睛】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理，轴对称的性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解决本题的关键是利用正方形的性质得到相等的边和相等的角，证明三角形全等，作出辅助线也是解决本题的关键28. 在平面直角坐标系中，对于点P，如果点Q满足条件：以线段PQ为对角线的正
36、方形，且正方形的边分别与x轴，y轴平行，那么称点Q为点P的“和谐点”，如图所示已知点，（1）已知点A的坐标是在D，E，F中，是点A的“和谐点”的是_；已知点B的坐标为，如果点B为点A的“和谐点”，求b的值；（2）已知点，如果线段DE上存在一个点M，使得点M是点C的“和谐点”，直接写出m的取值范围【答案】（1）D，F；b3或1； （2）3m1或1m3【解析】【分析】（1）画出图形根据“和谐点”的定义判断即可；画出图形根据“和谐点”的定义确定出点B坐标即可；（2）分别作出临界情况下的“和谐点”，确定出点C（m，0）在线段HM，NG上，进而可得m的取值范围【小问1详解】解：如图1中，在D，E，F中，是点A的“和谐点”的是点D，点F故答案为：D，F；如图2中，点B的坐标为（0，b），点B为点A的“和谐点”，观察图形可知B（0，3）或B（0，1），b3或1；【小问2详解】点M在线段DE上，点M是点的“和谐点”，如图3中，由图可知点C（m，0）在线段HM，NG上，3m1或1m3【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，“和谐点”的定义等知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型
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