1、2023年广东省广州市南沙区中考一模数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1. 下列实数中，最小的是（ ）A. B. C. 0D. 32. 在平面直角坐标系中，点P(3，4)关于原点对称的点的坐标是（ ）A. (3，4)B. (4，3)C. (3，4)D. (3，4)3. 广东省市场监督管理出台了一系列政策促进广东餐饮行业的发展，据统计，2023年第一季度广东省餐饮主体营收达亿元，将“亿”用科学记数法表示是（ ）A. B. C. D. 4. 下面的计算正确的是（ ）A. B. C. D. 5. 如图，在中，点，分别为，上的点，若，则下列结论错误的是（ ）A. B. C.
2、 D. 6. 若反比例函数的图象在第二、第四象限，常数和互为相反数，则一次函数在平面直角坐标系中的图象大致是（ ）A. B. C. D. 7. 如图，在中，点是圆上的一点且，弦，则的直径长是（ ）A. B. C. 24D. 128. 若是关于x一元二次方程的一个实数根，则的值是（ ）A. 4046B. C. D. 09. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，且那么点的到轴的距离是（ ）A. 2B. 4C. D. 10. 如图，在菱形中，点是边上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，当点从点运动到点时，点的运动路径长是（ ）A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分
3、）11. 16的平方根是_12. 一次函数与轴的交点的坐标是_13. 某同学参加学校艺术节歌唱比赛，其中唱功、表情、动作三个方面的得分分别是90，85，90，综合成绩中唱功、表情、动作分别占，则这位同学的综合成绩是_ 分14. 直线，线段分别与，交于点，过点作，交直线于点，平分线交直线于点若，则的度数是_15. 已知平面直角坐标系中，点，将线段向正南方向平移2个单位得到线段，将线段绕点按顺时针方向旋转后得到线段，则点的坐标是_16. 如图，矩形中，点是边的中点，将沿翻折得到，延长交于点，连接，（1）若，则的度数是_（用含的代数式表示）（2）若，则的正切值是_三、解答题（本大题共9小题，满分72
4、分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤）17. 解一元一次方程：18. 如图，求证：19 已知（1）化简；（2）若是不等式组的整数解，选择一个合适的代入，并求出此时的值20. 已知y与成正比例，当时，（1）求y与x函数解析式；（2）若（1）中函数的图象与一次函数的图象相交于点A，求点A的坐标21. 某中学为推进“中国传统文化进校园”，在本校组织开展中国传统文化知识竞赛，并随机抽取了部分学生的测试成绩（成绩分为等，等，等，等）作为样本，绘制成了如下两幅不完整的统计图，请根据图中所给信息，下列问题：（1）请将表示成绩类别为“等”的条形统计图补充完整；（2）该校共有2000名学生参加了本次知识
5、竞赛，试估计本次知识竞赛中测试成绩为“等”和“等”的学生人数之和；（3）学校按照竞赛成绩找出4名同学组成两队（每队两人）参加市知识竞赛，4名同学中有2位男生和2位女生若学校通过抽签随机组合，请用列举法表示这4名同学的组队情况，并求出性别相同的同学在同一组的概率22. 如图，中， （1）尺规作图：以为直径作，连接并延长，分别交于，两点（点位于右侧，点位于左侧）；（2）连接，求证：；（3）若，求的值23. 古往今来，桥给人们的生活带来便利，解决跨水或者越谷的交通，便于运输工具或行人在桥上畅通无阻广州市南沙区是典型的“水乡”，万里珠江在此奔腾入海，辖域里已有的和正在建设的各式桥梁把南沙从曾经的“孤岛
6、”连成了粵港澳大湾区的中心，助南沙货物流转、人才集聚、便民宜居中国桥梁的桥拱线大多采用圆弧形、抛物线形和悬链形，坐落在河北省赵县洨河上的赵州桥建于隋朝，距今已有约1400年的历史，是当今世界上现存最早、保存最完整的古代敞肩石拱桥如图所示，赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为米，拱高（拱顶点到弦的距离）约为米（1）某桥主桥拱是圆弧形（如图中），已知跨度，拱高，则这条桥主桥拱的半径是_；（2）某桥的主桥拱是抛物线形（如图），若水面宽，拱顶（抛物线顶点）距离水面，求桥拱抛物线的解析式；（3）如图，某时桥和桥的桥下水位均上升了，求此时两桥的水面宽度24. 定义新概念：有一组邻边相等，且它
7、们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形（1）如图，等腰直角四边形，若，于点，求的长；若，求的长；（2）如图，在矩形中，点是对角线上的一点，且，过点作直线分别交边，于点，要使四边形是等腰直角四边形，求的长25. 抛物线图象与轴交于点和点，与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点（1）求的值；（2）点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线与抛物线相交于点，当四边形的面积取得最大值，求此时点的坐标；（3）点在的抛物线上，点在的抛物线的对称轴上，若直线垂直平分线段时，求点的坐标2023年广东省广州市南沙区中考一模数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1. 下列实数中，最小是（ ）A
8、. B. C. 0D. 3【答案】B【解析】【分析】先根据实数的大小比较法则比较数的大小，再求出最小的数即可【详解】解：最小的数是，故选：B【点睛】本题考查了实数的大小比较，能熟记实数的大小比较法则是解此题的关键2. 在平面直角坐标系中，点P(3，4)关于原点对称的点的坐标是（ ）A. (3，4)B. (4，3)C. (3，4)D. (3，4)【答案】A【解析】【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案【详解】解：点P（3，-4）关于原点对称的点的坐标是（-3，4），故选：A【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律3. 广东省市场监督管理出台
9、了一系列政策促进广东餐饮行业的发展，据统计，2023年第一季度广东省餐饮主体营收达亿元，将“亿”用科学记数法表示是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】按照科学记数法的表示形式表示即可【详解】解：亿，故选：D【点睛】本题考查了把绝对值大于1的数用科学记数法表示，其形式为，且n为正整数，它等于原数的整数数位与1的差4. 下面的计算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据完全平方公式、同类项的合并、同底数幂的乘法与幂的乘方逐项判断即可【详解】解：A、，故计算错误；B、，故计算错误；C、，故计算错误；D、，故计算正确；故选：D【点睛】本题考查了幂的运算，
10、乘法公式及同类项的合并等知识，属于基础知识，牢固掌握是关键5. 如图，在中，点，分别为，上的点，若，则下列结论错误的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据已知条件证明，进而根据相似三角形的性质即可求解【详解】解：， 又，即，故选：A【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键6. 若反比例函数的图象在第二、第四象限，常数和互为相反数，则一次函数在平面直角坐标系中的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先根据反比例函数的图象过二、四象限可知，再根据常数和互为相反数，结合一次函数的性质进行判断即可【详解】解
11、：反比例函数的图象过二、四象限，常数和互为相反数，一次函数中，此函数的图象过二、三、四象限故选：D【点睛】本题考查的是反比例函数及一次函数的性质，根据反比例函数的图象判断出的取值范围是解答此题的关键7. 如图，在中，点是圆上的一点且，弦，则的直径长是（ ）A. B. C. 24D. 12【答案】A【解析】【分析】在优弧上找一点，连接，过点作于点，根据圆内接四边形对角互补得出，根据圆周角定理得出，根据垂径定理得出，解，即可求解【详解】解：如图所示，在优弧上找一点，连接，过点作于点，四边形是圆内接四边形，在中，的直径长是，故选：A【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，圆周角定理，垂径定理，解直角
12、三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键8. 若是关于x一元二次方程的一个实数根，则的值是（ ）A. 4046B. C. D. 0【答案】C【解析】【分析】把a代入方程整理得，把代数式适当变形，再整体代入求值即可【详解】解：把a代入方程中，得，移项得得：；则；故选：C【点睛】本题考查了一元二次方程的解，求代数式的值，注意整体思想的运用9. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，且那么点的到轴的距离是（ ）A. 2B. 4C. D. 【答案】B【解析】【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，进而得出，根据，即可求解【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点，则，又的坐标是，解得：，故选：B【点睛】本题主要考
13、查了相似三角形的判定与性质，通过作垂线构造相似三角形是解决问题的关键10. 如图，在菱形中，点是边上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，当点从点运动到点时，点的运动路径长是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】取的中点O，连接，则点G在以O为圆心2为半径的圆弧上运动，易得，则由弧长公式即可求得结果【详解】解：如图，取的中点O，连接、相交于点H，连接，四边形是菱形，点G在以O为圆心2为半径的圆上运动，当点E与点A重合时，点G与点H重合；当点E与点B重合时，点G与点B重合，点G在以O为圆心2为半径的圆弧上运动，O、H分别为、的中点，故选：A【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形中位线
14、定理，直角三角形斜边上中线的性质，求圆弧长等知识，确定出点G的运动路径是解题的关键第二部分 非选择题（共90分）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11. 16的平方根是_【答案】【解析】【分析】根据平方根的定义即可求解【详解】即：16的平方根是故填：【点睛】此题主要考查平方根，解题的关键是熟知平方根的定义12. 一次函数与轴的交点的坐标是_【答案】【解析】【分析】将代入解析式，即可求解【详解】解：将代入，解得：，一次函数与轴的交点的坐标是，故答案为：【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴交点，掌握一次函数的性质是解题的关键13. 某同学参加学校艺术节歌唱比赛，其中唱功、表情、动作
15、三个方面的得分分别是90，85，90，综合成绩中唱功、表情、动作分别占，则这位同学的综合成绩是_ 分【答案】89【解析】【分析】根据加权平均数的定义列式计算即可【详解】解；该同学的综合成绩是：（分），故答案为：89【点睛】本题考查加权平均数，熟练掌握加权平均数的定义是解题的关键14. 直线，线段分别与，交于点，过点作，交直线于点，的平分线交直线于点若，则的度数是_【答案】【解析】【分析】由垂直关系及可求得的度数，由平行线的性质可求得的度数，由角平分线的定义求得的度数，再由平行线的性质即可求得的度数【详解】解：，；，；平分，；故答案为：【点睛】本题考查了平行线的性质，互余关系，角平分线的定义等知
16、识，其中平行线性质的掌握是解题的关键15. 已知平面直角坐标系中，点，将线段向正南方向平移2个单位得到线段，将线段绕点按顺时针方向旋转后得到线段，则点的坐标是_【答案】【解析】【分析】由题意可知，向正南方向平移2个单位后得到，随后即绕，顺时针旋转，即可解答【详解】解：由题意可知，向正南方向平移2个单位后得到，线段绕点按顺时针方向旋转后得到线段，可得，故答案为：【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的平移，绕某点旋转后点的坐标，熟练掌握该内容是解题的关键16. 如图，矩形中，点是边的中点，将沿翻折得到，延长交于点，连接，（1）若，则的度数是_（用含的代数式表示）（2）若，则的正切值是_【答案】 .
17、 #【解析】【分析】（1）根据折叠的性质可得，,根据以及三角形内角和定理即可求解；（2）设，则，由（1）可知，如图所示，取的中点，连接，过点作于点，则，勾股定理求得，根据斜边上的中线得出，等面积法求得，勾股定理求得，进而根据正切的定义即可求解【详解】解：（1）矩形中，将沿翻折得到，,，,，故答案为：；（2），设，则，由（1）可知，如图所示，取的中点，连接，过点作于点，在中，,，则，在中，故答案为：【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，解直角三角形，熟练掌握是三角函数的定义是解题的关键三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤）17. 解一元一次方程：【答案】【
18、解析】【分析】去括号、移项并合并同类项、系数化为1即可求解【详解】解：去括号得：，移项、合并同类项得：，系数化为1得：，即方程的解为：【点睛】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤并正确解答是关键18. 如图，求证：【答案】见解析【解析】【分析】根据已知条件直接证明，得出，根据，即可得证【详解】在与中，即【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键19. 已知（1）化简；（2）若是不等式组的整数解，选择一个合适的代入，并求出此时的值【答案】（1） （2）当时，的值为1【解析】【分析】（1）先算括号内减法，同时把除法变成乘法，再根据分式的乘法进
19、行计算即可；（2）先解不等式组，再从解集中选择一个合适的值代入进行计算即可得到答案【小问1详解】解：；【小问2详解】解：，解得：，解得：，不等式组的解集为：，由题意可得，不能取1，当时，原式【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，解不等式组，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键20. 已知y与成正比例，当时，（1）求y与x的函数解析式；（2）若（1）中函数的图象与一次函数的图象相交于点A，求点A的坐标【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；（2）根据题意建立二元一次方程组求解即可【小问1详解】解：设函数解析式为：，当时，解得：，y与x的函数解析式为：
20、；【小问2详解】解：根据题意，建立方程组，解得，点A的坐标为：【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式、两直线的交点与二元一次方程组，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键21. 某中学为推进“中国传统文化进校园”，在本校组织开展中国传统文化知识竞赛，并随机抽取了部分学生的测试成绩（成绩分为等，等，等，等）作为样本，绘制成了如下两幅不完整的统计图，请根据图中所给信息，下列问题：（1）请将表示成绩类别为“等”的条形统计图补充完整；（2）该校共有2000名学生参加了本次知识竞赛，试估计本次知识竞赛中测试成绩为“等”和“等”的学生人数之和；（3）学校按照竞赛成绩找出4名同学组成两队（每队两人）参加
21、市知识竞赛，4名同学中有2位男生和2位女生若学校通过抽签随机组合，请用列举法表示这4名同学的组队情况，并求出性别相同的同学在同一组的概率【答案】（1）见解析 （2）本次知识竞赛中测试成绩为“等”和“等”的学生人数之和为1080人 （3）性别相同的同学在同一组的概率为【解析】【分析】（1）先求出抽取学生的总人数，再求出成绩类别为“等”的人数，最后补全条形统计图即可；（2）根据进行计算即可得到答案；（3）先列出表格，找出所有可能出现的结果，再找出符合题意的几种情况，最后根据概率公式进行计算即可得到答案【小问1详解】解：根据题意可得：抽取学生的总人数为：（人），成绩类别为“等”的人数为：（人），补全
22、条形统计图如图所示：【小问2详解】解：根据题意可得：（人），答：本次知识竞赛中测试成绩为“等”和“等”的学生人数之和为1080人；【小问3详解】解：根据题意列出表格如下：男1男2女1女2男1男1男2男1女1男1女2男2男2男1男2女1男2女2女1女1男1女1男2女1女2女2女2男1女2男2女2女1共有12种等可能出现的结果，其中性别相同的同学在同一组的情况有4种情况，性别相同的同学在同一组的概率为，答：性别相同的同学在同一组的概率为【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，列表法和画树状图求概率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键22. 如图，在中， （1
23、）尺规作图：以为直径作，连接并延长，分别交于，两点（点位于右侧，点位于左侧）；（2）连接，求证：；（3）若，求的值【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）【解析】【分析】（1）根据题意作出图即可；（2）由为的直径，得到，由，得到，从而得到，又由即可得到；（3）在中， ，得到，即可得到，从而得到为等边三角形，再根据三角形的外角得到，即，作交于，根据三角函数即可求得的长，根据勾股定理可求出的长，最后即可得到答案【小问1详解】解：根据题意画出图如图所示：；【小问2详解】解：如图所示：，为的直径，；【小问3详解】解：在中， ，为等边三角形，作交于，【点睛】本题主要考查了勾股定理，锐角三角函数，尺规作
24、图，熟练掌握勾股定理以及锐角三角函数的定义是解题的关键23. 古往今来，桥给人们的生活带来便利，解决跨水或者越谷的交通，便于运输工具或行人在桥上畅通无阻广州市南沙区是典型的“水乡”，万里珠江在此奔腾入海，辖域里已有的和正在建设的各式桥梁把南沙从曾经的“孤岛”连成了粵港澳大湾区的中心，助南沙货物流转、人才集聚、便民宜居中国桥梁的桥拱线大多采用圆弧形、抛物线形和悬链形，坐落在河北省赵县洨河上的赵州桥建于隋朝，距今已有约1400年的历史，是当今世界上现存最早、保存最完整的古代敞肩石拱桥如图所示，赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为米，拱高（拱顶点到弦的距离）约为米（1）某桥主桥拱是圆弧
25、形（如图中），已知跨度，拱高，则这条桥主桥拱的半径是_；（2）某桥的主桥拱是抛物线形（如图），若水面宽，拱顶（抛物线顶点）距离水面，求桥拱抛物线的解析式；（3）如图，某时桥和桥的桥下水位均上升了，求此时两桥的水面宽度【答案】（1） （2） （3）水面宽度分别为米；米【解析】【分析】（1）连接，延长至点，在在中，代入数据即可求解；（2）以水面所在直线为轴，的中点为原点，建立平面直角坐标系，依题意，设抛物线解析式为，将点代入，待定系数法求解析式即可求解；（3）根据垂径定理，勾股定理，在中求得，即可得出，由（1）可得抛物线解析式为，当时，解一元二次方程，即可求解【小问1详解】解：如图所示，连接，延长
26、，由垂径定理知延长线经过点，依题意，设半径为，则在中，即解得：，故答案：小问2详解】解：如图所示，以水面所在直线为轴，的中点为原点，建立平面直角坐标系，依题意，设抛物线解析式为，将点代入得，解得：抛物线解析式为【小问3详解】解：如图所示，依题意，则，在中，则水面宽度为米；由（1）可得抛物线解析式为如图所示， 当水面上涨米时，当时，解得：，水面宽度为米【点睛】本题考查了垂径定理的应用，二次函数的应用，熟练掌握垂径定理与二次函数的性质是解题的关键24. 定义新概念：有一组邻边相等，且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形（1）如图，等腰直角四边形，若，于点，求的长；若，求的长；（2）如图，在
27、矩形中，点是对角线上的一点，且，过点作直线分别交边，于点，要使四边形是等腰直角四边形，求的长【答案】（1）； （2）满足条件的的长为【解析】【分析】（1）根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出的值；连接、，交于点，过点C作，交于点E，证明垂直平分，得出，证明，得出，证明，得出，根据勾股定理求出，即可得出答案；（2）若，则，推出四边形表示等腰直角四边形，不符合条件若与不垂直，当时，此时四边形是等腰直角四边形，当时，此时四边形是等腰直角四边形，分别求解即可【小问1详解】解：连接，如图所示：，；连接、，交于点，过点C作，交于点E，如图所示：则，、在线段的垂直平分线上，垂直平分，【小问2详解】解：四边形
28、为矩形，；若时，如图所示：则四边形和为矩形，；四边形不可能是等腰直角四边形；若与不垂直，当时，如图所示：，此时点F不在边上，不符合题意；若与不垂直，当时，如图所示：此时四边形是等腰直角四边形，综上所述，满足条件的的长为【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，作出辅助线，画出相应的图形，数形结合，注意分类讨论25. 抛物线的图象与轴交于点和点，与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点（1）求的值；（2）点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线与抛物线相交于点，当四边形的面积取得最大值，求此时点的坐标；（3）点在的抛物线上，点在的抛
29、物线的对称轴上，若直线垂直平分线段时，求点的坐标【答案】（1） （2） （3）或【解析】【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）根据题意求得直线的解析式为，设，则，四边形的面积，则当取得最大值，四边形的面积取得最大值，进而表示出，根据二次函数的性质即可求解；（3）设直线与交于点，则，依题意关于直线对称，进而得出的纵坐标为，将代入得，解方程求得点的横坐标，即可求解【小问1详解】解：抛物线的图象与轴交于点和点，与轴交于点，解得：，抛物线解析式为，；【小问2详解】解：如图所示，由，当时，即，解得：，由对称轴为直线，则，设直线的解析式为，代入，得，解得：直线的解析式为，设，则，四边形的面积当取得最大值，四边形的面积取得最大值，当时取得最大值，此时【小问3详解】设直线与交于点，解得：，则，点在的抛物线上，点在的抛物线的对称轴上，直线垂直平分线段，即关于直线对称，则，的纵坐标为，将代入得，解得：或，或【点睛】本题考查了二次函数综合运用，待定系数法求解析式，面积问题，线段垂直平分线的性质，轴对称的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键
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