2023年江苏省南京市玄武区中考一模数学试卷（含答案解析）

1、2023年江苏省南京市玄武区中考一模数学试题一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）1. 南京文旅火爆“出圈”据统计，2023年第一季度南京共接待游客约44300000人次，将44300000用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ）A. B. C. D. 3. 下列整数中，与最接近的是（ ）A. 4B. 3C. 2D. 14. 如图，是的切线，为切点，过点作交于点，连接，若，则的度数为（ ）A. B. C. D. 5. 如图，数轴上A，B两点分别对应实数，下列结论中一定正确是（ ）A B. C. D. 6. 如图，点A，B在反比例函数（）图像上，点

2、A的横坐标为1，连接，若，的面积为4，则k的值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分请把答案填写在答题卡相应位置上）7. 的相反数是_，的倒数是_8. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_9. 分解因式的结果是_10. 方程的解是_11. 设，是方程的两个根，且，则m_12. 沿圆锥一条母线将其侧面剪开并展平，得到一个扇形若圆锥的底面圆的半径为，母线长为，则该扇形的圆心角的度数为_13. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在y轴上，M，N分别是边的中点，若点M，N的纵坐标分别是3，2，则点B的坐标是_14. 如图，点O是正六边形的

3、中心，以为边在正六边形的内部作正方形连接，则_ 15. 已知函数（m为常数），当时，y的最小值记为aa的值随m的值变化而变化，当_时，a取得最大值16. 如图，在中，E是边的中点，连接，若，则对角线的取值范围为_ 三、解答题（本大题共11小题，共88分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. （1）计算:（2）解不等式组：18. 先化简，再求值:，其中19. 小丽从A、B、C、D四个景点中，随机选择一个或两个景点游玩（1）随机选择一个景点，恰好是A景点概率是_；（2）随机选择两个景点，求A，B景点至少有一个的概率20. 某校举办“十佳歌手”演唱比赛，五位评委进

4、行现场打分将甲、乙、丙三位选手得分数据整理成下列统计图根据以上信息，回答下列问题：（1）完成表格；平均数/分中位数/分方差/分甲_乙9_丙_8（2）从三位选手中选一位参加市级比赛，你认为选谁更合适，请说明理由；（3）在演唱比赛中，往往在所有评委给出的分数中，去掉一个最高分和一个最低分，然后计算余下分数的平均分如果去掉一个最高分和一个最低分之后甲的方差记为，则_（填“”或“”或“”）21. 如图，点D在上，点E在上，交于点P，求证22. 如图，的对角线相交于点是的中点，连接并延长交于点，连接（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若平分，求证23. 已知函数（m为常数）（1）若该函数图像与y轴的交

5、点在x轴上方，求m的取值范围；（2）求证：不论m取何值，该函数图像与x轴总有两个公共点24. 利用无人机可以测量建筑物高度如图，一架无人机在M处悬停，测得建筑物顶端A的仰角为，底端B的俯角为.然后，在同一平面内，该无人机以的速度沿着与水平线夹角为方向斜向上匀速飞行，飞行至N处悬停，测得顶端A的仰角为，求建筑物的高度（参考数据：）25. 如图，四边形是圆O内接四边形，过点A作交的延长线于点E，连接（1）求证；（2）若，求圆O的半径26. 如图，古代行军中传令兵负责传送命令如图，一支长度为的队伍，排尾A处的传令兵从甲地和队伍沿同一直道同时出发队伍以的速度行进，且队伍长度保持不变；出发时，传令兵接到

6、命令，立即以的速度赶赴排头B，到达排头B后立即返回排尾A，再次接到命令，立即赶赴排头B如此循环往复，且传令兵往返速度保持不变行进过程中，传令兵离甲地的距离（单位：）与出发时间x（单位：）之间的函数关系部分图象如图所示（1）_，_；（2）求线段所表示的与x之间的函数表达式；（3）在图中，画出排头B离甲地的距离（单位：）与出发时间x之间的函数图象27. P为内一点，连接在和中，如果存在两个三角形相似，那么称P是的内相似点 【概念理解】（1）如图，在中，P是的内相似点直接写出的度数【深入思考】（2）如图，P是内一点，连接，从下面中选择一个作为条件，使P是的内相似点，并给出证明；【拓展延伸】（3）如图

7、，在中，求作一点P，使P是的内相似点要求：尺规作图；保留作图痕迹，写出必要的文字说明2023年江苏省南京市玄武区中考一模数学试题一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）1. 南京文旅火爆“出圈”据统计，2023年第一季度南京共接待游客约44300000人次，将44300000用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10时，n是正数；当原数的绝对值1时，n是负数【详解】44300000用科学记数法表示应为：故选：

8、C【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法是解题关键2. 下列运算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据积的乘方，同底数幂乘法和合并同类项等计算法则求解判断即可【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；B、，原式计算错误，不符合题意；C、，原式计算错误，不符合题意；D、，原式计算正确，符合题意；故选D【点睛】本题主要考查了积的乘方，同底数幂乘法和合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键3. 下列整数中，与最接近的是（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】B【解析】【分析】根据，得出，即可进行解答【详解】解：，与最接近

9、的是3，故选；B【点睛】本题主要考查了无理数的估算，解题的关键是掌握无理数估算的方法，会用夹逼法估算无理数4. 如图，是的切线，为切点，过点作交于点，连接，若，则的度数为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】连接，根据切线的性质得出，根据四边形内角和为，求得，根据圆周角定理得出，然后根据平行线的性质即可求解【详解】解：如图所示，连接，是的切线，故选：A【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键5. 如图，数轴上A，B两点分别对应实数，下列结论中一定正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由图可知：，即可得， 在

10、结合不等式的性质，逐项判断即可作答【详解】由图可知：， ，即A、B项错误，即C项正确，又，即D项错误，故选：D【点睛】本题考查了实数与数轴，分式的减法等知识，数形结合是解题的关键6. 如图，点A，B在反比例函数（）图像上，点A的横坐标为1，连接，若，的面积为4，则k的值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】过点A作轴，过点B作轴，设点，点B的坐标为，根据勾股定理列出方程，求出求出，从而得出，求出即可【详解】解：设点，过点A作轴，过点B作轴，垂足分别为M，N，如图，则设点B的坐标为，则，解得，或（舍去）（负值舍去）点B的坐标为，反比例函数（）图像在第一象限，故选：B【

11、点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解本题的关键二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分请把答案填写在答题卡相应位置上）7. 的相反数是_，的倒数是_【答案】 . . 【解析】【分析】根据相反数与倒数的定义即可求解【详解】解：的相反数是，的倒数是，故答案为：，【点睛】本题考查相反数和倒数的定义，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，乘积为1的两个数互为倒数8. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_【答案】【解析】【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解【详解】解：由题意得，解得，故答案为：【点睛】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为09.

12、 分解因式的结果是_【答案】【解析】【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可【详解】解：原式故答案为：【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握提取公因式法和平方差公式是解题的关键10. 方程的解是_【答案】【解析】【分析】去分母，把分式方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可【详解】解： 经检验：是原方程的根故答案为：【点睛】本题考查的是分式方程的解法，掌握分式方程的解法是解题的关键，注意要检验.11. 设，是方程的两个根，且，则m_【答案】2【解析】【分析】由根与系数的关系可得，结合可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论【详解】解：是方程的两个根，故答案为2【点睛】本题考查了根

13、与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，12. 沿圆锥一条母线将其侧面剪开并展平，得到一个扇形若圆锥的底面圆的半径为，母线长为，则该扇形的圆心角的度数为_【答案】【解析】【分析】根据圆锥的底面圆的半径为得到扇形的弧长，再利用弧长公式即可解答【详解】解：圆锥的底面圆的半径为，圆锥的底面圆周长为：，扇形的弧长，圆锥的母线长为，扇形的半径为，设扇形的圆心角为，故答案为【点睛】本题考查了弧长公式，圆的周长，熟记扇形的弧长公式是解题的关键13. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在y轴上，M，N分别是边的中点，若点M，N的纵坐标分别是3，2，则点B的坐标是_【答案】【解析】【详解】过点轴交与点EM，

14、N分别是边的中点，且点M，N的纵坐标分别是3，2，点C的纵坐标是4，即又菱形在中，点B的坐标【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理求直角边，熟练掌握相关知识点是解题关键14. 如图，点O是正六边形的中心，以为边在正六边形的内部作正方形连接，则_ 【答案】105【解析】【分析】连接，根据正六边形的性质可得，是等边三角形，再证明四边形是菱形，以及是等腰三角形，分别求出，从而可得出结论【详解】解：六边形是正六边形，四边形是正方形，连接，如图， 则是等边三角形，四边形是菱形，故答案为：105【点睛】本题主要考查了正六边形的性质，正方形的性质，菱形的判定与性质以及等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解答本

15、题的关键15. 已知函数（m为常数），当时，y的最小值记为aa的值随m的值变化而变化，当_时，a取得最大值【答案】2【解析】【分析】先求出顶点坐标，再根据，进行分类讨论求出a的取值范围，即可得出结果【详解】解：函数的顶点坐标为：，当，即时，y在处取最小值，即，当，即时，y在处取最小值，即，当时，即，当，即时，y在处取最小值，即，综上所述，a的最大值为0，此时，故答案为：2【点睛】本题考查二次函数顶点式图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键16. 如图，在中，E是边的中点，连接，若，则对角线的取值范围为_ 【答案】【解析】【分析】如图，过作，交的延长线于，证明，在的外接圆上运动，且满足，

16、连接，可得，证明为等边三角形，可得，直接，过作于，可得，当过点，且在的右边时，最长，当在的左边时，最短，可得最长时为，最短时为：【详解】解：如图，过作，交的延长线于， ，即，为中点，四边形为平行四边形， 在的外接圆上运动，且满足，连接，为等边三角形，直接，过作于，当过点，且在的右边时，最长，当在的左边时，最短，最长时为，最短时为：；故答案为：【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，圆的确定，圆周角定理的应用，求解一点与圆上距离的最值，作出正确的辅助线是解本题的关键三、解答题（本大题共11小题，共88分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. （1）计算:（

17、2）解不等式组：【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先计算绝对值、负整数次幂、特殊角三角函数，再进行加减运算；（2）先计算两个不等式的解集，再求交集【详解】（1）解：（2）解：解不等式，得：，解不等式，得：，该不等式组的解集为【点睛】本题考查实数的混合运算、解一元一次不等式组，解题的关键是掌握负整数次幂运算法则、特殊角的三角函数值，以及一元一次不等式组的求解步骤18. 先化简，再求值:，其中【答案】，【解析】【分析】根据分式的混合运算进行计算化简，然后将字母的值代入进行计算即可求解【详解】解：原式；当时，原式【点睛】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，熟练掌握分式的运算法则是解题的关

18、键19. 小丽从A、B、C、D四个景点中，随机选择一个或两个景点游玩（1）随机选择一个景点，恰好是A景点的概率是_；（2）随机选择两个景点，求A，B景点至少有一个的概率【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据概率公式直接可得结果；（2）根据列表法求概率即可求解【小问1详解】小丽从A、B、C、D四个景点中，随机选择一个景点，恰好是A景点的概率是；故答案为：【小问2详解】列表如下共有12种等可能结果，其中符合题意的有10种，则A，B景点至少有一个的概率为【点睛】本题考查了概率公式求概率，列表法求概率，熟求概率的方法练掌握是解题的关键20. 某校举办“十佳歌手”演唱比赛，五位评委进行现场打分

19、将甲、乙、丙三位选手得分数据整理成下列统计图根据以上信息，回答下列问题：（1）完成表格；平均数/分中位数/分方差/分甲_乙9_丙_8（2）从三位选手中选一位参加市级比赛，你认为选谁更合适，请说明理由；（3）在演唱比赛中，往往在所有评委给出的分数中，去掉一个最高分和一个最低分，然后计算余下分数的平均分如果去掉一个最高分和一个最低分之后甲的方差记为，则_（填“”或“”或“”）【答案】（1）9，； （2）选甲更合适，理由见解析； （3）【解析】【分析】（1）分别根据中位数、方差、平均数的定义进行计算，即可得到答案；（2）根据（1）中表格，结合平均数和方差的意义进行分析，即可得到答案；（3）根据方差公

20、式进行计算，再比较大小即可得到答案【小问1详解】解：由甲得分的折线统计图可知，甲得分的排序为：10、9、9、8、8，甲得分的中位数为9，由乙得分的条形统计图可知，乙得分的方差为，由丙得分的扇形统计图可知，有2名评委打分为10，有3名评委打分为8，丙得分的平均数为，故答案：9，；【小问2详解】解：选甲更合适因为甲、乙、丙三人平均成绩一样，说明三人实力相当，但是甲的方差最小，说明甲的成绩更稳定，所以选甲；【小问3详解】解：去掉一个最高分和一个最低分之后，甲的平均数为，甲的方差为，故答案为：【点睛】本题主要考查了中位数，平均数，方差，理解相关定义与意义，熟记方差公式解题关键21. 如图，点D在上，点

21、E在上，交于点P，求证【答案】见解析【解析】【分析】根据证明可得，从而可得，再根据即可得到结论【详解】证明：在和中，即在和中，【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有22. 如图，的对角线相交于点是的中点，连接并延长交于点，连接（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若平分，求证【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，再利用全等三角形的判定与性质得到即可解答；（2）根据角平分线的定义及平行线的性质得到平行四边形是菱形，再利用中位线定理及菱形的判定与性质得到【小问1详解】证明:四边形是平行四边形， ，在和中，四边形是平行

22、四边形，【小问2详解】证明：平分，平行四边形是菱形，是的中点，是的中点，是的中位线，【点睛】本题考查了菱形判定与性质，平行线的性质及角平分线的定义，中位线的定理，全等三角形的判定与性质，掌握菱形的判定与性质是解题的关键23. 已知函数（m为常数）（1）若该函数图像与y轴的交点在x轴上方，求m的取值范围；（2）求证：不论m取何值，该函数图像与x轴总有两个公共点【答案】（1） （2）见解析【解析】【分析】（1）利用二次函数图象上点的坐标特征求出该函数的图象与y轴交点的纵坐标，令其大于0即可求出结论；（2）证明即可；【小问1详解】令，则函数的图像与y轴的交点在x轴上方，；【小问2详解】令，则，该方程

23、有两个不相等的实数根不论m为何值，该函数图像与x轴有两个不同的公共点【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征以及解一元一次不等式，解题的关键是：利用二次函数图象上点的坐标特征求出该函数的图象与y轴交点的纵坐标24. 利用无人机可以测量建筑物的高度如图，一架无人机在M处悬停，测得建筑物顶端A的仰角为，底端B的俯角为.然后，在同一平面内，该无人机以的速度沿着与水平线夹角为方向斜向上匀速飞行，飞行至N处悬停，测得顶端A的仰角为，求建筑物的高度（参考数据：）【答案】【解析】【分析】过点N作，垂足为C，过点M作，垂足为D，过点N作，垂足为E，可得四边形是矩形，利用锐角三角函数依次

24、解、，即可求出建筑物的高度【详解】解:如图，过点N作，垂足为C，过点M作，垂足为D，过点N作，垂足为E，可知，可得四边形是矩形，从而， 在中，设，则，在中，在中，又，在中，建筑物的高是【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是通过添加辅助线构造直角三角形25. 如图，四边形是圆O的内接四边形，过点A作交的延长线于点E，连接（1）求证；（2）若，求圆O的半径【答案】（1）证明见解析； （2）【解析】【分析】（1）根据平行线和圆内接四边形的性质，推出，再利用“”证明，即可证明结论；（2）连接，连接并延长交于点H，根据全等三角形的性质，得到，再根据同弧所对的圆周角相等，得到，进而得到，证明

25、，利用相似三角形的性质，求得，然后证明垂直平分，得到，由勾股定理求得，设半径为r，利用勾股定理列方程，求解即可求圆O的半径【小问1详解】证明：，四边形为的内接四边形，在和中，；【小问2详解】解：如图，连接，连接并延长交于点H， ，D、O在线段的垂直平分线上，在中，设半径为r，则，在中，解得：，的半径为【点睛】本题是圆和三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆的基本性质等知识，灵活运用所需知识解决问题是解题关键26. 如图，古代行军中传令兵负责传送命令如图，一支长度为的队伍，排尾A处的传令兵从甲地和队伍沿同一直道同时出发队伍以的速度行进，且队伍长度保持不变

26、；出发时，传令兵接到命令，立即以的速度赶赴排头B，到达排头B后立即返回排尾A，再次接到命令，立即赶赴排头B如此循环往复，且传令兵往返速度保持不变行进过程中，传令兵离甲地的距离（单位：）与出发时间x（单位：）之间的函数关系部分图象如图所示（1）_，_；（2）求线段所表示与x之间的函数表达式；（3）在图中，画出排头B离甲地的距离（单位：）与出发时间x之间的函数图象【答案】（1）75；125 （2） （3）见解析【解析】【分析】（1）由函数图象可知在第12分钟时传令兵到达排头B，此时传令兵比队伍多走600米，在第15分钟传令兵此时返回到排尾A，3分钟内队伍和传令兵的路程和为600米，由此建立方程组求

27、解即可；（2）先求出M、N的坐标，再利用待定系数法求解即可；（3）（单位：）与出发时间x之间的函数图象过图中两个拐点（点M和与点M类似的那个点），由此画图即可【小问1详解】解：，解得，故答案为：75；125；【小问2详解】解：， 点M的坐标为，点N的坐标为，线段所表示的与x之间的函数表达式为，段所表示的与x之间的函数表达式为；【小问3详解】解：与x之间的函数图象如图所示【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，二元一次方程组的实际应用，正确读懂函数图象是解题的关键27. P为内一点，连接在和中，如果存在两个三角形相似，那么称P是的内相似点 【概念理解】（1）如图，在中，P是的内相似点直接写出的

28、度数【深入思考】（2）如图，P是内一点，连接，从下面中选择一个作为条件，使P是的内相似点，并给出证明；【拓展延伸】（3）如图，在中，求作一点P，使P是的内相似点要求：尺规作图；保留作图痕迹，写出必要的文字说明【答案】（1）或或 （2）选择，证明见解析 （3）见解析【解析】【分析】（1）分3种情况分别讨论求解即可；（2）选择一种情况，证明三角形相似即可；（3）画出图形，作简单说明即可【小问1详解】解：，若，则，则，若，则，则，若，则，则，综上可知，度数为或或； 【小问2详解】选择，证明：如图，延长得到射线 ，又，又，又，即P是的内相似点选择，证明：如图，延长得到射线 ，即，又，又，即P是的内相似点.选择，如图，延长得到射线 ，又，无法证明或，条件无法证明P是的内相似点；【小问3详解】方法不唯一如图，作法如下： 作的垂直平分线，与交于点D；作的垂直平分线，与交于点O；以O为圆心，为半径作，与交于点E；连接，与交于点P，点P即为所求【点睛】此题考查了主要考查了相似三角形的判定和性质，圆的相关性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键