1、2023年湖南省常德市初中学业水平中考三模数学试卷一、选择题（每小题3分，共24分）1. 的平方根是（ ）A. 4B. C. 2D. 2. 计算：的结果为（ ）A. B. C. D. 3. 我国自主研发的北斗导航系统的卫星上配置的新一代国产原子钟，其授时精度达到十亿分之一秒，将十亿分之一用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 4. 已知圆锥的母线长为，侧面积为，则这个圆锥的底面圆的面积为（ ）A. B. C. D. 5. 一艘船从甲码头顺流而行至乙码头需，从乙码头逆流而行返回甲码头需已知水流速度为，则船在静水中的平均速度为（ ）A. B. C. D. 6. 下列说法中正确的是（ ）A.
2、 若某种彩票中奖率为，则买100张这种彩票一定有5张中奖B. 若某地明天的降雨概率是，则该地明天有的时间会降雨C. 一组数据的中位数，不一定是这组数据中的数D. 体育老师为了解某班同学的身高情况，宜用抽样调查7. 如图，在中，D为边上一动点（B点除外），以为一边在边上方作正方形，连接，则的面积的最大值为（ ）A. B. C. D. 8. 如图所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，若按照图所示的方法用若干个图形玩接力游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么用个这样的图形拼出来的图形的总长度为（ ）A. B. C. D. 二、填空題（每小题3分，共24分）9. 若二次根式有意义，
3、则a的取值范围是_10 分解因式：_11. 已知点、均在一次函数的图象上，且时，则实数k的取值范围为_12. 甲，乙两人进行飞镖比赛，每人各投6次，甲的成绩（单位：环）为：9，8，9，6，10，6甲，乙两人平均成绩相等，乙成绩的方差为4，那么成绩较为稳定的是_（填“甲”或“乙”）13. 如图，在菱形中，对角线交于点O，过点A作于点H，若，菱形的面积为24，则_ 14. 一商店销售某种商品，当每件利润为30元时，平均每天可售出20件，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，当每件商品的单价降低_元时，该商店销售这种商品每天的利润为800元15. 二次函数（a，b，c是常数
4、，）的自变量与函数值y的部分对应值如下表：x012n当时，与其对应的函数值有下列结论：；和3是关于x的方程的两个根；则所有正确结论的序号为_16. 如图，在中，若进行以下操作：在边上从左到右依次取点，过点作的平行线分别交于点；过点作的平行线分别交于点；过点作的平行线分别交于点则_ 三、（每小题5分，共10分）17. 计算：18. 解方程四、（每小题6分，共12分）19. 解不等式组：，并在数轴上表示它的解集20. 先化简，再选一个合适的数代入求值五、（每小题7分，共14分）21. 为丰富学校校园活动，某校为学生开展了多种艺体活动，其中在体育类活动中开设了五种运动项目：A乒乓球，B排球，C篮球，
5、D足球，E跳绳为了解学生最喜欢哪一种运动项目，随机抽取部分学生进行调查（每位学生仅选一种），并将调查结果制成如下尚不完整的统计图表问卷情况统计表运动项目人数A乒乓球B排球60C篮球45D足球36E跳绳（1）本次调查样本容量是_，统计表中_；（2）在扇形统计图中，“B排球”对应的圆心角的度数是_；（3）若该校共有2000名学生，请你估计该校最喜欢“D足球”的学生人数（4）现有甲、乙两位同学从A、B、C、D、E这五个项目中各选择了一项，求这两位同学选择的运动项目相同的概率22. 如图，已知一次函数的图象与函数的图象交于两点与y轴交于点C，将直线沿y轴向上平移t个单位长度后所得直线与交于D、E两点，
6、与y轴交于点F（1）求的解析式，并观察图象直接写出时x的取值范围（2）连接，若的面积为5，求t的值六、（每小题8分，共16分）23. 我国无人机已广泛应用在人们的生产和生活中如图所示，某中学数学课外活动小组利用无人机测量沅江某一段江面的宽度，先在沅江两岸边上各选定一点A、B，且所在直线与江岸所在直线垂直，再在A点放飞无人机到一定高度后，然后在AB上方从A向B以的速度水平飞行在M点处测得A点的俯角为，B点的俯角为，后在N点处测得B点的俯角为，求此段沅江江面的宽度（结果精确到米）（参考数据：，）24. 如图，是的直径，是弦，D是的中点，与交于点E，F是延长线上一点，且（1）求证：为的切线；（2）连
7、接，取的中点G，连接，若，求的长七、（每小题10分，共20分）25. 如图，已知在中，点D是边上一点，点E是边上一点，交于点F（1）如图，若D是边的中点，求证：；（2）如图，若平分，求证：；（3）如图，若，F是的中点，于点G，求证：26. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点，其顶点坐标为，点D是x轴下方抛物线上的动点，射线交直线于点E，将射线绕点O顺时针旋转得到射线交直线于点F，连接 （1）求抛物线的解析式；（2）当点D在第三象限，且时，求点D坐标；（3）当为直角三角形时，求出点D的坐标2023年湖南省常德市初中学业水平中考三模数学试卷一、选择题（每小题3分，共24分）1. 的平方
8、根是（ ）A. 4B. C. 2D. 【答案】D【解析】【分析】先根据算术平方根可得，再根据平方根的概念即可得【详解】解：，因为，所以4的平方根是，即的平方根是，故选：D【点睛】本题考查了算术平方根与平方根，熟练掌握平方根的概念是解题关键2. 计算：的结果为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先计算幂的乘方，再根据同底数幂除法计算法则求解即可【详解】解：，故选A【点睛】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂除法，熟知相关计算法则是解题的关键3. 我国自主研发的北斗导航系统的卫星上配置的新一代国产原子钟，其授时精度达到十亿分之一秒，将十亿分之一用科学记数法表示为（ ）A. B. C
9、. D. 【答案】C【解析】【分析】绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定【详解】解：十亿分之一是，所以十亿分之一用科学记数法表示为，故选：C【点睛】本题考查绝对值小于1的数的科学记数法解题的关键是掌握一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定4. 已知圆锥的母线长为，侧面积为，则这个圆锥的底面圆的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】圆锥侧面展开图扇形圆心角度数为，底面圆半径为r，先根据扇形面积公式求出n的值，再根据弧长公
10、式求出r的值，即可求出答案【详解】解：圆锥侧面展开图扇形圆心角度数为，底面圆半径为r，由题意得，底面圆的面积为，故选B【点睛】本题主要考查了圆锥侧面积计算公式，弧长公式，熟知圆锥底面圆周长是其展开图扇形的弧长是解题的关键5. 一艘船从甲码头顺流而行至乙码头需，从乙码头逆流而行返回甲码头需已知水流速度为，则船在静水中的平均速度为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设船在静水中的平均速度为，则逆水行驶的速度为，顺水行驶速度为，再根据从甲到乙和从乙到甲的路程相同列出方程求解即可【详解】解：设船在静水中的平均速度为，由题意得，解得，船在静水中的平均速度为，故选B【点睛】本题主要考查
11、了一元一次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键6. 下列说法中正确的是（ ）A. 若某种彩票的中奖率为，则买100张这种彩票一定有5张中奖B. 若某地明天的降雨概率是，则该地明天有的时间会降雨C. 一组数据的中位数，不一定是这组数据中的数D. 体育老师为了解某班同学的身高情况，宜用抽样调查【答案】C【解析】【分析】根据概率、随机事件的意义逐项判断即可【详解】解：A选项，某种彩票的中奖率为，则买100张这种彩票也不一定会中奖，原说法不正确，本选项不符合题意；B选项，某地明天的降雨概率是，说明下雨的可能性是，不代表的时间会下雨，原说法不正确，本选项不符合题意；C选项，一组数
12、据的中位数，不一定是这组数据中的数，说法正确，符合题意；D选项，体育老师为了解某班同学的身高情况，宜用全面调查，原说法不正确，本选项不符合题意；故选：C【点睛】本题考查概率、随机事件、必然事件、中位数的定义等知识点，熟练掌握相关基本概念是解题关键7. 如图，在中，D为边上一动点（B点除外），以为一边在边上方作正方形，连接，则的面积的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】如图，过点作于，过点作于，过点作于，利用三角函数的定义求得，解直角三角形求出，的长，然后证明，根据全等三角形的性质可得，设，则，继而根据三角形的面积公式可得函数关系式，根据二次函数的性质即可求得答案【详
13、解】解：如图，过点作于，过点作于，过点作于，在中，四边形是正方形，又，设，则， ，的最大值为，故答案为：A【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，二次函数的应用等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练运用相关知识是解题的关键8. 如图所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，若按照图所示的方法用若干个图形玩接力游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么用个这样的图形拼出来的图形的总长度为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先分别求出用1、2、3、4个这样的图形拼出来的图形的总长度，再归纳类推出一般规律，由
14、此即可得出答案【详解】由题意，用1个这样的图形拼出来的图形的总长度为a，用2个这样的图形拼出来的图形的总长度为，用3个这样的图形拼出来的图形的总长度为，用4个这样的图形拼出来的图形的总长度为，归纳类推得：用n个这样的图形拼出来的图形的总长度为（其中，n为正整数），则用个这样的图形拼出来的图形的总长度为，故选：A【点睛】本题考查了整式与图形的规律型问题，正确归纳类推出一般规律是解题关键二、填空題（每小题3分，共24分）9. 若二次根式有意义，则a的取值范围是_【答案】【解析】【分析】根据二次根式的被开方数的非负性即可得详解】解：由题意得：，解得，故答案为：【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，
15、熟练掌握二次根式的被开方数的非负性是解题关键10. 分解因式：_【答案】【解析】【分析】因式分解时有公因式先提公因式，然后再考虑用公式法.继续分解.【详解】解：故答案为【点睛】本题主要考查了因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法是解题的关键.11. 已知点、均在一次函数的图象上，且时，则实数k的取值范围为_【答案】【解析】【分析】根据“当时”可得y随x的增大而减小，然后利用一次函数性质列不等式求解即可【详解】解：当时，函数的图象y随x的增大而减小，即，故答案是：【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，准确理解一次函数的性质，确定y随x的变化情况是解题的关键12. 甲，乙两人进行飞镖比赛，每人各投
16、6次，甲的成绩（单位：环）为：9，8，9，6，10，6甲，乙两人平均成绩相等，乙成绩的方差为4，那么成绩较为稳定的是_（填“甲”或“乙”）【答案】甲【解析】【分析】先计算出甲的平均数，再计算甲的方差，然后比较甲乙方差的大小可判定谁的成绩稳定.【详解】甲的平均数，所以甲的方差，因为甲的方差比乙的方差小，所以甲的成绩比较稳定故答案为甲【点睛】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立.13. 如图，在菱形中，对角线交于点O，过点A作于点H，若，菱形的面积为24，则_ 【答案】#【解析】【分析】先根据菱形的面积公式求出，则，
17、进而利用勾股定理求出，再由进行求解即可【详解】解：在菱形中，对角线交于点O，菱形的面积为24，在中，由勾股定理得：，故答案为：【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，熟知菱形的性质是解题的关键14. 一商店销售某种商品，当每件利润为30元时，平均每天可售出20件，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，当每件商品的单价降低_元时，该商店销售这种商品每天的利润为800元【答案】10【解析】【分析】设商品单价降低x元时，该商店销售这种商品每天的利润为800元，然后根据利润单件利润销售量，列出方程求解即可【详解】解：设商品单价降低x元时，该商店销售这种商品每天的利润为80
18、0元，由题意得，整理得：，解得，当每件商品的单价降低10元时，该商店销售这种商品每天的利润为800元，故答案为：10【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键15. 二次函数（a，b，c是常数，）的自变量与函数值y的部分对应值如下表：x012n当时，与其对应的函数值有下列结论：；和3是关于x的方程的两个根；则所有正确结论的序号为_【答案】#【解析】【分析】利用待定系数法将点，代入解析式求出，再结合二次函数图象与已知信息当时，得出，进而判断结论；根据二次函数对称轴由二次函数轴对称性进而判断结论；利用待定系数法将点，代入解析式得出，结合的范围，判断结
19、论【详解】解：当时，当时，抛物线对称轴为直线，当时，其对应的函数值，在对称轴左侧，y随x增大而减小，二次函数开口向上，结论符合题意；时，是关于x的方程的根对称轴为直线， 和3是关于x的方程的两个根结论符合题意；二次函数解析式：当时，与其对应的函数值，；当和时的函数值分别为和，；故错误故答案为：【点睛】本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数图象与系数的关系，二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程等知识点，要会利用数形结合的思想，根据给定自变量与函数值的值结合二次函数的性质逐条分析给定的结论是关键16. 如图，在中，若进行以下操作：在边上从左到右依次取点，过点作的平行线分别交于点；过点
20、作的平行线分别交于点；过点作的平行线分别交于点则_ 【答案】【解析】【分析】由，可得，因为，所以有；同理有如下规律，据此求解即可【详解】解：，以此类推， 故答案为：【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，探索规律能够根据平行线的性质和等量代换得到是解题的关键三、（每小题5分，共10分）17. 计算：【答案】【解析】【分析】原式利用二次根式的性质化简，特殊角的三角函数值计算即可得到结果【详解】解：【点睛】本题考查了实数的混合运算涉及到二次根式的化简，特殊角的三角函数值及绝对值，熟练应用实数运算法则是解题的关键18. 解方程【答案】【解析】【分析】按照去分母，去括号，移项，合并同类项得步骤解方程
21、得到，再利用因式分解法解一元二次方程即可【详解】解：去分母得：，去括号得：，移项得：，合并同类项得：，解得或，经检验，当时，不是原方程的解，当时，是原方程的解，原方程的解为【点睛】本题主要考查了解分式方程，解一元二次方程，正确计算是解题的关键，注意解分式方程一定要检验四、（每小题6分，共12分）19. 解不等式组：，并在数轴上表示它的解集【答案】，数轴见解析【解析】【分析】分别计算两个不等式，公共部分即为不等式组的解集，然后在数轴上表示出来即可【详解】解：，解得：，解得，解得：，解得，不等式组的解集为：，在数轴上表示如图：.【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示解集解题的关键在于正
22、确的计算数轴上空心实心的表示是易错点20. 先化简，再选一个合适的数代入求值【答案】，取，原式为4【解析】【分析】先根据分式的运算法则将分式化简，然后代入一个使原分式有意义的值即可【详解】解：，根据分式有意义的条件：且，取代入，得原式【点睛】此题考查的是分式的化简求值题，掌握分式的运算法则和分式有意义的条件是解决此题的关键五、（每小题7分，共14分）21. 为丰富学校校园活动，某校为学生开展了多种艺体活动，其中在体育类活动中开设了五种运动项目：A乒乓球，B排球，C篮球，D足球，E跳绳为了解学生最喜欢哪一种运动项目，随机抽取部分学生进行调查（每位学生仅选一种），并将调查结果制成如下尚不完整的统计
23、图表问卷情况统计表运动项目人数A乒乓球B排球60C篮球45D足球36E跳绳（1）本次调查样本容量是_，统计表中_；（2）在扇形统计图中，“B排球”对应的圆心角的度数是_；（3）若该校共有2000名学生，请你估计该校最喜欢“D足球”的学生人数（4）现有甲、乙两位同学从A、B、C、D、E这五个项目中各选择了一项，求这两位同学选择的运动项目相同的概率【答案】（1）300，75 （2）72 （3）240人 （4）【解析】【分析】（1）用“C篮球”的人数除以其人数占比得到参与调查的总人数，即可得到样本容量，进而求出m的值即可；（2）用360度乘以样本中“B排球”的人数占比即可得到答案；（3）用2000乘
24、以样本中“D足球”的人数占比即可得到答案；（4）先列出表格得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可【小问1详解】解：人，参与调查的人数为300人，即样本容量为300，故答案为：300，75；【小问2详解】解： “B排球”对应的圆心角的度数是，故答案为：72；【小问3详解】解：人，估计该校最喜欢“D足球”的学生人数为240人；【小问4详解】解：列表如下：ABCDEA（A，A）（B，A）（C，A）（D，A）（E，A）B（A，B）（B，B）（C，B）（D，B）（E，B）C（A，C）（B，C）（C，C）（D，C）（E，C）D（A，D）（B，D）（C，D）（D，D）
25、（E，D）E（A，E）（B，E）（C，E）（D，E）（E，E）由表格可知一共有25种等可能性的结果数，其中这两位同学选择的运动项目相同的结果数有5种，这两位同学选择的运动项目相同的概率为【点睛】本题主要考查了频数分布表，扇形统计图，用样本估计总体，树状图法或列表法求解概率，正确读懂统计图、统计表和画出树状图或列出表格是解题的关键22. 如图，已知一次函数的图象与函数的图象交于两点与y轴交于点C，将直线沿y轴向上平移t个单位长度后所得直线与交于D、E两点，与y轴交于点F（1）求解析式，并观察图象直接写出时x的取值范围（2）连接，若的面积为5，求t的值【答案】（1）， （2）【解析】【分析】（1）
26、先将点A坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，再把点B坐标代入反比例函数解析式求出点B的坐标，进而根据函数图象求出对应的x的取值范围；（2）根据平移性质可知，求出两直线之间的距离即为的高，通过A、C坐标求出线段长，列出面积的代数式求解即可【小问1详解】解：把代入中得：，的解析式为，把点代入到中得，由函数图象可知，当时，；【小问2详解】解：作于G，如图，直线是直线沿y轴向上平移t个单位长度得到，把，代入得：，直线的解析式为，直线与x轴的交点为，直线与x、y坐标轴的交点到原点O的距离相等，的面积为5，解得：【点睛】本题综合考查了一次函数于反比例函数综合，熟练掌握通过已知函数图像上的点的坐标
27、求函数解析式，通过图像查看自变量取值范围，灵活运用平移的性质是解题关键六、（每小题8分，共16分）23. 我国无人机已广泛的应用在人们的生产和生活中如图所示，某中学数学课外活动小组利用无人机测量沅江某一段江面的宽度，先在沅江两岸边上各选定一点A、B，且所在直线与江岸所在直线垂直，再在A点放飞无人机到一定高度后，然后在AB上方从A向B以的速度水平飞行在M点处测得A点的俯角为，B点的俯角为，后在N点处测得B点的俯角为，求此段沅江江面的宽度（结果精确到米）（参考数据：，）【答案】【解析】【分析】如图所示，分别过A、B作直线的垂线，垂足分别为C、D两点，则四边形是矩形，则，求出，证明得到，解得到，再解
28、得到，由此即可得到答案【详解】解：如图所示，分别过A、B作直线的垂线，垂足分别为C、D两点，则四边形是矩形，由题意得，在中，在中，此段沅江江面的宽度约为 【点睛】本题主要考查了解直角三角形实际应用，等腰三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键24. 如图，是的直径，是弦，D是的中点，与交于点E，F是延长线上一点，且（1）求证：为的切线；（2）连接，取的中点G，连接，若，求的长【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）如图，连接由，可得，由是的直径，D是的中点，进而可得，即可证明为的切线；（2）如图，过G作，垂足为H设的半径为r，则在中，勾股定理
29、求得，证明，得出，根据，求得，进而求得，根据勾股定理即可求得【小问1详解】解：如图所示，连接， ，是的直径，D是的中点，即为的切线【小问2详解】解：解：如图，过G作，垂足为H设的半径为r，则在中，由勾股定理得，解得， ，G为BD中点，【点睛】本题主要考查了切线的判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键七、（每小题10分，共20分）25. 如图，已知在中，点D是边上一点，点E是边上一点，交于点F（1）如图，若D是边的中点，求证：；（2）如图，若平分，求证：；（3）如图，若，F是的中点，于点G，求证：【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析【解析】【
30、分析】（1）如图所示，过点A作交延长线于H，证明得到，由D是边的中点，得到，进而推出，由此即可证明结论；（2）如图所示，过点F作于G，于H，由角平分线的性质得到，则由，可证明；（3）如图所示，延长交于H，证明，得到，同理可得，则，由，得到，再证明，得到，即【小问1详解】证明：如图所示，过点A作交延长线于H，D是边的中点，；【小问2详解】证明：如图所示，过点F作于G，于H，平分，；【小问3详解】证明：如图所示，延长交于H，同理可得， F是的中点， ，又，即【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，角平分线的性质，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键26. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点
31、，与y轴交于点，其顶点坐标为，点D是x轴下方抛物线上的动点，射线交直线于点E，将射线绕点O顺时针旋转得到射线交直线于点F，连接 （1）求抛物线的解析式；（2）当点D在第三象限，且时，求点D的坐标；（3）当为直角三角形时，求出点D的坐标【答案】（1） （2）或 （3）或 或或【解析】【分析】（1）把解析式设为顶点式，利用待定系数法求解即可；（2）过点D作于点G，交于点H，先求出直线的解析式，设，则，证明得到，即可求出，由此即可得到答案；（3）分D和F为直角顶点进行讨论求解即可【小问1详解】解：设抛物线解析式为，把代入得：，解得，抛物线解析式为【小问2详解】解：过点D作于点G，交于点H，在中，令，
32、解得或，设直线的解析式为，解得， 直线的解析式为，设，解得或将分别代入得或；【小问3详解】解：如图3-1所示，当点D与点C重合时，当点C与点D重合时，是顺时针旋转得到的，即，又，即，是直角三角形，即是直角三角形，此时点D的坐标为； 如图3-2所示，当时，连接，由旋转的性质可得，是等腰直角三角形，C、D、F、O四点共圆， ，点D的纵坐标为，当时，解得或（舍去），点D的坐标为；如图3-3所示，当时，过点D作轴于H，过点F作交延长线于G，同理可证是等腰直角三角形，y轴，又，设点D的坐标为，点F的坐标为，点F在直线上，解得，点D的坐标为或；综上所述，点D的坐标为或 或或 【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，二次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键
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