1、2023年重庆市中考三模数学试卷一选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1. 的相反数是（ ）A. 3B. C. D. 2. 下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A B. C. D. 3. 如图，直线，与互补，则（ ）A. B. C. D. 4. 如图，点是反比例函数图像上的一点由点分别向轴，轴作垂线段，与坐标轴围成的矩形面积为6，则这个反比例函数的解析式是（ ）A. B. C. D. 5. 如图，四边形与四边形位似，点O是它们的位似中心，若，则的值为（） A. B. C. D. 6. 的结果在（ ）A. 和1之间B. 1和之间C 和2之间D. 2和之间7.
2、 如图图形都是由同样大小的按一定的规律组成，其中第1个图形一共有2个，第2个图形一共有8个，第3个图形一共有18个按此规律，则第9个图形中的个数为（）A. 108B. 128C. 144D. 1628. 如图，正方形ABCD中，AEAB，直线DE交BC于点F，则BEF（ ）A. 45B. 30C. 60D. 559. 如图，是半径为6的的直径，是弦，是弧的中点，与相交于点，若为的中点，则的长为（ ）A. B. C. D. 10. 有依次排列的个整式：，对任意相邻的两个整式，都用右边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生一个新整式串：，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串
3、按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串；以此类推通过实际操作，四个同学分别得出一个结论：小琴：第二次操作后整式串为：，；小棋：第二次操作后，当时，所有整式的积为正数；小书：第三次操作后整式串中共有个整式；小画：第次操作后，所有的整式的和为；四个结论正确的有（ ）个A. B. C. D. 二填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）11. 计算：_12. 有n支球队参加足球小组联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共比赛6场，则_13. 如图，在中，垂直平分交于点，交于点，若，且的周长为，则的长为_14. 在一个不透明的袋子中装有4张形状大小质地完全相同的卡片，它们上面分别
4、标有数字：，随机抽取一张卡片，记下数字为m，放回后再随机抽取一张卡片，记下数字为n，则落在第三象限的概率是 _15. 内角和与外角和之比是的多边形是_边形16. 如图，已知等边中，以的中点D为圆心，为半径画弧，分别与交于点E、点F，再以点A为圆心，为半径画弧，则图中阴影部分的面积为_ 17. 若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程=1的解是整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 _18. 若一个四位数M的个位数字、十位数字、百位数字之和为12，则称这个四位数M为“永恒数”将“永恒数”M的千位数字与百位数字交换顺序，十位数字与个位数字交换顺序得到一个新的四位数N，并规定若一个“永
5、恒数”M的百位数字与个位数字之差恰为千位数字，且为整数，则的最大值为_三解答题（共8小题，满分78分）19. 如图，已知E是平行四边形对角线上的点，连接，过点B在平行四边形内部作射线交于点F，且使，连接、，证明四边形是平行四边形解答思路：利用平行四边形的性质得到线段和角相等，再通过与全等得边角关系，然后利用一组对边平行且相等使问题得到解决，请根据解答思路完成下面的作图与填空： （1）尺规作图：过点B平行四边形内部作射线交于点F，且使，连接、（保留作图痕迹，不写作法与证明）（2）证明：在四边形是平行四边形， ，； 在与中， ，_四边形是平行四边形20. 计算：（1）；（2）（）21. 为增强学生
6、垃圾分类意识，推动垃圾分类进校园，某校组织初一全体学生参加了“垃圾分类知识”比赛现从该年级随机抽取甲、乙两个班，并从两个班中各抽取20名学生的比赛成绩进行整理和分析，成绩得分用x表示，共分成五组：A组：，B组：，C组：，D组：，E组：，下面给出了部分信息甲班20名学生的比赛成绩在D组中的数据是：84，83，84，80，84，82乙班20名学生的比赛成绩是：55，68，70，76，72，76，79，79，75，79，82，87，87，82，86，81，92，98，96，100甲、乙两班抽取的学生比赛成绩统计表平均数中位数众数甲班81a95乙班8180b 根据上述信息，解答下列问题：（1）请直接写
7、出上述表中的 ， ， ；（2）你认为该校初一年级甲班、乙班中哪个班学生掌握垃圾分类知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）若此次比赛成绩不低于80分优秀，请估计全年级1200人中优秀人数为多少22. 为了加快推进环境建设，构建生态宜居城市，实现“河畅、水清、岸绿、景美”的目标，九龙坡区计划安排甲、乙两个施工队对一条全长为4100米的河道进行清淤施工经调查知：甲队每天清淤的河道长度是乙队每天清淤的河道长度的倍，甲队清淤1200米的河道比乙队清淤同样长的河道少用2天（1）甲、乙两队每天清淤的河道长度分别是多少米？（2）若该条河道先由甲队单独清淤2天，余下的河道由甲乙两队合作清淤已知甲队施工
8、一天的费用为万元，乙队施工一天的费用为万元，求完成该条河道清淤施工的总费用23. 如图，我边防雷达站A处的工作人员测得在北偏东方向的点C处有一艘可疑船只，该船正在以每小时10海里的速度向正东方向航行，点A到点C的距离为海里，此时，我方一艘军舰在距离点A的正东方向12海里的点B处（1）求点B到点C之间距离（结果保留根号）；（2）当发现可疑船只后，我方军舰立即沿着与正东方向成夹角的方向前往拦截，军舰航行的速度为每小时20海里，请通过计算说明我方军舰能否在可疑船只的正前方的点D处成功拦截？（参考数据：，）24. 如图，在矩形中，动点P，Q同时从B点出发，点P沿着方向运动，点Q沿着方向运动，有一点到达
9、终点，另一点停止运动，已知点P的速度是每秒1个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，若运动时间为x秒，将的长度记为，的面积记为（1）直接写出与x之间的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；（2）在平面直角坐标系中画出的图象并写出的一条性质；（3）若函数与有两个交点，求k的取值范围25. 如图1，抛物线与x轴交于A和B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接，直线经过点B、C（1）求直线的函数表达式；（2）点P是位于直线上方抛物线上的一个动点，过点P作于点E，连接，求面积的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线沿着射线方向平移个单位得到新抛物线，与原抛物线相交于点M，点Q
10、是新抛物线对称轴上的一个动点，点N为平面内一点，若以P、Q、M、N为顶点的四边形是以为边的菱形，直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程26. 在中，过B点作于点E，点D为线段的中点，连接 （1）如图1，求的长度；（2）如图2，将线段绕着点D逆时针旋转得到线段，此时，连接，点F为的中点，连接，求证：；（3）如图3，点P是线段上一点，连接，将沿翻折到同一平面内得到，连接，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接，当最小时，直接写出的面积2023年重庆市中考三模数学试卷一选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1. 的相反数是（ ）A. 3B. C. D. 【答案】C
11、【解析】【分析】根据相反数的定义进行解答即可.【详解】解：的相反数是，故选C【点睛】本题考查的是相反数的含义，仅仅只有符号不同的两个数互为相反数，掌握定义是解本题的关键.2. 下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心【详解】解：A选项中的图
12、形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；B选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C选项选项中的图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D选项中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意故选：A【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知二者的定义是解题的关键3. 如图，直线，与互补，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先根据与互补，求出的度数，再根据平行线的性质求解即可【详解】解：与互补，故选：B【点睛】本题考查了平行线的性质，熟记两直线平行内错角相等是解题的关键4. 如图，点是反比
13、例函数图像上的一点由点分别向轴，轴作垂线段，与坐标轴围成的矩形面积为6，则这个反比例函数的解析式是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据反比例函数中比例系数的几何意义，矩形的面积等于，以及函数所在的象限，即可确定k的符号从而得到函数的解析式【详解】解：过反比例函数图像上的点作坐标轴的垂线段，与坐标轴围成的矩形面积等于，该函数图像位于第一象限，值为正数，即故选：D【点睛】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，由矩形面积求得k的值是解决此题的关键5. 如图，四边形与四边形位似，点O是它们的位似中心，若，则的值为（） A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据位似
14、变换的概念得到，得到，根据相似三角形的性质解答即可【详解】解：四边形ABCD与四边形位似，故选：B【点睛】本题考查的是位似变换，熟记位似图形的对应边互相平行是解题的关键6. 的结果在（ ）A 和1之间B. 1和之间C. 和2之间D. 2和之间【答案】C【解析】【分析】整理得，根据，即可判断【详解】解：，实数的值在和2之间，故选：C【点睛】此题主要考查了估算无理数，关键是掌握用有理数逼近无理数，求无理数的近似值7. 如图图形都是由同样大小的按一定的规律组成，其中第1个图形一共有2个，第2个图形一共有8个，第3个图形一共有18个按此规律，则第9个图形中的个数为（）A. 108B. 128C. 14
15、4D. 162【答案】D【解析】【分析】由前三个图，可探索出第n个图形中个数为，将序数代入求解【详解】解：第个图形一共有（个），第个图形一共有：（个），第个图形一共有（个），第9个图形一共有：（个），故选：D【点睛】本题考查图形规律探索，观察前3个图形，总结出个数与序数的关系是解题的关键8. 如图，正方形ABCD中，AEAB，直线DE交BC于点F，则BEF（ ）A. 45B. 30C. 60D. 55【答案】A【解析】【分析】先设BAE=x，根据正方形性质推出AB=AE=AD，BAD=90，根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出AEB和AED的度数，根据平角定义求出即可【详解】解：设BAE
16、=x，四边形ABCD是正方形，BAD=90，AB=AD，AE=AB，AB=AE=AD，ABE=AEB=（180-BAE）=90-x，DAE=90-x，AED=ADE=（180-DAE）=180-（90-x）=45+x，BEF=180-AEB-AED=180-（90-x）-（45+x）=45BEF=45故选：A【点睛】本题考查了三角形的内角和定理的运用，等腰三角形的性质的运用，正方形性质的应用，解此题的关键是如何把已知角的未知角结合起来，题目比较典型，但是难度较大9. 如图，是半径为6的的直径，是弦，是弧的中点，与相交于点，若为的中点，则的长为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分
17、析】先根据圆周角定理得到，根据垂径定理得到，则可证明为的中位线，所以，通过证明得到，所以，则可计算出，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长【详解】解：是半径为6的的直径，是弧的中点，为的中位线，为的中点，在和中，即，解得：，在中，故选：C【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，也考查了垂径定理和圆周角定理10. 有依次排列的个整式：，对任意相邻的两个整式，都用右边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生一个新整式串：，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一
18、次操作，可以得到第二次操作后的整式串；以此类推通过实际操作，四个同学分别得出一个结论：小琴：第二次操作后整式串为：，；小棋：第二次操作后，当时，所有整式的积为正数；小书：第三次操作后整式串中共有个整式；小画：第次操作后，所有的整式的和为；四个结论正确的有（ ）个A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据整式的加减运算法则和整式的乘法运算法则进行计算即可解答【详解】解：第一次操作后的整式串：，第二次操作后的整式串：，；故小琴的结论正确；第二次操作后整式的积为：，即第二次操作后整式的积为非负数，故小棋的结论错误；第三次操作后整式串为：，共个式子，故小书结论错误；第一次操作后的整式的和为
19、：；第二次操作后的整式的和为：；第三次操作后的整式的和为：，第n次操作后的整式的和为：，第次操作后，所有的整式的和为：；故小画的结论正确；正确的有：个；故答案为：【点睛】本题考查了整式的加减运算法则和整式的乘法运算法则，掌握整式的加减运算法则是解题的关键二填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）11. 计算：_【答案】0【解析】【分析】由题意直接根据零次幂和去绝对值以及特殊角的三角函数，进行计算即可解答【详解】解：，故答案为：0【点睛】本题考查实数的运算，熟练掌握零次幂和去绝对值以及特殊角的三角函数的运算规则是解题的关键12. 有n支球队参加足球小组联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场
20、），共比赛6场，则_【答案】4【解析】【分析】根据题意，列方程，解方程即可【详解】根据题意，得，解方程得（舍去），故答案为：4【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键13. 如图，在中，垂直平分交于点，交于点，若，且的周长为，则的长为_【答案】3【解析】【分析】由线段垂直平分线的性质，得到，推出，求出的长，得到的长，即可求出的长【详解】垂直平分的周长为故答案为：【点睛】本题考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，关键是由线段垂直平分线的性质定理得到，求出的长14. 在一个不透明的袋子中装有4张形状大小质地完全相同的卡片，它们上面分别标有数字：，随机抽取一
21、张卡片，记下数字为m，放回后再随机抽取一张卡片，记下数字为n，则落在第三象限的概率是 _【答案】#0.25【解析】【分析】利用列表法或树状图法求解即可【详解】解：列表如下：0202由表知，共有16种等可能结果，其中落在第三象限的有4种结果，所以落在第三象限的概率为，故答案为：【点睛】题目主要考查利用列表法或树状图法求概率，熟练掌握列表法或树状图法是解题关键15. 内角和与外角和之比是的多边形是_边形【答案】十二#12【解析】【分析】根据多边形的内角和公式和外角和为，结合比例式列出方程，然后解方程即可得解【详解】解：设多边形的边数为n，则，解得故答案为：十二【点睛】此题考查了多边形的外角和与内角
22、和问题，熟练掌握多边形的内角和公式和外角和为是解题的关键16. 如图，已知等边中，以的中点D为圆心，为半径画弧，分别与交于点E、点F，再以点A为圆心，为半径画弧，则图中阴影部分的面积为_ 【答案】【解析】【分析】根据等边三角形的性质可得出，可得，进而得出阴影部分的面积等于四个弓形的面积，求出弓形的面积即可【详解】解：如图，连接、， 是等边三角形，又，（SAS），且这三个三角形都为边长为3的等边三角形，即可求得高为，阴影部分的面积等于四个弓形的面积，弓形的面积等于扇形的面积减去三角形的面积，即，阴影部分的面积故答案为：【点睛】本题考查了扇形面积的计算，掌握扇形面积、等边三角形面积的计算方法是正确
23、解答的前提17. 若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程=1的解是整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 _【答案】【解析】【分析】由不等式组的解集可确定a的取值范围，再根据分式方程的整数解以及增根的定义确定整数a的值即可【详解】解：关于x的一元一次不等式组，解不等式得，解不等式得，由于不等式组的解集为，所以，解得，关于y的分式方程的解为y=是整数，即，由于是增根，因此，即，又，或，所有满足条件整数a的值之和是，故答案为：【点睛】本题考查一元一次不等式组，分式方程，理解一元一次不等式组、分式方程的解，掌握一元一次不等式组、分式方程的解法是正确解答的前提18. 若一个四位数M的个
24、位数字、十位数字、百位数字之和为12，则称这个四位数M为“永恒数”将“永恒数”M的千位数字与百位数字交换顺序，十位数字与个位数字交换顺序得到一个新的四位数N，并规定若一个“永恒数”M的百位数字与个位数字之差恰为千位数字，且为整数，则的最大值为_【答案】9【解析】【分析】设，则，再利用能被9整除得到d与b的值，即可求解【详解】解：设，则，又，且，要使最大，必使，且为整数，则，最大为9，故答案为：9【点睛】本题以新定义为背景，考查了整式的运算、因式分解，解题的关键是熟练应用“永恒数”的定义计算三解答题（共8小题，满分78分）19. 如图，已知E是平行四边形对角线上的点，连接，过点B在平行四边形内部
25、作射线交于点F，且使，连接、，证明四边形是平行四边形解答思路：利用平行四边形的性质得到线段和角相等，再通过与全等得边角关系，然后利用一组对边平行且相等使问题得到解决，请根据解答思路完成下面的作图与填空： （1）尺规作图：过点B在平行四边形内部作射线交于点F，且使，连接、（保留作图痕迹，不写作法与证明）（2）证明：在四边形是平行四边形， ，； 在与中， ，_四边形是平行四边形【答案】（1）见详解 （2）；【解析】【分析】（1）作 ，其中交于F即可；（2）由于，根据全等三角形的性质得到， ,根据等角的补角相等可得，则，根据平行四边形的判定即可得到结论【小问1详解】解：如图作,其中交于F 【小问2详
26、解】证明：在四边形是平行四边形，；在与中， ，四边形是平行四边形故答案为：；【点睛】本题考查了作图复杂作图，平行四边形的性质和全等三角形的判定的知识，三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件20. 计算：（1）；（2）（）【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）先计算单项式乘多项式，再利用平方差公式计算，然后合并即可；（2）先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再把分子分母因式分解，然后约分即可【小问1详解】；【小问2详解】【点睛】本题考查了分式的混合
27、运算：先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的也考查了完全平方公式21. 为增强学生垃圾分类意识，推动垃圾分类进校园，某校组织初一全体学生参加了“垃圾分类知识”比赛现从该年级随机抽取甲、乙两个班，并从两个班中各抽取20名学生的比赛成绩进行整理和分析，成绩得分用x表示，共分成五组：A组：，B组：，C组：，D组：，E组：，下面给出了部分信息甲班20名学生的比赛成绩在D组中的数据是：84，83，84，80，84，82乙班20名学生的比赛成绩是：55，68，70，76，72，76，79，79，75，79，82，87，87，82，86，81，92，98，96，100甲、乙两班抽取的学生比赛成绩统
28、计表平均数中位数众数甲班81a95乙班8180b 根据上述信息，解答下列问题：（1）请直接写出上述表中的 ， ， ；（2）你认为该校初一年级甲班、乙班中哪个班学生掌握垃圾分类知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）若此次比赛成绩不低于80分为优秀，请估计全年级1200人中优秀人数为多少【答案】（1），； （2）甲班学生掌握垃圾分类知识较好，理由见解析； （3）人；【解析】【分析】（1）根据中位数、众数的定义和百分比之和为1求解即可；（2）根据平均数和中位数的定义求解即可；（3）总人数乘以样本中优秀人数所占比例即可【小问1详解】解：甲班A、B、C组人数之和为（人），D组数据重新排列为：8
29、0，82，83，84，84，84，所以甲班成绩的中位数，乙班成绩的众数，即，故答案为：，；小问2详解】解：甲班学生掌握垃圾分类知识较好，因为甲、乙班学生成绩的平均数相等，而甲班成绩的中位数大于乙班，所以甲班高分人数多于乙班；【小问3详解】解：（人），答：估计全年级人中优秀人数为人【点睛】本题考查中位数、众数、平均数的意义和计算方法，理解各个概念的内涵和计算方法，是解题的关键22. 为了加快推进环境建设，构建生态宜居城市，实现“河畅、水清、岸绿、景美”的目标，九龙坡区计划安排甲、乙两个施工队对一条全长为4100米的河道进行清淤施工经调查知：甲队每天清淤的河道长度是乙队每天清淤的河道长度的倍，甲队
30、清淤1200米的河道比乙队清淤同样长的河道少用2天（1）甲、乙两队每天清淤的河道长度分别是多少米？（2）若该条河道先由甲队单独清淤2天，余下的河道由甲乙两队合作清淤已知甲队施工一天的费用为万元，乙队施工一天的费用为万元，求完成该条河道清淤施工的总费用【答案】（1）甲队每天清淤的河道长度是300米，乙队每天清淤的河道长度分别是200米； （2）完成该条河道清淤施工总费用是万元【解析】【分析】（1）设乙队每天清淤的河道长度是x米，则甲队每天清淤的河道长度是米，利用工作时间=工作总量：工作效率，结合甲队清淤1200米的河道比乙队清淤同样长的河道少用2天，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出乙
31、队每天清淤的河道长度，再将其代入中，即可得出甲队每天清淤的河道长度；（2）设乙队施工y天，则甲队施工天，利用工作总量=工作效率工作时间，可得出关于y的一元一次方程，解之可得出y的值，再将其代入中，即可求出结论【小问1详解】解：设乙队每天清淤的河道长度是x米，则甲队每天清淤的河道长度分别是米，根据题意得，解得，经检验，是所列方程的解，且符合题意，答：甲队每天清淤的河道长度是300米，乙队每天清淤的河道长度分别是200米；【小问2详解】解：设乙队施工y天，则甲队施工天，根据题意得，解得：，答：完成该条河道清淤施工的总费用是万元【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（
32、1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程23. 如图，我边防雷达站A处的工作人员测得在北偏东方向的点C处有一艘可疑船只，该船正在以每小时10海里的速度向正东方向航行，点A到点C的距离为海里，此时，我方一艘军舰在距离点A的正东方向12海里的点B处（1）求点B到点C之间的距离（结果保留根号）；（2）当发现可疑船只后，我方军舰立即沿着与正东方向成夹角的方向前往拦截，军舰航行的速度为每小时20海里，请通过计算说明我方军舰能否在可疑船只的正前方的点D处成功拦截？（参考数据：，）【答案】（1）海里 （2）我方军舰能在可疑船只的正前方的点D处成功拦截【解析】【分析】（1）
33、过B作于H，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可；（2）过C作于M，过D作于N，则，四边形是矩形，可得到，分别在和中解直角三角形分别求得海里， 海里，进而分别求得我方军舰和可疑船只到达D的时间，比较可得出结论【小问1详解】解：过B作于H，由题意，海里，海里，海里，则海里，海里，海里，即点B到点C之间的距离为海里；【小问2详解】解：如图，过C作于M，过D作于N，则海里，四边形是矩形，海里，在中，解得海里， 海里，我方军舰到达D的时间为小时；在中，海里，则海里，可疑船只到达D点的时间为小时，我方军舰能在可疑船只的正前方的点D处成功拦截【点睛】本题考查解直角三角形的应用，涉及锐角三角函
34、数、含30度角的直角三角形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理，理解题意，添加合适的辅助线是解答的关键24. 如图，在矩形中，动点P，Q同时从B点出发，点P沿着方向运动，点Q沿着方向运动，有一点到达终点，另一点停止运动，已知点P的速度是每秒1个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，若运动时间为x秒，将的长度记为，的面积记为（1）直接写出与x之间的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；（2）在平面直角坐标系中画出的图象并写出的一条性质；（3）若函数与有两个交点，求k的取值范围【答案】（1）， （2）见解析 （3）【解析】【分析】（1）当时，点Q在上运动，则当时，点Q在上运动，同理可解；由，即可求
35、解；（2）通过取点、描点、连线、绘制图象即可求解；（3）从图象看，当函数过点和时，两条直线恰好有2个交点，进而求解【小问1详解】当时，点Q在上运动，则当时，点Q在上运动，同理可得：，即，则；【小问2详解】对于，当时，当时，当时，对于，当时，当时，通过对上述点描点、连线、绘制图象如下：从图象看，当时，随x的增大而减小，当，随x的增大而增大（答案不唯一）；【小问3详解】从图象看，当函数过点和时，两条直线恰好有2个交点，将代入得：，则，将代入得：，则，k的取值范围为：【点睛】本题考查了一次函数综合运用，涉及到矩形性质，一次函数的基本性质，主要考查学生分析问题和解决问题的能力25. 如图1，抛物线与x
36、轴交于A和B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接，直线经过点B、C（1）求直线的函数表达式；（2）点P是位于直线上方抛物线上的一个动点，过点P作于点E，连接，求面积的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线沿着射线方向平移个单位得到新抛物线，与原抛物线相交于点M，点Q是新抛物线对称轴上的一个动点，点N为平面内一点，若以P、Q、M、N为顶点的四边形是以为边的菱形，直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程【答案】（1） （2）最大，此时 （3），【解析】【分析】（1）根据抛物线解析式求与x轴，与y轴的交点，用待定系数法求直线的函数表达式即可
37、；（2）过点作轴于点，交直线于点，过点作于点，根据等腰三角形的性质可得，求得，即可求得；（3）根据平移规律可得抛物线的解析式为，可得的对称轴为，求得与原抛物线相交于点M的坐标；设，进一步求得，等，分类讨论：当时，求得的坐标，进一步求得的坐标；当时，求得的坐标，进一步求得的坐标【小问1详解】将代入得将代入，得：解得，设，所在直线的解析式为：代入，得解得直线的解析式为：【小问2详解】过点作轴于点，交直线于点，过点作于点，设点，当时，最大最大，此时【小问3详解】抛物线沿射线方向平移个单位得到新的抛物线，当平移个单位的时候，平移之后原来的C点到了A点的位置，可以看做抛物线先向下平移3个单位长度，再向左
38、平移1个单位长度，故当平移个单位的时候，可以看做抛物线先向下平移6个单位长度，再向左平移2个单位长度，新抛物线的解析式为的对称轴为与原抛物线相交于点M 故令解得则所以点M坐标为由（2）得知设当时，解得故，则可以看做是有先向右平移单位，再向上或向下平移个单位得到故点可以看做点同样平移可得，故，当时，解得故， 则可以看做是有先向左平移单位，再向下平移个单位得到故点可以看做点同样平移可得，故【点睛】本题考查了用待定系数法求函数的解析式，等腰三角形的性质，二次函数的综合运用等知识，重难点在于第三问中找出所有符合条件的N点位置并求出坐标26. 在中，过B点作于点E，点D为线段的中点，连接 （1）如图1，
39、求的长度；（2）如图2，将线段绕着点D逆时针旋转得到线段，此时，连接，点F为的中点，连接，求证：；（3）如图3，点P是线段上一点，连接，将沿翻折到同一平面内得到，连接，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接，当最小时，直接写出的面积【答案】（1） （2）见解析 （3）【解析】【分析】（1）证明，利用相似三角形的性质求出，则；（2）过点D作于点H，过点F作于点J连接，则，先证明，进一步证明，再证明，即可证明，得到，则，再证明B，即可证明；（3）如图3中，以为边向上作等边三角形，连接，证明，得到，则，求出，则的最小值为，此时BQK共线，作于点J，利用等面积法求出，则此时的面积【小问1详解】解：，即，点D为线段的中点，；【小问2详解】证明：过点D作于点H，过点F作于点J连接 ，B，；【小问3详解】解：如图3中，以边向上作等边三角形，连接 ，的最小值为，此时BQK共线，作于点J，此时的面积【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键
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