1、2023年北京市平谷区中考二模数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）1. 下列几何体中，是圆锥的为（ ）A. B. C. D. 2. 党的二十大报告中指出，我国全社会研发经费支出从一万亿元增加到二万八千亿元，居世界第二位，研发人员总量居世界首位将用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 3. 如图，直角三角板的直角顶点落在直线上的点处，则的大小为（ ）A B. C. D. 4. 实数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）A. B. C. D. 5. 袋子里有2个红球1个白球，除颜色外无其他差别，随机摸取两个，恰好为一个红球一个白球的概率是（ ）A. B. C.
2、D. 6. 若关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 7. 如图所示的地面由正六边形和四边形两种地砖镶嵌而成，则的度数为（ ）A. 50B. 60C. 100D. 1208. 如图，一款旅行保温水壶，拧开瓶盖即为自带的小水杯，若满满一水壶水可以装满水杯现在水壶中还有一半的水，拧开瓶盖向小水杯中匀速的倒水，设水壶中剩余的水量为（毫升），水杯中的水量为（毫升），倒水的时间为（秒），则从开始倒水到水杯注满水的过程中，均是的函数，它们随着的变化而变化的过程可以描述为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 若在实数范围内有意义，
3、则实数取值范围是_10. 分解因式：_11. 计算的值为_12. 直径为10分米的圆柱形排水管，截面如图所示若管内有积水（阴影部分），水面宽为8分米，则积水的最大深度为_分米13. 如图，在平面直角坐标系中，双曲线与线段有公共点，请写出一个满足条件的k的值_14. 某中学开展“读书伴我成长”活动，为了解八年级200名学生四月份的读书册数，对从中随机抽取的20名学生的读书册数进行调查，结果如下表：册数/册12345人数/人25742根据统计表中的数据估计八年级四月份读书册数不少于3本的人数约有_人15. 已知：如图，的两条中线与相交于点，连结，则_16. 如图所示，某工厂生产镂空的铝板雕花造型，
4、造型由A绣球花）、B祥云）两种图案组合而成，因制作工艺不同，A、B两种图案成本不同，厂家提供了如下几种设计造型，造型1的成本64元，造型2的成本42元，则造型3的成本为_元；若王先生选定了一个造型1作为中心图形，6个造型2分别位于中心图形的四周，其余部分用个造型3填补空缺，若整个画面中，图案B个数不多于图案A数的2倍，且王先生的整体设计费用不超过500元，写出一个满足条件的值_三、解答题（本题共68分，第17-20、22、23题，每题5分；第21、24、25、26题，每题6分；第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程17. 计算：18. 解不等式组：19. 已知，求代数
5、式值20. 下面是证明三角形内角和定理推论1的方法，选择其中一种，完成证明三角形内角和定理推论1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和已知：如图，点是延长线上一点求证： 方法一：利用三角形的内角和定理的方法 证明：二：构造平行线进行证明行证明 证明：21. 如图，直线，是上一点，是上一点，连接，以为圆心长为半径画弧，在点的右侧交直线于点，再分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，连接（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形，判断四边形的形状；（2）证明（1）中的结论22. 在平面直角坐标系中，直线与轴交于，与轴交于（1）求、点坐标；（2）点关于轴的对称点为点，将直线沿
6、轴向上平移个单位，得到直线，当时都有直线的值大于直线的值，求的取值范围23. 快递使我们生活更加便捷，可以说，快递改变了我们的生活为了解我国的快递业务情况，我们收集了2022年11月全国31个省的快递业务数量（单位：亿件）的数据，并对数据进行了整理、描述和分析，给出如下信息a2022年11月快递业务量排在前3位的省的数据分别为：275.2，225，74.8b其余28个省份2022年11月的快递业务数量的数据的频数分布图如下：c2022年11月的快递业务数量的数据在这一组的是：10.3，11，15.5，16.3，17.8根据以上信息，回答下列问题：（1）补全条形统计图；（2）2022年11月的3
7、1个省的快递业务数量的中位数为_；（3）若设图中28个省份平均数为，方差为；设31个省份的平均数为，方差为，则_，_（填“”“”或“”）24. 如图，为的直径，为上一点，过点作的切线，交的延长线于点，为的中点，连结并延长交于点，连结（1）求证：；（2）若，求的长25. 某公园有一座漂亮的五孔桥，如图所示建立平面直角坐标系，主桥洞与两组副桥洞分别位于轴的两侧成轴对称摆放，每个桥洞的形状近似的可以看作抛物线，主桥洞上，与近似满足函数关系经测量在主桥洞上得到与的几组数据： (米)(米)根据以上数据回答下列问题：（1）求主桥洞的函数表达式；（2）若的表达式：，的表达式：，求五个桥洞的总跨度的长26.
8、已知抛物线，若点，在抛物线上（1）该抛物线的对称轴为_（用含的式子表示）；（2）若当时，则的值为_；（3）若对于时，都有，求的取值范围27. 在中，点为边上一点，为延长线上的一点，为边上一点，射线于点，过点作直线于，交于点，作的角平分线交于，过点作的平行线，交于点，交于点，交于点， （1）找出图中和相等的一个角，并证明；（2）判断、的数量关系，并证明28. 在平面直角坐标系中，对于，其中，给出如下定义：将边绕点逆时针旋转60得到线段，连接，与的过点A的高线交于点，将点关于直线对称得到点，我们称为的留缘点（1）若，请在图中画出的留缘点，并求出点的坐标；（2）已知，若线段上存在的留缘点，求的取值范
9、围2023年北京市平谷区中考二模数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）1. 下列几何体中，是圆锥的为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据每一个几何体的特征即可判断【详解】解：A是圆柱体；B是正方体；C是圆锥；D是四棱锥；故选：C【点睛】本题考查了认识立体图形，熟练掌握每一个几何体的特征是解题的关键2. 党的二十大报告中指出，我国全社会研发经费支出从一万亿元增加到二万八千亿元，居世界第二位，研发人员总量居世界首位将用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数【详解】解：故选：C【点睛
10、】本题考查了科学记数法，科学记数法表示形式为的形式，其中，为整数确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键3. 如图，直角三角板的直角顶点落在直线上的点处，则的大小为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用，计算即可【详解】解：故选：C【点睛】本题考查角的和差运算，掌握数形结合思想是解题的关键4. 实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用数轴比较数的大小逐个判断即可【详解】解：由图可知
11、：，故A选项错误，不符合题意； ，故B选项错误，不符合题意；，故C选项错误，不符合题意；，故D选项正确，符合题意；故选：D【点睛】本题考查利用数轴比较数的大小熟练掌握数轴上左边点表示的数总大于右边点表示的数是解题的关键5. 袋子里有2个红球1个白球，除颜色外无其他差别，随机摸取两个，恰好为一个红球一个白球的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】用列表法分析所有可能出现的结果数与出现一红一白的可能数，再由概率公式计算即可【详解】解：列表如下：红红白红红红红白红红红红白白白红白红由表可知：有可能出现的结果有6种出现一红一白的可能结果有4种，恰好为一个红球一个白球的概率为故选
12、：C【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率用到的知识点为：概率=所求事件情况数与总情况数之比6. 若关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意可得，然后解不等式即可【详解】解，由题意，得，解得：故选：D【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用 熟练掌握当时，一元二次方程有两个实数根，当时，一元二次方程没有实数根是解题的关键7. 如图所示的地面由正六边形和四边形两种地砖镶嵌而成，则的度数为（ ）A. 50B. 60C. 100D. 120【答案】B【解析】【分析】先计算出正六边形的内角，根据平面镶嵌的条件计算求解【详解
13、】解：正六边形的一个内角度数为，的度数为，故选：B【点睛】本题考查了平面镶嵌，也考查了正多边形内角的计算方法，掌握正多边形的概念，理解几何图形镶嵌成平面是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角是解题关键8. 如图，一款旅行保温水壶，拧开瓶盖即为自带的小水杯，若满满一水壶水可以装满水杯现在水壶中还有一半的水，拧开瓶盖向小水杯中匀速的倒水，设水壶中剩余的水量为（毫升），水杯中的水量为（毫升），倒水的时间为（秒），则从开始倒水到水杯注满水的过程中，均是的函数，它们随着的变化而变化的过程可以描述为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数与自变量之间的数量关系即
14、可解答【详解】解：满满一水壶水可以装满水杯，现在水壶中还有一半的水，现在水壶中的水可以装满个水杯，设水壶中剩余的水量为（毫升），水杯中的水量为（毫升），倒水的时间为（秒），当与相等时就停止，即减小时，增大，当水杯中装满水时水壶就停止倒水，故选【点睛】本题考查了函数于自变量之间的数量关系， 明确题意找出数量关系与等量关系是解题的关键二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，进行求解【详解】解：由题意得：，；故答案为【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是
15、解题的关键10. 分解因式：_【答案】【解析】【分析】先提公因式m，再运用平方差公式分解即可【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握提公因式与公式法的综合运用是解题的关键，注意分解因式要彻底11. 计算的值为_【答案】#【解析】【分析】根据分式运算法则先算括号内的减法，再算除法即可【详解】解：，=，=，=【点睛】本题考查了分式混合运算，解题关键是熟练运用分式运算法则进行计算12. 直径为10分米的圆柱形排水管，截面如图所示若管内有积水（阴影部分），水面宽为8分米，则积水的最大深度为_分米【答案】2【解析】【分析】连接，先由垂径定理求出的长，再由勾股定理求出的长，进而可得出结论【
16、详解】解：连接，如图所示：的直径为分米，分米，由题意得：，分米，分米，（分米），积水的最大深度（分米），故答案为：2【点睛】本题考查的是垂径定理的应用以及勾股定理，根据勾股定理求出的长是解答此题的关键13. 如图，在平面直角坐标系中，双曲线与线段有公共点，请写出一个满足条件的k的值_【答案】1（答案不唯一）【解析】【分析】分别求出双曲线过点A,B时对应的k值，然后数形结合即可得出答案【详解】解：当双曲线过点时，有k=11=1；当双曲线过点时，有k=22=4；数形结合可知，双曲线与线段AB有公共点时k的取值范围为1k4故答案为：1（答案不唯一）【点睛】本题主要考查反比例函数与线段的交点问题，确定
17、出两个特殊位置的k的值及数形结合是解题的关键14. 某中学开展“读书伴我成长”活动，为了解八年级200名学生四月份的读书册数，对从中随机抽取的20名学生的读书册数进行调查，结果如下表：册数/册12345人数/人25742根据统计表中的数据估计八年级四月份读书册数不少于3本的人数约有_人【答案】130【解析】【分析】用八年级200名乘以读书册数不少于3本的人数占抽取的20名学生的频率，计算即可【详解】解：（人）故答案为：130【点睛】本题考查用样本估计总体，熟练掌握用样本频率估计总体频率是解题的关键15. 已知：如图，的两条中线与相交于点，连结，则_【答案】【解析】【分析】根据中位线的性质得出，
18、从而得到，利用相似三角形性质即可求解【详解】解：与是的两条中线，E是的中点，F是的中点，是的中位线，故答案为：【点睛】本题考查三角形中位线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握三角形中位线的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键16. 如图所示，某工厂生产镂空的铝板雕花造型，造型由A绣球花）、B祥云）两种图案组合而成，因制作工艺不同，A、B两种图案成本不同，厂家提供了如下几种设计造型，造型1的成本64元，造型2的成本42元，则造型3的成本为_元；若王先生选定了一个造型1作为中心图形，6个造型2分别位于中心图形的四周，其余部分用个造型3填补空缺，若整个画面中，图案B个数不多于图案A数的2倍，
19、且王先生的整体设计费用不超过500元，写出一个满足条件的值_【答案】 . 22 . 6（答案不唯一，6，7，8均可）【解析】【分析】设A种图案成本为了x元，B种图案成本为了y元，根据造型1的成本64元，造型2的成本42元，列方程组，出x、y的值，则由造型3的成本为元；再根据图案的个数不多于图案个数的2倍，且整体设计费用不超过500元，列不等式组，求得，然后由n为整数，得出n的值即可【详解】解：设A种图案成本为了x元，B种图案成本为了y元，根据题意，得，解得：，(元)，即造型3的成本为22元；故答案：22；根据题意得：，解得：，n为整数，7，8，故答案为：6（答案不唯一，6，7，8均可）【点睛】
20、本题考查二元一次方程组与一元一次不等式组的应用，理解题意，列出方程组与不等式组是解题的关键三、解答题（本题共68分，第17-20、22、23题，每题5分；第21、24、25、26题，每题6分；第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程17. 计算：【答案】【解析】【分析】分别计算负整数指数幂，三角函数值，算术平方根，绝对值，最后合并同类二次根式即可【详解】解： 【点睛】本题考查实数混合运算，熟练掌握负整数指数幂、二次根式化简、特殊角三角函数值是解题的关键18. 解不等式组：【答案】【解析】【分析】分别解两个一元一次不等式，再求交集即可【详解】解：解不等式得，解不等式得，故
21、所给不等式组的解集为：【点睛】本题考查解一元一次不等式组，属于基础题，正确计算是解题的关键19. 已知，求代数式的值【答案】，【解析】【分析】先把代数式利用单项式乘以单项式法则、完全平方公式进行计算，再合并同类项得到最简结果，再把已知条件变形后整体代入求值即可【详解】解： ，原式【点睛】此题考查了整式的四则混合运算和化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键20. 下面是证明三角形内角和定理推论1的方法，选择其中一种，完成证明三角形内角和定理推论1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和已知：如图，点是延长线上一点求证： 方法一：利用三角形的内角和定理的方法 证明：二：构造平行线进行证明行证
22、明 证明：【答案】见解析【解析】【分析】方法一：，即可得出结论；方法二：过点C作，由平行线的性质得，再由，即可得出结论【详解】证明：方法一：中，；方法二：过点C作，如图， ， 【点睛】本题考查三角形的内角和定理或平行线的性质，熟练掌握三角形的内角和定理或平行线的性质是解题的关键21. 如图，直线，是上一点，是上一点，连接，以为圆心长为半径画弧，在点的右侧交直线于点，再分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，连接（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形，判断四边形的形状；（2）证明（1）中的结论【答案】（1）四边形EFGM为菱形； （2）见解析【解析】【分析】（1）利用尺规作图
23、即可；（2）由题意可得，平分，再根据证明角相等，然后根据等角对等边即得，进而通过邻边相等的平行四边形证明即可【详解】（1）如图， 猜想：四边形为菱形（2）解： 由作图可知： ，平分， 四边形是平行四边形，四边形是菱形【点睛】本题考查尺规作图、菱形的判定和平行线性质，解此题关键是掌握菱形的判定方法22. 在平面直角坐标系中，直线与轴交于，与轴交于（1）求、点坐标；（2）点关于轴的对称点为点，将直线沿轴向上平移个单位，得到直线，当时都有直线的值大于直线的值，求的取值范围【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）分别求出当时y的值，当时x的值即可得到答案；（2）先求出直线的解析式为，进而求出直线l
24、的解析式为；解不等式得，再根据题意可得时不等式的一个解集，则，即可求出小问1详解】解：在中，当时，当时，【小问2详解】解：点A关于y轴的对称点为点C，设直线解析式为，直线的解析式为将直线沿y轴向上平移t（t0）个单位，得到直线l，直线l的解析式为；解不等式得，当时，都有直线的值大于直线的值，是不等式的一个解集，【点睛】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数图象的平移问题，一次函数与一元一次不等式，灵活运用所学知识是解题的关键23. 快递使我们的生活更加便捷，可以说，快递改变了我们的生活为了解我国的快递业务情况，我们收集了2022年11月全国31个省的快递业务数量（单位：亿件）的数据
25、，并对数据进行了整理、描述和分析，给出如下信息a2022年11月快递业务量排在前3位的省的数据分别为：275.2，225，74.8b其余28个省份2022年11月的快递业务数量的数据的频数分布图如下：c2022年11月的快递业务数量的数据在这一组的是：10.3，11，15.5，16.3，17.8根据以上信息，回答下列问题：（1）补全条形统计图；（2）2022年11月的31个省的快递业务数量的中位数为_；（3）若设图中28个省份平均数为，方差为；设31个省份的平均数为，方差为，则_，_（填“”“”或“”）【答案】（1）见解析 （2）11 （3），【解析】【分析】（1）先求出数据在这一组的频数，再
26、据此补全频数分布图即可；（2）根据中位数计算公式求解即可；（3）根据平均数与方差计算公式求出，再比较即可小问1详解】解：数据在这一组的频数为：， 补全频数分布图如下：【小问2详解】解：把31个省的快递业务数量按从小到大排列，第16位数据在在这一组的第2个数据，所以31个省的快递业务数量的中位数为11【小问3详解】解：，又，【点睛】本题考查频数分布直方图，中位数，平均数，方差，熟练掌握中位数，平均数，方差的计算公式是解题的关键24. 如图，为的直径，为上一点，过点作的切线，交的延长线于点，为的中点，连结并延长交于点，连结（1）求证：；（2）若，求的长【答案】（1）见解析 （2）【解析】【分析】（
27、1）根据切线的性质和圆周角定理求得，利用等角的余角相等即可证明；（2）利用正切的性质求得，的长，再根据直角三角形的性质即可求解【小问1详解】证明：为的切线，是直径，；【小问2详解】解：， ，中，F是的中点，【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，正切函数的定义，直角三角形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题25. 某公园有一座漂亮的五孔桥，如图所示建立平面直角坐标系，主桥洞与两组副桥洞分别位于轴的两侧成轴对称摆放，每个桥洞的形状近似的可以看作抛物线，主桥洞上，与近似满足函数关系经测量在主桥洞上得到与的几组数据：(米)(米)根据以上数据回答下列问题：（1）求主桥洞的函数表达式；（2）若
28、的表达式：，的表达式：，求五个桥洞的总跨度的长【答案】（1） （2）五个桥洞的总跨度的长为米【解析】【分析】（1）由表可知，抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为待定系数法求二次函数解析式即可求解；（2）根据二次函数的平移，分别令，求得每个桥洞的跨度即可求解【小问1详解】由表可知，抛物线顶点坐标为抛物线的解析式为抛物线过点解得【小问2详解】令，解得：，；的表达式：，的表达式：由题意抛物线与抛物线上之间的部分重合，即将向下移动当时，解得：，；由题意抛物线与抛物线上之间的部分重合，即将向下移动，当时，解得：，五个桥洞的总跨度的长为米【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，画二次函数的图象，理解题意
29、，灵活的运用抛物线的对称性解题是关键26. 已知抛物线，若点，在抛物线上（1）该抛物线的对称轴为_（用含的式子表示）；（2）若当时，则的值为_；（3）若对于时，都有，求的取值范围【答案】（1） （2） （3）或【解析】【分析】（1）将抛物线解析式化成顶点式，即可得出抛物线对称轴；（2）把代入，得，求解即可；（3）分类讨论：当时，当时，当时，当时，分别求解即可【小问1详解】解：，抛物线的对称轴为直线【小问2详解】解：当时，把代入，得，解得：【小问3详解】解：当时，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，即点P和点M在对称轴右侧，不符合题意；当时，又，点P在对称轴左侧，点M在对称轴右侧，点P到对称轴的距
30、离比点M到对称轴的距离近，不符合题意；当时，若，则点M到对称轴的距离大于点Q到对称轴的距离，小于点P到对称轴的距离，；当时，若，则点M到对称轴的距离大于点Q到对称轴的距离，综上，或【点睛】本题考查抛物线的图象性质，熟练掌握根据抛物线的函数值大小和增减性求参数取值范围是解题的关键27. 在中，点为边上一点，为延长线上的一点，为边上一点，射线于点，过点作直线于，交于点，作的角平分线交于，过点作的平行线，交于点，交于点，交于点， （1）找出图中和相等的一个角，并证明；（2）判断、的数量关系，并证明【答案】（1）（答案不唯一），证明见解析 （2），理由见解析【解析】【分析】（1）由垂直定义，则，同理，
31、又，即可得出结论（2）连结，先证明，得，再证明，得，即可得出结论【小问1详解】解：（答案不唯一）证明：如图， ，【小问2详解】解：证明：连结， ，垂直平分， ，平分，【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，垂线的定义，直角三角形两锐角互余的性质，余角的性质，熟练掌握利用全等三角形的判定与性质证明书角或线段相等是解题的关键28. 在平面直角坐标系中，对于，其中，给出如下定义：将边绕点逆时针旋转60得到线段，连接，与的过点A的高线交于点，将点关于直线对称得到点，我们称为的留缘点（1）若，请在图中画出的留缘点，并求出点的坐标；（2）已知，若线段上存在的留缘点，求的取值范围【答案】（1） （2）或【解
32、析】【分析】（1）先根据题意画出图形，然后再说明四边形是菱形，即；再确定点P的坐标，最后根据关于确定点Q的坐标即可；（2）设直线与y轴交于点，由题意可得的所有留缘点在以K为圆心为半径的圆上，然后分和两种情况，分别画出图像，根据勾股定理、两点间距离公式和圆的性质列方程求解即可解答【小问1详解】解：如图：当，时，点Q即为的留缘点，连接，是等边三角形，将边绕点逆时针旋转60得到线段，是等边三角形，四边形是菱形， ，点P与点Q关于直线对称，【小问2详解】解：设直线与y轴交于点，则由题意，如图：的所有留缘点在以K为圆心为半径的圆上，当时，如图：，解得：，；如图：当点时，由题意，解得，综上，的取值范围为或【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、解直角三角形、圆的性质、菱形的判定与性质等知识点，正确画出各类图形是解答本题的关键
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